Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:

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1 Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht aus einer einzigen Umformungsregel der sogenannten Resolution. Das gesamte Verfahren dient dazu, die Unerfüllbarkeit einer Formel in KNF zu testen und gegebenenfalls nachzuweisen. Das Verfahren ist einfach, aber auf Grund der NP Vollständigkeit des Erfüllbakeitsproblems man muß damit rechnen, daß das Verfahren für einige Eingaben exponentielle Laufzeit erfordert. Gegeben sei also ein KNF Term t = (l 1,1 l 1,2... l 1,n1 ) (l k,1 l k,2... l k,nk ) wobei alle l i,j {x 1, x 2,...} { x 1, x 2,...} Literale sind. Zur Vereinfachung wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren: K t = {{l 1,1, l 1,2,..., l 1,n1 },......, {l k,1, l k,2,..., l k,nk }} { Für jedes Literal l definieren wir l xi falls l = x = i x i falls l = x i Definition: Seien K 1, K 2 Klauseln und l ein Literal mit l K 1 und l K 2. Dann wird die Klausel R = (K 1 \ {l}) (K 2 \ { l}) ein Resolvent von K 1 und K 2 genannt. Zur Darstellung nutzt man die folgende Diagrammschreibweise: K 1 K 2 R {x 1, x 3, x 6 } {x 3, x 5 } {x 1, x 5, x 6 } Die leere Klausel wird explizit als Resolvent zugelassen. Sie wird durch das Symbol bezeichnet. Die leere Klausel gilt als nicht erfüllbar, also als eine Kontradiktion. Resolutions Lemma: Sei t ein Term in KNF, dargestellt als Klauselmenge K t und sei R ein Resolvent zweier Klauseln aus K t. Dann sind t und der durch K t {R} dargestellte Term t logisch äquivalent. Beweis: Eine Richtung in dieser Äquivalenz ist einfach zu zeigen: Wenn β : V B eine erfüllende Belegung für t ist, dann nimmt jede Klausel aus t unter β den Wert 1 an. Damit ist β aber auch erfüllende Belegung für t. 1

2 Für die Gegenrichtung ist eine etwas genauere Analyse notwendig. Wir nehmen an, dass β : V B eine erfüllende Belegung für t ist und wollen zeigen, dass dann auch alle Klauseln von t unter β den Wert 1 annehmen. Bis auf den Resolventen R folgt das aus der Voraussetzung. Um es auch für R zu zeigen, betrachten wir seine Entstehung R = (K \ {l}) (K \ { l}) wobei l K und l K und machen eine Fallunterscheidung danach, welchen Wert das Literal l unter der Belegung β hat: β(l) = 0: Die Klausel K kann nicht durch das Literal l den Wert 1 bekommen, also muss ein anderes Literal l in K auftreten, das unter β den Wert 1 hat. Dann ist l R und folglich nimmt R unter β den Wert 1 an. β(l) = 1, d.h. β( l) = 0: Die Klausel K kann nicht durch das Literal l den Wert 1 bekommen, also muss ein anderes Literal l in K auftreten, das unter β den Wert 1 hat. Dann ist l R und folglich nimmt R unter β den Wert 1 an. Definition: Für eine beliebige Klauselmenge K definiert man: Res(K) = K {R R ist Resolvent zweier Klauseln aus K} Res 0 (K) = K Res n+1 (K) = Res(Res n (K)) Res (K) = Res n (K) n=1 Beispiel: Sei K = Res 0 (K) = {{x 1, x 2, x 3 }, { x 1, x 4 }, {x 2, x 4 }}. Dann ist Res 1 (K) = K {{x 2, x 3, x 4 }, { x 1, x 2 }} Res 2 (K) = Res 1 (K) {{x 2, x 3 }} Res (K) = Res 2 (K) = {{x 1, x 2, x 3 }, { x 1, x 4 }, {x 2, x 4 }, {x 2, x 3, x 4 }, { x 1, x 2 }, {x 2, x 3 }} Man beachte, daß der durch die Klauselmenge K dargestellte Term t = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 ) (x 2 x 4 ) erfüllbar ist, denn jede Belegung β mit β(x 2 ) = β(x 4 ) = 1 ist erfüllend für t. Da eine endliche Klauselmenge K nur endlich viele Literale enthält, ist auch die Menge der ableitbaren Resolventen endlich (eine Untermenge der Potenzmenge 2

