Logik für Informatiker

Transkript

1 Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1

2 Letzte Vorlesungen Prädikatenlogik: Syntax Semantik lgorithmische Probleme Gültigkeit(F): = F? (Σ fest) rfüllbarkeit(f): F erfüllbar? (Σ fest) Kalküle s gibt korrekte und vollständige Kalküle für Prädikatenlogik (z.b. Resolution) ber diese Kalküle können die rfüllbarkeit von Formeln NICHT entscheiden 2

3 Unser Ziel Kalküle zur systematischen Überprüfung von rfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 3

4 Unser Ziel Kalküle zur systematischen Überprüfung von rfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Heute: Normalformen, Skolemisierung Klauselnormalform Herbrandmodelle 4

5 Negationsnormalform Definition. ine Formel F For Σ ist in Negationsnormalform (NNF), falls:, kommen in F nicht vor jedes Negationszeichen in F steht direkt vor einem tom (insbes. auch kein ) Beispiele: NNF: P, P, ( P Q) (R (Q P)) p(x,y) q(y) nicht NNF: P, (P Q) p(x,y) q(x) 5

6 Bereinigte Formeln Definition. ine Formel F For Σ ist bereinigt, falls: Keine Variable in F sowohl gebunden als auch frei vorkommt Keine Variable mehr als einmal in F quantifiziert ist Beispiele: Bereinigt P Q x Nicht bereinigt y(p(x) q(x,y) z r(x,z)) p(x) ( x q(x) x p(x)) ( x q(x)) 6

7 Pränexe Normalform Definition: Pränexe Formeln sind von der Form Q 1 x 1... Q n x n F, wobei F quantorenfrei, Q i {, }. Hierbei heißt Q 1 x 1... Q n x n der Quantorenpräfix und F die Matrix der Formel. Beispiele In Pränexnormalform p(x) q(x) x y (p(x) q(y)) Nicht in Pränexnormalform ( x p(x)) ( y q(y)) 7

8 Pränexe Normalform Theorem. Zu jeder Formel F For Σ gibt es eine äquivalente Formel in Pränexnormalform Konstruktiver Beweis Formel bereinigen Formel in NNF transformieren (Negationszeichen nach innen) F F aussagenlogische Umformungen lle Quantoren nach vorne (Reihenfolge unverändert lassen) 8

9 Beispiel ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) z r(z, x, y)) 1. Bereinigung F F 1 := ( x ((p(x ) q(x, y)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(z, x, y)) 9

10 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) 1. Bereinigung F F 1 := ( x ((p(x ) q(x, y)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(z, x, y)) 2. NNF F 1 ( =: F 2 x ((p(x ) q(x, y)) x ((p(x ) q(x, y)) x ( (p(x ) q(x, y)) x (( p(x ) q(x, y)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z )) ((p(z) q(x, z)) z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) (DeMorgan) (De Morgan) 10

11 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) 1. Bereinigung F F 1 := ( x ((p(x ) q(x, y)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(z, x, y)) 2. NNF F 1 ( =: F 2 x ((p(x ) q(x, y)) x ((p(x ) q(x, y)) x ( (p(x ) q(x, y)) x (( p(x ) q(x, y)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z ))) ((p(z) q(x, z)) z r(x, y, z )) ((p(z) q(x, z)) 3. lle Quantoren nach vorne Pränexnormalform F 2 z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) z r(z, x, y)) x z z (( p(x ) q(x, y)) r(x, y, z )) ((p(z) q(x, z)) r(z, x, y)) {z } Pränexnormalform von F (DeMorgan) (De Morgan) 11

