Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 2011 Dozent: Christian Pötzsche

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1 Lineare Algebra für Informatiker TUM Sommersemester 20 Dozent: Christian Pötzsche Janosch Maier 3. Juli 20 Herzlichen Dank an Lucas Westermann, Florian Scheibner ( com/lswest/lamitschrift) und Michael Kern deren Mitschriften ich als Vorlage für Kapitel 2.4 genommen habe, sowie Michael Lettrich, Bernhard Schneider, Sebastian Speth und alle anderen, die mich auf Fehler hingewiesen haben. Texte, die kursiv geschrieben sind, sind meine Anmerkungen, die hoffentlich zum Verständniss beitragen. Ich kann leider nicht für die Richtigkeit dieser Mitschrift garantieren, habe aber versucht, so wenig Fehler, wie möglich zu machen. Ich wünsche viel Spaß Janosch Maier Inhaltsverzeichnis Grundlegendes 7. Relationen Definiton: Relationen Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Bemerkung: Gerichtete Graphen Beispiel Definition: Äquivalenzrelationen Beispiel Beispiel Abbildungen Definition: Abblildung / Funktion Bemerkung Beispiel: Identische Abbildung Beispiel Beispiel

2 .2.6 Beispiel: ASCII-Code Definition: Umkehrabbildung Beispiel Korrolar Matrizen Definiton: Matrix Beispiel n-tupeln, m-spalten Beispiel: Kronecker-Symbol, Einheits- und Nullmatrix Beispiel: Diagonal- und Dreiecksmatrizen Bemerkung Beispiel Beispiel Beispiel: RGB-Raum Beispiel: Inzidenzmatrix Satz: Rechenregeln für Matrizen Lineare Gleichungen Definition: Lineare Gleichungen Bemerkung Satz: Superpositionsprinzip Satz Beispiel Beispiel: Rückwärts-Substitution Beispiel Satz Satz Lineare Räume Algebraische Strukturen Definition: Gruppe Bemerkung Bemerkung: Potenzen Beispiel Beispiel Beispiel: Modulo Beispiel: Symmetrische Gruppe Korrolar: Rechnen in Gruppen Definition: Körper Beispiel Beispiel: Restklassenkörper modulo p Korolar Bemerkung Vektorräume Linearer Raum, Vektorraum Beispiel Beispiel Lösungsmenge Lg Beispiel: Funktonenräume Korolar Definition Unterraum Bemerkung

3 2.2.9 Beispiel: Stetige und stetig-differenzierbare Funtionen Beispiel Satz: Schnitte und Summen von Unterräumen Lineare Abhängigkeit Definiton: Spann Beispiel Beispiel: Monome Proposition Korrolar Definition: Lineare Unabhängigkeit Bemerkung Beispiel Poposition Beispiel Satz Basis und Dimension Definition: Basis Beispiel Beispiel: Standardbasis Beispiel: Polynome Lemma Satz Bemerkung: Koordinaten Satz Proposition Lemma: Austauschsatz von Steinitz Satz: Dimension Bemerkung Beispiel Beispiel Korollar Korollar Komplemente und direkte Summen Definition: Direkte Summe Beispiel Beispiel Satz Satz Anwendung: Matrizen und lineare Gleichungen Definition: Rang einer Matrix Bemerkung Proposition Lineare Abbildungen Grundlagen Difiniton: Lineare Abbildung Bemerkung Beispiel Beispiel: Affine Abbildungen Beispiel: Die Abbildung T A

4 3..6 Beispiele Beispiel: Vorwärts-Schift Definiton: Kern, Bild, Rang Proposition Satz Beispiel Satz: Dimensionssatz Korrolar Satz: Prinzip der linearen Fortsetzung Bemerkung Isomorphismen Definiton Bemerkung Beispiel: Transponierte Beispiel: Polynome Lemma Satz Bemerkung Proposition Satz Satz Lineare Abbildungen und Matrizen Satz (darstellende Matrix) Bemerkung Beispiel: Polynome Proposition Korollar Satz Bemerkung Satz: Die Abbildung T A Bemerkung Definition: Inverse Matrix Beispiel Korollar Definition: Regulär, Singulär Satz: Charakterisierung regulärer Matrizen Satz Satz: Basiswechsel Definition: Ähnlichkeit Bemerkung Eigenwerte Determinanten Definition: Signum Beispiel Proposition Bemerkung Definition: Determinante Bemerkung Beispiel

5 4..8 Beispiel Lemma Satz: Multiplikativität von det Satz Korollar Bemerkung Propostition: Entwicklung von det Beispiel Beispiel: Dreiecksmatrizen Proposition: Inverse und det Beispiel Eigentwerte und Eigenvektoren Definition: Eigenwert, -vektor und -raum Bemerkung Beispiel Beispiel: Shift-Oporator Proposition Korollar Das charakteristische Polynom Definition: charakteristisches Polynom Bemerkung Satz Beispiel Propostition Beispiel Satz Diagonalisierung und Trigonalisierung Definition: diagonalisierbar, trigonalisierbar Bemerkung Satz: Charakterisierung von Diagonalisierbarkeit Beispiel Satz: Charakterisierung von Trigonalisierbarkeit Bemerkung: Jordan-Normalform Beispiel Korollar Korollar Satz: von Cayley-Hamilton Bemerkung Innere Produkte Skalarprodukte und Orthogonalität Inneres Produkt Bemerkung Bemerkung: Orthogonalität Beipsiel: Euklidischer Raum Beispiel: Unitärer Raum Beispiel Definition: Orthogonales Komplement Beispiel Proposition

