Organisatorisches... Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 1. Endliche Automaten. Organisatorisches. Organisatorisches. Eine typische Woche:

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1 Organisatorisches... Formale der Informatik 1 Kapitel 1 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 7. April 215 Eine typische Woche: Mo+Di: Vorlesung Di-Fr: Üungsgruppen Neuer Zettel und Beareiten der Präsenzaufgaen Agae der Üungsaufgaen (der Vorwoche) Rückgae der Üungsaufgaen (der Vorvorwoche) Mi: Neuer Lesestoff Als Vorereitung für die kommende Woche Fr: Neue PDFs: Präsenzlösungen der Aufgaen dieser Woche Musterlösung der gerade agegeenen Aufgaen Neuer Aufgaenzettel Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 1/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 2/82 Organisatorisches Organisatorisches Zur Vorlesung: Mo, und Di, 8-1 in ErzWiss H Die Vorlesung wird aufgezeichnet! Livestream: und kurz nach der Vorlesung ei Lecture2Go Die Vorlesung ist inhaltlich zweigeteilt: Automatentheorie (is Mitte Mai) Logik (a Mitte Mai) Zum Lesestoff: Soll informal das Modell der jeweiligen Woche erklären. ca. 4 Seiten mit kleinem Selsttest am Ende Auf Seite 5 dann die mathematische Seite Auf Seite 6 Lösungen zum Selsttest Anmerkung Lesestoff und aktueller Üungszettel passen nicht. Der Lesestoff ist als Vorereitung für die nächste Woche gedacht. Der Üungszettel ehandelt den Stoff der gerade vergangenen Vorlesungen. Organisiert euch gut! ;-) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 3/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 4/82

2 Organisatorisches Zu den Üungen: Organisatorisches In den Üungen wird der neue Aufgaenzettel verteilt (git es i.a. a Freitag schon online) In den Üungen werden die Präsenzaufgaen ehandelt: Ü-LeiterIn teilt euch zu Anfang in 3er-Gruppen ein. In diesen ca. 1 Minuten Aufgaen eareiten. Ü-LeiterIn geht rum und hilft. Nach 1 Minuten wird rotiert. Eine Person pro Gruppe wandert im Uhrzeigersinn, eine Person pro Gruppe entgegen des Uhrzeigersinns. Dies wird wiederholt. Besprechen der Präsenzaufgae im Plenum Wiederholung mit der zweiten Präsenzaufgae. Am Ende der Ü-Gruppe: Agae eurer Lösungen des Aufgaenzettels der Vorwoche. Rückgae eurer Lösungen der Vorvorwoche. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 5/82 Die Kriterien: Üungen: 5% der Punkte insgesamt. Jeweils 2% der Punkte auf 1 der 11 Aufgaenzettel. Aktiv mitareiten. Nicht mogeln... Weiteres siehe Weseiten und Modulhanduch. Klausur: 5% der Punkte Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 6/82 Organisatorisches Organisatorisches Zur Literatur: Es git ein Skript als PDF Zum Automatenteil: uni-hamurg.de/tgi/lehre/vl/ss15/fgi1 Zwei sehr gute Bücher: Hopcroft, John E., Motwani, Rajeev und Ullman, Jeffrey D. (27) Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, 3ed, Pearson/Addison-Wesley (auch auf Deutsch erhltlich). Schöning, Uwe (2). Logik für Informatiker. Spektrum, Akademischer Verlag. Es wird voraussichtlich ein Tutorium geen: Freitag, Uhr, B-21 (a dem 17.4). Hier werden die in der Woche agegeenen Üungsaufgaen esprochen. Gut zur Klausurvorereitung. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 7/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 8/82

3 Organisatorisches Organisatorisches Es wird vor den Klausuren ein Repetitorium geen. Termine stehen noch nicht fest. Vorlesung und Folien Üungsgruppe (Präsenzaufgaen und Üungsaufgaen) Skript und/oder Bücher Lesestoff Tutorium Repetiorium Bemerkung Empfehlung: 1. Lesestoff 2. Vorlesung und Folien und Skript/Buch und 3. Aufgaen, Aufgaen, Aufgaen! Frank Heitmann 9/82 Frank Heitmann 1/82 Organisatorisches Die Boxen... Bemerkung 2 Nehmt den Stift in die Hand! Notiert euch Dinge selst (und handschriftlich). Geht z.b. Folien und Skript durch und notiert euch, was die wichtigen Dinge der Woche waren. Rechnet Aufgaen (auch dazu: Stift in die Hand nehmen!), redet mit anderen, areitet zusammen und investiert Zeit. Wichtige Anmerkung Wichtige Hinweise, Anmerkungen zur Klausur,... Anmerkung Standard. Definitionen, Sätze, Beweise, normale Anmerkungen Bemerkung Hinweise, Beispiele, Neenemerkungen,... Neenemerkung Literaturhinweis für Interessierte,... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 11/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 12/82