12 Pränexe Normalform Theorem. Zu jeder Formel F For Σ gibt es eine äquivalente Formel in Pränexnormalform Direkter Beweis: Strukturelle Induktion Induktionsbasis:, und jede atomare Formel F = q(t 1,..., tn) sind in Pränexnormalform, d.h. sind äquivalent zu einer Formel in Pränexnormalform. Sei F eine Formel, die nicht, und nicht atomar ist. Induktionsvoraussetzung (I.V.): Jede Teilformel G von F (G F) ist äquivalent zu einer Formel in Pränexnormalform. Induktionsschritt: Zu zeigen: F äquivalent zu einer Formel in Pränexnormalform. Fall 1: F = G I.V. (Q 1 x 1... QnxnG ) Q 1 x 1... Qnxn G (wobei =, = ). Fall 2: F = G 1 G 2 I.V. (Q 1 x 1... QnxnG 1 ) (Q 1 y 1... Q m y mg 2 ) (Bereinigung) (Q 1 x 1... Q nx n G 1 [x i /x i ]) (Q 1 y 1... Q m y m G 2 [y i /y i ]) Q 1 x 1... Q nx n Q 1 y 1... Q m y m (G 1 [x i /x i ] G 2 [y i /y i ]) Fall 3,4,5: F = G 1 opg 2 (op {,, }) analog (Quantoren nach vorne) (Pränexnormalform) Fall 6: F = xg I.V. x(q 1 x 1... QnxnG ) (Pränexnormalform) Fall 6: F = xg analog 12

13 Pränexe Normalform Theorem. Zu jeder Formel F For Σ gibt es eine äquivalente Formel in Pränexnormalform Konstruktiver Beweis Formel bereinigen Formel in NNF transformieren (Negationszeichen nach innen) F F aussagenlogische Umformungen lle Quantoren nach vorne (Reihenfolge unverändert lassen) 13

14 Pränexe Normalform Äquivalenzbeweis Folgt aus: F F F F ussagenlogische Umformungen zur Berechnung der NNF: Äquivalenzerhaltend Falls x nicht in G vorkommt: ( ( ( ( xf) G xf) G xf) G xf) G x(f G) x(f G) x(f G) x(f G) 14

15 Pränexe Normalform lternatives Verfahren (ohne Bereinigung, ohne NNF) Herstellung von pränexer Normalform durch P : (F G) P (F G) (G F) QxF P Qx F ( Q) (QxF ρ G) P Qy(F[y/x] ρ G), y neu, ρ {, } (QxF G) P Qy(F[y/x] G), y neu (F ρ QxG) P Qy(F ρ G[y/x]), y neu, ρ {,, } Hierbei ist Q der zu Q duale Quantor, d.h. = und =. 15

16 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) 16

17 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) P x ((p(x ) q(x,y)) z r(x,y,z)) ((p(z) q(x,z)) 17

18 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) P P x ((p(x ) q(x,y)) x ( z r(x,y,z)) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z ))) ((p(z) q(x,z)) 18

19 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) P P P x ((p(x ) q(x,y)) x ( x z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z ))) ((p(z) q(x,z)) z (((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z ))) ((p(z) q(x,z)) z r(z, x,y) 19

20 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) P P P P x ((p(x ) q(x,y)) x ( x x z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z ))) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x, y)) r(x,y,z )) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x, y)) r(x,y,z )) z ((p(z) q(x,z)) r(z,x,y 20

21 Beispiel F := ( x((p(x) q(x,y)) z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) P P P P P x ((p(x ) q(x,y)) x ( x x x z r(x,y,z))) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z ))) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x, y)) r(x,y,z )) ((p(z) q(x,z)) z ((p(x ) q(x, y)) r(x,y,z )) z z ((p(z) q(x,z)) r(z,x,y z (((p(x ) q(x,y)) r(x,y,z )) ((p(z) q(x,z)) r(z,x,y 21

22 Skolemnormalform Definition. ine Formel F For Σ ist in Skolemnormalform (SNF), falls: F ist in Pränexnormalform F enthält nur universelle Quantoren 22

23 Skolemnormalform Definition. ine Formel F For Σ ist in Skolemnormalform (SNF), falls: F ist in Pränexnormalform F enthält nur universelle Quantoren Beispiele: In Skolemnormalform x y(p(x) q(y)) Nicht in Skolemnormalform x p(x) x y q(y) y (p(x) q(y)) 23

24 Skolemisierung Skolemisierung: Transformation S : x 1,...,x n yf S x 1,...,x n F[f (x 1,...,x n )/y] wobei f /n ein neues Funktionssymbol (Skolemfunktion). 24

25 Skolemisierung Beispiel Gegeben: w( x(p(w,x) y(q(w,x,y) z r(y,z)))) 25

26 Skolemisierung Beispiel Gegeben: w( x(p(w,x) Pränexnormalform: y (q(w,x,y) z r(y,z)))) w x y z((p(w, x) (q(w,x,y) r(y, z)))) 26

