2 Logik. 2.1 Aussagen und Aussageformen

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1 Ein anderer Grundpfeiler der Mathematik neben der Mengenlehre ist die Logik, welche sich mit Aussagen, Verknüpfungen von Aussagen und deren Wahrheitsgehalt befaßt..1 Aussagen und Aussageformen In der Umgangssprache existieren verschiedene Arten von Sätzen, beispielsweise Fragen, Meinungen, Befehls- und Aussagesätze. Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Zu jeder Aussage A existiert eine gegenteilige Aussage, die Negation von A und wird mit den Symbolen A oder Ā bezeichnet und ist genau dann wahr, wenn A falsch ist und umgekehrt. Beispiel.1: (i) Aussagen sind die Sätze: Der Mond kreist um die Erde oder Frankfurt liegt an der Wolga. Keine Aussagen sind die Sätze: Schröder ist doof oder Küss mich oder Verstehst Du das. (ii) Von den Aussagen (i) Der Mond kreist um die Erde (ii) Frankfurt liegt an der Wolga (iii) Verdi komponierte mindestens ein Streichquartett (iv) Neun ist eine gerade Zahl sind (i) und (iii) wahr und (ii) und (iv) falsch. (iii) Die Negation der Aussage Frankfurt liegt an der Wolga ist Frankfurt liegt nicht an der Wolga. Sei A := Der Mond kreist um die Erde. Dann ist A = Der Mond kreist nicht um die Erde. Offenbar ist A wahr und A falsch. Sätze, die Variablen enthalten und erst dann zu Aussagen werden, wenn man den Variablen einen bestimmten Wert zuordnet, heißen Aussageformen. Sie werden üblicherweise mit einem großen lateinischen Buchtstaben für die Aussageform selbst, gefolgt von einem oder mehreren in Klammern gesetzten kleinen lateinischen Buchstaben für die Variablen bezeichnet. Die Menge aller Objekte, die in eine Aussageform eingesetzt werden dürfen, heißt Grundmenge der Aussageform; die Menge derjenigen Elemente der Grundmenge, für die die Aussageform wahr ist, heißt Lösungsmenge der Aussageform. Beispiel.: (i) Sei A(x) := x komponierte neun Symphonien und die dazugehörige Grund- 6

2 menge {Beethoven, Mahler, Haydn}.Dann steht A(Mahler) für die Aussage Mahler komponierte neun Symphonien. (ii) Sei G(x) := x> und die zu G(x) gehörige Grundmenge {1,, 3, 4, 5}. Dann ist {3, 4, 5} die Lösungsmenge von G(x).. Verknüpfungen von Aussagen Aussagen und Aussageformen können mit Hilfe sogenannter Boolscher Operatoren zu neuen, zusammengesetzen Aussagen bzw. Aussageformen verknüpft werden 1. Einer dieser Operatoren ist die sogenannte Konjunktion oder Und-Verknüpfung. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Formal wird die Konjunktion zweier Aussagen A und B durch den Ausdruck A B (sprich: A und B) beschrieben. Dagegen ist die Disjunktion A B (sprich: A oder B) zweier Aussagen A und B dann und nur dann wahr, wenn A, B oder A und B wahr sind. Sie wird daher auch als Oder- Verknüpfung bezeichnet. Es gilt (A B) = A B, (A B) = A B. Beispiel.3: Seien die Aussagen A und B wahr und die Aussage C falsch. (i) Dann ist A B wahr und B C falsch. Ferner ist A B wahr, B C wahr und C C falsch. (ii) Die Negation der Aussage Claudia ist schön und klug ist die Aussage Claudia ist nicht schön oder nicht klug. (iii) Die Negation der Aussage Claudia ist schön oder klug ist die Aussage Claudia ist weder schön noch klug. Ein weiterer Boolscher Operator ist die Implikation oder Folgerung. Sie wird für zwei Aussagen A und B durch den Ausdruck A B (sprich: aus A folgt B) beschrieben und ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Fällen ist sie wahr. Die Implikation A B ist also identisch zur Aussage A B. A heißt auch hinreichende Bedingung für B, dabeigültiger Implikation A B die Aussage B wahr sein muß, wenn A wahr ist, und B notwendige Bedingung für A, daa nur dann wahr sein kann, wenn B wahr ist. Die Äquivalenz A B zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A und B beide wahr oder beide falsch sind. Sie ist äquivalent (!) zum Ausdruck (A 1 benannt nach George Boole ( ), britischer Mathematiker 7