4 Ein (Licht-)Schalter... Ein einfacher (Licht-)Schalter kann an oder aus sein. Zwischen diesen Zuständen kann man wechseln. aus an Frank Heitmann 13/82 Frank Heitmann 14/82 Ein (Licht-)Schalter Ein (Licht-)Schalter Ein einfacher (Licht-)Schalter kann an oder aus sein. Zwischen diesen Zuständen kann man wechseln. aus an aus an endlichen Anzahl von Zuständen; davon einer als Startzustand und eine elieige Teilmenge als Endzustände hervorgehoen; Zustandsüergänge sind möglich sind; das System ist stets in genau einem Zustand. Frank Heitmann 15/82 Frank Heitmann 16/82

5 Und wozu das Ganze? a a z a z a 1 z 2 Um dieses Modell und Erweiterungen davon wird es gehen woei a und hier nur Astraktionen sind. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 17/82 Und wozu nun das Ganze? Was kann man damit machen? Wir eginnen mit einem recht einfachen Modell (DFA). Da denkt man sich Was soll ich damit?!. Erstmal lernen! Damit gehen dann später nützliche und spannende Dinge! Mit + und = in einer Programmiersprache geht auch nicht viel, trotzdem muss man die erstmal lernen. Grundlage vieler weiterer (Automaten-)Modelle Schnelle Lösung des (Wort-)Suchprolems Entwicklung von lexikographischen Analysierern, Parsern und Compilern Modellierung von Systemen; am Modell können dann Eigenschaften üerprüft werden. Kommt ins. auch in FGI2. Automaten als grundlegende Datenstruktur (für Mengen und Relationen auf denen estimmte Operationen nötig sind) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 18/82 Und wozu das Ganze? Und wozu das Ganze? Bedeutende Anwendungen ei der Modellierung und Verifikation von Systemen in der technischen Informatik ei Protokollen... und Erkenntnisse Proleme, die von einem Computer nicht gelöst werden können Proleme, die von einem Computer praktisch nicht gelöscht werden können Und ganz wichtig: Einüen des astrakten Denkens und des exakten Argumentierens!... sonst klappt es mit oigem nicht... und dann kann man drüer nachdenken, wie man die Grenzen doch umgeht... ;-) Und eginnen tun wir jetzt ganz grundlegend... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 19/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 2/82

6 Mengen Mengen Definition (Mengen) Endliche Menge: M 1 = {1, 2, 3, 4} Unendliche Menge: M 2 = {1, 2, 3,...} Enthalten sein: 3 M 1, 5 M 1 Kardinalität: M 1 = 4 ist die Anzahl der Elemente in M 1. Oft werden die Elemente einer Menge durch eine sie charakterisierende Eigenschaft eschrieen: M 3 = {x N i N : x = 2 i} = {, 2, 4, 6,...} Definition (Mengen II) 1 Teilmenge: A B gdw. für jedes a A auch a B gilt {1, 4, 5} {1, 2, 3,...} {1, 4, 5} {1, 4, 5} {1, 4, 5} {1, 3, 5, 7,...} {1, 4, 5} {1, 4} 2 Mengengleichheit: A = B gdw. A B und B A gilt 3 Echte Teilmenge: A B gdw. A B aer nicht A = B Wichtige Anmerkung Bei der Mengengleichheit sind zwei Richtungen zu zeigen. Einmal A B (für jedes Element aus A zeigen, dass es auch in B ist) und einmal B A (für jedes Element aus B zeigen, dass es auch in A ist). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 21/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 22/82 Mengen Relationen Definition (Mengen III) 1 Vereinigung: A B = {x x A oder x B} Beispiel: {1, 2, 4} {1, 2, 3} = {1, 2, 4, 1, 2, 3} = {1, 1, 2, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 2 Schnitt: A B = {x x A und x B} Beispiel: {1, 2, 4} {1, 2, 3} = {1, 2} 3 Mengendifferenz: A \ B = {x x A und x B} Beispiel: {1, 2, 4} \ {1, 2, 3} = {4} 4 Potenzmenge: P(A) = 2 A = {B B A} Beispiel: P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}} 5 Kartesisches Produkt: A B = {(a, ) a A, B} Beispiel: {1, 2} {a,, c} = {(1, a), (1, ), (1, c), (2, a), (2, ), (2, c)} Definition (Kartesisches Produkt) Seien A 1, A 2,..., A n Mengen. Dann ist A 1 A 2... A n := {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 A 1,..., x n A n } das kartesische Produkt dieser Mengen. (x 1,..., x n ) ist ein n-tupel. Eine Teilmenge R A 1... A n heißt n-stellige Relation. Beispiel Sei Z = {1, 2, 3}, A = {a,, c}, dann ist R = {(1, a, 1), (1,, 2), (2, c, 3), (3, c, 3)} eine 3-stellige Relation üer Z A Z. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 23/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 24/82