6 5..0 Satz Definition: Orthogonal- und Orthonormalbasis Beispiel Proposition Proposition Satz Beispiel: Legendre-Polynome Adjungierte Abbildung Satz: Riesz scher Darstellungssatz Definition: adjungierte Abbildung Bemerkung Beispiel: Transponierte Beispiel: Hermite sche Satz Selbstadjungierte Abbildung Definition: Selbstadjungiert Beispiel: Euklidischer Raum Beispiel: Unitärer Raum Beispiel Satz Bemerkung Korollar

7 Grundlegendes Mengen: A, B; A B; A B; A B Literatur Mathematik für Informatiker: Teschl, Hackenberger Lineare Algebra: Beutelspacker, Fischer. Relationen.. Definiton: Relationen Gegeben seien Mengen X und Y. Eine Teilmenge R des karthesischen Produktes X Y = {(x, y) : x X, y Y } () heißt Relation. Im Fall X = Y spricht man von einer Relation auf X. Ferner: R = {(y, x) Y X : (x, y) R} heißt Umkehrrelation...2 Beispiel Die Menge R 0 = {(x, y) X Y : X ist Hauptstadt von Y } ist eine Relation zwischen der Menge X aller Länder und Y aller Städte...3 Beispiel Mit der Menge X = R, Y = [0, ) ist R = {(x, x ) X Y : x X} eine Ralation mit der Umkerrelation R = {( x, x) Y X : x X} 7

8 ..4 Beispiel Mit den Mengen X = Y = R ist R 2 = {(x, y) Y Y : x y} eine Ralation mit R 2 = {(y, x) : x y}..5 Beispiel R 3 = {(x, y) C C : x und y haben gleichen Hersetller} ist eine Relation auf der Menge aller Computer C...6 Bemerkung: Gerichtete Graphen Relationen R auf endlicher Mange X können alternativ wie folgt dargestellt werden. Man repräsentiert die Elemente von X als Punkte in der Ebene (Knoten) und verbindet x, y X genau dann durch einen Pfeil (gerichtete Kante), wenn (x, y) R gilt. Das Paar (X, R) heißt gerichteter Graph oder Digraph. Beispiel: X = {a, b, c} R = {(a, b); (b, c); (c, a)} 8

9 R 2 = {(b, a), (a, a), (c, c)} Eigenschaften von Relationen Eine Relation R auf X heißt Reflexiv (x, x) R : x X Transitiv (x, y) R (y, z) R (x, z) R : x, y, z X Symmetrisch (x, y) R (y, x) R : x, y X..7 Beispiel Die Relation R 2 aus Beispiel..4 ( ) ist reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch. Die Relation R 3 aus Beispiel..5 (Computer selben Herstellers) ist reflexiv, transitiv, symmetrisch..8 Definition: Äquivalenzrelationen Eine Relation A auf einer Menge X heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Für ein Paar (x, y) A schreiben wir x y und nennen x und y äquivalent...9 Beispiel. Sei X eine beliebige Menge. Dann ist {(x, y) X X : x = y} eine äquivalenzrelation (Identitätsrelation) 2. Ebenso ist das ganze Produkt X Y eine Äquivalenzrelation (Allrealation) 3. Die Relation R 3 aus Beispiel..5 ist eine Äquivalenzrelation. Mit ihr lassen sich Computer nach Hersteller klassifizieren. Für jedes x X ist die Menge [x] = {y Xx y} die von x erzeugte Äquivalenzklasse und ein Element y [x] heißt Repräsentant von [x]...0 Beispiel. Für die Identitätsrelation ist [x] = {x} für alle x X 2. Die Allrelation besitzt genau eine Äquivalenzklasse [x] = X 3. Im Beispiel..5 sind die Äquivalenzklassen die Menge aller Computerhersteller 9

10 .2 Abbildungen F D B (2).2. Definition: Abblildung / Funktion Eine Relaltion F zwischen zwei nichtleeren Mengen D und B heißt Abbildung oder Funktion von D nach B, falls für alle x D gilt:. y B : (x, y) F 2. Mit y, y 2 B folgt aus (x, y ) F und (x, y 2 ) F, dass y = y 2 Die Menge D heißt Definitionsbereich und B Bildbereich von F. Im Fall D = B spricht man von einer Abbildung auf D oder einer Selbestabbildung auf D..2.2 Bemerkung Veranschaulicht man Funktionen auf (endlichen) Mengen D als gerichtete Graphen (Bemerkung..6), so geht von jedem Knoten genau eine Kante ab. Anstelle der Notation F D B, (x, y) F schreibt man auch f : D B, x f(x) oder y := f(x) Mit einer weiteren nichtleeren Menge C und einer Abbildung g : B C ist die Verknüpfung (Komposition) von g und f definiert als g f : D C, (g f)(x) := g(f(x)). Im Fall von Abbildungen f, g auf D gilt im Allgemeinen f g g f. 0

