Kapitel 1.1. Aussagenlogik: Syntax. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1

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1 Kapitel 1.1 Aussagenlogik: Syntax Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 1/ 1

2 Übersicht Die Sprache der Aussagenlogik Explizite vs. implizite Definitionen Syntaktische Induktion und Rekursion Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 2/ 1

3 1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 3/ 1

4 Die Sprache der Aussagenlogik: Symbole Die Grundzeichen (Symbole) der Sprache der Aussagenlogik (AL) sind: 1 Die Aussagenvariablen (AV): A 0, A 1, A 2,... 2 Die Junktoren: 1-stellig: (Negation) 2-stellig: (Konjunktion), (Disjunktion), (Implikation) und (Äquivalenz) 3 Die Klammersymbole: ( und ) Die Menge der Symbole der Sprache von AL bezeichnet man auch als das Alphabet dieser Sprache und bezeichnet diese mit A AL. (NB: Da es unendlich viele Aussagenvariablen gibt, ist A AL (abzählbar) unendlich.) Endliche Folgen von Symbolen aus einem Alphabet A bezeichnet man auch als endliche Zeichenreihen oder Wörter über dem Alphabet A. Die Menge aller Wörter über dem Alphabet A (einschließlich dem leeren Wort λ) bezeichnet man mit A. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 4/ 1

5 Die Sprache der Aussagenlogik: Formeln Die aussagenlogischen Formeln sind spezielle Wörter über dem Alphabet A AL der Aussagenlogik, die wie folgt induktiv definiert sind: INDUKTIVE DEFINITION. Die aussagenlogischen (al.) Formeln sind iduktiv definiert durch (F1) Jede Aussagenvariable A n (n 0) ist eine al. Formel. (F2) Ist ϕ eine al. Formel, so ist auch ϕ eine al. Formel. (F3) Sind ϕ 1 und ϕ 2 al. Formeln, so sind auch (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ) und (ϕ 1 ϕ 2 ) al. Formeln. Diese Definition ist so zu lesen: Die Menge der al. Formeln ist die kleinste Menge von Wörtern über A AL, die die Wörter aus F(1) (nämlich die Aussagenvariablen) enthält und gegen die Regeln (F2) und (F3) abgeschlossen ist. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 5/ 1

6 Formeln: Notation Die al. Formeln stellen natürlich mit Hilfe der durch die Junktoren symbolisierten Verknüpfungen gebildete zusammengesetzte Aussagen dar. Auf diese Bedeutung (Semantik) der Formeln werden wir aber erst im nächsten Abschnitt (1.2) eingehen. Hier wollen wir die Formeln zunächst weiter rein formal als Zeichenreihen (d.h. syntaktisch) etwas weiter untersuchen und einige später benötigte Begriffe bereitstellen. NOTATION: A, B, C,... stehen für Aussagenvariablen ϕ, ψ, χ, ϕ i,... stehen für al. Formeln DEFINITIONEN: l(ϕ) := Anzahl der Zeichen in ϕ (Länge von ϕ) lz(ϕ) := Anzahl der Junktoren in ϕ Weiter schreiben wir ϕ ψ, wenn ϕ und ψ identisch sind, d.h. als Wörter übereinstimmen. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 6/ 1

7 Formeln: Beispiele Beispiele al. Formeln sind: 1 ϕ 1 : A (Es gilt: l(ϕ 1 ) = 1 und lz(ϕ 1 ) = 0) 2 ϕ 2 : B (Es gilt: l(ϕ 2 ) = 4 und lz(ϕ 2 ) = 3) 3 ϕ 3 : (( A B) (A C)) (Es gilt: l(ϕ 3 ) = 15 und lz(ϕ 3 ) = 5) Nachweis der Formeleigenschaft für ϕ 3 : 1 A, B und C sind al. Formeln nach (F1). 2 Mit (F2) folgt, dass auch A und C Formeln sind. 3 Da also A und B al. Formeln sind, folgt mit (F3), dass ( A B) ebenfalls eine al. Formel ist, und analog folgt aus der Formeleigenschaft von A und C, dass (A C) eine al. Formel sind. 4 Mit einer weiteren Anwendung von (F3) auf ( A B) und (A C) folgt, dass ϕ 3 eine al. Formel ist. Keine al. Formeln sind z.b. die Wörter A, (A), (A B), A und (A. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 7/ 1