27 Skolemisierung Beispiel Gegeben: w( x(p(w,x) Pränexnormalform: y (q(w,x,y) z r(y,z)))) w x y Skolemisierung: z((p(w, x) (q(w,x,y) r(y, z)))) w y((p(w,sk(w)) (q(w,sk(w), y) r(y,g(w,y))))) 27

28 Skolemisierung Zusammen: F P G {z} pränexe Form S H {z} pränex, kein Theorem: Seien F, G und H wie oben angenommen. Dann: (1) F und G sind äquivalent. (2) G erfüllbar gdw. H erfüllbar (bzgl. Σ-Str) (bzgl. Σ -Str) wobei Σ = (Ω SKF,Π), wenn Σ = (Ω,Π). 28

29 Klauselnormalform (konjunktive Normalform) Transformationsregeln K (1) (F G) K (F G) (G F) (2) (F G) K ( F G) (3) (F G) K ( F G) (4) (F G) K ( F G) (5) F K F (6) (F G) H K (F H) (G H) (7) (F ) K F (8) (F ) K (9) (F ) K (10) (F ) K F Die ersten 5 Regeln, zusammen mit Regel ( Q), stellen die Negationsnormalform (NNF) her. 29

30 Gesamtbild F P Q 1 y 1... Q n y n G (G quantorenfrei) S x 1,..., x m H (H quantorenfrei) K x 1,..., x n {z } weglassen {z Klauseln C i } F k^ i=1 n i _ j=1 L ij {z } N = {C 1,..., C k } heißt Klausel(normal)form (KNF) von F. Merke: Die Variablen in Klauseln sind implizit allquantifiziert. Falls F freie Variablen enthält, werden diese Variablen mit Konstanten ersetzt (F(x) erfüllbar gdw. xf(x) erfüllbar) Theorem: F ist erfüllbar, gdw. F erfüllbar, gdw. N erfüllbar. Viel Optimierungspotential vorhanden, wenn nur rfüllbarkeit bewahrt werden muß und kann: Größenexplosion, kleine Stelligkeit von Skolemfunktionen. 30

31 Beispiel F z(( x(p(z, x))) ( y(q(z, y) ( xr(y, x))))) 31

32 Beispiel F z(( x(p(z, x))) ( y(q(z, y) ( xr(y, x))))) Pränexnormalform: F z(( z(( z(( z x x(p(z, x))) ( xp(z, x)) ( x p(z, x)) ( y y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x ( p(z, x) (q(z, y) r(y, x ))) (Bereinigung) (NNF) (Pränexnormalform) 32

33 Beispiel F z(( x(p(z, x))) ( y(q(z, y) ( xr(y, x))))) Pränexnormalform: F z(( z(( z(( z x x(p(z, x))) ( xp(z, x)) ( x p(z, x)) ( y y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x ( p(z, x) (q(z, y) r(y, x ))) (Bereinigung) (NNF) (Pränexnormalform) Skolemisierung z sk 1 ; x sk 2 ; x sk 3 (y) S y( p(sk 1, sk 2 ) (q(sk 1, y) r(y, sk 3 (y)))) (rfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform) 33

34 Beispiel F z(( x(p(z, x))) ( y(q(z, y) ( xr(y, x))))) Pränexnormalform: F z(( z(( z(( z x x(p(z, x))) ( xp(z, x)) ( x p(z, x)) ( y y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( y(q(z, y) ( x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x r(y, x ))))) x ( p(z, x) (q(z, y) r(y, x ))) (Bereinigung) (NNF) (Pränexnormalform) Skolemisierung z sk 1 ; x sk 2 ; x sk 3 (y) S y( p(sk 1, sk 2 ) (q(sk 1, y) r(y, sk 3 (y)))) (rfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform) Klauselnormalform: K y(( p(sk 1, sk 2 ) q(sk 1, y)) ( p(sk 1, sk 2 ) r(y, sk 3 (y)))) Klauselmenge: N = {{ p(sk 1, sk 2 ), q(sk 1, y)}, { p(sk 1, sk 2 ), r(y, sk 3 (y))}} 34