7 Funktionen Funktionen Definition (Funktion) Eine totale Funktion f : A B weist jedem Element aus ihrem Definitionsereich A ein Element aus ihrem Bildereich B zu. Z.B. f : {, 1} {, 1} mit 1 und 1 f : N N mit x 2 x (alternativ f (x) = 2x) Anmerkung Bemerkung f : A B 1 Git es ein a A ohne Bild, d.h. ist f (a) nicht definiert, nennt man f eine partielle Funktion. 2 Jedes x A hat höchstens ein Bild. (f (x) = 5 und f (x) = 4 ist nicht gleichzeitig möglich.) 3 Zwei x 1, x 2 A können aer das gleiche Bild haen, d.h. f (x 1 ) = f (x 2 ) ist möglich. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 25/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 26/82 Alphaete und Wörter Alphaete und Wörter Definition 1 Ein Alphaet ist eine (total geordnete) endliche Menge von unterschiedlichen Zeichen (alternativ: Buchstaen oder Symole). 2 Die Konkatenation ist die Operation zum Hintereinanderschreien von Buchstaen. So ergeen sich Worte auf die die Operation dann erweitert wird. Z.B. ist a = a und dann a c = ac. 3 Das leere Wort (Wort mit Buchstaen) wird mit λ oder ɛ ezeichnet (nie in einem Alphaet enthalten!). 4 Wir schreien w 1 = w, w 2 = w w und w k = w k 1 w (k 2) und als Spezialfall w = λ. Die Konkatenation wird auf Mengen von Wörtern erweitert: {a, aa} {a, } = {a a, a, aa a, aa } = {aa, a, aaa} {a, a, λ} {, λ} = {a, a, a,, λ} Ausserdem definieren wir für eine Menge von Worten R R 1 = R R 2 = R R R 3 = R 2 R = R R R... R n = R n 1 R und als Spezialfall R = {λ}. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 27/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 28/82

8 Alphaete und Wörter Alphaet und Wörter - Zusammengefasst Definition Für eine Menge von Worten R definieren wir Definition R + := i 1 R i mit R 1 := R und R i+1 = R i R R := R + {λ} 1 Betrachten wir Σ für ein Alphaet Σ, so ist Σ die Menge aller endlichen Wörter (üer dem Alphaet Σ). 2 Jede (Teil-)Menge L Σ heißt formale Sprache. Formaler... Formaler kann man (Σ,, λ) als ein (freies) Monoid auffassen. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 29/82 Die wichtigsten Dinge: Σ für eine Menge von Symolen (ein Alphaet), z.b. Σ = {a,, c} oder Σ = {, 1}. λ oder ɛ für das leere Wort. Das leere Wort ist nie in einem Alphaet Σ! Konkatenation: Von Symolen oder Worten: a = a, a cd = acd Von Wortmengen: {a, ac} {λ, c} = {a, ac, acc} R 2, R 3 oder auch Σ 2, Σ 3 und w 2, w 3 usw. für mehrfach Hinterinanderausführen von. Sonderfall: R = {λ} und auch w = λ (w ein Wort) R + für alle Worte, die sich durch elieiges Aneinanderreihen von Worten aus R ilden lassen. R wie R +, aer λ kommt noch hinzu. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 3/82 Fragen... Fragen... {a, c} {de, fg} {ac, a} {c, λ} 1 {ac, defg} 2 {acde, acfg} 3 {acde, acfg, cade, cafg} 4 {ade, afg, cde, cfg} 1 {aca, c} 2 {acc, ac} 3 {acc, acλ, ac, aλ} 4 {acc, ac, a} Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 31/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 32/82