8 Formeln: Regeln zur Klammerersparnis Zur Verbesserung der Lesbarkeit von al. Formeln erlauben wir das Weglassen überflüssiger Klammern: K1 Äußere Klammern dürfen weggelassen werden. Z.B. A C (A C) K2 und binden stärker als und. Z.B. A B C (( A B) C) K3 Bei, und darf die Rechtsklammerung weggelassen werden. A B C : (A (B C)) A B C : (A (B C)) A B C : (A (B C)) NB: Die durch Weglassen von Klammern erhaltenen Formeln sind keine Formeln im eigentlichen Sinn sondern sind nur abkürzende Schreibweisen für die eigentlichen Formeln und sind implizit stets als die eigentlichen Formeln zu lesen. So gilt z.b. l( A B C) := l((( A B) C)) = 10 Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 8/ 1

9 Formeln: Induktion und Rekursion Da die Formeln induktiv definiert sind, lassen sich Eigenschaften der Formeln induktiv beweisen und Funktionen auf den Formeln entsprechend rekursiv definieren. Bevor wir dies im Einzelnen zeigen werden, gehen wir im nächsten Abschnitt kurz auf das Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen ein, das wir dann anwenden werden. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 9/ 1

10 1.1.2 Explizite vs. Implizite Definitionen: Das Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 10 / 1

11 Explizite Definitionen vs. implizite Definitionen (1) Bei einer expliziten Definition wird ein neues Konzept mit Hilfe bekannter Konzepte definiert. BEISPIEL. Die Definition der Primzahlen lässt sich auf den Begriff der Teilbarkeit und die auf den natürlichen Zahlen definierte Ordnung zurückführen: x ist Primzahl : x 2 und die einzigen Teiler von x sind 1 und x Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 11 / 1

12 Explizite Definitionen vs. implizite Definitionen (2) Bei einer impliziten (oder rekursiven) Definition eines neuen Konzepts darf dagegen (zusätzlich) auch auf das neue Konzept selbst zurückgegriffen werden. BEISPIEL. Die Summe von zwei natürlichen Zahlen wird durch folgende Rekursionsgleichung festgelegt, wobei S(x) = x + 1 der Nachfolger von x ist: x + 0 := x x + S(y) := S(x + y) Hierbei muss sichergestellt werden, dass die so gegebene Definition nicht zirkelhaft ist! Im gegebenen Beispiel folgt das aus dem Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 12 / 1

13 Induktionsprinzip auf N: Vollständige Induktion Die natürlichen Zahlen erfüllen das Prinzip der vollständigen Induktion: VOLLSTÄNDIGE INDUKTION (VI): Ist E eine Eigenschaft von natürlichen Zahlen, für die (i) E(0) (lies: E trifft auf 0 zu) und (ii) Für jede Zahl n, für die E(n) gilt, gilt auch E(n + 1). gilt, so trifft E auf alle natürlichen Zahlen zu. (Das Induktionsprinzip VI ist eines der Peano-Axiome, durch die die natürlichen Zahlen definiert sind. Wir werden hierauf im späteren Verlauf der Vorlesung noch zurückkommen.) Aus VI folgt, dass jede von 0 verschiedene Zahl der Nachfolger S(n) =n + 1 einer eindeutig bestimmten Zahl n ist. Hieraus ergibt sich, dass die auf der letzten Folie gegebene rekursive Beschreibung der Addition vollständig und eindeutig ist, also + durch die gegebenen Rekursionsgleichungen wohldefiniert ist. Für Anwendungen des Induktionsprinzip ist es nützlich, folgende äquivalente Charakterisierungen der vollständigen Induktion zu betrachten: Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 13 / 1