11 Satt einzelner Punkte x D kann man auch Mengen X D abbilden: f(x) := y B : x X : y = f(x) f(x) heißt Bild von X unter f. Das Urbild einer Menge Y B ist definiert durch: f (Y ) := x D : f(x) Y. Eine Abbildung f : D B heißt: injektiv f ({y}) enthält für alle y B höchstens ein Element. surjektiv f ({y}) enthält für alle y B mindenstens ein Element. bijektiv f ({y}) enthält für alle y B genau ein Element. Eine Abbildung f : D B ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist..2.3 Beispiel: Identische Abbildung Die identische Abbildung auf einer Menge D ist id D : D D, id D (x) := x. Sie ist bijektiv..2.4 Beispiel Die Relation R 0 aus Beispiel..2 zwischen X = {Land} und Y = {Stadt} ist eine Funktion r 0 : X Y : r 0 (Land) :=Hauptstadt von Land. Ihr Bild ist r 0 (X) = {Hauptstädte} und die Urbilder lauten: r 0 ({S}) = { falls s keine Hauptstadt {l} falls s Hauptstadt von l (3) Folglich ist r 0 injektiv, aber nicht surjektiv. Betrachtet man die Menge aller Hauptstädte von r 0, so ist diese Abbildung auch surjektiv.

12 .2.5 Beispiel Die Relation R zwischen R und [0, ) aus Beispiel..3 ist eine Abbildung und lässt sich schreiben als r : R [0, ), r (x) := x Für sie gilt r (R) = [0, ) und r ({y}) = { y, y} für alle y [0, ) Also ist r : R [0, ) surjektiv, aber nicht injektiv. Betrachten wir r mit ganz R als Bildbereich, so gilt: r ({y}) = für y < 0 und dann ist r nicht mehr surjektiv..2.6 Beispiel: ASCII-Code Der ASCII-Code zur Codierung alpha-numerischer Zeichen ist gegeben durch eine bijektive Abbildung f : {0,,, 27} {ASCII darstellbare Zeichen}.2.7 Definition: Umkehrabbildung Einfache Beispiele (etwa Beispiel.2.5 zeigen, dass die Umkehrrelation F einer Abbildung F D B bzw. f : D B nicht unbeding eine Abbildung ist. Eine Abbiludng f : D B heißt umkehrbar, falss ihre Umkehrrealation F wieder eine Abbildung ist. Für letztere schreibt man f : B D und nennt sie Umkehrabbildung von f..2.8 Beispiel Mit einer umkehrbaren Abbildung f : D B ist auch ihre Umkehrfunktion f : B D umkehrbar mit.2.9 Korrolar f f = id D (4) f f = id B (5) Eine Abbildung f : D B ist genau dann umkehrbar, wenn f bijektiv ist. Für injektives f existiert die Umkehrfunktion nur auf f(d)..3 Matrizen Wir führen kurz die komplexen Zahlen C ein. Darunter versteht man alle Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R mit der Addition und der Multiplikation z + z 2 := (x + x 2, y + y 2 ) (6) z z 2 := z z 2 = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ) (7) wobei z = (x, y ), z 2 = (x 2, y 2 ). Differenz und Quotient ergeben sich zu z z 2 = (x x 2, y y 2 ) (8) 2

13 z Alternative Darstellung: = ( x x 2 + y y 2 z 2 x 2 2 +, x 2y x y 2 y2 2 x ) (9) y2 2 z = (x, y) = x + iy (0) mit Realteil x, Imaginärteil y und der Konvention i 2 =.3. Definiton: Matrix Im Folgenden stehe K für eine der drei Mengen Q (rationale Zahlen), R (reelle Zahlen) oder C. Eine m n-matrik ist ein rechteckiges Schema von Zahlen a ij K der Form: a a 22 a n a 2 a 22 a 2n A = (i, j) i m; j n () a m a m2 a mn Der erste Index i {,, m} nummeriert die m Zeilen, der zweite Index j {,, n} die Spalten der Matrix A. Das Element a ij K steht daher in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Für die Menge aller solchen Matrizen schreiben wir K m n. Für eine quatdtatische Matrix A gilt m = n und die a ij heißen Diagonalelemente. Warum arbeiten wir mit Matrizen? Drehungen, Spiegelungen lassen sich gut durch Matrizen beschreiben. Google Pagerank lässt sich durch eine Matrix beschreiben. A = a a n..... a m a mn.3.2 Beispiel n-tupeln, m-spalten, a ij K (2) Ein n-tupel x = (x,, x n ) von Zahlen x i aus K wird als n-matrix interpretiert. Eine m-spalte x x =. (3) x m 3

