Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik

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1 Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1

2 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4 Reduktion auf Aussagenlogik: Herbrandexpansion 7.5 Ausblick Plan-based Robot Control 2

3 Motivation Man kann schon eine ganze Menge mit Aussagenlogik anfangen. Allerdings ist es ärgerlich, dass es nicht möglich ist, auf die Struktur der atomaren Aussagen einzugehen. Beispiel: Alle Blöcke sind rot Es gibt einen Block A Daraus sollte folgen: A ist rot Mit Aussagenlogik können wir dies aber nicht ausdrücken. Idee: Wir führen Individuenvariablen, Prädikate, Funktionen... ein Prädikatenlogik 1. Stufe (PL1) Plan-based Robot Control 3

4 Alphabet der Prädikatenlogik 1. Stufe Symbole: Operatoren:,,,,, = Variablen: x, x 1, x 2,..., x, x,..., y,..., z,... Klammersymbole: ( ) Funktionssymbole (z.b. Gewicht, Farbe) (zur Repräsentation von Objekten) Prädikatensymbole (z.b. Block, Rot) (für Aussagen über Objekten) Hinweise: 1. Prädikaten- und Funktionssymbole besitzen eine Stelligkeit (Zahl der Argumente). 0-stellige Prädikate: aussagenlogische Atome 0-stellige Funktionen: Konstanten 2. Wir nehmen abzählbar viele Prädikate und Funktionen jeder Stelligkeit an. 3. = wird nicht als Prädikat behandelt! Plan-based Robot Control 4

5 Grammatik der Prädikatenlogik 1. Stufe (1) Terme (stehen für Objekte): 1. Jede Variable ist ein Term. 2. Wenn t 1, t 2,..., t n Terme sind und f ein n-stelliges Funktionssymbol, dann ist f(t 1, t 2,..., t n ) auch ein Term. Terme ohne Variablen: Grundterme Atomare Formeln (stehen für Aussagen über Objekten) 1. Wenn t 1, t 2,..., t n Terme sind und P ein n-stelliges Prädikat ist, dann ist P (t 1, t 2,..., t n ) eine atomare Formel. 2. Wenn t 1 und t 2 Terme sind, dann ist t 1 = t 2 eine atomare Formel. Atomare Formeln ohne Variablen: Grundatome. Plan-based Robot Control 5

6 Grammatik der Prädikatenlogik 1. Stufe (2) Formeln: 1. Jede atomare Formel ist eine Formel. 2. Wenn ϕ und ψ Formeln sind und x eine Variable ist, dann sind ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ, x ϕ und x ϕ auch Formeln., binden so stark wie. Die Aussagenlogik ist eine Teilsprache der PL1: 1. Atomare Formeln: nur 0-stellige Prädikate 2. Weder Variablen noch Quantoren. Plan-based Robot Control 6

7 Notation Klammern zur Strukturierung Verwendung anderer Klammern zwecks Leserlichkeit {, }, [, ]. Prädikate: Person, Schön, älter-als Funktionen: Vater-von, Nachfolger, a, b Variablen: x, y, z, Geschachtelte Quantoren: x y... auch x, y... Plan-based Robot Control 7

8 Alternative Notation: hier sonst ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ&ψ ϕ ψ ϕ, ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ; ψ ϕ + ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ xϕ ( x)ϕ xϕ xϕ ( x)ϕ xϕ Plan-based Robot Control 8

9 Bedeutung von PL1-Formeln Unser Beispiel: x[block(x) Rot(x)], Block(a) Für alle Objekte x gilt: Falls x ein Block ist, dann ist x rot. a ist ein Block. Generell: Terme werden als Objekte interpretiert. Universell quantifizierte Variablen laufen über alle Objekte des Universums. Existentiell quantifizierte Variablen stehen für ein Objekt des Universums (das den quantifizierten Ausdruck wahr macht). Prädikate stehen für Teilmengen des Universums. Ähnlich wie für Aussagenlogik definieren wir: Interpretationen, Erfüllung, Modelle, Allgemeingültigkeit, Folgerung,... Plan-based Robot Control 9

