Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

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1 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel) Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert: 1 Alle atomaren Formeln sind Formeln 2 Für alle Formeln F und G sind (F G) und (F G) Formeln. 3 Für jede Formel F ist F eine Formel. Sprechweise: (F G): F und G, Konjunktion von F und G (F G): F oder G, Disjunktion von F und G F : nicht F, Negation von F Barbara König Logik 1 Barbara König Logik 35 Formel als Syntaxbaum Jede Formel kann auch durch einen Syntaxbaum dargestellt werden. Beispiel: F = ((A 4 A 1 ) A 3 ) Teilformel Die Teilformeln einer Formel F entsprechen dann den Teilbäumen. A 4 A4 A3 A3 A3 A1 A 1 A4 A1 A 3 A1 A4 A 3 A 4 A4 A3 A1 (A 4 A 1 ) A1 A4 A3 A 1 A 4 ((A 4 A 1 ) A 3 ) A3 A1 ((A 4 A 1 ) A 3 ) A1 A3 A4 A4 Barbara König Logik 36 Barbara König Logik 37

2 Semantik der (I) Semantik der (II) Die Elemente der Menge {0, 1} heißen Wahrheitswerte. Eine Belegung ist eine Funktion A: D {0, 1}, wobei D eine Teilmenge der atomaren Formeln ist. Wir erweitern A zu einer Funktion Â: E {0, 1}, wobei E D die Menge aller Formeln ist, die nur aus den atomaren Formeln in D aufgebaut sind. Â(A) = A(A) falls A D eine atomare Formel ist { 1 falls Â(F ) = 1 und Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 1 oder Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 0 Â((F )) = 0 sonst Wir schreiben A statt Â. Barbara König Logik 38 Barbara König Logik 39 Verknüpfungstafeln (I) Abkürzungen Berechnung von  mit Hilfe von Verknüpfungstafeln, auch Wahrheitstafeln genannt. Beobachtung: Der Wert Â(F ) hängt nur davon ab, wie A auf den den in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist. Tafeln für die Operatoren,, : A B A B A B A B A A A, B, C oder P, Q, R oder... statt A 1, A 2, A 3... (F 1 F 2 ) statt (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) statt ((F 1 F 2 ) (F 1 F 2 )) n ( F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) ( i=1 n F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) i=1 Barbara König Logik 40 Barbara König Logik 41

3 Verknüpfungstafeln (II) Tafeln für die Operatoren, : A B A B Name: Implikation, Folgerung Interpretation: Wenn A gilt, dann muss auch B gelten. A B A B Name: Äquivalenz, Biimplikation Interpretation: A gilt genau dann, wenn B gilt. Präzedenzen Präzedenz der Operatoren: Die Formel wird also wie folgt gelesen: bindet am schwächsten bindet am stärksten A B C D E (A ((B C) (D E))) Dennoch: Zusätzliche Klammern schaden im allgemeinen nicht Barbara König Logik 42 Barbara König Logik 43 Formalisierung natürlicher Sprache (I) Formalisierung natürlicher Sprache (II) Ein Gerät besteht aus einem Bauteil A, einem Bauteil B und einem roten Licht. Folgendes ist bekannt: Bauteil A oder Bauteil B (oder beide) sind kaputt. Wenn Bauteil A kaputt ist, dann ist auch Bauteil B kaputt. Wenn Bauteil B kaputt ist und das rote Licht leuchtet, dann ist Bauteil A nicht kaputt. Das rote Licht leuchtet. Formalisieren Sie diese Situation als aussagenlogische Formel und stellen Sie die Wahrheitstafel zu dieser Formel auf. Verwenden Sie dazu folgende atomare Formeln: RL (rotes Licht leuchtet), AK (Bauteil A kaputt), BK (Bauteil B kaputt) Gesamte Wahrheitstafel: (((AK BK) (AK BK)) RL AK BK ((BK RL) AK)) RL Barbara König Logik 44 Barbara König Logik 45