9 Fragen... Fragen... R = {a, } was ist R 2? R = {a, a, a, } was ist R? 1 {λ, a,, aa, a, a, } 2 {a,, aa, a, a, } 3 {aa, a, a, } 4 {{aa}, {a}, {a}, {}} 1 Menge aller endlichen Worte aus a und 2 Menge aller ungeraden Worte aus a und 3 Menge aller geraden Worte aus a und 4 Menge aller unendlichen Worte aus a und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 33/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 34/82 Zur Nachereitung a a Zur Nachereitung Richtige Antworten sind: oder 4, aer 4 ist schöner z a z a 1 z Wie definieren wir das? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 35/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 36/82

10 Der deterministische, endliche Automat Areitsweise des DFA (informal) Definition (DFA) Ein deterministischer, endlicher Automat (DFA) ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ,, Z end ) mit: Der endlichen Menge von Zuständen Z. Dem endlichen Alphaet Σ von Eingaesymolen. Der Üerführungsfunktion δ : Z Σ Z. Dem Startzustand Z. Der Menge der Endzustände Z end Z. Erhält ein DFA ein Eingaewort w Σ, so eginnt er im Startzustand. Beginnt w mit dem Symol x Σ, so wird der Nachfolgezustand nun durch δ(, x) estimmt. Dies wird dann in dem nun aktuellen Zustand und mit dem Restwort fortgeführt. Das Wort w wird akzeptiert, wenn w is zum Ende gelesen werden kann und der Automat dann in einem Endzustand ist. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 37/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 38/82 a a a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 39/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 4/82

11 a a a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 41/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 42/82 a a a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 43/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 44/82

12 a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 45/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 46/82 a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 47/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 48/82

13 a a a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 49/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 5/82 a a a a Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 51/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 52/82

14 Zusammenfassung Üerführungsfunktion und Rechnung Das Wort aa wird akzeptiert! (Zu Ende gelesen und im Endzustand!) Das Wort a wird nicht akzeptiert! (Zu Ende gelesen, aer nicht im Endzustand!) Das Wort aa wird nicht akzeptiert! (Kann nicht zu Ende gelesen werden!) Das Wort aa wird nicht akzeptiert! (Kann nicht zu Ende gelesen werden! Wir sind zwar in einem Endzustand, aer wir können das Wort nicht zu Ende lesen!) Definition (Erweiterte Üerführungsfunktion) Sei A = (Z, Σ, δ,, Z end ) ein DFA. Die erweiterte Üerführungsfunktion ˆδ : Z Σ Z wird für alle z Z, x Σ und w Σ rekursiv definiert durch ˆδ(z, λ) := z ˆδ(z, xw) := ˆδ(δ(z, x), w) 1 z 1 ˆδ(, 1) = ˆδ(, 1) = ˆδ(, 1) = z 1 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 53/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 54/82 Üerführungsfunktion und Rechnung Definition (Konfiguration und Rechnung) 1 Eine Konfiguration eines DFA A ist ein Tupel (z, w) Z Σ mit der Bedeutung, dass A im Zustand z ist und noch das Wort w zu lesen ist. 2 Ein Konfigurationsüergang ist dann (z, w) (z, v) gdw. w = xv, x Σ und δ(z, x) = z ist. 3 Eine Rechnung auf dem Wort w Σ ist eine Folge von Konfigurationsüergängen, die in (, w) eginnt. 4 Endet die Rechnung in (z, λ) und ist z Z end, so ist dies eine Erfolgsrechnung und w wird akzeptiert. a a (, aa) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 55/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 56/82

15 a a a a (, aa) (z 1, a) (, aa) (z 1, a) (z 1, a) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 57/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 58/82 a a a a (, aa) (z 1, a) (z 1, a) (z 1, a) (, aa) (z 1, a) (z 1, a) (z 1, a) (z 2, λ) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 59/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 6/82