10 Semantik von PL1: Interpretationen Interpretation: I = D, I,α mit D eine beliebige nicht-leere Menge und I,α Funktion, die eine n-stellige Funktionssymbole auf Funktionen über D abbildet: f I [D n D] Individuenkonstanten auf Elemente aus D abbildet: a I D n-stellige Prädikatensymbole auf Relationen über D abbildet: P I D n Interpretation von Grundtermen: (f(t 1,..., t n )) I = f I (t 1 I,..., t n I ) ( D) Erfüllung von Grundatomen P (t 1,..., t n ): I = P (t 1,..., t n ) gdw. t 1 I,..., t n I P I Plan-based Robot Control 10

11 Beispiel 1 D = {d 1,..., d n n > 1} a I = d 1 b I = d 2 c I =... Block I = {d 1 } Rot I = D I = Rot(b) I = Block(b) Plan-based Robot Control 11

12 Beispiel 2 D = {1, 2, 3,... } 1 I = 1 2 I = 2. Even I = {2, 4, 6,... } succ I = {(1 2), (2 3),... } I = Even(2) I = Even(succ(2)) Plan-based Robot Control 12

13 Semantik von PL1: Variablenbelegung V Menge aller Variablen. Funktion α: V D. Notation: α[x/d] ist identisch mit α bis auf die Stelle x. Für x gilt: α[x/d](x) = d. Interpretation von Termen unter I, α: x I,α = α(x) a I,α = a I (f(t 1,..., t n )) I,α = f I (t 1 I,α,..., t n I,α ) Erfüllbarkeit von atomaren Formeln: I, α = P (t 1,..., t n ) gdw. t 1 I,α,..., t n I,α P I Plan-based Robot Control 13

14 Beispiel α = {(x d 1 ), (y d 2 )} I, α = Rot(x) I, α[y/d 1 ] = Block(y) Plan-based Robot Control 14

15 Semantik von PL1: Erfüllbarkeit Eine Formel ϕ wird von einer Interpretation I unter einer Variablenbelegung α erfüllt, d.h. I, α = ϕ: I, α = I, α = I, α = ϕ gdw. I, α = ϕ... und alle weiteren propositionalen Regeln sowie I = P (t 1,..., t n ) gdw. t 1 I,α,..., t n I,α P I I, α = x ϕ gdw. für alle d D gilt I, α[x/d] = ϕ I, α = x ϕ gdw. es gibt ein d D mit I, α[x/d] = ϕ Plan-based Robot Control 15

16 Beispiel Θ = { Block(a), Block(b) x (Block(x) Rot(x)) } D = {d 1,..., d n } n > 1 a I = d 1 b I = d 2 Block I = {d 1 } Rot I = D α = {(x d 1 ), (y d 2 )} Fragen: 1. I, α = Block(b) Block(b)? 2. I, α = Block(x) (Block(x) Block(y))? 3. I, α = Block(a) Block(b)? 4. I, α = x (Block(x) Rot(x))? 5. I, α = Θ? Plan-based Robot Control 16

17 Freie und gebundene Variablen x[r( y, z ) y{ P (y, x) R(y, z )}] Eingekästelte Vorkommen von y und z sind frei. Alle anderen Vorkommen von x, y, z sind gebunden. Formeln, in denen keine freien Variablen vorkommen, heien geschlossene Formeln oder auch Sätze. Bei der Formulierung von Theorien benutzen wir nur geschlossene Formeln. Beachte: Die Begriffe logische Äquivalenz, Erfüllbarkeit, Folgerbarkeit usw. sind bei geschlossenen Formeln unabhängig von der Variablenbelegung α (d.h. man kann immer über alle Variablenbelegungen gehen). Bei geschlossenen Formeln wird dann α auf der linken Seite des Modellbeziehungszeichens weggelassen: I = ϕ Plan-based Robot Control 17

18 Terminologie Eine Interpretation I heit Modell von ϕ unter α, wenn I, α = ϕ. Eine Formel ϕ der PL1 kann, ebenso wie in der Aussagenlogik) erfüllbar, unerfüllbar, falsifizierbar oder allgemeingültig sein. Analog sind zwei Formeln logisch äquivalent (ϕ ψ), wenn für alle I, α gilt: I, α = ϕ gdw. I, α = ψ Beachte: P(x) P(y)! Auch logische Folgerbarkeit ist analog zu propositionaler Logik. Frage: Wie können wir einen Ableitungsbegriff definieren? Plan-based Robot Control 18