4 Modelle Gültigkeit und Erfüllbarkeit Sei F eine Formel und A eine Belegung. Falls A für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt A zu F passend. Sei A passend zu F : Falls A(F ) = 1 so schreiben wir A = F und sagen F gilt unter A oder A ist ein Modell für F Falls A(F ) = 0 so schreiben wir A = F und sagen F gilt nicht unter A oder A ist kein Modell für F Definition (Erfüllbarkeit) Eine Formel F heißt erfüllbar, falls F mindestens ein Modell besitzt, andernfalls heißt F unerfüllbar. Eine (endliche oder unendliche!) Menge von Formeln M heißt erfüllbar, falls es eine Belegung gibt, die für jede Formel in M ein Modell ist. (In diesem Fall sagt man auch, die Belegung ist ein Modell für die Menge M.) Definition (Gültigkeit) Eine Formel F heißt gültig (oder allgemeingültig oder Tautologie) falls jede zu F passende Belegung ein Modell für F ist. Wir schreiben = F, falls F gültig ist, und = F sonst. Barbara König Logik 46 Barbara König Logik 47 Aufgabe Aufgabe A A B A A A A A A A B A (B A) A (A B) A A Gültig Erfüllbar Unerfüllbar Gelten die folgenden Aussagen? Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann F unerfüllbar Wenn F gültig, dann F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann F gültig J/N Gegenb. Barbara König Logik 48 Barbara König Logik 49

5 Spiegelungsprinzip Ein Gültigkeitstest gültige Formeln erfüllbare, aber nicht gültige Formeln unerfüllbare Formeln Wie kann man überprüfen, ob eine Formel F gültig ist? Eine Möglichkeit: Wahrheitstafel aufstellen Angenommen, die Formel F enthält n verschiedene atomare Formeln. Wie groß ist die Wahrheitstafel? G F F G Anzahl Zeilen in der Wahrheitstafel: 2 n Geht es auch effizienter? Diese Frage wird im Laufe der Vorlesung beantwortet. Barbara König Logik 50 Barbara König Logik 51 Folgerung Folgerung: Beispiel Definition (Folgerung) Eine Formel G heißt eine Folgerung der Formeln F 1,..., F k falls für jede Belegung A, die sowohl zu F 1,..., F k als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell von {F 1,..., F k } ist, dann ist A auch Modell von G. Wir schreiben F 1,..., F k = G, falls G eine Folgerung von F 1,..., F k ist. (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK Wenn Bauteil A oder Bauteil B kaputt ist und daraus, dass Bauteil A kaputt ist, immer folgt, dass Bauteil B kaputt ist und dann kann man die Folgerung ziehen: das rote Licht leuchtet, Bauteil A ist nicht kaputt und Bauteil B ist kaputt. Barbara König Logik 52 Barbara König Logik 53

6 Aufgabe Folgerung, Gültigkeit und Unerfüllbarkeit M F Gilt M = F? A (A B) A (A B) A, B (A B) A, B (A B) (A B) A (A B) A A, (A B) B Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: 1 F 1,..., F k = G, d.h., G ist eine Folgerung von F 1,..., F k. 2 (( k i=1 F i) G) ist gültig. 3 (( k i=1 F i) G) ist unerfüllbar. Barbara König Logik 54 Barbara König Logik 55 Äquivalenz Aufgabe Gelten die folgenden Äquivalenzen? (Semantische) Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G. (A (A B)) A (A B) (A B) (A (B C)) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) (A C)) Barbara König Logik 56 Barbara König Logik 57