16 Hinweis Akzeptierte Sprache Definition (Akzeptierte Sprache) Die von einem DFA A akzeptierte Sprache ist die Menge Hinweis Der Begriff der Rechnung wird oft nicht für DFAs eingeführt (sondern erst später). Auch im Skript ist er nicht zu finden! Druckt euch die eine Folie am esten aus und klet sie euch ins Skript ;-) L(A) := {w Σ ˆδ(, w) Z end } = {w Σ (, w) (z e, λ), z e Z end } Diese Menge wird auch als reguläre Menge ezeichnet. Die Familie aller regulären Mengen wird mit REG ezeichnet. Hinweis Ist A ein DFA, so ist also L(A) eine Menge von Worten (die von A akzeptierte Sprache) und außerdem ist L(A) REG (REG enthält also Mengen!). Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 61/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 62/82 Noch zwei Begriffe Zusammenfassung Definition Ein DFA A = (Z, Σ, δ,, Z end ) heißt 1 vollständig, wenn zu jedem (z, x) Z Σ ein z existiert mit δ(z, x) = z. 2 initial zusammenhängend, wenn es zu jedem z Z ein Wort w git mit ˆδ(, w) = z. Hinweis vollständig = jede Eingae kann gelesen werden initial zusammenhängend = jeder Zustand erreichar Begriffe isher: DFA Zustände, Startzustand, Endzustände Üerführungsfunktion erweitere Üerführungsfunktion vollständig, initial zusammenhängend Konfiguration, Konfigurationsüergang Rechnung, Erfolgsrechnung akzeptierte Sprache reguläre Menge, REG Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 63/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 64/82

17 Fragen... Fragen... z 1 1 z 2 z 3 Welche Worte akzeptiert dieser Automat?,1 z 1 z 2 1 Nur 2 und 1 3 Nur 1 4, 1 und 1 5 Gar keine Worte (zwei Endzustände sind nicht möglich!) Ist dies ein DFA? 1 Ja! 2 Nein! 3 Weiß ich nicht! 4 Sag ich nicht! ;) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 65/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 66/82 Fragen... Fragen... 1 z 2 Welche Sprache akzeptiert dieser DFA A? 1 L(A) = {1} 2 L(A) = {} {1} 3 L(A) = {} {1} {} 4 L(A) = {} {1} {, 1} 1 1 Welche Sprache akzeptiert dieser DFA A? 1 L(A) = {, 1} 2 L(A) = {} {1} {1} 3 L(A) = {, 1} {1} 4 L(A) = ({} {1} {1} {}) z 2 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 67/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 68/82

18 Akzeptieren von Sprachen Zur Nachereitung Zur Nachereitung Richtige Antworten sind: z 1 Welche Sprache akzeptiert dieser DFA? Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 69/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 7/82 Akzeptieren von Sprachen Akzeptieren von Sprachen 1 z 1 1 z 1 Behauptung Wichtige Anmerkung L(A) = {, 1} {1} {, 1} =: M Dies ist zunächst eine Behauptung! Die Richtigkeit ist zu zeigen. Ülicherweise indem man L(A) M und M L(A) zeigt. Beweis 1. L(A) {, 1} {1} {, 1} = M. Sei w L(A), dann wird w von A akzeptiert. D der einzige Endzustand ist, muss w auf 1 enden (einzige Kante in z 1 hinein). Vorher war der Automat in hier können nur en gelesen werden. D.h. w hat die Form w = u1 mit u {}. Damit gilt auch w M. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 71/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 72/82

