Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik

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1 Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt SS 2015 Aufgabe 2 Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Geben Sie für die folgenden Klassen von Strukturen jeweils ein (möglichst endliches) Axiomensystem an. Im Fall, dass die Klasse nicht (endlich) FO-axiomatisierbar ist, beweisen Sie dies mit Hilfe des Kompaktheitssatzes. (a) Die Klasse der endlichen partiellen Ordnungen (A, <) (b) Die Klasse der unendlichen partiellen Ordnungen (A, <) (c) Die Klasse der unendlichen dichten linearen Ordnungen (A, <) (d) Die Klasse der Wohlordnungen (A, <) (e) Die Klasse der partiellen Ordnungen (A, <) in denen jede Kette nach oben beschränkt ist (f) Die Klasse der partiellen Ordnungen (A, <) die keine lineare Ordnungen sind (g) Die Klasse der linearen Ordnungen (A, <) in denen jedes nichtleere Intervall [a, b) := {x a x < b} unendlich ist (h) Die Klasse der linearen Ordnungen (A, <) in denen jedes Intervall [a, b) endlich ist Lösung zu Aufgabe 2: (a) nicht axiomatisierbar. Beweis: Sei K a die Klasse der endlichen partiellen Ordnungen. Angenommen es gibt eine Satzmenge Φ mit Mod(Φ) = K a. Sei C eine unendliche Menge von Konstanten. Betrachte die Satzmenge Φ := Φ {c d c, d C}. Sei Φ 0 eine endliche Teilmenge von Φ. Dann ist Φ 0 Φ {c d c, d C 0} für eine endliche Menge C 0 C von Konstanten. Sei n = C 0 und C 0 = {c 1,..., c n }. Dann ist die lineare Ordnung L n = ({1, 2,..., n}, <, c Ln 1 = 1, c Ln 2 = 2,..., c Ln n = n) offensichtlich ein Modell von Φ 0. Also ist jede endliche Teilmenge von Φ erfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatz ist somit auch Φ erfüllbar. Ein Modell A von Φ ist aber zum einen endlich, wegen A = Φ und zum anderen unendlich wegen A = {c d c, d C}. Widerspruch. (b) axiomatisierbar. < is partielle Ordnung, d.h. irreflexiv und transitiv : ϕ po = x x < x x y z(x < y y < z x < z) Es gibt mindestens n Elemente : ϕ n := x 1... x n 1 i<j n x i x j Es gibt unendliche viele Elemente Φ := {ϕ n n N}

2 Dann axiomatisiert Φ b := {ϕ po } Φ die angegebene Klasse. nicht endlich axiomatisierbar: Angenommen Φ b ist doch endlich axiomatisierbar. Dann gibt es einen Satz ψ mit Mod(Φ b ) = Mod(ψ). Insbesondere Φ b = ψ. Nach Kompaktheitssatz existiert bereits eine endliche Teilmenge Φ 0 Φ b mit Φ 0 = ψ. Da Φ 0 endlich ist, gibt es ein größtes n 0, so dass ϕ n0 Φ 0, d.h. Φ 0 {ϕ po } {ϕ m m n 0 }. Die lineare Ordnung L n0 mit n 0 Elementen ist ein Modell von Φ 0 also auch von ψ, womit L n0 unendlich sein muß. Widerspruch. (c) endlich axiomatisierbar: ϕ c := ϕ po x y(x < y x = y y < x) x yx < y x y(x < y z(x < z z < y) ϕ c axiomatisiert die Klasse der dichten linearen Ordnungen mit mindestens 2 Elementen. Eine dichte lineare Ordnung ist genau dann unendlich, wenn sie mindestens 2 Elemente hat, da dann bereits unendlich viele Elemente zwischen diesen beiden Elementen liegen müssen. (d) nicht axiomatisierbar Angenommen es gäbe ein Axiomensystem Φ der Klasse aller Wohlordnungen. Sei C = {c i i N} eine Menge von Konstantensymbolen. Betrachte die Menge Φ := Φ {c i+1 < c i i N}. Sei Φ 0 Φ eine endliche Teilmenge. Dann gibt es eine Zahl n 0 N. so dass Φ 0 Φ {c i+1 < c i 0 i n 0 }. Die lineare Ordnung mit n Elementen und c i = n 0 i für 0 i n 0 ist offenbar ein Modell von Φ {c i+1 < c i 0 i n 0 } und somit auch von Φ 0. Also ist Φ 0 erfüllbar. Nach Kompaktheitssatz ist somit auch Φ erfüllbar. Sei A = Φ ein Modell. Dann gibt es in A aber eine unendlich absteigende Kette c A 0 > ca 1 >... > ca n >... womit A keine Wohlordnung sein kann. Widerspruch. (e) nicht axiomatisierbar Angenommen es gäbe ein Axiomensystem Φ dieser Klasse. Sei C = {c i i N} eine Menge von Konstantensymbolen. Betrachte die Menge Φ := Φ {c i < c i+1 i N}. Genau wie in der vorherigen Aufgabe sieht man, dass Φ erfüllbar sein muß. Jedes Modell A = Φ hat aber eine nach oben unbeschränkte Kette c A 0 < ca 1 <.... (f) endlich axiomatisierbar: ϕ f := ϕ po x y(x < y y < x x = y) (g) endlich axiomatisierbar: Die Klasse stimmt überein mit der Klasse der dichten linearen Ordnungen mit mindestens 2 Elementen (siehe c) ) ϕ g = ϕ c

