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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Beweistechniken 1.1 Prädikatenlogik Direkter Beweis Indirekter Beweis Beweis durch Widerspruch Induktionsbeweis November / 6

2 1 Beweistechniken 1.1 Prädikatenlogik Oftmals ist es schwierig einen Sachverhalt direkt zu folgern oder zu beweisen. Zudem ist es praktisch unmöglich für Dritte Lösungswege nachzuvollziehen, die allein auf der intuitiven Lösung Einzelner beruhen. Aus diesem Grund ist es notwendig Beschreibungen sinnvoll in mathematischen Objekten fassen zu können. Ein Prädikat ist im Allgemeinen eine Beschreibung eines Umstands, der geeignet auf eine mathematische Aussage projeziert wird. Beispiel: Ein Student, der Mathe kann, wird keine Probleme mit linearer Algebra haben. Ein Student, der DS kann, sollte normalerweise Mathe können. Wer Mathe kann, schafft sein Informatikstudium. Dieser allgemein formulierte Text lässt sich hervorragend in ein Prädikatenlogisches Äquivalent transformieren: Dazu führt man folgende Bezeichnungen ein: Sei M(x) eine boolsche Aussagenfunktion(d.h M : X B), die den Umstand bezeichne, dass x Mathe kann. Sei dazu im Folgenden x S mit S = {s s ist Student}. In dieser Definition sieht man bereits zwei Anwendungen von Prädikaten: (1) als boolsche Funktion M, () zur mengentheoretischen Beschreibung von S. Um das Beispiel zu vervollständigen werden noch DS : S B, PLA : S B und Inf : S B eingeführt, wobei deren Bedeutung sei { 0 wenn x DS nicht kann DS(x) = 1 wenn x DS kann analog dazu PLA, Inf. Die textuellen Aussage lassen sich somit auf drei boolsche Ausdrücke projezieren: M(s) PLA(s) (1) DS(s) M(s) () M(s) Inf(s) (3) Dem aufmerksamen Leser wird schon an dieser Stelle aufgefallen sein, dass ein Student der DS kann, sein Informatikstudium schaffen wird, sowie keine Probleme mit linearer Algebra haben wird. Dem liegt das Prinzip einer Folgerungskette zu Grunde: (DS(s) M(s) M(s) Inf(s)) (DS(s) Inf(s)) In der bisherigen logischen Denkweise hat sich jedoch noch ein kleiner Denkfehler eingeschlichen. So wurde zwar bereits DS(s) Inf(s) gefolgert, dies ist allerdings nur bedingt korrekt. Dies liegt daran, da bislang noch keinerlei Aussagen darüber getroffen wurden für welche s z.b. DS(s) erfüllt ist. In der Logik gibt es dafür 3 Möglichkeiten: 1. November 011 / 6