19 Pränex-Normalform Wegen der Quantoren können wir nicht direkt die KNF einer Formel bilden. Erster Schritt: Bilden der Pränex-Normalform Quantorenpräfix + (quantorenfreie) Matrix ϕ: x 1 x 2 x 3... x n ϕ Plan-based Robot Control 19

20 Äquivalenzen für die Erzeugung der Pränex-Normalform ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) x nicht frei in ψ ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) x nicht frei in ψ ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) x nicht frei in ψ ( xϕ) ψ x(ϕ ψ) x nicht frei in ψ xϕ xψ x(ϕ ψ) xϕ xψ x(ϕ ψ) xϕ x ϕ xϕ x ϕ... und aussagenlogische Äquivalenzen Plan-based Robot Control 20

21 Erzeugen der Pränex-Normalform 1. Eliminierung von und 2. nach innen 3. Quantoren nach auen Beispiel: x [( x P (x)) Q(x)] x [ ( x P (x)) Q(x)] x [( x P (x)) Q(x)] Und nun? Lösung: Variablenumbenennung ϕ[x/t] entsteht aus ϕ, indem alle freien Vorkommen von x in ϕ durch den Term t ersetzt werden. Lemma: Sei y eine Variable, die nicht in ϕ vorkommt. Dann gilt x ϕ y ϕ[x/y] und x ϕ y ϕ[x/y]. Satz: Es existiert ein Algorithmus, der zu jeder Formel ihre Pränex-Normalform berechnet. Plan-based Robot Control 21

22 Ableitungen in PL1 Was nutzt uns die Pränex-Normalform? Leider gibt es nicht wie für die propositionalen Logik einfache Gesetze, die uns erlauben, Erfüllbarkeit oder Allgemeingültigkeit zu bestimmen (durch Umformung in DNF oder KNF). Aber: Wir können das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik auf Erfüllbarkeit in propositionaler Logik reduzieren. I.allg. entstehen dabei allerdings unendliche Mengen von propositionalen Formeln. Dann: Anwenden von Resolution. Plan-based Robot Control 22

23 Skolemisierung Idee: Eliminierung der Existenzquantoren durch Funktionen, die uns das richtige Element liefern. Satz (Skolem-Normalform): Sei ϕ eine geschlossene Formel in Pränex-Normalform, so dass alle quantifizierten Variablen paarweise verschieden sind und die Funktionssymbole g 1, g 2,... nicht in ϕ auftreten. Sei ϕ = x 1... x i y ψ, dann ist ϕ erfüllbar gdw. ϕ = x 1... x i ψ[y/g i (x 1,..., x i )] erfüllbar ist. Beispiel: x y [P (x) Q(y)] x [P (x) Q(g(x))] Plan-based Robot Control 23

24 Skolem-Normalform Skolem-Normalform: Pränex-Normalform ohne Existenzquantoren. Schreibweise: ϕ SNF von ϕ. Satz: Zu jeder geschlossen Formel ϕ kann ihre SNF ϕ effektiv berechnet werden. Beispiel: ist x (( x P (x)) Q(x)) weiter geht s so: y (( x P (x)) Q(y)) y ( x (P (x) Q(y))) x (P (x) Q(g 0 )) Beachte: Diese Transformation ist keine Äquivalenztransformation, sie erhält nur Erfüllbarkeit! Beachte:... und sie ist nicht eindeutig. Beispiel: x (p(x)) y (q(y)) Plan-based Robot Control 24

25 Grundterme, Herbrandexpansion Die Grundtermmenge (oder das Herbranduniversum) über einer Menge von SNF-Formeln Θ ist die (abzählbare) Menge aller Grundterme, die sich mit Symbolen aus Θ bilden lassen (falls es kein Konstantensymbol gibt, wird eines hinzugefügt). Diese Menge wird mit D(Θ ) bezeichnet repräsentative Trägermenge. Die Herbrandexpansion E(Θ ) ist die Instantiierung der Matrizen ψ i aller Formeln in Θ durch alle Terme t D(Θ ): E(Θ ) = {ψ i [x 1 /t 1,..., x n /t n ] ( x 1,..., x n ψ i ) Θ, t j D(Θ )} Satz (Herbrand): Sei Θ eine Menge von Formeln in SNF. Dann ist Θ erfüllbar gdw. E(Θ ) erfüllbar ist. Beachte: Falls D(Θ ) und Θ endlich, dann ist die Herbrandexpansion endlich endliche aussagenlogische Theorie Plan-based Robot Control 25