14 wird als m -Matrix verstanden. wir identifizieren K m = K m.3.3 Beispiel: Kronecker-Symbol, Einheits- und Nullmatrix Wir definieren das Kronecker-Symbol δ ij := {, i = j 0, i j (4) und I n := (δ ij ) i,j n ist die Einheitsmatrix. Bemerkung des Verfassers: Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Bei der Nullmatrix 0 = (0) i m, j n sind alle Elemente gleich 0 K..3.4 Beispiel: Diagonal- und Dreiecksmatrizen Mann naennt eine quaratische Matrix A = (a ij ) i,j n diagonal, falls a ij = 0 für i j. Wir schreiben dann: a a 22 0 A = = diag(a,, a nm ) (5) 0 0 a mn Eine obere Dreiecksmatrix ist quadratisch und erfüllt a ij = 0 für i > j, wogegen eine untere Dreiecksmatrix a ij = 0 für i < j erfüllt. Sie sind von der Form a a 2 a n 0 a 22 a 2n A = (6) 0 0 a mn bzw. a 0 0 a 2 a 22 0 A = a n a n2 a mn Mathematische Operationen für Matrizen: skalare Multiplikation: K K m n K m n, α A = αa = (αa ij ) i m, j n. Wir schreiben A := ( ) A (7) Addition + : K m n K m n K m n, A + B = (a ij + b ij ) i m, j n. Die Substrakiton lautet A B = A + ( B) Genau für m n Matrizen A und n p Matrizen B lässt sich eine Multiplikation erklären: K m n K n p K m p, A B = AB := ( n k= a ikb kj ) i m, j p das Produkt ist also eine m p Matrix Merke: Das Produkt macht nur Sinn, falls die Spaltenzahl der ersten mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. 4

15 .3.5 Bemerkung. Um Produkte von Matrizen A K m n und B K n p zu berechnen eigenet sich das Schema: A B C C = ( a ik b kj ) i m, j n (8) k= 2. Speziealfall: A in K m n, x K n.3.6 Beispiel Das Produkt von A = ( Ax = k= ) und B = a k x k. a nk x k ( (9) ) lautet: (20) ( ) 6 7 also C = AB = 26 3 ( ) 0 9 In umgekehrter Reihenfolge gilt: BA =. Daher ist das Produkt 4 27 von Matrizen nicht kommutativ. Im Allgemeinen gilt: A B B A..3.7 Beispiel. Für A K m n gilt I m A = A = AI n ( ) ( ) Für A = und B = gilt AB = 0, womit das Produkt von Matrizen nicht nullteilerfrei ist, das heißt: AB = 0 kann gelten, ohne, dass ein Faktor A = 0 oder B = 0 ist. ( ) ( ) Das Produkt von und ist nicht definiert; Das ( ) ( ) ( 8 9 ) Produkt = dagegen schon Beispiel: RGB-Raum Im RGB-Farbmodell werden Farben durch Tripel (r, g, b) reellere Zahlen r, g, b R beschrieben: (255, 0, 0) = rot, (0, 0, 255) = blau, (255, 255, 0) = gelb. Alternativ: YIQ-Modell (y, i, q). 5

16 Die Umrechnung geschieht durch eine Matrixmultiplikation: y 0, 3 0, 6 0, i = 0, 6 0, 3 0, 3 r g (2) q 0, 2 0, 5 0, 3 b.3.9 Beispiel: Inzidenzmatrix Gerichtete Graphen ohne Schleifen (siehe Beispiel..6) mit den Knoten {ˆ,, ˆm} und den Kanten {,, n} lassen sich durch eine Inzidenzmatrix A R m n beschreiben mit:, von Knoten î geht die Kante j aus a ij :=, in Knoten î mündet die Kante j aus (22) 0, Knoten î und Kante j berühren sich nicht A = A = 0 0 Nicht Schleifenfrei!.3.0 Satz: Rechenregeln für Matrizen Für Zahlen α K und Matrizen A K m n, B K n p gelten das Distributivgesetz A(B + C) = AB + AC für alle C K n p und die Assoziativ-Gesetze (αa)b = A(αB), A(BC) = (AB)C für alle C K p q 6

17 .4 Lineare Gleichungen.4. Definition: Lineare Gleichungen Es seien A K m n und B K. Dann bezeichnet (L b ) : A x = b (23) als lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für die n Unbekannten x,, x n K oder kurz als lineare Gleichung mk n. A heißt Koeffizientenmatrix und b Inhomogenität von (L b ). Im Fall b 0 nennt man (L b ) inhomogen und erhält andernfalls die homogene Gleichung (L 0 ) = A x = 0 (24) Eine Lösung von (L b ) ist ein Element x K n mit Ax = b und steht für die Lösungsmenge von (L b )..4.2 Bemerkung L b := x K n : Ax = b (25). Ausgeschrieben lautet (L b ): a x + a 2 x + + a n x n = b (.4a) a 2 x + a 22 x + + a 2n x n = b2 a m x + a m2 x + + a mn x n = b3 (26) oder noch unübersichtlicher a ij x j = b i (27) j= für i m 2. (L 0 ) hat stets die triviale Lösung 0 K n Inhomogene Gleichungen müssen nicht unbedingt lösbar sein: 0x =.4.3 Satz: Superpositionsprinzip Es seien x, y K n Lösungen von (L 0 ). Dann ist auch αx + βy eine Lösung von (L 0 ), d.h. αx + βy L 0 für alle α, β K.4.4 Satz Ist ˆx K n eine Lösung von (L b ), so gilt: L b = ˆx + L 0 Hierbei: Für gegebene x K n, A K n ist x + A := {y K n : es gibt ein a A mit y = x + a} Beweis: Hausaufgabe Nun: Explizite Lösung von (L b )! 7