3 Ferner gilt sowie Ausdruck Bedeutung x : A(x) für alle x ist die Aussage A(x) gültig. Ist nur angegeben, dassa(x) gilt,soist(i.a.)anzunehmen, dass x : x : A(x) erfüllt ist. Typische Fomulierungen für allgemeingültige Aussagen sind sei x beliebig, es gelte A(x) oder für x gelte A(x). Für alle x gilt A(x) ist demnach gleichbedeutend mit für ein beliebiges x gilt A(x). x : A(x) für mindestens ein (bestimmtes) x ist Aussage A(x) gültig. Typische Fragestellung: Gibt es ein x mit der Eigenschaft A(x)?!x : A(x) es gibt genau ein(und nur maximal ein) x für das A(x) erfüllt ist. ( x : A(x)) x : A(x) ( x : A(x)) x : A(x) Auf das obige Studentenbeispiel bezogen sind sämtliche Aussagen allgemeingültig und sollten dementsprechend mit einem Allquantor( ) formuliert werden. 1. Direkter Beweis Jedem Beweis liegt zu Grunde, dass es eine These(d.h. eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt gezeigt werden soll) gibt, die es zu beweisen gilt. Dazu kann man sich ein oder mehrer Prämissen(Vorraussetzungen) bedienen, die im Allgemeinen entweder schon bewiesene Thesen darstellen oder Axiome(d.h. als wahr definierte Sachverhalte). Um einen Sachverhalt direkt zu beweisen, nimmt man also eine Prämisse an und folgert deren Gültigkeit die Hypothese. Beispiel: Zu beweisen: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist eine gerade natürliche Zahl. Der erste Schritt besteht darin erst einmal den zu beweisenden Sachverhalt zu erkennen, sowie dessen Richtung. Umformuliert bedeutet die Aufgabenstellung soviel wie: Wenn x eine ungerade natürliche Zahl sei, dann ist x eine ungerade natürliche Zahl. Es ist dabei wichtig, die korrekte Beweisrichtung zu erkennen, denn die Aufgabenstellung bedeutet nicht Wenn x eine ungerade natürliche Zahl sei, dann ist x eine ungerade natürliche Zahl. In dem Beispiel wollen wir also direkt A(x) B(x) zeigen, wobei A(x) gleichbedeutend mit der Aussage x ist eine ungerade natürliche Zahl und B(x) bedeute, dass x eine ungerade natürliche Zahl sei. A(x) ( k N)[x = k +1] B(x) ( k N) [ x = k +1 ] 1. November / 6

4 Der Beweis erfolgt nun mittels einer Folgerungskette: A(x) ( k N)[x = k +1] ( k N) [ x = (k +1) ] ( k N) [ x = 4k +4k +1 ] ( k N) x = (k } {{ +k } )+1 :=l ( l N) [ x = l+1 ] Man beachte hierbei, dass und = zwar im Grunde diesselbe Bedeutung haben, aber dennoch unterschiedlich verwendet werden sollten. So wird verwendet um logische Äquivalenzen zu zeigen und = vor allem, wenn es um äquivalente Umformungen geht. So ist z.b. klar was bedeutet, während dies bei 1 < 4 = 1 < +1 1 < 4 = = 1 < +1 nicht der Fall ist. Die zweite Möglichkeit sollte auf keinen Fall in einem Beweis gewählt werden, da mathematisch nicht nachvollziehbar. Bei einem Beweis ist es zudem essentiell, Ausdrücke durch logische Operatoren zu verknüpfen. A B entspricht dabei der Gültigkeit von A B B A. Dies bedeutet, das eine Äquivalenz A B gezeigt wird durch Schlussfolgerung in die eine(a B) und die andere(b A) Richtung. 1.3 Indirekter Beweis Dem indirekten Beweis liegt zu Grunde, dass A B genau dann gilt, wenn B A erfüllt ist. In der Literatur finden sich nicht wirklich viele Beispiele bei denen ein indirekter Beweis in seiner Ursprungsform geführt wird. Oftmals wird nur ein Spezialfall durchgeführt, der Beweis durch Widerspruch. 1.4 Beweis durch Widerspruch Der Beweis durch Widerspruch ist dadurch gegeben, dass er im Wesentlichen einen indirekten Beweis darstellt. Doch zuerst einmal zum allgemeinen Prinzip: Wenn eine Aussage B zu zeigen ist, kann man dies bewerkstelligen indem man beweist, dass B zu einem Widerspruch führt. Denn wenn B nicht wahr ist, so muss ( B) = B nicht nicht wahr, also wahr sein. Nun kann es sein, dass man einen Sachverhalt unter Verwendung einer Prämisse A beweisen will, d.h. A B zeigen will. Es gilt allgemein (A B) ( A B) wie man durch Wahrheitstafeln verifiziert. Für die logische Grundstruktur eines indirekten Beweises ergibt sich also der Widerspruchsbeweis als Spezialfall wie folgt(unter der Anwendung der DeMorgan schen Formeln): ( B A) ( B A) (A B) 1. November / 6