3 (h) nicht axiomatisierbar: Angenommen Φ ist ein Axiomensystem der Klasse. Sei C = {c i i N} eine Menge von Konstantensymbolen und a, b zwei zusätzliche Konstantensymbole. Φ := Φ {(a < c a = c) c < b c C} {c i c j i j}. Jede endliche Teilmenge Φ 0 von Φ ist erfüllbar durch L n für ein n das groß genug ist, wobei a das erste Element b das letzte Element der linearen Ordnung und die endlichen vielen Konstanten aus C die in Φ 0 vorkommen durch die übrigen Elemente aus L n belegt werden können. Nach Kompaktheitssatz ist also auch Φ erfüllbar, was jedoch ein Widerspruch ist, da für jedes Modell von Φ zum einen das Intervall (a, b] endlich ist, zum anderen aber die unendlichen vielen Konstanten aus C in dem Intervall liegen. Aufgabe 3 Geben Sie für die folgenden Klassen von Strukturen jeweils ein (möglichst endliches) Axiomensystem an. Im Fall, dass die Klasse nicht (endlich) FO-axiomatisierbar ist, beweisen Sie dies mit einer Methode Ihrer Wahl. (a) Die Klasse der zur Booleschen Algebra (P(N),,,,, N) isomorphen Strukturen (b) Die Klasse der zum Ring (Z/5Z, +,, 0, 1) isomorphen Strukturen (c) Die Klasse aller Strukturen A, für die eine endliche Menge B existiert, so dass A zu (P(B),,,,, B) isomorph ist (d) Die Klasse aller Booleschen Algebren, die elementar äquivalent zu (P(A),,,,, A) für eine Menge A mit A 3 sind (e) Die Klasse {(A, R) R P(N) } (f) Die Klasse {(A, +, 0) (A, +, 0) 3 (Z, +, 0)} (g) Die Klasse aller ungerichteten Graphen G, so dass die Klasse aller zu G isomorphen Graphen endlich axiomatisierbar ist (h) Die Klasse aller Strukturen, die zu einer Herbrandstruktur H zur Signatur τ := {c, f} mit Konstantensymbol c und 42-stelligem Funktionssymbol f isomorph sind Lösung zu zu Aufgabe 3: (a) Nicht axiomatisierbar. Sei A = (P(N),,,,, N). Gefragt ist also nach der Axiomatisierbarkeit der Klasse {B B = A}. Da A eine unendliche Struktur ist, ist diese Klasse nach Satz 4.26 nicht axiomatisierbar. (b) endlich axiomatisierbar, da die Isomorphieklasse jeder endlichen Struktur endlich axiomatisierbar ist (siehe Skript Kapitel 3, Übung 3.1). Lösung zu Übung 3.1, Kapitel 3: Wir beweisen hier also direkt allgemeiner, dass für jede endliche τ-struktur A mit endlicher Signatur die Klasse K A := {B B = A} endlich axiomatisierbar ist. Sei A = {a 1,..., a n } das Universum von A. Eine Formel ϕ FO heißt termreduziert, wenn sie nur Atome der Form R x, f x = y und x = y enthält, also insbesondere keine Terme