18 Besonders einfach, falls A K n n diagonal ist. Gilt nämlich a ii 0, i n, so besitzt (L b ) die eindeutige Lösung x K n mit Elementen x = b i a ii für i n; (28) ist dagegen a ii = 0 für ein i n, so besitzt (L b ) undenlich viele Lösungen für b i = 0 und andernfalls keine Lösung. Allgemeinere Klasse: ein A K m n ist in Zeilen-Stufen-form (ZSF), falls in jeder Zeile gilt: i Beginnt sie mit k Nullen, so stehen unter diesen Nullen lediglich weitere Nullen ii Unter dem ersten Element 0 stehen nur Nullen Bei strenger ZSF muss zusätlich gelten: iii Über dem ersten Element 0 stehen nur Nullen.4.5 Beispiel. Obere Dreiecksmatrizen sind in ZSF, Diagonalmatrizen sogar in strengenr ZSF 2. Bezeichnet * ein Element 0, so gilt:, 0 0, sind nicht in ZSF ist in ZSF, aber nicht streng. ist in strenger ZSF..4.6 Beispiel: Rückwärts-Substitution Die inhomogene lineare Gleichung x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 =, (.4b) = x 2 + 2x 3 + 3x 4 =, x 3 + 2x 4 = (29) hat die Koeffiziententmatrix bzw. Inhomogenität A = , b = (30)

19 Rückwärtssubstitution: Aus der letzten Gleichung x 3 + 2x 4 = sieht mann, dass x 4 = t frei gewählt werden kann, t K. Dies liefert x 3 = 2t. Die bekannten Variablen x 3, x 4 können in die zweite Gleichung von (.4b) eingesetzt werden, also x 2 = 2x 3 3x 4 = t und analog liefert die erste Gleichung x = 2x 2 3x 3 4x 4 = 0. Die Lösungsmenge von (.4b) ist also L b = t 2t K4 : t K = + K 2 (3) t 0 Die Lösungsmenge L b von (L b ) ändert sich nicht, wenn folgende Operationen auf (.4a) angewadt werden: Vertauschen von Gleichungen elementare Multiplikation von Gleichungen mit α \{0} Zeilentransformation Addition des α-fachen der k-ten Gleichung zur j-ten ZIEL: Transformiere A bzw. (L b ) auf ZSF vermöge elementarer Zeilentransformationen. Systematisch: Gauß Algoritmhus Zu seiner Beschreibung gehen wir davon aus, dass die erste Spalte von A von 0 verschieden ist (andernfalls sind x i,, x n umzunummerieren): Ohne Sonderfälle gilt:. Ordne die Gleichungen in (.4a) so an, dass a n 0. In der gängigsten Notation schreibt man (.4a) als: a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b (32) b 3 a m a m2 a mn b 4 2. Substraiere von der i-ten Gleichung, 2 i m in (.4a) das a i a -fache der ersten Gleichung (.4c) = a a 2 a n a 2 a () 22 a () 2n a m a (2) m2 a () mn b b 2 b 3 b 4 { a x a n x n = b A () x () = b () (33) 3. Transformiere A () x () = b () entsprechend und fahre sukzessive fort, bis (idealerweise) eine Dreiecks- oder ZSF entstanden ist. 4. Löse das resultierende System durch Rückwärtssubstitution..4.7 Beispiel Als kurschreibweise für x + 2x 2 +3x 3 = 0 (.4d) = 4x 4 + 5x 5 +6x 6 = 0 7x 7 + 8x 8 +9x 9 = 0 (34) 9

20 verwenden wir II 4I 0 III 7I 0 0 ( 3 ) 0 III 2II { x + 2x 2 + 3x 3 = 0 (35) (36) (37) Damit ist (.4d) äquivalent zu x 2 + 2x 3 = 0 Rückwärts-Substitution: Wähle x 3 = t mit t K und es folgt x 2 = 2x 3 = 2t, x = 2x 2 3x 3 = t. Die Lösungsemenge von (.4d) ergibt sich zu:.4.8 Satz L 0 = t 2 K 3 : t K = K 2 (38) Hat (L 0 ) weniger Gleichungen als Unbekante, d.h. m < n, so besitzt sie undendlich viele Lösungen. Beweis: I Man zeigt (*) (L 0 ) hat eine nichttriviale Lösung II Da (L 0 ) nach Schritt (I) eine Lösung x 0 besitzt, ist nach dem Superpositionsprinzip aus Satz.4.3 auch jedes t x, t K, eine Lösung..4.9 Satz Besitzt (L b ) genau so viele Gleichungen wie Unbekannte, d.h. m = n, so gilt: a) Ist L 0 = {0}, so besitzt (L b ) genau eine Lösung b) Besitzt (L 0 ) eine nichttriviale Lösung, so existieren entweder keine oder aber undenlich viele verschiedene Lösungen von (L b ) Beweis a) Wir gehen mittels vollständiger Induktion vor: Für n = gilt die Behauptung offenbar. Im Induktionsschritt gelte (a) für n. Da (L 0 ) nur die triviale Lösung hat, gilt A 0 Durch Umnummerieren erreichen wir a 0. Dann wird zur i-ten Gleichung, 2 i, in (.4a) das a i a -fache der ersten Gleichung addiert: a x a n x n = b n (.4f) = A x 2.. x n = b (39) 20