14 Varianten der vollständigen Induktion VERALLGEMEINERTE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION (VI ): Ist E eine Eigenschaft von natürlichen Zahlen, sodass für alle natürlichen Zahlen n (ii ) Gilt E(m) für alle m < n, so gilt auch E(n). gilt, so trifft E auf alle natürlichen Zahlen zu. MINIMUMSPRINZIP (MP): Gibt es eine natürliche Zahl mit Eigenschaft E, so gibt es eine kleinste natürliche Zahl mit Eigenschaft E. LEMMA. Die Prinzipien der vollständigen Induktion und der verallgemeinerten vollständigen Induktion sowie das Minimumsprinzip sind äquivalent: VI VI MP BEWEIS: s. Übungen Da VI in den natürlichen Zahl gilt, gelten also auch VI und MP ebenfalls. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 14 / 1

15 Beweise durch vollständige Induktion In einem Beweis durch vollständige Induktion weist man eine Aussage für alle natürlichen Zahlen dadurch nach, dass man diese zunächst für n = 0 nachweist (Induktionsanfang) und man dann - unter der Annahme, dass die Aussage für n gilt - diese für n + 1 nachweist (Induktionsschritt). Wegen VI ist dieses Vorgehen korrekt. Entsprechend weist man in einem Beweis einer Aussage durch verallgemeinerte vollständige Induktion die Aussage für beliebiges gegebenes n nach, wobei man davon ausgeht, dass die Aussage auf alle kleineren m zutrifft. Die Korrektheit folgt hier aus VI. Führen wir einen Beweis durch (erweiterte) vollständige Induktion, so kennzeichnen wir dies durch Ind(n). Wir kommen nun zur Aussagenlogik zurück und formulieren ein Induktionsprinzip für Formeln, dessen Korrektheit wir mit Hilfe der Induktionsprinzipien VI und VI für die natürlichen Zahlen nachweisen. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 15 / 1

16 1.1.3 Syntaktische Induktion und Rekursion Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 16 / 1

17 Induktion über den Formelaufbau (syntaktische Induktion) Aus dem Induktionsprinzip VI für die natürlichen Zahlen lässt sich folgendes Induktionsprinzip für al. Formeln beweisen. LEMMA (PRINZIP DER SYNTAKTISCHEN INDUKTION). Sei E eine Eigenschaft von al. Formeln, für die gilt: (i) E trifft auf jede Aussagenvariable A zu. (ii) Trifft E auf eine al. Formel ϕ zu, so auch auf ϕ. (iii) Trifft E auf al. Formeln ϕ 1 und ϕ 2 zu, so auch auf (ϕ 1 ϕ 2 )für =,,,. Dann trifft E auf alle al. Formeln zu. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 17 / 1

18 Beweis des Lemmas über die syntaktische Induktion (1) Zum Beweis des Lemmas sei E eine Eigenschaft von al. Formeln, für die (i) - (iii) gelte. Um zu zeigen, dass E auf alle al. Formeln ϕ zutrifft, definieren wir die folgende Eigenschaft E (n) : für alle al. Formeln ϕ der Länge n gilt E(ϕ) von natürlichen Zahlen und zeigen durch verallgemeinerte vollständige Induktion, dass E (n) für alle natürlichen Zahlen n gilt. Offensichtlich folgt hieraus dann, dass E auf alle al. Formeln zutrifft. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 18 / 1