19 Akzeptieren von Sprachen Akzeptieren von Sprachen 1 z 1 1 z 1 Beweis 2. M = {, 1} {1} {, 1} L(A). Sei w M, dann lässt sich w zerlegen in w = x 1 x 2 x 3 mit x 1, x 3 {, 1} und x 2 = 1. Da in w eine 1 auftritt, muss es auch eine Stelle geen, an der die 1 das erste Mal auftritt! D.h. w lässt sich sogar zerlegen in w = x 1 x 2 x 3 mit x 1 {}, x 2 = 1 und x 3 {, 1}. Legen wir w nun A als Eingae vor, so gilt zunächst (, x 1 1 x 3 ) (, 1 x 3 ) und dann (, 1 x 3 ) (z 1, x 3 ).... UPS! Da es in z 1 keine Kante git, lockieren wir hier! Das Wort wird gar nicht akzeptiert! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 73/82 Gegeneispiel und von vorne... L(A) = {, 1} {1} {, 1} =: M Aus dem Beweis von een ergit sich auch gleich ein Gegeneispiel: 1 kann z.b. von dem Automaten nicht akzeptiert werden, ist aer in M. Ein neuer Versuch... L(A) = {} {1} =: M Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 74/82 Akzeptieren von Sprachen Akzeptieren von Sprachen Anmerkung Beweis 1 z 1 1. L(A) {} {1} = M. Genau wie een. 2. M = {} {1} L(A). Sei w M, dann lässt sich w zerlegen in w = u1 mit u {}. Es gilt nun (, u1) (, 1) (z 1, λ). D ein Endzustand ist, gilt w L(A), was zu zeigen war. Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 75/82 Wenn ihr auf eine Menge M kommt, von der ihr meint, dass L(A) = M gilt, dann ist das zunächst eine Behauptung! Diese ist zu eweisen/zu egründen! Hierzu genügt es nicht nur eine der Teilmengeneziehungen zu zeigen! L(A) M. Zeigt nur, dass jedes Wort, das der Automat akzeptiert auch in M ist! Aer in M kann mehr sein! (Würde das genügen, kann man M = Σ wählen und ist immer gleich fertig!) M L(A). Zeigt nur, dass jedes Wort in M vom Automaten akzeptiert wird, aer der Automat kann evtl. mehr! (Ins. vielleicht auch Sachen die er nicht können soll! Und würde dies genügen, kann man stets mit M = alles zeigen! Also: Sauer die Behauptung aufstellen und sauer die zwei Richtungen trennen und zeigen! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 76/82

20 Nichtdeterminismus Wiederholung Nichtdeterminismus Wiederholung Ein NFA... Ein NFA... Beim DFA git es zu einem z Z und einem x Σ einen Nachfolgezustand δ(z, x). Der Nachfolgezustand ist also determiniert. Dies kann man aufweichen... a a z 1 z 2 c a a z 1 z 2 c Wie würdet ihr die Üerführungsfunktion definieren? 1 δ : Z Σ Z 2 δ : Z Σ Z 3 δ : Z Σ 2 Z 4 δ : 2 Z Σ Z 5 ganz anders... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 77/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 78/82 Nichtdeterminismus Wiederholung Nichtdeterminismus Wiederholung Zusammenfassung - Begriffe Zusammenfassung - Begriffe Begriffe isher (endliche Automaten): Begriffe isher (mathematische ): Mengen, (echte) Teilmenge, Mengengleichheit Vereinigung, Schnitt, Komplement, Potenzmenge kartesisches Produkt, Relation Funktion Begriffe isher (Buchstaen, Worte): Alphaet, Konkatenation, Wort, leeres Wort R +, R, Σ +, Σ, R, R 1, w, w 1,... Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 79/82 DFA Zustände, Startzustand, Endzustände Üerführungsfunktion erweitere Üerführungsfunktion vollständig, initial zusammenhängend Konfiguration, Konfigurationsüergang Rechnung, Erfolgsrechnung akzeptierte Sprache reguläre Menge, REG (Nichtdeterminismus) Wichtige Anmerkung Alle diese Begriffe sind wichtig (auf dieser Grundlage auen wir auf). Daher die fleissig lernen! Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 8/82

21 Nichtdeterminismus Wiederholung Nichtdeterminismus Wiederholung Zusammenfassung - Technik Auslick Wichtiges Vorgehen Ermittelt man für einen DFA A seine akzeptierte Sprache, so ist L(A) = M zunächst eine Behauptung, die zu zeigen ist! Wichtiges Vorgehen Hierzu sind dann zwei Richtungen zu zeigen: L(A) M. Jedes Wort, dass der Automat akzeptiert ist tatsächlich in M. Bei der Argumentation geht man von einem Wort w aus, das der Automat akzeptiert (w L(A)) und zeigt, dass dann auch w M gilt. M L(A). Jedes Wort aus M wird auch von dem Automaten akzeptiert. Man geht von einem (elieigen!) Wort aus M aus ( Sei w M, dann... ) und zeigt, dass dieses auch von A akzeptiert wird, also in L(A) ist. Auslick und Ende! :) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 81/82 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamurg.de 82/82