Theoretische Informatik Mitschrift

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1 3. Endliche Automaten endliche Zustandsübergangssysteme Theoretische Informatik Mitschrift Beispiel: 2-Bit-Ringzähler: ={Inc} L R ={IncInc Inc,Inc 7, Inc 11,...} n ' mod ' 4=3 ={Inc n k 0.n=4 k3 } 2-Bit-Ringzähler mit Reset: ={Inc, Res} L R + =L R {Res}*L R {Inc Res Inc 3, Inc Inc Res Inc 3,...} Definition 3.1 (Deterministischer Automat über Σ): Ein deterministischer Automat über Σ (DFA, deterministic finite automaton) ist ein Quintupel = Q,,,q 0,F mit: Q ist endliche, nichtleere Menge von Zuständen Σ ist das Eingabealphabet :Q Q ist eine Transitionsfunktion q 0 Q ist der Startzustand und F Q ist die Endzustandsmenge. DFA(Σ) bzw. DFA bezeichne die Klasse aller DFAs über Σ. Beispiel: R = {00,01, 10,11},{Inc}, R,00,{11} mit δ R Inc

2 2. Beispiel: Det ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Test auf Teilbarkeit einer Dezimalzahl durch 3 Modell eines DFAs: Eingabeband w * Endliche Kontrolle q Q Endzustandsanzeige A Det : L Det ={w * Det w ist als Dezimalzahl durch 3 teilbar} Definition 3.2 (von A erkannte Sprache): = Q,,,q 0, F DFA bestimmt die erweiterte Transitionsfunktion :Q *Q mit q,:=q q,wa:=q,w,a und damit die von erkannte Sprache L :={q * q 0,w F }. L, DFA bzw. L DFA bezeichne die Klasse der von DFAs erkennbaren Sprachen. L, DFA * Zum Beispiel: L R + ={Inc 3 } {Inc 4 k3 k 0 } {Res, Inc Res, Inc 2 Res, Inc 3 Res, Inc 4 }*{Inc 3 } ={Res, Inc Res, Inc 2 Res, Inc 3 Res, Inc 4 }* {Inc 3 } Korrolar: Es gilt: q 0 F L für DFA.

3 bisher: DFAs (Deterministiche endliche Automaten) zu jedem q Q, a existiert genau ein q ' Q mit q'= q, a (vollständiger DFA), höchstens ein q' Q mit q'= q,a ( :Q Q partiell ). jetzt: Nichtdeterminismus, d.h.: zu q Q, a können mehrere q ', q ' ',... Q existieren mit q, a={q ', q ' ',...} ε-transitionen (autonome Transitionen) Zustandswechsel ohne Eingabeverbrauch Definition 3.3 NFA (nichtdeterministische endlicher Automat): :Q {} Q Q,, q 0, F seien wie beim DFA. Dann heißt = Q,,, q 0, F ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NFA) über Σ. NFA(Σ) bzw. NFA bezeichne die Klasse aller NFAs. Beachte: DFA NFA Für DFAs gilt: q,= für alle q Q q,a 1 für alle q Q,a. Ein NFA erkennt ein Wort w *, falls es bei Eingabe von w eine Zustandsfolge gibt, die zu einem Endzustand führt. Definition 3.4 (von NFA erkannte Sprache): Ein Paar q, w Q * heißt Konfiguration von A. Die Einzelschrittrelation von A Q * Q * ist definiert durch: q 1, w 1 q 2, w 2 : w 1 =w 2 q 2 q 1, -Transition A erkennt die Sprache a.w 1 =a w 2 q 2 q 1, a L ={w * q F :q 0,w *q, }. L, DFA bzw. L NFA bezeichne die Klasse der durch NFAs erkennbaren Sprachen. Definition 3.5: Zwei NFAs A 1 und A 2 heißen äquivalent, falls L(A 1 ) = L(A 2 ).

4 Beispiel: (A) Mustersuche ={a,b} ab als Suffix, endet w * auf ab. L= *{ab} NFA DFA ab als Präfix Senkenzustand L={ab}* DFA ab als Infix L= *{ab} * NFA DFA 'a gefolgt von b' L= *{a}*{b}* (B) L={0} *{00} mit ={0,1} NFA {q 0 }={q 0, q 1 } Für alle anderen T ist T =T. Definition 3.6 (erweiterte Transitionsfunktion für NFAs, ε-hülle): (a) Sei T Q. Die -Hülle von T, T Q wird definiert durch T :={q i Q q j T :q j, *q i,} (Korrolar: T T ) (b) Die erweiterte Transitionsfunktion für NFA :Q * Q wird definiert durch q,:={q} q,wa:= q,a. q q, w