7 Die Hauptprobleme Reduktion von Problemen (I) Modellprüfung Sei F eine Formel und sei A eine passende Belegung. Gilt A(F ) = 1? Erfüllbarkeit Sei F eine Formel. Ist F erfüllbar? Gültigkeit Sei F eine Formel. Ist F gültig? Folgerung Seien F und G Formeln. Gilt F = G? Äquivalenz Seien F und G Formeln. Gilt F G? Welche Probleme lassen sich auf welche reduzieren? Gültigkeit (Nicht)Erfüllbarkeit: F gültig gdw. F nicht erfüllbar F erfüllbar gdw. F nicht gültig Gültigkeit = Folgerung: F gültig gdw. T = F (T ist beliebige gültige Formel) Folgerung = Gültigkeit: F = G gdw. F G gültig Barbara König Logik 58 Barbara König Logik 59 Reduktion von Problemen (II) Reduktion von Problemen (III) Unerfüllbarkeit = Folgerung: F unerfüllbar gdw. F = U (U ist beliebige unerfüllbare Formel) Folgerung = Unerfüllbarkeit: F = G gdw. F G unerfüllbar Gültigkeit = Äquivalenz: F gültig gdw. F T (T ist beliebige gültige Formel) Äquivalenz = Gültigkeit: F G gdw. F G gültig Bemerkung: Eine gültige Formel bezeichnet man manchmal auch mit 1, eine unerfüllbare Formel mit 0. Barbara König Logik 60 Barbara König Logik 61

8 Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole limboole limboole ist ein Tool, mit dem Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests für aussagenlogische Formeln durchgeführt werden können. Dieses Tool basiert auf einer Kombination des Davis-Putnam-Verfahrens zusammen mit Boolean Constraint Propagation. (Genau dieses Verfahren wird in der Vorlesung nicht vorgestellt, jedoch andere mögliche Verfahren.) Anders als andere Werkzeuge konvertiert limboole selbst die Eingabe in (konjunktive) Normalform. Es gibt noch zahlreicher andere Tools dieser Art, die normalerweise als SAT-Solver bezeichnet werden. Einige davon sind inzwischen auch effizienter als limboole. Barbara König Logik 62 Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole Eingabeformat für limboole limboole <-> -> &! limboole kann für eine Formel F sowohl überprüfen, ob sie gültig (valid) oder nicht gültig (invalid) ist als auch ob sie erfüllbar (satisfiable) oder unerfüllbar (unsatisfiable) ist. Bei einer nicht-gültigen Formel F wird eine Belegung A mit A(F ) = 0 ausgegeben, bei einer erfüllbaren Formel eine Belegung A mit A(F ) = 1. Barbara König Logik 63 Anwendung: Diagnose Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Um zu zeigen, dass F {}}{ (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK }{{} G gilt, überprüfen wir, ob F G gültig ist. Diese Formel sieht in limboole-syntax folgendermaßen aus: Aufgabe: Gegeben sind zwei Schaltkreise. Überprüfen Sie, ob diese Schaltkreise äquivalent sind, in dem Sinne, dass sie bei gleicher Eingabe die gleichen Ausgaben liefern. Diese Überprüfung soll mit Hilfe von limboole durchgeführt werden und nutzt die Tatsache, dass F G gdw. F G gültig ist. ((AK BK) & (AK -> BK) & ((BK & RL) ->!AK) & RL) -> (!AK & BK & RL) Barbara König Logik 64 Barbara König Logik 65

9 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Schaltkreis 1: Schaltkreis 2: X 1 Y 1 Nor X 1 Y 1 X 2 X 2 Y 2 Nor Y 2 Barbara König Logik 66 Barbara König Logik 67 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Formel S 1 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) (((X1 & Y1)!(X1 Y1)) & ((X2 & Y2)!(X2 Y2)) Formel S 2 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) (X1 & Y2 & X2 & Y1) (X2 & Y2 &!X1 &!Y1) (X1 & Y1 &!X2 & Y2) (!X2 &!X1 &!Y1 & Y2) Mit Hilfe von limboole lässt sich feststellen, dass die Formel S 1 S 2 nicht gültig ist, das heißt die Schaltkreise sind nicht äquivalent. Zusatzaufgabe: wie kann man mit Hilfe von limboole überprüfen, auf welchen Eingaben sich die beiden Schaltkreise unterscheiden? Barbara König Logik 68 Barbara König Logik 69