3 A B A B A B A B A B w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Tabelle.1: Wahrheitstafeln für Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz B) (B A). Wir benutzen häufig die Sprechweise dann und nur dann oder genau dann für die Äquivalenz. Man kann den Wahrheitsgehalt zusammengesetzer Aussagen in Abhängigkeit vom Wahrheitsgehalt der zugehörigen Einzelaussagen übersichtlich in sogenannten Wahrheitstafeln darstellen. In diesen werden als Tabelle alle Kombinationen von Wahrheitsgehalten der in die zusammengesetzte Aussage einfließenden einzelnen Aussagen dem sich ergebenden Wahrheitsgehalt der zusammengesetzten Aussage gegenübergestellt. In Tabelle.1 sind Wahrheitstafeln für die in diesem Abschnitt vorgestellten Verknüpfungen zusammengestellt. Beispiel.4: Die Wahrheitstafel zur Aussage A (B C) ist: A B C A (B C) w w w w w w f w w f w w w f f w f w w f f w f w f f w f f f f f.3 Quantifizierung von Aussageformen In Abschnitt.1 wurde gezeigt, wie Aussageformen zu Aussagen werden, indem man ein Element ihrer jeweiligen Grundmenge in sie einsetzt. Eine andere Art, Aussagen aus Aussageformen zu machen ist, diese zu quantifizieren. Sei im weiteren A(x) eine Aussageform mit der Grundmenge G und der Lösungsmenge L G. Dannsteht x. A(x) (sprich: es existiert ein x mit A(x)) für die Aussage, daß mindestens ein x G existiert, für welches A(x) wahr ist. Das Symbol heißt Existenzquantor. Ferner bedeutet x. A(x) (sprich: für alle x gilt A(x)), daß 8

4 A(x) für alle x G wahr ist. Das Symbol heißt entsprechend Allquantor. Man beachte, daß x. A(x) genau dann wahr ist, wenn L gilt, und daß x. A(x) genau dann wahr ist, wenn L = G gilt. Daraus folgt, daß x. A(x) wahr ist, falls x. A(x) wahr ist. In der Schreibweise der Logik ist das x. A(x) x. A(x). Bezüglich der Negation quantifizierter Aussageformen gelten die Regeln: x. A(x) x. A(x) x. A(x) x. A(x) Beispiel.5: (i) Sei A(x) := x > 3 eine Aussageform mit der Grundmenge G := {1,, 3, 4}. Dann ist x. A(x) eine wahre Aussage, da 4 > 3 wahr ist, und x. A(x)einefalsche Aussage, da beispielsweise 1 > 3 falsch ist. (ii) Die Verneinung der Aussage Alle Menschen sind sterblich ist Es gibt einen Menschen, der nicht sterblich ist. Die Negation der Aussage Es gibt einen Studenten, der alles versteht ist Für jeden Studenten gibt es etwas, das er nicht versteht..4 Definitionen, Lemmata, Sätze, Theoreme und Beweise Die Mathematik ist ein logisch aufgebautes Gedankengbäude. Ihre Sprache verwendet Begriffe und Strukturen, die zunächst definiert werden müssen. Wir haben bis hier schon viele Begriffe definiert, zuletzt z.b. den Allquantor. Kurze, einfache Definitionen werden in mathematischen Texten oft durch einfache Hervorhebungen im Text markiert. Längere und komplexere Definitionen werden meistens als solche hervorgehoben und fallen dadurch noch mehr auf. Mit Begriffen und Strukturen werden Aussagen gemacht. Unsere zuletzt gemachte Aussage mit zuvor definierten Begriffen war z.b. x. A(x) x. A(x). Mathematiker sortieren ihre Aussagen gerne nach ihrer Wichtigkeit. Dabei werden kleine, untergeordnete, oder Hilfsaussagen Lemma genannt, die meisten Aussagen nennt man Satz oder auf englisch proposition was gelegentlich fälschlich als Vorschlag übersetzt wird. Die wichtigsten Resultate in der Mathematik werden Theoreme genannt. Diese zu beweisen kann manchmal sehr schwierig und aufwendig sein. Großes Aufsehen in der mathematischen Fachwelt erregte z.b. der Beweis des letzten Schrittes von Fermat s berühmtem letzten Theorem, aufgestellt vom französischen Mathematiker Pierre de Fermat um das Jahr 1630 als Randnotiz in einem zahlentheoretischen Aufsatz mit dem Vermerk, daß ihm ein einfacher Beweis dafür 9

