Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14

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1 Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September 2013

2 Logik > Logik > logische Aussagen Logik

3 Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind z.b. Modellierung von Wissen (z.b. künstliche Intelligenz Auswertung von Datenbankanfragen Kontrollfluss von Computerprogrammen (if-then-else-konstrukte) Logikbauteile in der technischen Informatik (Hardware) Automatische Verifikation (automatisches Testen eines Systems auf dessen Funktionstüchtigkeit) Mathematische Beweise Korrektes Argumentieren

4 Logik > Logik > logische Aussagen logische Aussagen Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz oder Ausdruck, der entweder wahr (1) oder falsch (0) sein kann. Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen: Die Sonne scheint. Es ist hell. Der Tisch ist blau.

5 Logik > Logik > logische Aussagen Beispiel 2 Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen: 5 + 5, 3 2, 5 7 usw., da sie keine vollständige Ausdrücke sind, denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann. 15 ist eine schöne Zahl ( schön ist für Zahlen nicht definiert.)

6 Logik > Logik > logische Aussagen Beispiel 2 Fortsetzung Aufforderungen ( Lach mal! ) und Fragen ( Wie spät ist es? )

7 Logik > Logik > Aussagenlogik Aussagenlogik

8 Logik > Logik > Aussagenlogik Syntax und Semantik Definition (Syntax) Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige Formeln sind und welche nicht. So soll etwa (A B) eine gültige Zeichenreihe sein, wohingegen die Zeichenreihe ( A)B nicht erlaubt sein soll. Definition (Semantik) Die Semantik legt die Bedeutung einer Formel fest; also, ob eine Formel wahr oder falsch ist. Dies ist immer abhängig davon, ob die einzelnen atomaren Aussagen, aus denen eine Formel besteht, wahr oder falsch sind. Der Einfachheit halber belegen wir die Atome nur mit wahr (1) oder falsch (0), den sogenannten Wahrheitswerten.

9 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A,..., Z, A 1,... von Atomen (auch aussagenlogische Variablen genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den Atomen, den Junktoren,,,, und Klammern. Sie werden nach den folgenden Regeln aufgebaut: Definition Sowohl aussagenlogische Variablen, als auch 0 und 1, sind gültige Formeln. Beispiele: V Der Vorhang ist rot. K Der Koffer ist blau.

10 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Negation Definition (Negation) Ist A eine Formel, dann ist auch A (nicht A) eine Formel. Die Aussage A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. Beispiel: A Alle Kinder spielen gern. A Nicht alle Kinder spielen gern.

11 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Negation Definition (Negation) Ist A eine Formel, dann ist auch A (nicht A) eine Formel. Die Aussage A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. Wahrheitstafel: A A

12 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Konjunktion Definition (Konjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A und B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn sowohl die Aussage A, als auch die Aussage B, wahr sind. Beispiel: A Die Sonne scheint. B Der Wind weht stark. (A B) Die Sonne scheint und der Wind weht stark.

13 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Konjunktion Definition (Konjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A und B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B)

14 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Disjunktion Definition (Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Beispiel: V Der Vorhang ist rot. K Der Koffer ist blau. (V K) Der Vorhang ist rot oder der Koffer ist blau.

15 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Disjunktion Definition (Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Wahrheitstafel: A B (A B)

16 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Implikation Definition (Implikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Wenn A dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Beispiel: A Es regnet. B Die Straße ist nass. (A B) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.

17 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Implikation Definition (Implikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Wenn A dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B) Faustregel: Aus Wahrem kann man nur Wahres folgern - aus Falschem kann man alles folgern.

18 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Biimplikation Definition (Biimplikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A genau dann wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A und B beide falsch oder beide wahr sind. Beispiel: A Der Schornstein raucht. B Die Heizung ist an. (A B) Der Schornstein raucht genau dann, wenn die Heizung an ist.

19 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik Biimplikation Definition (Biimplikation) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: A genau dann wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn A und B beide falsch oder beide wahr sind. Wahrheitstafel: A B (A B)

20 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik ausschließende Disjunktion Definition (ausschließende Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Entweder A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. Beispiel: D Ich liege Montags um 10 Uhr im Bett und schlafe. L Ich besuche Montags um 10 Uhr die Vorlesung Lineare Algebra. (D L) Entweder liege ich Montags um 10 Uhr im Bett und schlafe oder besuche die Vorlesung Lineare Algebra.

21 Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik ausschließende Disjunktion Definition (ausschließende Disjunktion) Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A B) (sprich: Entweder A oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A B) ist wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist. A B (A B)

22 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Erfüllbare Formeln Definition (Erfüllbar) Eine aussagenlogische Formel, heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat. Beispiel: A B (A B)

23 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Tautologie Definition (Tautologie) Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung der Variablen wahr ist, heißt Tautologie (oder allgemeingültig). Beispiel: A A (A A)

24 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Kontradiktion Definition (Kontradiktion) Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung der Variablen 0 (falsch) ist, heißt Kontradiktion (oder unerfüllbar). Beispiel: A A (A A)

25 Logik > Logik > Noch mehr Definitionen Äquivalente Formeln Definition Seien α und β aussagenlogische Formeln. Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die Menge der Variablen, die in β vorkommen. Die Formeln α und β heißen äquivalent, wenn für jede Belegung der Variablen in M N die Wahrheitswerte von α und β übereinstimmen. Wir schreiben dann auch α β.

26 Logik > Logik > Rechenregeln Rechenregeln Seien A, B und C aussagenlogischen Formeln. Dann gilt: 1) A A 2) Kommutativgesetze: 3) Assoziativgesetze: 4) Distributivgesetze: (A B) (B A) (A B) (B A) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) C) ((A C) (B C)) ((A B) C) ((A C) (B C))

27 Logik > Logik > Rechenregeln Rechenregeln 2 5) De Morgan sche Gesetze: 6) (A B) ( A B) (A B) ( A B) (A 1) A (A 0) 0 (A A) A (A 1) 1 (A 0) A (A A) A 7) Absorptionsgesetze: (A (A B)) A (A (A B)) A

28 Logik > Logik > Rechenregeln noch Fragen??? Quelle Bild: fragezeichen.png