10 Eigenschaften der Äquivalenz Ersetzbarkeitstheorem Wir betrachten nun wieder die Äquivalenz auf Formeln. Sie hat folgende Eigenschaften: reflexiv: Es gilt F F für jede Formel F (jede Formel ist zu sich selbst äquivalent) symmetrisch: Falls F G gilt, so gilt auch G F transitiv: Falls F G und G H gilt, so gilt auch F H abgeschlossen unter Operatoren: Falls F 1 F 2 und G 1 G 2 gilt, so gilt auch (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ), (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ) und F 1 F 2. Die Abgeschlossenheit lässt sich auch folgendermaßen formulieren: Satz (Ersetzbarkeitstheorem) Seien F und G äquivalente Formeln (F G). Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H (H H ), wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Reflexive, symmetrische, transitive Relation Äquivalenzrelation Äquivalenzrelation + Abgeschlossenheit unter Operatoren Kongruenzrelation Barbara König Logik 70 Barbara König Logik 71 Äquivalenzen (I) Äquivalenzen (II) Satz Es gelten die folgenden Äquivalenzen: (F F ) F (F F ) F (Idempotenz) (F G) (G F ) (F G) (G F ) (Kommutativität) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) F F (Doppelnegation) (F G) (F G) (de Morgansche (F G) (F G) Regeln) (F G) F, falls F gültig (Tautologie- (F G) G, falls F gültig regeln) (F G) G, falls F unerfüllbar (Unerfüllbarkeits- (F G) F, falls F unerfüllbar regeln) Barbara König Logik 72 Barbara König Logik 73

11 Äquivalenzen Normalformen (I) Die Tautologie- und Unerfüllbarkeitsregeln können auch folgendermaßen geschrieben werden: (1 G) 1 (1 G) G (Tautologieregeln) (0 G) G (0 G) 0 (Unerfüllbarkeitsregeln) Daraus folgt unter anderem, dass 1 (= gültige Formel) das neutrale Element der Konjunktion und 0 (= unerfüllbare Formel) das neutrale Element der Disjunktion ist. Definition (Normalformen) Ein Literal ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel. (Im ersten Fall sprechen wir von einem positiven, im zweiten Fall von einem negativen Literal). Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist: F = ( n i=1 ( m i j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } {A 1, A 2, } Barbara König Logik 74 Barbara König Logik 75 Normalformen (II) Umformungsmethode (in KNF) Gegeben: eine Formel F. 1 Ersetze in F jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist: F = ( n i=1 ( m i j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } {A 1, A 2, } G durch G (G H) durch (G H) (G H) durch (G H) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. 2 Ersetze jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart (F (G H)) durch ((F G) (F H)) ((F G) H) durch ((F H) (G H)) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. Barbara König Logik 76 Barbara König Logik 77

12 Umformungsmethode (in KNF) Aufwand der Umformungsmethode Bei der Umwandlung einer Formel in KNF kann die Formel exponentiell größer werden. Beispiel: F = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A n B n ) (bestehend aus n Konjunktionen). Bei Umwandlung in KNF ergeben sich durch das Distributivgesetz 2 n Disjunktionen, da jede Kombination von Literalen (eines aus jeder Konjunktion) eine neue Disjunktion ergibt. F (A 1 A 2 A n ) (B 1 A 2 A n ) (A 1 B 2 A n )... Barbara König Logik 78 Mengendarstellung in KNF Klausel: Menge von Literalen (Disjunktion). {A, B} stellt (A B) dar. Formel: Menge von Klauseln (Konjunktion). {{A, B}, {A, B}} stellt ((A B) (A B)) dar. Die leere Klausel ist äquivalent zu einer unerfüllbaren Formel. Die leere Formel ist äquivalent zu einer gültigen Formel. Barbara König Logik 79 Ablesen aus Wahrheitstafel Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF A B C F DNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 1 wird eine Konjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A (A B C) (A B C) (A B C) KNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 0 wird eine Disjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) Barbara König Logik 80 Für Formeln in DNF gibt es einen einfachen Erfüllbarkeitstest. Erfüllbarkeitstest für Formeln in DNF Eine Formel in disjunktiver Normalform ist erfüllbar, genau dann wenn sie eine Konjunktion (L 1 L n ) enthält, in der jedes Literal entweder nur positiv oder nur negativ vorkommt. Das heißt, es gibt keine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A in dieser Konjunktion vorkommt. Beispiele: (A B C) (A B) (B B) ist erfüllbar, beispielsweise mit der Belegung A(A) = 1, A(B) = 1, A(C) = 0. (A B A) (A B A B C) (B B) ist nicht erfüllbar (= unerfüllbar). Barbara König Logik 81