5 bekannt sei. Fermats letztes Theorem sagt aus, daß für n = 3, 4, 5,... keine ganzzahligen Lösungen ungleich 0 der Gleichung x n + y n = z n existieren. Der britische Mathematiker Andrew Wiles versetzte am 3. Juni 1993 die Fachwelt in große Aufregung, als er per verbreitete, diese berühmte Vermutung endgültig bewiesen zu haben. In der Tat war dies nur der letzte Schritt in einer über 350-jährigen Suche nach einem Beweis, an dem sich viele der bedeutensten Mathematiker unserer und auch früherer Zeiten beteiligten und die maßgeblich die moderne Geschichte der Mathematik mit geprägt hat. Auf dem Weg zum endgültigen Beweis wurden zahlreiche neue Gebiete der Mathematik entwickelt, von denen viele Mathematiker heute glauben, daß sie für sich genommen viel wichtiger sind, als Fermats ursprüngliche Behauptung selbst. Wirtschaftswissenschaftler im Gegensatz zu Mathematikern interessieren sich weniger für Beweise, also die internen Strukturen logischer Gedankengebäude, sondern mehr für die Anwendungen mathematischer Aussagen auf die reale Welt. Um dieses Ziel schneller erreichen zu können, werden auch in diesem Skriptum die meisten Beweise weggelassen. So sahen wir noch keinen Beweis bis hier. Auch Wirtschaftswissenschaftler sollten sich jedoch bewußt sein, daß das Weglassen und Ignorieren von mathematischen Beweisen verschiedene Gefahren in sich birgt. Zum Beispiel geht es auch dem Wirtschaftswissenschaftler oft um strukturelles Verständnis, wenn ökonomische Phänomene mit Hilfe von Modellen beschrieben und erklärt werden. Daher liegt ein Teil des Verständnisses des ökonomischen Phänomens in der verwendeten Struktur des mathematischen Modells. Der andere (ökonomische) Teil des Verständnisses drückt sich oft in der Wahl geeigneter Modell-Bestandteile und Annahmen aus. Beide Verständnisarten bedingen sich oft gegenseitig. Es ist kein Zufall, daß viele der berühmten Ökonomen unserer Zeit gleichzeitig hervorragende Mathematiker sind oder sogar von der Mathematik zur Ökonomie gekommen sind. Umgekehrt ist es schwierig, als angehender Ökonom an die Front aktueller Forschung in Ökonomie zu gelangen, ohne sich großzügig in der Welt der etablierten mathematischen Resultate zu bedienen. Es ist eine Kunst, sich für die relevanten mathematischen Strukturen zu interessieren und die weniger relevanten ökonomisch als black boxes zu benutzen auf dem Weg zu einem besseren ökonomischen Verständnis. Da wir im Folgenden gelegentlich exemplarisch Beweise vorführen, sei hier kurz auf einige der wichtigsten Beweis-Techniken des Mathematikers eingegangen. Als direkten Beweis bezeichnet man eine Kette von Implikationen, an deren Anfang die hineingesteckten Annahmen und an deren Ende die zu beweisende Behauptung steht. Beispiel.6: Seien a, b {0, 1,,...}, dann ist das geometrische Mittel a b stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel a+b. Der Beweis wurde schließlich publiziert als Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat s Last Theorem, Ann. Math. 141 (1995),

6 Beweis: a b a+b 4ab (a + b) 0 (a b), was stets wahr ist. Da für a, b {0, 1,,...} die Implikationen in beiden Richtungen gelten, gelten sie insbesondere alle rückwärts, also ist die am Anfang stehende Aussage wahr. Derindirekte Beweis beruht auf der logischen Äquivalenz (A B) = A B,die in Kap.. eingeführt wurde. Die Quantifizierung dieser logischen Äquivalenz ist x. A(x) x. A(x). Statt eines Beispiels hier, wird auf das folgende Kapitel verwiesen, wo wir indirekt oder durch Widerspruch beweisen werden, daß eine irrationale Zahl ist. Falls die zu beweisende Behauptung für alle natürlichen Zahlen n N zu zeigen ist, so kann sie mit Hilfe vollständiger Induktion bewiesen werden. Diese Beweismethode wird dem französischen Mathematiker Blaise Pascal ( ), einem Zeitgenossen von P. de Fermat, zugeschrieben. Die Aussage wird zunächst für eine Zahl n 0 N gezeigt. Die Zahl n 0 ist oft 0 oder 1. Man nennt sie den Induktionsanfang. Aus der Induktionsvoraussetzung, also der Annahme, die Behauptung gelte für n N, folgert man dann die Induktionsbehauptung, also die selbe Behauptung für n + 1 N. In dieser Folgerung, also diesem Teil des Beweises, liegt meistens die eigentliche Beweisidee, daher nennen wir ihn den Induktionsbeweis. Beispiel.7: (Gauss sche Summenformel 3 ) Es gilt n N: n(n +1) n =. (i) Induktionsanfang: 1 = 1. (ii) Induktionsvoraussetzung: Es gelte für n = k: k(k +1) k =. (iii) Induktionsbehauptung: Dann gilt für n = k + 1:. (iv) Induktionsbeweis: k +(k +1)= k +(k +1) = (k +1)(k +) k(k +1) +(k +1) 3 benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss ( ), vom dem die Legende sagt, daß er eine von seinem Lehrer gestellte Aufgabe, die Zahlen 1 bis 100 aufzuaddieren im Handumdrehen lösen konnte zu großen Verblüffung seines Lehrers und seiner Mitschüler. Gauss verwendete angeblich eine andere Idee. Statt die Zahlen sukzessive zu addieren rechnete er = ( ) + ( + 99) + + ( ) =

7 = k + k +k + (k +1)(k +) =. 1