Fachwissenschaftliche Grundlagen

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1 Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau 2. Vorlesung Roland Gunesch Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 1 / 21

2 Themen heute 1 Wiederholung: Aussagenlogik 2 Mengen 3 Aussageformen 4 Quantoren Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 2 / 21

3 Organisatorisches Organisatorisches Übungsaufgaben: Abgabe hier in der Vorlesung am Mittwoch oder Donnerstag (bis 12 Uhr). Teamarbeit in Gruppen (bis 4 Personen) ist erlaubt. Vorlesungsvideos: Werden produziert und Ihnen kostenlos zur Verfügung gestellt, sofern eine Person pro Vorlesung bereit ist, die Kamera zu führen (ganz einfach, keine Vorkenntnisse nötig). Freiwillige bitte melden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 3 / 21

4 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagen Wir befassen uns mit Aussagen, die wahr oder falsch sind. Andere Möglichkeiten existieren erst einmal nicht (tertium non datur). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4 / 21

5 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung und (Konjunktion) Die Verknüpfung a und b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn sowohl a als auch b wahr sind. Ansonsten falsch. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5 / 21

6 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung oder (Disjunktion) Die Verknüpfung a oder b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a, b wahr sind. Ansonsten falsch. Insbesondere gilt w w = w. Dies ist ein inklusives oder. Es gibt auch ein exklusives oder, geschrieben XOR, für das w XOR w = f gilt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6 / 21

7 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung impliziert (Implikation) Die Verknüpfung a impliziert b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a = b, ist immer wahr, auÿer wenn aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt. Insbesondere ist (f = w) eine korrekte Implikation, also wahr. Sprechweisen: Wenn a, dann b. b, wenn a. Aus a folgt b. b folgt aus a. a ist hinreichend für b. b ist notwendig für a. b ist mindestens so wahr wie a. a gilt höchstens dann, wenn b gilt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 7 / 21

8 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung ist äquivalent zu Die Verknüpfung a ist äquivalent zu b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn beide der Aussagen a, b wahr sind oder wenn sie beide falsch sind. Ansonsten ist die Äquivalenz falsch. Sprechweisen: a und b sind äquivalent. a gilt genau dann, wenn b gilt. a dann und nur dann, wenn b. Aus a folgt b und umgekehrt. a und b implizieren sich gegenseitig. a ist gleichbedeutend zu b. a ist genauso wahr wie b. a ist gleichwertig zu b. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8 / 21

9 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagenlogik: Das Gegenteil (Negation) Für eine Aussage a schreiben wir mit das Gegenteil: Wenn a wahr ist, ist a falsch und umgekehrt. Sprechweisen: nicht a, Gegenteil von a, Komplement von a a Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9 / 21

10 Wiederholung: Aussagenlogik Beweistechnik: Wahrheitstabelle Bei Verknüpfung von wenigen Aussagen ist es leicht möglich, alle auftretenden Fälle in einer Tabelle aufzuschreiben. Das ermöglicht z.b., die Äquivalenz von Aussagen zu zeigen, auch wenn diese aus langen Termen bestehen: Für jeden neuen Term fügen wir eine Spalte an die Tabelle an, bis wir alle Terme (insbesondere die ganze Aussage) in der Tabelle stehen haben. Dieses Verfahren ist einfach, zuverlässig und funktioniert immer. Bei einer Aussage hat die Tabelle 2 Zeilen, bei zwei Aussagen hat sie 4 Zeilen, bei drei Aussagen 8 Zeilen usw. Nachteil: Bei vielen verknüpften Aussagen sind viele Zeilen nötig. Es gibt noch andere Methoden, z.b. algebraische Umformungen gemäÿ bestimmter Gesetze (Distributivgesetz, usw.), die wir noch kennenlernen werden. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 10 / 21

11 Wiederholung: Aussagenlogik Aussagen mit Variablen Zunächst müssen wir die logischen Verknüpfungen, die wir kennen, wirklich verstehen. Danach werden wir Aussagen studieren, deren Wahrheitsgehalt von Variablen abhängig ist. Für Variablen benötigen wir Mengen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 11 / 21