3 aller vorkommenden Literale). Folglich kann auch Res (K) in endlich vielen Schritten erzeugt werden, denn gilt Res n+1 (K) = Res n (K) für ein n N, dann ist Res (K) = Res n (K). So liefert der folgende Satz die Grundlage für ein endliches Verfahren, das die Nichterfüllbarkeit von Formeln (und Formelmengen) entscheidet. Resolutionssatz: Ein KNF-Term t, dargestellt durch die Klauselmenge K t ist genau dann unerfüllbar, wenn Res (K t ). Die Aussage, daß Res (K t ) die Unerfüllbarkeit von t impliziert, wird als Korrektheit des Resolutionskalküls bezeichnet. Sie läßt sich leicht aus der Beobachtung ableiten, daß nur Resolvent von zwei Klauseln der Form K = {l} und K = { l} sein kann. Da bereits l l nicht erfüllbar ist, folgt die Nichterfüllbarkeit von t aus dem Resolutionslemma (nach mehrfacher Anwendung). Die entgegengesetzte Implikation (aus der Unerfüllbarkeit von t folgt Res (K t )) wird Vollständigkeit des Resolutionskalküls genannt. Sie kann durch Induktion über die Anzahl der in t auftretenden Primformeln bewiesen werden. Wir verzichten an dieser Stelle auf den Beweis und verweisen auf das Buch Logik für Informatiker von Schöning. Der folgende Pseudocode beschreibt einen Algorithmus, der die Unerfüllbarkeit einer Formel t entscheidet, die durch eine Klauselmenge K gegeben ist: procedure resolution repeat J := K; K := Res(J ); until ( K) or (J = K); if K then return t ist unerfüllbar else return t ist erfüllbar ; Wie bereits angemerkt, kann auf Grund der Äquivalenz t ist genau dann Tautologie, wenn t unerfüllbar ist die Resolutionsmethode auch zum Tautologietest eingesetzt werden. Aber gerade wenn t bereits als KNF Term gegeben ist, wird es oft sehr aufwändig sein, t in eine äquivalente KNF Term zu verwandeln. Man kann aber die Resolutionsmethode sehr gut zum Tautologietest von DNF-Termen einsetzen, denn deren Negation ist nach Anwendung der De Morganschen Regel eine KNF. Ein häufig gemachter Fehler besteht darin, bei der Bildung eines Resolenten in einem Schritt gleich zwei Literale, die in den Klauseln K 1 und K 2 entgegengesetzt auftreten, zu streichen. Das würde z.b. dazu führen, dass man aus K 1 = {x 1, x 2 } und K 2 = { x 1, x 2 } die leere Klausel ableiten könnte. Das ist offensichtlich falsch, denn es gibt mit β(x 1 ) = 1 und β(x 2 ) = 0 eine erfüllende Belegung. 3

4 Man beachte, daß zum Beweis der Unerfüllbarkeit einer Formel nicht unbedingt alle Resolventen gebildet werden müssen. Es reicht aus, nur die Resolventen zu bilden, die bei der sogenannten Deduktion (Herleitung) von eine Rolle spielen. Beispiel: Sei K = {{x 1, x 2, x 3 }, { x 1, x 3 }, {x 2, x 3 }, { x 2 }}. Wir veranschaulichen die Deduktion der leeren Klausel durch einen sogenannten Resolutionsgraphen: { x 1, x 3 } {x 1, x 2, x 3 } { x 2 } {x 2, x 3 } {x 1, x 3 } 7 {x 3 } { x 3 } 3 Hornformel und Einheitsresolventen Definition: Variablen werden positive Literale genannt, ihre Negationen nennt man negative Literale. Eine KNF Term t wird Hornformel genannt, falls jeder Maxterm (Klausel) in t höchstens ein positives Literal enthält. Beispiel: Die folgende Formel ist eine Hornformel: t = (x 1 x 3 )( x 1 x 3 x 4 ) ( x 1 x 4 ) x 2 x 4 Eine besondere Eigenschaft der Klauseln einer Hornformel besteht darin, dass man Sie als spezielle Implikationen ohne negierte Variable schreiben kann. Wir unterscheiden dazu drei Fälle: Der Maxterm enthält mindestens ein negatives Literal und genau ein positives Literal y : s = x 1... x k y (x 1... x k ) y (x 1... x k ) y Der Maxterm enthält nur negative Literale: s = x 1... x k (x 1... x k ) 0 (x 1... x k ) 0 Der Maxterm besteht nur aus einem positiven Literal: s = y 0 y 1 y 1 y Ein Nachteil der Hornformeln liegt in ihrer eingeschränkten Ausdruckskraft, d.h. es gibt Boolesche Funktionen, die man nicht durch Hornformeln darstellen kann 4