19 Beweis des Lemmas über die syntaktische Induktion (2) Nachweis von E (n) durch Ind(n) (genauer: VI ): Nach Induktionsvoraussetzung dürfen wir E (m) für alle m annehmen. Nach Definition von E bedeutet dies aber gerade, dass E auf alle Formeln der Länge < n zutrifft. Nach Definition von E genügt es für eine gegebene al. Formel ϕ der Länge n zu zeigen, dass E(ϕ) gilt. Hierzu unterscheiden wir die folgenden Fälle gemäß der induktiven Definition der Formeln: ϕ A: Dann gilt E(ϕ), da nach (i) E(A) für alle AV A gilt. ϕ ψ: Dann gilt l(ψ) =l(ϕ) 1=n 1 < n. Nach I.V. gilt daher E(ψ). Da (ii) von E erfüllt wird, folgt hieraus aber E( ψ), d.h. E(ϕ). ϕ ϕ1 ϕ 2 ( =,,, ): Wegen l(ϕ 1 ), l(ϕ 2 ) < l(ϕ) =n folgt wiederum aus der I.V., dass E(ϕ 1 ) und E(ϕ 2 ) gelten. Die Behauptung folgt mit (iii). (Damit ist das Lemma bewiesen.) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 19 / 1

20 Beweise durch syntaktische Induktion Das Lemma über das Prinzip der syntaktischen Induktion besagt, dass wir eine Eigenschaft E für alle al. Formeln dadurch nachweisen können, dass wir zeigen, dass E die dort aufgelisteten Anforderungen (i) - (iii) erfüllt. Wir nennen solch einen Beweis einen Beweis durch Induktion nach dem Formelaufbau oder Beweis durch syntaktische Induktion und schreiben kurz Ind(ϕ). Wie der Beweis des Lemmas zeigt, ist ein Beweis durch syntaktische Induktion (Ind(ϕ)) ähnlich zu einem Beweis durch verallgemeinerte vollständige Induktion nach der Formellänge, wofür wir im Folgenden kurz Ind(l(ϕ)) schreiben werden. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 20 / 1

21 Beispiel BEHAUPTUNG. Für jede al. Formel ϕ gilt ( (ϕ) = ) (ϕ), wobei a (ϕ) die Anzahl der Vorkommen des Zeichens a in der Formel ϕ bezeichnet. BEWEIS durch Ind(ϕ): ϕ A: ( (A) = ) (A) =0 ϕ ψ: Nach I.V. gilt ( (ψ) = ) (ψ). Hieraus folgt: ( (ϕ) = ( ( ψ) = ( (ψ) = ) (ψ) = ) ( ψ) = ) (ϕ) ϕ (ϕ 1 ϕ 2 ) wobei =,,, : Nach I.V. gilt ( (ϕ i )= ) (ϕ i )für i =1, 2. Also: ( (ϕ) = ( ((ϕ 1 ϕ 2 )) = ( (ϕ 1 )+ ( (ϕ 2 )+1 = ) (ϕ 1 )+ ) (ϕ 2 )+1 = ) ((ϕ 1 ϕ 2 )) = ) (ϕ) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 21 / 1

22 Rekursive Definitionen: Beispiele (1) Wir können durch Induktion nach dem Formelaufbau auch Funktionen auf den al. Formeln definieren. Wir sprechen hier dann auch von Rekursion an Stelle von Induktion, also von syntaktischer Rekursion oder Rekursion nach dem Formelaufbau. Wir betrachten zunächst einige Beipiele (wobei stets =,,, gelte). 1 Die von uns bereits explizit definierten Funktionen l(ϕ) (Länge von ϕ) und lz(ϕ) (Anzahl der logischen Zeichen in ϕ) lassen sich alternativ durch Ind(ϕ) wie folgt definieren: l(a) =1 l( ψ) =l(ψ)+1 l((ϕ1 ϕ 2 )) = l(ϕ 1 )+l(ϕ 2 )+3 lz(a) = 0 lz( ψ) =l(ψ)+1 lz((ϕ1 ϕ 2 )) = lz(ϕ 1 )+lz(ϕ 2 )+1 Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 22 / 1