21 mit A K (n ) (n ), b K n Die homogege Gleichung A x = 0 hat nur die triviale Lösung, denn sonst hätte (L 0 ) eine nichttriviale Lösung. Das Teilsystem A x = b besitzt nach Induktionsannahme genau eine Lösung x mit Elementen x 2,, x n. Durch Einsetzen in die erste Gleichung in (.4f) folgt ein eindeutiger Wert x und damit ist die Lösung von (L b ) in eindeutiger Weise. b) Es sei ˆx eine Lösung von (L b ) und x eine nichttriviale Lösung von (L 0 ). Dann liefern Die Sätze.4.3 und.4.4 dass ˆx + αx die Gleichung löst für jedes α K. In diesem Fal hat (L b ) undendlich viele Lösungen. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist, dass (L b ) keine Lösung hat. 2

22 2 Lineare Räume 2. Algebraische Strukturen Bezeichnet M eine Menge und F (M) die Menge aller Selbstabbildungen auf M, so kann die Komposition als Abbildung : F (M) F (M) F (M) interpretiert werden man spricht von einer Verknüpfung. 2.. Definition: Gruppe Eine Gruppe (G, ) ist eine nichtleere Menge G mit einer Verknüpfung : G G G mit den Eigenschaften (G ): ist assoziativ: d.h. a (b c) = (a b) c für a, b, c G (G 2 ): es existiert ein neutrales Element e G mit a e = a = e a für a G (G 3 ): zu jedem a G existiert ein inverses Element a a a = a a = e für a G G mit Bei einer kommutativen oder Abel schen Gruppe gilt ferner: (G 4 ): a b = b a für alle a, b G Für eine Halbgruppe müssen nur (G ) und (G 2 ) gelten Bemerkung. Das neutrale Element e G ist eindeutig: In der Tat bezeichnen e, e 2 G zwei neutrale Elemente, so folgt nach (G 2 ): e 2 = e e 2 und e e 2 = e, also e = e Zu gegebenem a G ist auch das inverse Element a G eindeutig. Für inverse Elemente a, a 2 von a gilt nämlich a (G 2 ) = a e (G 3) = a (a a 2 ) (G ) = (a a) a (G 3 ) 2 = e a (G 2 ) 2 = a 2 (40) 3. Entsprechend e = e, a = (a ) 2..3 Bemerkung: Potenzen Die Potenzen a n G eines a G (G multiplikative Halbgruppe) sind rekursiv erklärt durch a 0 := e, a n+ = a a n, n N 0 (4) in einer Gruppe setzen wir a n := (a n ) für n < 0 22

23 2..4 Beispiel. (Z, +) ist eine kommutative additive Gruppe mit neutralem Element 0 und dem zu a Z inversen Element a. Dagegen ist (Z, ) keine Gruppe, denn das multiplikative Inverse lässt sich innerhalb von Z nicht erkären. Ebenso ist (N, +) keine Gruppe. 2. Es sei K {Q, R, C}. Dann ist (K, +) eine kommutative additive Gruppe mit neutralem Element 0 und a als zu a Inversen. Auch (K\{0}, ) ist eine kommutative multiplikative Gruppe mit neutralem Element und dem zu a inversen Element a. 3. Mit K {Z, Q, R, C} bilden die Matrizen (K m m, +) eine kommutative additive Gruppe mit neutralem Element 0 und dem Inversen A zu A. Die quadratischen reellen, rationalen oder komplexen Matrizen (K n n \{0}, ) bilden keine Gruppe, da etwa diag(, 0) 0 kein Inverses besitzt Beispiel Denken Sie sich eines aus! 2..6 Beispiel: Modulo Es sei p 2 eine ganze Zahl und Z p := {0,..., p }. Für beliebige a, b Z gibt es vermöge der Division mit Rest eindeutige m Z und k Z p mit a+b = mp+k; Wir schreiben dann k = a + b mod p oder k =: a + p b (42) Dann ist (Z p, + p ) eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element Beispiel: Symmetrische Gruppe Es sei M eine nichtleere Menge und S(M) bezeichnet alle bijektiven Selbstabbildungen f : M M. Dann ist die symmetrische Gruppe (S(M), ) eine im Allgemeinen nicht kommutative Gruppe mit id M als neutralem Element und f : M M als inversem Element zu f. Im Fall M = {,, n} schreiben wir S n := S({,, n}). Die Menge aller nicht-notwendig bijektiven Selbstabbildungen F (M) ist dagegen eine Halbgruppe bezüglich Korrolar: Rechnen in Gruppen Für alle a, b, c G gilt (a b) = b a (43) a b = a c b = c (44) a b = e a = b (45) 23

24 Beweis Es seien a, b, c G. Wir zeigen zunächst, dass b a das inverse Element von a b ist. Dazu (b a ) (a b) (G ) = b (a (a b)) (G ) = (46) b ((a a) b) (G3) = b (e b) (G2) = (47) b b (G 3) = e (48) und entpsrechend (a b) (b a ) = e. Die erste Implikation ergibt sich nach Voraussetzung durch b (G 2) = e b (G 3) = (a a) b (G ) = (49) a (a b) = a (a c) (G) = (a a) c (G3) = (50) e c (G 2) = c (5) Die verbleibende Implikation sei dem Leser überlassen Definition: Körper Ein Körper (K, +, ) ist eine Menge K mit mindestens zwei Elementen versenen, mit den arithmetischen Operationen + : K K K (Addition) und : K K K (Multiplikation). (K ): (K, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und dem zu α K inversen Element α, d.h. für alle α, β, γ K gilt: (K ) : α + (β + γ) = (α + β) + γ (52) (K 2 ) : α + 0 = 0 + α = α (53) (K 3 ) : α + ( α) = ( α) + α = 0 (54) (K 4 ) : α + β = β + α (55) (K 2 ): (K\{0}, ) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element und zu α K Inversem α, das heißt es gilt für α, β, δ K\{0} (K 2) : α (β γ) = (α β) γ (56) (K 2 2) : α = α = α (57) (K 3 2) : α ( α) = ( α) α = (58) (K 4 2) : α β = β α (59) (K 3 ): Es gelten die Distributivgesetze α(β + γ) = α β + α γ, (α + β) γ = αγ + βγ, für alle α, β, δ K Üblich αβ := α β Subtraktion als α β := α + ( β) Division als α β := α β 24

