Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1

2 Bis jetzt Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Normalformen Konjunktive Normalform (KNF): Disjunktive Normalform (DNF): 2

3 Bis jetzt Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Teilklassen des Erfüllbarkeitsproblems k-knf: Theorem Erfüllbarkeit für Formeln in KNF: NP-vollständig (ohne Beweis) Erfüllbarkeit für Formeln in 3-KNF (3-SAT): NP-vollständig Erfüllbarkeit für Formeln in DNF: polynomiell entscheidbar Erfüllbarkeit für Formeln in 2-KNF (2-SAT): polynomiell entscheidbar (heute) Horn Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. 3

4 Bis jetzt Der aussagenlogische Resolutionkalkül Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform Eine einzige Regel Operiert auf Klauseln (in Mengenschreibweise) 4

5 Resolutionskalkül Definition: Resolutionsregel (einzige Regel des Kalküls) wobei C 1 {P} { P} C 2 C 1 C 2 P eine aussagenlogische Variable C 1,C 2 Klauseln (können leer sein) Definition: C 1 C 2 heißt Resolvente von C 1 {P},C 2 { P} 5

6 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } 6

7 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 7

8 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 Auf diese Weise ist nicht herleitbar 8

9 Ohne Mengenschreibweise Resolutionsregel: C 1 P P C 2 C 1 C 2 Faktorisieren: C L L C L 9

10 Resolution mit Faktorisierung Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (mit Faktorisieren) P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 1 P P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 10

11 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 }, {P 1, P 2 }, { P 1,P 2 }, { P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } Insgesamt: M Res also: M unerfüllbar 11

12 Resolution Ziele: Formalisieren, was M Res bedeutet Zeigen, dass M Res gdw. M unerfüllbar. 12

13 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F } 13

14 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F } Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) 14

15 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F } Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = S n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) 15

16 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F } Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = S n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. 16

17 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F } Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = S n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. Definition: Beweis für C (aus F): C 1,... C n, wobei: C n = C und für alle 1 i n: (C i F oder C i Resolvente für C j 1 C j2 C i j 1,j 2 <i). mit 17

18 Resolution: Korrektheit Theorem Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. 18

19 Resolution: Korrektheit Theorem Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Beweis: Annahme: M Res. Zu zeigen: M unerfüllbar. Widerspruchsbeweis: wir zeigen, dass ein Widerspruch entsteht, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Wir nehmen an, dass M erfüllbar. Sei A : Π {0,1} mit A(C) = 1 für alle C M. Lemma: C 1 P, C 2 P = C 1 C 2 Beweis: Sei A Interpretation mit A(C 1 P) = 1 und A(C 2 P) = 1. Zu zeigen: A(C 1 C 2 ) = 1 Fall 1: A(C 1 ) = 1. Dann A(C 1 C 2 ) = 1. Fall 2: A(C 1 ) = 0. Dann A(P) = 1. Da A(C 2 P) = 1, so A(C 2 ) = 1, d.h. A(C 1 C 2 ) = 1. 19

20 Resolution: Korrektheit Theorem Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Beweis: Annahme: M Res, i.e. Res n (M) Zu zeigen: M unerfüllbar. Widerspruchsbeweis: wir zeigen, dass ein Widerspruch entsteht, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Wir nehmen an, dass M erfüllbar. Sei A : Π {0,1} mit A(C) = 1 für alle C M. Lemma: C 1 P, C 2 P = C 1 C 2 Induktion: Fur alle m N gilt: Falls D Res m (M), so A(D) = 1. Da Res n (M), A( ) = 1. Widerspruch! 20

21 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Beweis: Induktion: p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen. Falls M unerfüllbar, so M Res 21

22 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Beweis: Induktion: p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen. Falls M unerfüllbar, so M Res Induktionsbasis: n = 0. dann M = { }, d.h. M Res 22

23 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Beweis: Induktion: p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen. Falls M unerfüllbar, so M Res Induktionsbasis: n = 0. dann M = { }, d.h. M Res Induktionsschritt: Annahme: p(n) gilt. Beweise p(n + 1). Sei M Menge von Klauseln mit Aussagenvariablen {P 1,...,P n,p n+1 }. M 0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch M 1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch 23

24 Resolution: Vollständigkeit M 0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht M 1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht Fakten: M 0, M 1 enthalten nur Aussagenvariablen {P 1,..., P n } M 0, M 1 unerfüllbar 24

25 Resolution: Vollständigkeit M 0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht M 1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht Fakten: M 0, M 1 enthalten nur Aussagenvariablen {P 1,..., P n } M 0, M 1 unerfüllbar Induktionsvoraussetzung: M 0 Res, i.e. es gibt C 1, C 2,..., C m Beweis (aus M 0 ) für M 1 Res, i.e. es gibt D 1, D 2,..., D k Beweis (aus M 1 ) für 25

26 Resolution: Vollständigkeit M 0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht M 1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht Fakten: M 0, M 1 enthalten nur Aussagenvariablen {P 1,..., P n } M 0, M 1 unerfüllbar Induktionsvoraussetzung: M 0 Res, i.e. es gibt C 1, C 2,..., C m Beweis (aus M 0 ) für P n+1 zurück: C 1, C 2,..., C m Beweis (aus M) für oder P n+1 M 1 Res, i.e. es gibt D 1, D 2,..., D k Beweis (aus M 1 ) für P n+1 zurück: D 1, D 2,..., D k Beweis (aus M) für oder P n+1 26

27 Resolution: Vollständigkeit M 0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht M 1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von P n+1 durch : - P n+1 wird aus allen Klauseln gelöscht, - Klauseln, die P n+1 enthalten werden ebenfalls gelöscht Fakten: M 0, M 1 enthalten nur Aussagenvariablen {P 1,..., P n } M 0, M 1 unerfüllbar Induktionsvoraussetzung: M 0 Res, i.e. es gibt C 1, C 2,..., C m Beweis (aus M 0 ) für P n+1 zurück: C 1, C 2,..., C m Beweis (aus M) für oder P n+1 M 1 Res, i.e. es gibt D 1, D 2,..., D k Beweis (aus M 1 ) für 9 >= >; M Res P n+1 zurück: D 1, D 2,..., D k Beweis (aus M) für oder P n+1 27

28 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Es gilt auch: Theorem. Für jede Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. 28

29 2-SAT Theorem Erfüllbarkeit für Formeln in 2-KNF (2SAT) ist polynomiell entscheidbar Beweis (Krom, 1967) Fall 1: Für jede Aussagenvariable P, entweder enthalten alle Klauseln P oder P: erfüllbar. Fall 2: Es gibt Klauseln C 1 = L 1 P, C 2 = L 2 P Resolutionschritt; Resolvente L 1 L 2 (Mengennotation) Fakt: Resolventen sind immer auch in 2-KNF. Wenn F n Aussagenvariablen enthält, gibt es 2n mögliche Literale, und 4n 2 nicht-leere verschiedene 2-KNF Klauseln. F ist erfüllbar gdw. Res (F) Wenn wir Res (F) berechnen: nicht mehr als (4n 2 ) 2 Resolutionsschritte notwendig. Erfüllbarkeit von F ist polynomiell entscheidbar. 29