26 Unendliche aussagenlogische Theorien... Gibt es bei unendlichen Formelmengen endliche Beweise? Satz (Kompaktheit der Aussagenlogik): Jede (höchstens abzählbare) Menge von Formeln der Aussagenlogik ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. Korollar: Eine (höchstens abzählbare) Menge von Formeln der Aussagenlogik ist unerfüllbar genau dann wenn bereits eine endliche Teilmenge unerfüllbar ist. Korollar (Kompaktheit der PL1): Jede (höchstens abzählbare) Menge von Formeln der Prädikatenlogik ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. Plan-based Robot Control 26

27 Rekursive Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit Es lässt sich ein Semi-Entscheidungsverfahren für Allgemeingültigkeit konstruieren, d.h. wir könnten einen (ziemlich ineffizienten) Algorithmus angeben, der Schritt für Schritt alle allgemeingültigen Formeln aufzählt. Satz: Die Menge der allgemeingültigen (und unerfüllbaren) Formeln in PL1 ist rekursiv aufzählbar. Wie sieht es mit den erfüllbaren Formeln aus? Satz (Unentscheidbarkeit von PL1): Es ist unentscheidbar ob eine Formel der PL1 allgemeingültig ist. (Beweis durch Reduktion des Postschen Korrespondenzproblems.) Korollar: Die Menge der erfüllbaren Formeln in PL1 ist nicht rekursiv aufzählbar. Mit anderen Worten: Falls eine Formel allgemeingültig ist, können wir dafür auch effektiv eine Bestätigung finden. Ansonsten können wir u.u. in eine Endlosschleife geraten. Plan-based Robot Control 27

28 Ausblick: Mögliche Erweiterungen PL1 ist zwar sehr ausdrucksstark, aber manchmal möchte man u.u. mehr... Logik 2. Stufe: auch über Prädikate quantifizieren x, y [(x = y) { p [p(x) p(y)]}] Allgemeingültigkeit ist nicht mehr semi-entscheidbar (keine Kompaktheit mehr) Lambda-Ausdrücke: Definition von Prädikaten, z.b. λx, y[ zp (x, z) Q(z, y)] definiert neues 2-stelliges Prädikat. lässt sich auf PL1 reduzieren durch Lambda-Reduktion Eindeutigkeitsquantor:!x ϕ(x) es existiert genau ein x... Reduktion auf PL1: x [ϕ(x) y {ϕ(y) x = y}] Plan-based Robot Control 28

29 Ausblick: Verarbeitung PL1-Resolution: Statt Resolution auf der Herbrandexpansion wird Resolution über Klauseln mit Variablen durchgeführt. Unifikation, Resolution über Klassen von Grundinstanzen Einschränkung der syntaktischen Form: Nur Horn-Klauseln PROLOG erheblich effizientere Methoden Endliche Theorien: In Anwendungen hat man oft eine endliche Menge von Objekten vorgegeben. Domain closure axiom: x[x = c 1 x = c 2... x = c n ] Übersetzung in endliche aussagenlogische Form möglich. Plan-based Robot Control 29

30 7.5. Zusammenfassung PL1 erlaubt es, Aussagen zu strukturieren und gibt uns damit eine erheblich gröere Aussagekraft als Aussagenlogik. Formeln bestehen aus Termen und atomaren Formeln, die mit Hilfe von Konnektoren und Quantoren zu Formeln zusammengesetzt werden können. Interpretationen in PL1 bestehen aus einem Universum und der Interpretationsfunktion. Der Satz von Herbrand zeigt, dass Erfüllbarkeit in PL1 auf Erfüllbarkeit in Aussagenlogik reduziert werden kann (allerdings entstehen dabei u.u. unendliche Formelmengen). Aber: Allgemeingültigkeit in PL1 ist nicht entscheidbar! Plan-based Robot Control 30