25 2..0 Beispiel Q, R, C sind Körper bezüglich +,. 2.. Beispiel: Restklassenkörper modulo p Mit einer gegebenen Primzahl p N definieren wir die Mengen Z p := {0,, p }. Dann gibt es für beliebige α, β Z eindeutige Zahlen m, n Z und k, l Z p derart, dass α + β = mp + n (60) α β = np + l Division mit Rest (6) (2.a) Addition: α + p β := k Mulitiplikation: α p β := l (Z p, + p, p) ist Körper, der sogenannte Restklassenkörper modulo p. Z 2 : Z 2 : XOR (62) AND (63) Z 3 : Z 3 : (64) (65) 2..2 Korolar Ist (K, +, ) ein Körper, so gilt für alle α, β, γ K, dass (2.b) 0 α = α 0 = 0, β ( α) = ( β) α (66) (2.c) ( ) α = α, ( α) ( β) = α β (67) und ferner die Implikation α β = 0 α = 0 β = 0 (68) Körper sind nullteilerfrei. 25

26 2..3 Bemerkung es gilt 0, da die Annahme = 0 folgenden Widerspruch imzliziert: Da K mindestens 2 Elemente enthält gibt es ein α K, α 0 mit α K2 2 = α = α 0 = (2.b) = 0 (69) Daher ist der Restklassenkörper modulo 2 Z 2 der kleinste Körper. Beweis Wähle α, β, γ K. Es gilt: (K 2 ) 0 α ( 0 + 0) α (K3) 0 α + 0 α (70) mittels Korrolar 2..8 (+, a = b = 0 und c = 0, folgt aus a 0 = 0, Kommutativität liefert α 0 = 0. Aus dieser Behauptung resultiert ( β) α + β α K 3 = ( β + β) α K2 2 = 0 α = 0 (7) Mit Korrolar.2.8 (+, α = ( β) α, β = β α) Dies liefert (β α) = ( β) α und β ( α) = (β α). Die Beziehung ( ) α = α reslutiert aus dem eben gezeigten β = und ( ) α = ( α) K2 2 = α, 2.c ergibt sich mit Bemerkung 2..2(3) aus ( α) ( β) (2.b) = (α( β)) (2.b) = ( (α β)) = α β α β = 0 Annahme: α 0 und β 0, dann (K3 2 = ) β α α β (2.b) = Vektorräume 2.2. Linearer Raum, Vektorraum Es sei K ein Körper. Ein Vektorraum oder Linearer Raum (X, +, ) (über K) ist eine nichtleere Menge X mit arithmetischen Operationen a) Addition +: X X X derart, dass (X, +) eine Kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 oder Nullvektor ist. b) Skalare Multiplikation : X X K derart, dass für alle α, β K und x, y X gilt: V : α (x + y) = αx + αy Distributivgesetz (72) V 2 : (α + β) x = αx + βx Distributivgesetz (73) V 3 : (αβ) x = α (β x) Assoziativgesetz (74) V 4 : x = x (75) Die Elemente aus K heißen Skalare und X heißen Vektoren. αx := α x, x y := x + ( y) 26

27 2.2.2 Beispiel Es sei (K, +, ) ein Körper (0) Der triviale Raum {0} der nur die 0 enthält () Weiter ist K ein Vektorraum über sich selbst. (2) Die Menge aller m n-matrizen K m n ist ein linearer Raum über K bezüglich Addition und Multiplikation aus Beispiel.3.4. Ein n-tupel (x, x n ) K n bezeichnen wir als Zeilenvektor und eine m- Spalte (siehe Beispiel.3.2) als Spaltenvektor Beispiel Es sei p N ein Primzahl und n N. Dann sind die n-spalten Z n p in Z p mit der komponentenweisen Addition + p und der skalaren Multiplikation p ein linearer Raum über Z p Insbesondere für Z n 2 ) + 2 ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 ( ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ) (76) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 0 (77) Lösungsmenge Lg Mit Satz.4.3 ist L 0 einer homogenen Gleichung ein Vektorraum über K. Die Lösungsmenge L b inhomogener Gleichungssystem ist kein linearer Raum über K Beispiel: Funktonenräume Es sei Ω und X ein Linearer Raum über K. Dann ist F (Ω, X) := {u := Ω X} ein Vektorraum über K mit punktweise definierten arithmetischen Operationen (u + v)(t) := u(t) + v(t) (78) für alle t Ω, α K; (α u)(t) := αu(t) (79) 27

