5 Noethersche Ringe und Moduln, Algebren und Ganzheit

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1 5 Noethersche Ringe und Moduln, Algebren und Ganzheit Sofern nichts anderes gesagt wird, sind im Folgenden alle Ringe kommutativ mit 1 0. Satz und Definition 5.1. Sei A ein Ring. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) A erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung (AUF) für Ideale: Für jede aufsteigende Kette I 1 I 2 I 3... von Idealen I j A (j N) gibt es ein k N mit I l = I k l k, d.h. die Kette wird stationär. (ii) Jede nichtleere Menge S von Idealen in A hat (mindestens) ein maximales Element bzgl. der Inklusion. (iii) Jedes Ideal I in A ist endlich erzeugt (als A-Modul), d.h. n N, a 1,..., a n A mit I = (a 1,..., a n ). Wenn eine (und damit jede) der obigen Aussagen erfüllt ist, so nennt man A einen noetherschen Ring. Bemerkung 5.2. Für Ringe kann man entsprechend eine absteigende Kettenbedingung (AB) definieren: Für jede absteigende Kette I 1 I 2 I 3... von Idealen I j A (j N) gibt es ein k N mit I l = I k l k, d.h. die Kette wird stationär. Ein Ring, der (AB) erfüllt, wird artinscher Ring genannt. Man kann zeigen: artinsch = noethersch. Die Umkehrung gilt aber i.a. nicht. Beispiel. (1) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring in n N Variablen K[X 1,..., X n ] noethersch (Beweis später). (2) Sei A n = K[X 1,..., X n ] sodass man Ringerweiterungen A n A n+1 hat. Betrachte den Ring A := n=1 A n und darin das Ideal I n = (X 1, X 2,..., X n ). Dann wird die aufsteigende Kette I 1 I 2 I 3... nicht stationär (X n+1 I n+1 \ I n ) und das Ideal I = n=1 I n A ist nicht endlich erzeugt. A ist also nicht noethersch. (3) In K[X, Y ] betrachte den Unterring A = {c + Xg(X, Y ) c K, g(x, Y ) K[X, Y ]} 1

2 (man zeige, dass dies ein Unterring ist). Dann ist A nicht noethersch: Mit I n := (X, XY, XY 2,..., XY n ), n N 0 und I = n=0 I n = (X, XY, XY 2, XY 3,...) hat man, dass I nicht endlich erzeugt ist und die aufsteigende Kette I 0 I 1 I 2... nicht stationär wird (XY n+1 I n+1 \ I n ). Unterringe noetherscher Ringe sind also i.a. nicht wieder noethersch. Definition 5.3. Seien A ein Ring und M ein A-Modul. M nennt man noethersch wenn M die aufsteigende Kettenbedingung (AUF) für Untermoduln erfüllt: Für jede aufsteigende Kette M 1 M 2 M 3... von Untermoduln M j M (j N) gibt es ein k N mit M l = M k l k, d.h. die Kette wird stationär. Bemerkung. Ähnlich wie für Ringe zeigt man, dass M genau dann noethersch ist wenn jeder Untermodul von M endlich erzeugt ist, bzw. wenn jede nichtleere Menge von Untermoduln von M ein maximales Element bzgl. der Inklusion besitzt. Ein Ring ist also genau dann noethersch wenn der A-Modul AA noethersch ist. Lemma 5.4. Sei 0 L α M β N 0 eine KES von A-Moduln. Dann gilt: M noethersch L und N noethersch. Korollar 5.5. (i) Sei M ein noetherscher A-Modul und sei N M ein Untermodul. Dann sind N und M/N noethersch. Ist dann insbesondere a A ein Ideal, dann ist M/aM ein noetherscher A/a- Modul (siehe auch 3.14). Insbesondere gilt: Ist A ein noetherscher Ring und a A ein Ideal, so ist A/a ein noetherscher Ring. (ii) Sind M i noethersche A-Moduln, 1 i n, so ist n i=1 M i noethersch. (iii) Sei A ein noetherscher Ring und M ein A-Modul. Dann gilt: M noethersch M ist endlich erzeugt als A-Modul. Insbesondere ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten Moduls über einem noetherschen Ring wieder endlich erzeugt. (Dies verallgemeinert 4.3.) Satz 5.6. (Hilbertsches Basistheorem) Ist A ein noetherscher Ring, so ist A[X] ein noetherscher Ring. Definition und Bemerkung 5.7. Sei A ein (kommutativer) Ring. 2