5 Allgemein ist C genau dann wahr, wenn C falsch ist. Das bedeutet, dass A B nicht wahr sein muss. Ergo, da die Prämisse A als wahr angesehen wird, B einen Widerspruch darstellen muss. Dies ist äquivalent zu dem oben erwähnten Prinzip eines Widerspruchsbeweises. Beispiel: 5 ist nicht rational. Die Annahme B ist äquivalent zu der Aussage 5 ist nicht rational. B ist somit äquivalent zu 5 ist rational. Eine Zahl x ist genau dann rational, wenn teilerfremde(d.h. ggt(p,q) = 1) Zahlen p Z und q N existieren, für die gilt x = p oder mathematisch ausgedrückt q [( x Q ( p Z q N) x = p ) ] (ggt(p,q) = 1) q Der Beweis erfolgt nun durch [( ) ] 5 p 5 Q ( p Z q N) = (ggt(p,q) = 1) q ) ] ( p Z q N) [(5 = p (ggt(p,q) = 1) q ( p Z q N) [( 5q = p ) (ggt(p,q) = 1) ] ( k N) [ p = 5k ] 1.5 Induktionsbeweis ( k N)[p = 5k] ( k N) [ 5q = (5k) ] ( k N) [ q = 5k ] ( l N)[q = 5l] ggt(p,q) = 5 Widerspruch zur Annahme ggt(p,q) = 1! Ein weiterer häufiger Beweis, bzw. eher eine Beweisform ist ein Induktionsbeweis. Er stellt einen direkten Beweis dar und orientiert sich am Erzeugungsprinzip der natürlichen Zahlen. So lässt sich die Menge der natürlichen Zahlen intuitiv so beschreiben, das sie alle Zahlen umfasst, die durch Addition von 1 erzeugt werden können. D.h. N = {1,1+1,1+1+1, ,...} Kennt man eine natürliche Zahl, so lässt sich die nächstgrößere Zahl durch Addition von 1 erzeugen. Da man die 1 bereits kennt, kann man sich so jede beliebige natürliche Zahl sukzessiv erzeugen. Für eine tiefergehende theoretische Zahlenbeschreibung sei hierbei das Buch Zahlen von Ebbinghaus et al. empfohlen. Das Prinzip der vollständigen Induktion orientiert sich daran: Will man eine Aussage A(x) für alle x zeigen, so zeigt man deren Gültigkeit zuerst für den Fall x = 1 und folgert, dass wenn A(x) A(x + 1) erfüllt ist, die Gültigkeit von A(x). Die notwendigen Schritte erhalten dabei folgende Bezeichnungen: 1. November / 6

6 Abkürzung Name Fragestellung IV Induktionsvorraussetzung Was ist zu zeigen? Allgemeingültige Beschreibung der Aussage in Abhängigkeit einer Variablen n IA Induktionsanfang Von welchem n aus ist gesichert, dass für alle weiteren k > n die Aussage erfüllt ist? Beweis erfolgt hier für den Startwert von n IS Induktionsschluss Man nimmt an, dass die Aussage für n gilt. Es ist nun zu zeigen, dass daraus die Gültigkeit für den Fall n+1 folgt. Beispiel: Das klassische Beispiel zur Demonstration eines Induktionsbeweises ist der Beweis der Formel n N : k = (n+1)n auch bekannt als kleiner Gauß. Induktionsvoraussetzung: Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Formel zu zeigen. Mit und ist die Formel für den Fall n = 1 gezeigt. Induktionsschluss: Es wird die Gültigkeit von k = (n+1)n 1 k = 0+1 = 1 (1+1) 1 = = 1 für n angenommen. Für den Fall n+1 gilt: n+1 k = k = (n+1)n k +(n+1) = (n+1)n +(n+1) = (n+)(n+1) Somit ist der Induktionsbeweis komplett, die Aussage ist als erwiesen anzusehen. 1. November / 6

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