23 Rekursive Definitionen: Beispiele (2) 3 Rekursive Definition des Rangs ρ(ϕ) einer al. Formel ϕ (= Schachtelungstiefe der Junktoren in ϕ): ρ(a) = 0 ρ( ψ) =ρ(ψ)+1 ρ((ϕ 1 ϕ 2 )) = max(ρ(ϕ 1 ),ρ(ϕ 2 )) + 1 Beispiel hierzu: Der Rang von ϕ A B A B C ist 3. Nämlich: ρ(a) =ρ(b) =ρ(c) =0 ρ( B) =ρ(b) + 1 = = 1 und ρ(b C) = max(ρ(b),ρ(c)) + 1 = max(0, 0) + 1 = 1 ρ(a B) = max(ρ(a),ρ( B)) + 1 = max(0, 1) + 1 = 2 und ρ(a B C) =ρ((a (B C))) = max(ρ(a),ρ(b C)) + 1 = max(0, 1) + 1 = 2 ρ(ϕ) = max(ρ(a B),ρ(A B C)) + 1 = max(2, 2) + 1 = 3 Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 23 / 1

24 Rekursive Definitionen: Beispiele (3) 4 Die Menge V (ϕ) der in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen ist rekursiv definiert durch: V (A) ={A} V ( ψ) =V (ψ) V ((ϕ 1 ϕ 2 )) = V (ϕ 1 ) V (ϕ 2 ) 5 Die Menge TF (ϕ) der Teilformeln von ϕ ist rekursiv definiert durch: TF (A) ={A} TF ( ψ) =TF (ψ) { ψ} TF ((ϕ1 ϕ 2 )) = TF (ϕ 1 ) TF (ϕ 2 ) {(ϕ 1 ϕ 2 )} NB: Jede Formel ϕ ist eine Teilformel von sich selbst. Eine Teilformel ψ ist eine echte Teilformel von ϕ, wenn ψ eine Teilformel von ϕ ist und ψ ϕ gilt. (Die echten Teilformeln von ψ sind also die Teilformeln von ψ und die echten Teilformeln von (ϕ 1 ϕ 2 ) sind also die Teilformeln von ϕ 1 und die Teilformeln von ϕ 2.) Es gilt z.b. für ϕ A B C: TF (ϕ) ={A, B, C, B, B, B C,ϕ} (man beachte die implizite Rechtsklammerung: ϕ (A ( B C))) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 24 / 1

25 Rekursive Definitionen: Korrektheit Um zu zeigen, dass eine durch syntaktische Rekursion definierte Funktion f : F AL X wohldefiniert ist, muss man zeigen, dass die bei der Definition benutzte Fallunterscheidung erschöpfend ( f auf allen Formeln definiert) und eindeutig ( Wert von f auf jeder Formel eindeutig bestimmt) ist. Ersteres ergibt sich unmittelbar aus der induktiven Definition der al. Formeln. Letzteres folgt aus dem EINDEUTIGKEITSLEMMA. Sei ϕ eine al. Formel. Dann ist ϕ entweder (I) eine Aussagenvariable (= atomare Formel) oder (II) eine Negationsformel ϕ ψ für eindeutig bestimmtes ψ oder (III) eine Formel der Gestalt ϕ ϕ 1 ϕ 1 für eindeutig bestimmtes =,,, und eindeutig bestimmte Formeln ϕ 1 und ϕ 2. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 25 / 1

26 Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Hilfssatz Zum Beweis des Eindeutigkeitslemmas beweisen wir zunächst folgenden HILFSSATZ. Sei ϕ eine al. Formel und sei w ein endliche Zeichenfolge, sodass die Verkettung ϕw von ϕ und w wiederum eine al. Formel ist. Dann ist w die leere Zeichenfolge λ (d.h. ϕ ϕw). Der Beweis des Hilfssatzes erfolgt durch Ind(l(ϕ)): Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 26 / 1