13 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Für Formeln in KNF gibt es einen einfachen Gültigkeitstest. Gültigkeitstest für Formeln in KNF Eine Formel in konjunktiver Normalform ist gültig, genau dann wenn es in jeder vorkommenden Disjunktion (L 1 L n ) ein Literal gibt, das sowohl positiv als auch negativ vorkommt. Das heißt, es gibt in jeder Disjunktion eine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A vorkommt. Beispiele: (A B C) (A B) (B B) ist nicht gültig, beispielsweise erhält man 0 bei Auswertung unter der Belegung A(A) = 0, A(B) = 0, A(C) = 1. (A B A) (A B A B C) (B B) ist gültig. Barbara König Logik 82 Aufwand der Tests: Diese einfachen Erfüllbarkeits- bzw. Gültigkeitstests können durchgeführt werden, indem man einmal die Formel durchläuft. Das heißt, man benötigt nur lineare Zeit. Trotzdem erhält man dadurch keinen einfachen Erfüllbarkeitstest für Formeln in KNF und keinen einfachen Gültigkeitstest für Formeln in DNF. Dazu müsste man eine Formel in KNF erst in DNF umwandeln (oder umgekehrt), was exponentielle Zeit in Anspruch nehmen kann. Barbara König Logik 83 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Vollständigkeit von Operatormengen Das Problem, die Erfüllbarkeit einer beliebigen Formel (oder einer Formel in KNF) zu bestimmen ist auch als SAT-Problem (Satisfiability-Problem) bekannt. SAT ist NP-vollständig ( Berechenbarkeit und Komplexität ), was bedeutet, dass es (zur Zeit) keinen bekannten Polynomzeit-Algorithmus für dieses Problem gibt. Ob ein solcher Polynomzeit-Algorithmus existiert, ist ein offenes Problem. Es gibt jedoch einige Verfahren, die zumindest in vielen Fällen sehr effizient sind (z.b. limboole und das im folgenden besprochene sverfahren). Definition (Boolesche Funktionen) Eine Funktion der Form b : {0, 1} n {0, 1} heißt (n-stellige) Boolesche Funktion. Eine Formel F mit atomaren Formeln aus der Menge {A 1,..., A n } beschreibt eine Boolesche Funktion b F wie folgt: wobei A x1,...,x n b F (x 1,..., x n ) = A x1,...,x n (F ), eine Belegung ist, die A i mit x i {0, 1} belegt. Die n-stelligen Booleschen Funktionen entsprechen genau den Wahrheitstafeln mit n Spalten für atomare Formeln und einer Ergebnisspalte. Barbara König Logik 84 Barbara König Logik 85