5 Lemma: L ={w * q 0, w F }. Beweis: Zeige induktiv über v *, dass für alle q, q' Q, v * gilt: q,v *q', q' q,v Beweis als Übung. Damit folgt: v L Def. q 0, v *q, für ein q F q q 0,v für ein q F q a,v F q.e.d. DFA: L ={w * q 0, w F } NFA: L = Def. {w * q F :q 0, w *q,}={w * q 0,w F = } Satz 3.1 (Rabin, Scott; 1959; Potenzmengenkonstruktion): L, DFA= L, NFA Beweis: : klar wegen DFA NFA :Sei = Q,,,q 0, F NFA. Konstruiere DFA '= Q ',, ', q 0 ', F ' mit Q '= Q Potenzmenge von Q ' :Q ' Q ' d.h. ' : Q Q Für T Q, a definieren wir: ' T, a = q,a q T q 0 ' :={q 0 } F ' :={T Q T F } Zeige: L = L '. Sei w=a 1 * mit n 0. Dann gilt: w L q 0, w F T 0,T 1,..., T n Q :T 0 = q 0,={q 0 }=q 0 ' 1 i n:t i = q 0, a 1... a i 1 a i = Q q q 0, a 1...a i 1 =T i 1 q, a i = ' T i 1, a i T n F T n F ' ' q 0 ', w F ' w L ' q.e.d. = q 0, w Beispiel 1:

6 Beispiel 2: Nicht alle Zustände des Potenzmengen-DFAs müssen erreichbar sein. Definition 3.7: In einem DFA = Q,,,q 0, F heißt q Q erreichbar, falls ein w * existiert mit q 0,w=q. Korrolar: = Q 0,, 0,q 0, F 0 mit Q 0 ={q Q q erreichbar} 0 = Q0 F 0 =F Q 0 ist äquivalent zu. Satz 3.2: L, DFA= L, NFA=! L 3 Beweis durch Ringschluss: L, DFA L 3 L, NFA (i) (ii) ad (i): Sei = Q,,,q 0,F DFA. Definiere G= N,, P,S mit N =Q, S=q 0 und - für jedes Paar q,a Q mit q,a=q' enthalte P die Regel q aq' - für jedes q F enthalte P die Regel q. G ist damit rechtslinear und Typ-3-Grammatik. Zeige noch: L = LG. Sei w=a 1 * mit n 0. w L q 0,w F q 0,q 1,...,q n Q mit q i 1,a i =q i,1 i n und q n F q 0,q 1,...,q n N =Q mit q a q i 1 i i,1 i n und q n q 0 g *a 1 =w w LG.

7 ad (ii): Sei G= N,, P, S eine rechtslineare Grammatik, d.h. alle Produktionen haben die Form A wb oder A w mit w * und A, B N. Ziel: Konstruktion eines NFAs mit L = LG. Definiere = Q,,, q 0, F durch Q= =S oder ist ein (nicht unbedingt echtes) Suffix einer rechten Regelseite: {[] A P N * := } q 0 =[S ] F ={[]} :Q {} Q [ A], ={[] A P } [a ], a={[a]} falls a, * * N. Idee: Der NFA spielt die Erzeugung eines Wortes aus dem Startsymbol nach. Sei w=a 1 *,n 0. Dann gilt: w LG S g *w A 1,..., A k N mit S g a 1...a i 1 A 1 g a 1...a i 1 a...a i1 1 i 2 A 2 g... g a 1...a ik A k a 1 =w Zustände [S],[a 1...a i1 A 1 ],[a 2...a i1 A 1 ],...,[ A 1 ], =q 0 =q 1 =q 2 [a...a i1 1 i 2 A 2 ],...,[ A 2 ],...,[a...a ],[a...a ],...,[a ],[] i k 1 n i k 2 n n mit =q m q 1 q 0, q 2 q 1,a 1 q m q m 1,a n =w q m F a 1 L q.e.d. Beispiel: Idee: Zustände Nonterminale Transitionen Produktionen q 0 aq 1 bq 3 q 1 aq 3 bq 2 q 2 aq 1 bq 3 ε q 3 aq 3 bq 3 nicht produktiv: w *:q 3 *w.

8 Beispiel: G= {S, A }, {0, 1}, P, S mit P : S 0 A A 10 A NFA = {[S ],[0 A], [A ],[],[10 A]}, {0,1 },,[S ], {[ ]} [] L 3 =L,DFA=L, NFA.

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