12 Mengen Mengen (einfach dargestellt) Eine Menge ist eine Ansammlung von Objekten. Die Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 6: {1,2,3,4,5,6} Die Menge der beiden Worte ja und nein: Dies sind endliche Mengen. {ja, nein} Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 12 / 21

13 Mengen Unendliche Mengen Es gibt auch unendliche Mengen: Die Menge der natürlichen Zahlen: N = {1,2,3,4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null: Die Menge der ganzen Zahlen: N 0 = {0,1,2,3,4,...} Z = {0,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,...} Die Menge der rationalen Zahlen: { } p Q = q p Z, q N Es gibt auch die reellen Zahlen. Diese enthalten z.b. Wurzeln aus positiven ganzen Zahlen. Deren genaue Konstruktion wird z.b. in der Analysis gelehrt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 13 / 21

14 Aussageformen Aussageform Eine Aussageform ist eine Formulierung, die durch Einsetzen zu einer Aussage wird. Eine Aussageform ist eine von (einer oder mehreren) Variablen abhängige Aussage. Beispiele: x = 0 (in Z erfüllbar), x = x (in R allgemeingültig), x 2 < 0 (in R nicht erfüllbar). Wenn die Aussageform a von x abhängt, dann ist a(x) für jedes x eine Aussage. Es gibt einen (formalen) Unterschied zwischen a und a(x). Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 14 / 21

15 Aussageformen Beschreibung von Mengen Teilmengen kann man beschreiben mittels einer Grundmenge G und einer Aussageform a(.): bzw. kürzer geschrieben M = {x G a(x) ist wahr} M = {x G a(x)}. Beispiel: M = {x Z x 2 = 4}. Hier ist Z die Grundmenge und a(x) gegeben durch x 2 = 4. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 15 / 21

16 Aussageformen Äquivalenz von Aussageformen über einer Menge Wenn a(.) und b(.) zwei Aussageformen über derselben Menge G sind, dann heiÿen a(.) und b(.) äquivalent über der Menge G genau dann, wenn gilt {x G a(x)} = {x G b(x)}. Wir schreiben a(.) b(.) oder kurz a b. Beispiel: {x R x 1} = {x R 1 x 1}. Also sind die Aussageformen x 1 und äquivalent über der Menge R. 1 x 1 Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 16 / 21

17 Quantoren Quantoren: der Allquantor Allquantor : Wenn die Aussageform a(.) für alle Elemente der Grundmenge G erfüllt ist, heiÿt a(.) allgemeingültig. Wir schreiben x G : a(x) und sagen: Beispiel: Für alle x G gilt a(x). x R : 0 x = 0. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 17 / 21

18 Quantoren Quantoren: der Existenzquantor Existenzquantor : Wenn die Aussageform a(.) für mindestens ein Element der Grundmenge G erfüllt ist, heiÿt a(.) erfüllbar. Wir schreiben x G : a(x) und sagen: Beispiel: Es existiert ein x G mit a(x). x R : x 2 = 4. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 18 / 21

19 Quantoren Verschiedene Quantoren nicht vertauschen! Die Reihenfolge ist wichtig! Die Aussagen x G y G : a(x, y) und y G x G : a(x, y) sind im Allgemeinen nicht äquivalent. Beispiel: Die Aussage x R y R : x + y = 0 ist wahr. Aber die Aussage y R x R : x + y = 0 ist falsch. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 19 / 21

20 Quantoren Verschiedene Quantoren nicht vertauschen! Sie dürfen nicht einen Allquantor mit einem Existenzquantor vertauschen. Sie dürfen immerhin zwei (nebeneinander stehende) Allquantoren vertauschen. Und Sie dürfen zwei (nebeneinander stehende) Existenzquantoren vertauschen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 20 / 21

21 Quantoren Einige Fragen und Aussagen Der Äquivalenzpfeil sieht aus wie zwei Implikationspfeile. Wieso? Bei manchen Verknüpfungen dürfen a und b vertauscht werden. Bei welchen? Bei welchen nicht? Es gilt: [ (a b)] [( a) ( b)]. [ (a b)] [( a) ( b)]. [(a b) c] [a (b c)]. [(a b) c] [a (b c)]. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 21 / 21