27 Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweise des HS durch Ind(l(ϕ)) 1. ϕ A: Dann ist nach Annahme ϕw Aw eine al. Formel. Die einzigen al. Formeln, deren erstes Zeichen eine Aussagenvariable ist, sind jedoch die Aussagenvariablen selbst. Es muss daher Aw A - also w = λ - gelten. 2. ϕ ψ: Dann ist nach Annahme ϕw ψw eine al. Formel. Da eine Zeichenreihe v nur dann eine Formel ist, wenn auch v eine al. Formel ist, folgt dass ψw eine al. Formel ist. Nach I.V. gilt dann aber w = λ. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 27 / 1

28 Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweise des HS durch Ind(ϕ) (Forts.) 3. ϕ (ϕ 1 ϕ 2 ) (wobei {,,, }): Dann ist nach Annahme ϕw (ϕ 1 ϕ 2 )w eine al. Formel. Der Nachweis von w = λ ist indirekt: Widerspruchsannahme: w λ. Da jede mit ( beginnende Formel gemäß (F3) gebildet ist, also mit ) endet, und da nach Annahme (ϕ 1 ϕ 2 )w eine Formel ist, muss die nichtleere Zeichereihe w die Gestalt w ŵ) haben: ϕw (ϕ 1 ϕ 2 )ŵ) Da ϕw eine al. Formel ist und da jede mit ( beginnende Formel vom Typ (F3) ist, muss es einen Junktor ˆ und al. Formeln ˆϕ 1 und ˆϕ 2 geben mit ( ) (ϕ 1 ϕ 2 )ŵ) ϕw (ˆϕ 1 ˆ ˆϕ 2 ) (i) Es gilt dann ϕ 1 ˆϕ 1, da es wegen ( ) ein Wort w mit ϕ 1 ˆϕ 1 w oder ϕ 1 w ˆϕ 1 geben muss; nach I.V. (NB: l(ϕ 1 ), l(ˆϕ 1 ) < l(ϕ)) gilt dann aber w = λ. (ii) Aus ( ) und ϕ 1 ˆϕ 1 folgt unmittelbar: ˆ. (iii) Aus ( ) und ϕ 1 ˆϕ 1 ˆ ergibt sich schließlich ϕ 2 ˆϕ 2 wie in (i). Also: ϕ 1 ϕ 2 ˆϕ 1 ˆ ˆϕ 2 im Widerspruch zu ( ). (Ende Beweis HS) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 28 / 1

29 Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweis des Lemmas mit Hilfe des HS Offensichtlich hat ϕ genau eine der Gestalten (F1), (F2), (F3), da nach induktiver Definition der al. Formeln jede Formel eine dieser Gestalten hat und da sich die Formeln dieser Gestalten durch den ersten Buchstaben (A i bzw. bzw. () unterscheiden. Hat ϕ die Gestalt (F1) bzw. (F2), so ist die Aussagenvariable A i mit ϕ A i bzw. die Formel ψ mit ϕ ψ offensichtlich durch ϕ eindeutig bestimmt. Es genügt also zu zeigen, dass für ϕ vom Typ (F3) der Junktor und die Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 eindeutig bestimmt sind. Gelte also ( ) ϕ (ϕ 1 ϕ 2 ) (ˆϕ 1 ˆ ˆϕ 2 ). Zu zeigen: = ˆ und ϕ i ˆϕ i für i =1, 2. (i) ϕ 1 ˆϕ 1 : Wegen ( ) gibt es ein Wort w mit ϕ 1 ˆϕ 1 w oder ϕ 1 w ˆϕ 1. Nach dem Hilfssatz muss w aber das leere Wort sein. (ii) ˆ : Dies folgt unmittelbar aus (i) und ( ). (iii) ϕ 2 ˆϕ 2 : Wegen ( ), (i) und (ii) gibt es ein Wort w mit ϕ 2 ˆϕ 2 w oder ϕ 2 w ˆϕ 2. Nach dem Hilfssatz muss w aber das leere Wort sein. (Ende Beweis Eindeutigkeitslemma) Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax 29 / 1