5 (ein einfaches Beispiel ist die Disjunktion). Dafür kann man das Erfüllbarkeitsproblem für Hornformeln relativ leicht lösen. Grundlage für dieses Verfahren die folgenden drei Beobachtungen: 1. Wenn in jeder Klausel einer Hornformel t ein positives Literal auftritt, dann ist t erfüllbar (die erfüllende Belegung setzt alle Variable auf 1). 2. Wenn in jeder Klausel einer Hornformel t ein negatives Literal auftritt, dann ist t erfüllbar (die erfüllende Belegung setzt alle Variable auf 0). 3. Wenn eine Hornformel eine Klausel enthält, die nur aus einem positiven Literal x i besteht, dann muss x i in jeder erfüllenden Belegung von t den Wert 1 bekommen. Die algorithmische Idee besteht nun darin, schrittweise alle Variablen zu markieren, die in einer erfüllenden Belegung den Wert 1 annehmen müssen. Man markiert eine Variable x i also nur dann, wenn {x i } eine Klausel der aktuellen Formel ist. Wird x i irgendwann markiert, hat das zwei Konsequenzen (Beobachtung 3): 1) Alle Klauseln, die x i enthalten, sind automatisch erfüllt und werden deshalb gestrichen. 2) Alle negativen Literale x i können nicht mehr zur Erfüllung ihrer Klauseln beitragen, d.h. man streicht alle Vorkommen von x i (aber nicht die Klauseln selbst!). Entsteht bei diesem Prozess eine leere Klausel, dann ist die Hornformel nicht erfüllbar (Abbruch mit Antwort unerfüllbar), denn wir hatten davor eine Klausel {x i } - als Anlass für die Markierung - und eine Klausel { x i }, aus der nach der Streichung die leere Klausel entstanden ist. Es gibt zwei weitere Abbruchbedingungen für den Algorithmus, nämlich wenn alle Klauseln gestrichen wurden (erfüllbar) und wenn keine weitere Klausel der Form {x j } existiert (erfüllbar nach Beobachtung 2). Man kann die Idee für den Markierungsalgorithmus auch auf einen speziellen Resolutionskalkül für Hornformeln übertragen. Dabei wird auf das Streichen der erfüllten Klauseln verzichtet, d.h. es gibt wie bisher nur die Abbruchbedingungen, dass man die leere Klausel deduzieren kann oder dass man keine neuen Resolenten bilden kann. Der Unterschied zum vorher beschriebenen Resolutionskakül besteht aber darin, dass man für unerfüllbare Hornformeln die leere Klausel herleiten kann, indem man ausschließlich Resolventen aus einer positiven Klausel {x i } mit einer anderen Klausel bildet. Definition: Sei K die Klauselmenge einer Hornformel. Ein Resolvent R aus den Klauseln K i, K j K wird Einheitsresolvent genannt, falls K i = 1 oder K j = 1. Analog zu Res(K) und Res (K) definieren 1 Res(K) und 1 Res (K) bezüglich der Einheitsresolution. 5

6 Satz: Eine durch die Klauselmenge K dargestellte Hornformel ist genau dann unerfüllbar, wenn 1 Res (K). Da die Einheitsresolution die Länge der Klauseln ständig verkürzt, ist diese Methode (für Hornklauseln!) besonders effizient. Hornformeln und der Markierungsalgorithmus sind eine wichtige Grundlage von logischen Programmiersprachen, insbesondere von der Sprache PROLOG. 6