Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 12 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 28. Januar 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Gliederung 1 Reguläre Ausdrücke 2 rechtslineare Grammatiken 3 reguläre Sprachen Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

3 Reguläre Ausdrücke Regulärer Ausdruck Ein regulärer Ausdruck R über einem Alphabet A ist ist ein Wort aus L(G) mit mit G = ({R}, {, (, ),, } A, R, P) P = {R, R (R R), R (RR), R (R )} {R x x A} Beispiel gültige reguläre Ausdrücke über A = {a, b}: (ab), ( b), ((a ) ), a, (a (b (a a))) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

4 reguläre Ausdrücke Klammern weglassen Stern vor Punkt : ab = a(b ) (ab) Punkt vor Strich : a bc = (a) (bc) (a b)c bei mehreren gleichen Operationen gilt es als links geklammert : a b c = (a b) c a (b c) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

5 reguläre Ausdrücke durch regulären Ausdruck beschriebene Sprache Die von einem regulären Ausdruck R beschriebene formale Sprache R ist wie folgt definiert: = {} Beispiel Für x A ist x ={x} Sind R 1 und R 2 reguläre Ausdrücke, so ist R 1 R 2 = R 1 R 2 und R 1 R 2 = R 1 R 2 Ist R ein regulärer Ausdruck, so ist R = R R = (a b) = R = {a, b} R = (a b) = R = {a, b} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

6 reguläre Ausdrücke Aufgaben 1. Welche Sprachen werden von folgenden regulären Ausdrücken beschrieben? a) (a ) b) (a b ) c) (a b) abb(a b) 2. Gib reguläre Ausdrücke R 1, R 2, R 3 an, so dass: a) R 1 = {ε} b) R 2 = {w {a, b} N b (w) 3} c) R 3 die Sprache aller Wörter über {a, b}, in denen das Teilwort ab nirgends vorkommt Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

7 Lösung 1. Welche Sprachen werden von folgenden regulären Ausdrücken beschrieben? a) (a ) = {a} b) (a b ) = {a, b} c) (a b) abb(a b) ist die Sprache aller Wörter, in denen das Teilwort abb vorkommt. 2. Gib reguläre Ausdrücke R 1, R 2, R 3 an, so dass: a) {ε} = b) {w {a, b} N b (w) 3} = (a b) b(a b) b(a b) b(a b) = a ba ba b(a b) c) die Sprache aller Wörter über {a, b}, in denen das Teilwort ab nirgends vorkommt: b a Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

8 reguläre Ausdrücke Regex-Bäume.. a b b Dieser Regex-Baum (oder Kantorowitsch-Baum) steht für den regulären Ausdruck ((b )a)(b ) = (b )ab. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

9 Höhe eines Baumes Höhe eines Baumes Für einen Baum T ist die Höhe h(t ) so definiert: { 0 falls die Wurzel Blatt ist h(t ) = 1 + max i (h(u i )) falls die U i alle Unterbäume von T sind.. b hat Höhe 2 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

10 rechtslineare Grammatiken rechtslineare Grammatik Eine rechtslineare Grammatik ist eine kontextfreie Grammatik G = (N, T, S, P), in der jede Produktion entweder von der Form X w oder von der Form X wy mit w T und X, Y N. Beispiele G = ({X}, {a, b}, X, {X axb ε}) ist nicht rechtslinear G = ({X}, {a, b}, X, {X abx ε}) ist rechtslinear G = ({X, Y }, {a, b}, X, {X a b Y, Y XY a}) ist nicht rechtslinear G = ({X, Y }, {a, b}, X, {X ay ε, Y Xb}) ist nicht rechtslinear Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

11 Klausur(teil)aufgabe Sei A ein Alphabet und L A eine endliche Menge. Geben Sie die Menge der Produktionen einer rechtslinearen Grammatik an, die L erzeugt. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

12 Lösung P = {(S, w) w L} bzw. P = {S w w L} Das ist hier möglich, da L endlich ist und somit auch P wie gefordert endlich ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

13 reguläre Sprachen reguläre Sprache Für jede formale Sprache L sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: 1 L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden. 2 L kann durch einen regulären Ausdruck beschrieben werden. 3 L kann von einer rechtslinearen Grammatik erzeugt werden. Eine solche Sprache heißt reguläre Sprache. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

14 Aufgaben 1. Geben Sie zu folgendem regulären Ausdruck R = (b ba)(a b) (ab b) a) eine kurze, möglichst präzise Beschreibung für R in eigenen Worten und b) einen endlichen Akzeptor A = (Z, s, {a, b}, f, F) an, so dass gilt: L(A) = R. 2. Gegeben sei folgender regulärer Ausdruck Gilt R = {a, b, c}? R = c ( a(a b c) (a b c) b)c Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

15 Aufgabe (Klausur SS14 Aufg. 2) Es sei L 1 die formale Sprache L 1 = {w w {0, 1,, f } w 1, w 2 {0, 1} + : w = w 1 w 2 f } a) Geben Sie einen regulären Ausdruck R derart an, dass R = L 1. Verwenden Sie in Ihrem regulären Ausdruck ausschließlich die Symbole 0, 1,, f, (, ),, und. b) Geben Sie eine rechtslineare Grammatik an, die L 1 akzeptiert. c) Geben Sie einen endlichen Akzeptor an, der L 1 akzeptiert. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16

16 Lösung a) R = (0 1)(0 1) (0 1)(0 1) f b) G = ({A, B}, {0, 1,, f }, A, P) mit P = { A 0A 1A 0 B 1 B, B 0B 1B 0f 1f } c) Akzeptor: 0,1 0,1 0,1 0,1 f A B C D E,f f,f 0,1,,f J 0,1,,f Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Januar /16