3 (i) Ein Ring B (nicht notwendigerweise kommutativ) heißt A-Algebra wenn B auch ein A-Modul ist, sodass λ A und x, y B gilt: λ (xy) = (λ x)y = x(λ y), d.h. in einem Produkt aus Elementen aus B können Skalare aus A beliebig plaziert werden, ohne das der Wert sich ändert. (ii) Eine A-Algebra B heißt endlich linear erzeugt (e.l.e), falls B als A-Modul endlich erzeugt ist. (iii) Sei B eine kommutative A-Algebra, b 1,... b n B und b = (b 1,..., b n ) B n. Dann ist die Evaluierungsabbildung ev b : A[X 1,..., X n ] B : f(x 1,..., X n ) f(b) ein Ringhomomorphismus (wobei für a A gelte: a a 1 B ). B ist eine endliche ringerzeugte (e.r.e.) A-Algebra, falls es ein n N und ein b = (b 1,... b n ) B n gibt, sodass ev b : A[X 1,..., X n ] B surjektiv ist, d.h. jedes x B lässt sich als A-Linearkombination von Produkten der b i schreiben. Wir schreiben dann auch: B = A[b 1,... b n ]. Bemerkung 5.8. (i) Ist B eine kommutative A-Algebra, so gilt: B ist eine e.l.e. A-Algebra = B ist eine e.r.e. A-Algebra (wieso?). Die Umkehrung ist i.a. falsch (Gegenbeispiel?). (ii) Ist A B eine Ringerweiterung (A kommutativ, B nicht notwendigerweise kommutativ) mit A Z(B), so ist B auf offensichtliche Weise eine A-Algebra. (Hier ist Z(B) = {x B xy = yx y B} das Zentrum von B.) (iii) Ist B eine A-Algebra, so ist die Abbildung ϕ : A B : a a 1 B ein Ringhomomorphismus mit ϕ(a) Z(B) (check!). Umgekehrt, sind A und B Ringe mit A kommutativ, und ist ϕ : A B ein Ringhomomorphismus mit ϕ(a) Z(B), so wird B zu einer A-Algebra mittels: a b := ϕ(a)b (als Produkt in B) für alle a A und b B. Man kann A-Algebren also auch alternativ definieren als Tripel (A, B, ϕ) bestehend aus einem kommutativen Ring A, einem Ring B und einem Ringhomomorphismus ϕ : A B mit ϕ(a) Z(B). (iv) Ist B eine A-Algebra, I B ein zweiseitiges Ideal, so ist der Ring B/I auch wieder eine A-Algebra mittels a (b + I) := (a b) + I. 3

4 Beispiel. (i) Sei K ein Körper. Dann ist M n (K) eine K-Algebra (nicht kommutativ für n 2): Für λ K und (a ij ) M n (K) definiert man wie üblich λ (a ij ) := (λa ij ). Hier wäre also obiges ϕ wie folgt: λ 0 ϕ : K M n (K) : λ λ M n (K) ist eine e.l.e. K-Algebra (wieso?). (ii) Der Polynomring A[X 1,..., X n ] (n 1) ist eine e.r.e. A-Algebra aber nicht e.l.e.. Definition 5.9. Seien B und C zwei A-Algebren. Ein A-Algebrenhomomorphismus ϕ : B C ist ein Ringhomomorphismus der gleichzeitig ein A-Modulhomomorphismus ist. Ist ϕ bijektiv, so nennt man ϕ einen A-Algebrenisomorphismus. Auf ähnliche Weise definiert man A-Algebrenautomorphismus etc.. Man nennt zwei A-Algebren B, C isomorph (über A), in Zeichen B = A C, falls es einen A-Algebrenisomorphismus ϕ : B C gibt. Korollar Sei B eine A-Algebra. (i) B ist eine e.r.e. A-Algebra n N und ein Ideal I A[X 1,..., X n ] mit B = A A[X 1,..., X n ]/I. (ii) Ist A noethersch und B eine e.r.e. A-Algebra, so ist B noethersch. Definition Sei B eine A-Algebra. y B heißt ganz über A falls es ein monisches f A[X] gibt mit f(y) = 0, d.h. n N, a 0,..., a n 1 A mit a 0 y 0 + a 1 y a n 1 y n 1 + y n = 0. B heißt ganz über A falls jedes y B ganz über A ist. Bemerkung. Betrachtet man in obiger Definition B als A-Modul, so hat man also eine lineare Abhängigkeit von y 0 = 1 B, y,..., y n über A: a 0 1 B + a 1 y a n 1 y n A y n = 0. Somit ist y B ganz über A genau dann wenn es ein n N und eine lineare Abhängigkeit von 1 B, y,..., y n über A gibt, in der 1 A der Koeffizient von y n ist. Satz Sei B eine A-Algebra und y B. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) y ist ganz über A; (ii) A[y] ist eine e.l.e. A-Unteralgebra von B; 4

5 (iii) Es existiert eine e.l.e. A-Unteralgebra C B mit A[y] C; (iv) Es existiert ein endlich erzeugter A-Untermodul C von B mit 1 B C und yc C. Bemerkung. Ist B eine A-Algebra und C eine B-Algebra, so wird C auf natürliche Weise eine A-Algebra, indem man für a A und c C folgende offensichtliche Definition vornimmt: a c := (a 1 }{{ B ) c (man checke die Algebrenaxiome!). } B Satz Seien B eine A-Algebra und C eine B-Algebra und betrachte C als A-Algebra nach vorheriger Bemerkung. (i) B e.l.e. A-Algebra und C e.l.e. B-Algebra = C e.l.e. A-Algebra. (ii) Sind y 1,..., y n B ganz über A, so ist die A-Algebra A[y 1,..., y n ] eine e.l.e. A-Algebra und ganz über A. (iii) Ist B ganz über A und C ganz über B, so ist C ganz über A. Satz und Definition Sei A B eine Ringerweiterung. Dann ist à := {y B y ist ganz über A} ein Unterring von B der A enthält. Ist y B ganz über Ã, so gilt schon y Ã, also à = Ã. Man nennt à den ganzen Abschluss von A in B. A heißt ganz abgeschlossen in B falls à = A. Ein Integritätsbereich A heißt normal falls A ganz abgeschlossen im Quotientenkörper Quot(A) ist. Beispiel. (1) Jeder faktorielle Ring ist normal. (2) Aus der Körpertheorie (siehe Algebra 1) ist bekannt, dass die quadratischen Körpererweiterungen von Q vollständig mittels folgender Bijektion beschrieben werden können: {d Z \ {0, 1} d quadratfrei} {Körpererw. Q L C [L : Q] = 2} d Q( d) Dann ist z.b. 1, d eine Q-Basis von Q( d). Der ganze Abschluss von Z in Q( d) ist dann Z 1 + Z α mit { 1+ d falls d 1 mod 4 2 α = d falls d 2, 3 mod 4 5