14 Vollständigkeit von Operatormengen Daher gibt es genau 2 2n n-stellige Boolesche Funktionen bzw. Wahrheitstafeln mit n atomaren Formeln. Aufgabe: Stellen Sie alle 16 Wahrheitstafeln mit zwei atomaren Formeln auf, d.h., bestimmen Sie alle zweistelligen Booleschen Funktionen. Versuchen Sie, jeder Wahrheitstafel den Operator oder die Formel zuzuordnen, die sie beschreibt. Barbara König Logik 86 Vollständigkeit von Operatormengen Definition (Vollständigkeit) Eine Menge von Operatoren heißt vollständig, wenn man damit für jede Boolesche Funktion eine entsprechende Formel erstellen kann, die diese Funktion beschreibt. Die Operatormenge {,, } ist vollständig. Begründung: wie vorher beschrieben kann jede beliebige Wahrheitstafel in KNF bzw. DNF umgewandelt werden. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B (A B). Die Operatormenge {, } ist vollständig. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B A B. Barbara König Logik 87 Vollständigkeit von Operatormengen Vollständigkeit von Operatormengen Die Operatormenge {Nand} ist vollständig, wobei der Operator Nand wie folgt definiert ist: A Nand B = (A B). Begründung: A Nand A = (A A) A und (A Nand B) Nand (A Nand B) A B. Die Operatormenge {Nor} ist vollständig, wobei der Operator Nor wie folgt definiert ist: A Nor B = (A B). Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig. Begründung: Die Formel A kann nicht dargestellt werden. Falls eine Formel nur aus Operatoren der Form und besteht und der Wahrheitswert 1 eingesetzt wird, so erhält man wieder 1. Das ist aber bei A nicht der Fall. Die Operatormenge { } ist nicht vollständig. Begründung: wie oben. Man erhält jedoch Vollständigkeit, wenn man auch die Konstante 0 ( falsch ) zulässt. Dann gilt A 0 A und kann wie oben beschrieben mit Hilfe von und dargestellt werden. Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig (ohne Begründung). Barbara König Logik 88 Barbara König Logik 89

15 Endlichkeitssatz Endlichkeitssatz Beweis (Skizze): Definition (Erfüllbarkeit einer Menge) Wiederholung Eine Menge M von aussagenlogischen Formeln heißt erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung A gibt, die für alle Formeln in M passend ist und für die gilt A(F ) = 1 für alle F M. Endlichkeitssatz (compactness theorem) Eine Menge M von Formeln ist erfüllbar genau dann, wenn jede der endlichen Teilmengen von M erfüllbar ist. 1. Schritt: Zerlegung von M in Mengen M 1, M 2, M 3,..., wobei M i genau die Formeln von M enthält, die aus den atomaren Formeln A 1,..., A i bestehen. Es gilt: M 1 M 2 M 3... M = i=1 M i Problem: Jede Menge M i kann unendlich viele Formeln enthalten. (Beispielsweise könnte M 1 die Formeln A 1, A 1, A 1, A 1,... enthalten.) Da es jedoch höchstens 2 2i verschiedene i-stellige Boolesche Funktionen geben kann, kann man diese in endlich viele Äquivalenzklassen zusammenfassen. Barbara König Logik 90 Barbara König Logik 91 Endlichkeitssatz 2. Schritt: Wir zeigen nun, dass M erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge von M (insbesondere jede Menge M i ) erfüllbar ist. Sei A i eine erfüllende Belegung für M i. Wir konstruieren ein Modell A von M wie folgt: 1 Setze I := {1, 2, 3,... } 2 Stufe n > 0 (Wahrheitswert für A n wird festgelegt) Falls es unendlich viele Indizes i I gibt mit A i (A n ) = 1, dann setze A(A n ) = 1 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 0 gilt. Sonst: setze A(A n ) = 0 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 1 gilt. 3. Schritt: Zeige, dass A tatsächlich ein Modell für M ist. Endlichkeitssatz Bemerkungen zum Endlichkeitssatz: Der Beweis ist nicht-konstruktiv, er zeigt nur, dass es eine erfüllende Belegung A gibt, nicht wie man sie erhält. Aussagen der Form es gibt unendlich viele i I mit... können nicht in eine (mechanische) Konstruktion umgewandelt werden. Korollar: Wenn M eine unerfüllbare Menge ist, dann ist bereits eine endliche Teilmenge von M unerfüllbar. Die Bedeutung des Endlichkeitssatzes liegt vor allem in seinen Anwendungsmöglichkeiten im Bereich der (siehe 2. Kapitel der Vorlesung). Barbara König Logik 92 Barbara König Logik 93