Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 14 (SS 2016) 1.

Transkript

1 Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 14 (SS 2016) 1 Auf diesem Blatt geht es vor allem um Klausur-relevante Themen. Die Aufgaben sind von sehr unterschiedlicher Länge und Schwierigkeits-Grad. In jedem Fall können Sie bei Problemen beim Verständnis oder bei der Bearbeitung von Aufgaben mir eine schreiben. Eine Übersicht Hier ist eine Liste von Themen mit Klausur-relevanten Aufgaben. (1) Das Tensorprodukt M N (Blatt 1). Dies ist natürlich grundlegend für die ganze Vorlesung. Sehr wichtig: Das Tensorprodukt von Algebren (Blatt 3, Seite 7). Aufgaben: Blatt 1 (1, 2, 3). Blatt 11 (4) (2) Die Tensor-Algebra T M (Blatt 2). Auch dies ist eine grundlegende Konstruktion, vor allem um andere Algebren zu definieren, wie die äußere Algebra Λ M und die Clifford-Algebra C(q). In der Klausur wird es eher um Λ M und C(q) gehen. (3) Die symmetrische und die äußere Algebra (Blatt 3, 4). Bei der symmetrischen Algebra S M handelt es sich bei M = R n um den Polynomring R[x 1,...,x n ]. Hierzu haben wir wenig Neues gemacht. Wichtig für die Klausur ist vor allem Λ M und die einzelnen äußeren Potenzen Λ k M. Wichtig:Blatt3,Lemma1.DieuniverselleEigenschaftvonΛ M (Blatt3, Proposition 10). Die universelle Eigenschaft von Λ k M (Blatt 4, Proposition 6). Aufgaben: Blatt 3 (1, 2). Blatt 4 (1, 2). (4) Zyklische Algebren(Blatt 5). Wichtig ist vor allem der Fall der Quaternionen- Algebren (der Fall n = 2). Siehe insbesondere Blatt 4, Proposition 9. Aufgaben: Blatt 5 (1, 2, 3). 1 Fassung vom 17. Juli, 18. Juli (Mit Beweis von Lemma 1)

2 2 (5) Azumaya-Algebren (Blatt 6-11, Vorlesung und [K]). Stichworte: A op. Einfache Algebren, zentrale Algebren. Definition der Ähnlichkeit von Azumaya- Algebren. Die Brauer-Gruppe. Minimale Rechts-Ideale. Struktursatz A M n (D) Definition des Grades deg(a). Satz von Skolem-Noether. Automorphismen von M n (K) (Blatt 10, Korollar 4). Minimalpolynom. Zentralisator- Satz. Aufgaben: Blatt 6 (4). Blatt 7 (1). Blatt 8 (1, 2, 4). Blatt 9 (1). Blatt 11 (1). (6) Die Clifford-Algebra (Blatt 12-13). Wichtig ist hier, daß Sie in der Clifford-Algebra einer Diagonalform q = a 1,...,a n (a i 0) rechnen können. Siehe insbesondere: Blatt 12: Satz 2, Satz 3, Korollar 4. Besonders wichtig: Blatt 13, Satz 1. Auch: Blatt 13, Korollar 4. Definition der geraden Clifford-Algebra (Blatt 13). Es gibt unten noch zwei Nachträge. Aufgaben: Blatt 12 (1, 3, 4), Blatt 13 (1, 3)

3 3 Eine Wiederholung zu quadratischen Formen Lemma 1. Über dem Körper K (char K 2) betrachte man zwei diagonale 2-dimensionale quadratische Formen mit gegebenen a, b, c, d K \{0}. q 1 (x,y) = ax 2 +by 2 q 2 (x,y) = cx 2 +dy 2 Die beiden Formen sind genau dann isometrisch über K wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) Es gibt ein e K mit abcd = e 2. (2) q 1 und q 2 haben einen gemeinsamen von 0 verschiedenen Wert. (Das heißt für gewisse x i, y i K.) q 1 (x 1,y 1 ) = q 2 (x 2,y 2 ) 0 Beweis. Siehe Vorlesung. (Dies war Aufgabe 4 auf Blatt 9 der LA II.) Hier ist eine Beweis-Skizze: Bemerkung I: Ist q eine quadratische Form und ist a = q(v) 0 ein Wert, so gibt es eine Diagonalisierung q = a,a 2,a 3,...,a n (Man nehme v als ersten Basis-Vektor e 1, dann steht in der Matrix zu q das a oben links. Dann diagonalisiert man wie in der Linearen Algebra.) Bemerkung II: Sind p und q isomorphe (=isometrische) quadratische Formen, so unterscheiden sich det(q) und det(p) nur um ein Quadrat. (Es ist ja dann B p = S t B q S, und daher det(b p ) = det(b q )det(s) 2.) Nun zum Beweis. Man geht aus von Es sei q 1 q 2. Also: oder für ein S GL 2 (K). q 1 = a,b q 2 = c,d q 2 = q 1 S B q2 = S t B q1 S