4 mit Verschachtelungstiefe 2. (siehe Kapitel 2, S. 59). Über einer endlichen Signatur gibt es offensichtlich nur endlich viele termreduzierte Literale mit Variablen aus der Menge {x 1,..., x n }. Sei D = {ϕ(x 1,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n ) FO(τ) ist ein termreduziertes Literal mit A = ϕ(a 1,..., a n )}. Behauptung: Der folgenden FO(τ)-Satz axiomatisiert K A : ϕ A = x 1... x n ( D y( n i=1 y = x i )) Beweis: Zunächst ist klar, dass A = ϕ A gilt und aufgrund des Isomorphielemmas somit auch B = ϕ A für jede τ-struktur B mit B = A. Sei nun B eine τ-struktur mit B = ϕ A. Dann gibt es also n Elemente b 1,..., b n in B so dass gilt B = ϕ(b 1,..., b n ) A = ϕ(a 1,..., a n ) für jedes termreduzierte Literal ϕ(x 1,..., x n ) FO(τ). Dann ist die Abbildung π : B A mit π(b i ) := a i ein Isomorphismus von B nach A: π ist bijektiv: π ist surjektiv, wegen B = y( n i=1 y = x i ))[x 1 b 1,..., x n b n ] π ist injektiv, wegen a i = a j A = ϕ(a 1,..., a n ) für ϕ(x 1,..., x n ) = (x i = x j ) B = ϕ(b 1,..., b n ) b i = b j gdw π(a i ) = π(a j ) für alle 1 i, j n. Für jedes k-stellige (k N) Funktionssymbol f τ gilt f A (a i1,..., a ik ) = a ik+1 A = ϕ(a 1,..., a n ) für ϕ(x 1,..., x n ) = fx i1... x ik = x ik+1 B = ϕ(b 1,..., b n ) f B (b i1,..., b ik ) = b ik+1 Also π(f A (a i1,..., a ik )) = π(a ik+1 ) = b ik+1 = f B (π(a i1 ),..., π(a ik )) für alle 1 i 1,..., i k n. Für jedes k-stellige (k N) Relationssymbol R τ gilt (a i1,..., a ik ) R A A = ϕ(a 1,..., a n ) für ϕ(x 1,..., x n ) = Rx i1... x ik B = ϕ(b 1,..., b n ) (b i1,..., b ik ) R B (π(a i1 ),..., π(a ik )) R B für alle 1 i 1,..., i k n (c) nicht axiomatisierbar. Angenommen es gäbe eine Satzmenge Φ welche die Klasse axiomatisiert. Dann gibt es für jedes n ein Modell der Größe mindestens n, z.b. B n = (P(B n ),,,,, B n ) mit

5 B n = {1,..., n}. Es gibt jedoch kein unendliches Modell von Φ, da jedes Modell von Φ zu einer endlichen Struktur isomorph ist. Nach dem aufsteigenden Satz von Löwenheim- Skolem müßte es jedoch ein unendliches Modell geben. Widerspruch. (d) endlich axiomatisierbar Sei die Signatur τ = {,,,, B}. ϕ BA = x y(x y = y x x y = y x) x y z((x y) z = (x z) (y z) (x y) z = (x z) (y z)) x(x = x B = x) x(x x = x x = B) ist ein Axiomensystem für Boolesche Algebren. ϕ d = ϕ BA x 1 x 2 x 3 x 4 ( 1 i<j 4 x i x j ) Alternativ ϕ d = ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 für Sätze ϕ i die jeweils die Isomorphieklasse von B i axiomatisieren für i = 1, 2, 3. (e) nicht axiomatisierbar Die Klasse enthält eine unendliche Struktur, z.b. (R, R R). Nach dem absteigenden Satz von Löwenheim-Skolem müßte sie, falls sie axiomatisierbar wäre, auch ein abzählbar unendliches Modell enthalten. Da jedoch alle Strukturen aus der Klasse überabzählbar sind, tut sie dies nicht. (f) endlich axiomatisierbar Hinweis: Es wird hier angenommen, dass + der Graph der Addition ist, also die Relation {(x, y, z) Z 3 z = x + y}, statt der Additionsfunktion und 0 die Menge {0} statt der 0-stelligen Funktion. Da es bis auf logische Äquivalenz nur endliche viele Sätze vom Quantorenrang 3 über einer relationalen Signatur gibt, kann man Φ f = {ϕ FO({+, 0}) (Z, +, 0) = ϕ und qr(ϕ) = 3} als endliches Axiomensystem nehmen. (g) nicht axiomatisierbar Die Klasse stimmt überein mit der Klasse aller endlichen Graphen. Nach aufsteigendem Satz von Löwenheim-Skolem ist diese nicht axiomatisierbar. (h) nicht axiomatisierbar Da alle Herbrandstrukturen über endlicher Signatur höchstens abzählbar sind folgt aus dem aufsteigenden Satz von Löwenheim-Skolem, dass diese Klasse nicht axiomatisierbar ist.

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