4 4 Dann folgt (1) aus Bemerkung II wegen det(q 1 ) = ab det(q 2 ) = cd Man nehme nun irgendeinen Wert 0 von q 2, etwa das erste Diagonal-Element: c = q 2 (1,0) = q 2 (e 1 ) Dann ist c = q 2 (e 1 ) = q 1 (Se 1 ) auch ein Wert von q 1. Dies zeigt (2). Umgekehrt: Es gelte (2). Es sei q 1 (v 1 ) = f = q 2 (v 2 ) ein gemeinsamer Wert. Nach Bemerkung I hat man q 1 f,g 1 q 2 f,g 2 Gilt nun auch (1), so folgt mit Bemerkung II ab = fg 1 e 2 1 cd = fg 2 e 2 2 also g 2 = g 1 (e 1 /e 2 ) 2 und damit q 2 f,g 2 f,g 1 q 1 Dieses Lemma war (hoffentlich) hilfreich bei Blatt 12 (Aufgabe 4). Explizite Beispiele (K = Q): 2,3 5,30 7,42

5 5 Ergänzung: Die universelle Eigenschaft für C(q) Normalerweise schiebe ich nicht kurz vor der Klausur noch schnell einen Satz nach, aber diesen können Sie wohl verkraften. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der universelle Eigenschaft für die äußere Algebra. Proposition 2. Es sei eine quadratische Form. q: V K Für jede K-Algebra A und jede K-lineare Abbildung f: V A mit f(v) 2 = q(v) (v V) gibt es genau einen K-Algebrenhomomorphismus mit für v V. f: C(q) A f(v) = f(v) Beweis. Das übliche Argument: Mit der universellen Eigenschaft der Tensor- Algebra (Blatt 2, Proposition2) bekommt man aus f zunächst einen K-Algebrenhomomorphismus f : T V A mit f (v) = f(v) Wegen der Voraussetzung f(v) 2 = q(v) (v V) gilt f ( q(v) 1 v v ) = 0 Nun ist C(q) aber der Quotient von T V nach dem von den Elementen q(v) 1 v v erzeugten Ideal. Die universelle Eigenschaft von Quotienten liefert f.

6 6 Aufgabe 1. Man bestimme die Anzahl der Elemente der Gruppe Z/15Z Z Z/15Z Z Z/3Z Aufgabe 2. Man bestimme die Anzahl der Elemente der Gruppe Z/15Z Z Z/5Z Z Z/3Z Aufgabe 3. Es sei M ein R-Modul. Man zeige, daß es eine R-lineare Abbildung f: Λ 3 M M Λ 2 M gibt mit f(v 1 v 2 v 3 ) = v 1 (v 2 v 3 )+v 2 (v 3 v 1 )+v 3 (v 1 v 2 ) Aufgabe 4. (1) Es sei A eine K-Algebra. Man zeige, daß µ: A A op End K (A) µ(a b)(x) = axb ein Algebren-Homomorphismus ist. (2) Man zeige, daß µ im Falle einer Azumaya-Algebra A ein Isomorphismus ist. Hinweis. Dies kam in der Vorlesung oft vor. Können Sie (2) begründen ohne nachzulesen? Aufgabe 5. Es seien A, B K-Algebren. Wann ist die K-Algebra A K B einfach, wann zentral, wann Azumaya? Geben Sie die bekannten Bedingungen dafür an.

7 Aufgabe 6. Es seien a,b,c,d K und A = C( a,b,c,d ) (1) Definieren Sie eine K-lineare bijektive Abbildung f: Q(a,b) Q(c,d) A (2) Geben Sie ein Beispiel eines Körpers K und von Elementen a,b,c,d K an, so daß die beiden Algebren nicht isomorph sind: Q(a,b) Q(c,d) A 7 Aufgabe 7. Man zeige für K = Q: Q(2,3) Q(7,42) Aufgabe 8. Gegeben seien a,b,c,d K. Man finde e,f K mit Q(a,b) Q(c,d) Q(a,e) Q( acd,f) Aufgabe 9. Wir betrachten über R die folgende quadratische Form: Man bestimme C(q). Anmerkung. Die quadratische Form q = 1, 1, 1, 1 q(x 0,x 1,x 2,x 3 ) = x 2 0 x2 1 x2 2 x2 3 heißt Lorentz-Metrik der Minkowski-Metrik. Sie spielt eine grundlegende Rolle in der speziellen Relativitätstheorie (Zeit-Koordinate + 3 Raum-Koordinaten).

8 8 Aufgabe 10. Die folgenden Matrizen γ i M 4 (C) heißen Gamma-Matrizen oder auch Dirac-Matrizen: 1 1 γ 0 = 1 1, γ 1 = 1 1, 1 1 Es gelten γ 2 = i i i i, γ 3 = γ 0 γ 0 = 1, γ 1 γ 1 = 1, γ 2 γ 2 = 1, γ 3 γ 3 = 1, γ 0 γ 1 = γ 1 γ 0, γ 0 γ 2 = γ 2 γ 0, γ 0 γ 3 = γ 3 γ 0, γ 1 γ 2 = γ 2 γ 1, γ 1 γ 3 = γ 3 γ 1, γ 2 γ 3 = γ 3 γ 2. (a) Wir betrachten über C die folgende quadratische Form: q = 1, 1, 1, 1 Begründen Sie, warum es einen Homomorphismus gibt mit f: C(q) M 4 (C) f(e i ) = γ i Hinweis. Wenden Sie die universelle Eigenschaft von C(q) an. (b) Begründen Sie, warum f ein Isomorphismus ist. Hinweis. Benutzen Sie, daß C(q) für dimq = n = 2k eine Azumaya- Algebra vom Rang 2 n ist. (c) Begründen Sie nun, warum die γ i die K-Algebra M 4 (C) erzeugen. Hinweis. Explizites Nachrechnen ist langweilig und nur etwas für Physiker! (d) Geben Sie eine Matrix ( 0) an, die mit γ 1, γ 2, γ 3 kommutiert.