28 Die Menge F (Ω, X) (Funktionen mit gleicher Definitionsmenge) wird als Funktionenraum bezeichnet. Falls Ω N oder Ω Z, dann bezeichen wir F (Ω, X) als Folgenraum Korolar Ist (X, +, ) ein linearer Raum über K, so gilt für alle Skalare α, β K und Vektoren x, y X: a) 0 K x = α 0 X = 0 X b) Falls α x = 0, so folgt α = 0 K oder x = 0 X c) ( α) x = α ( x) = (α x) d) α(x y) = αx αy und (α β) x = αx βx Beweis Es sei α K und x X a) Es gilt: 0 K x = (0 K + 0 K ) x = 0 K x + 0 K x wegen V 2. Nach Definition a existiert zum Vektor z := 0 K x ein Vektor z mit 0 K x+( z) = 0 X und wir erhalten 0 X = 0 K x+( z) = (0 K x+0 K x)+( z) = 0 K x+(0 K x+( z)) = 0 K x + 0 X = 0 K x und die Beziehung α 0 K = 0 X folgt analog. b) Es gelte αx = 0 mit α 0 und wir zeigen x = 0 X. α 0 α. Nach (a) folgt α (αx) = α 0 X = 0 X und andererseits α (αx) = ( αα)x = x = Definition Unterraum Eine nichtleere Teilmenge Y X eines linearen Raumes (X, +, ) über K heißt Unterraum von X, falls gilt Bemerkung α y + α 2 y 2 Y : α, α 2 K; y, y 2 Y (80) Jeder lineare Raum X hat die trivialen Unterräume {0} und X Beispiel: Stetige und stetig-differenzierbare Funtionen Es sei I R ein Intervall. Die Menge der stetigen Funktionen C(I, R n ), auf I mit Bildern in R n ist ein Unterraum von F (I, R n ). Ebenso sind die stetigdifferenzierbaren Funktionen C (I, R n ) ein Unterraum von C(I, R n ) und F (I, R n ) Beispiel Mit gegebenem Körper K definieren wir den Raum der Polynome (über K) durch P (K) := {p F (K, K) n N 0 : a 0,, a n K : p(t) = n k=0 a kt k }. Seine Elemente heißen Polynome und die a k deren Koeffizienten. Dann ist P (K) ein Unterraum von F (K, K). Der Grad deg p eines Polynoms p P (K) ist der maximale Index k N 0 für den a k 0 ist. Für m N 0 sind die Mengen P m (K) := {p P (K) : deg(p) m} (8) 28

29 Unterräume von P (K), wogegen {p P (K) : deg(p) = m} (82) für m 0 kein Unterraum ist. Ferner ist jedes P n (K) Unterraum vom P m (K) für 0 n m Satz: Schnitte und Summen von Unterräumen Ist I eine nichtleere Indexmenge {Y i } i I eine Familie von Unterräumen von X, so gilt: a) Der Durchschnitt i I Y i ist ein Unterraum von X b) Für endliches I ist die Summe i I Y i := { i I y i X : y i Y i ; i I} der kleinste Unterraum von X, der jedes Y i enthält. Für I = {,, n} schreibt man auch Y + + Y n = i I Y i. Beweis: (a): Es seien α, β K und x, y i I. Dann gilt x, y Y i für alle i I und, da jedes Y i ein Unterraum von X ist, folgt αx + βy Y i für jedes i I. Dies impliziert, dass αx + βy i I Y i. (b): Wir zeigen Y := i I Y i ist ein Unterraum von X. Dazu sei x = i I x i und y = i I Y i mit x i, y i Y i und wir erhalten: αx + βy = α i I x i + β i I y i = i I (αx i + βy i ) Y (83) für alle α, β R. Zu zeigen: Y ist kleinster Unterraum, der alle y i enthält. Dazu sei Z Y ein weiterer Unterraum von X der alle y i enthält. Für x i Y i ist dann auch x i Z für alle i I, da Y i in Z enthalten sind. Aus der Unterraumeigenschaft von Z resultiert i I x i Z und folglich ist Y Z. 2.3 Lineare Abhängigkeit Gegeben sei eine nichtleere Menge S von Vektoren aus einem linearen Raum X über dem Körper K. Existieren zu einem gegebenen x X dann endlich viele Koeffizienten α i K und x i S, i n, mit x = n i= α ix i, so bezeichen wir x als Linearkombination der Vektoren aus S Definiton: Spann Es sei S X. Der Spann oder die lineare Hülle spans von S ist eine Menge aller Linearkombinationen der Vektoren aus S. Ferner setzt man auf span{ } = { } 29

30 2.3.2 Beispiel Für enddliche S = {x,, x n } ist spans = { α i x i X : α i K} (84) i=i ( ) ( ) 0 K = R : e i =, e 0 2 = gilt span{e, e 2 } = R 2. ( ) ( ) span{x, x 2 } = R 2, wenn x = und x 2 =. ( ) ( ) ( ) 2 Aber y = und y 2 = dann span{y 2, y 2 } = R R Beispiel: Monome Polynome m n (t) := t n, n N 0 heißen Monome. Dann lassen sich die Polynome als lineare Hülle der Monome darstellen. Das heißt span{m n } n N0 = P (K) insbesondere ist span{m 0,, m n } = P n (K) span{m 2n } n N0 = {p P (K) : p(t) = p( t) auf K} (85) span{m 2n } n N = {p P (K) : p(t) = p( t) auf K} (86) Mengen der achsen- oder punktspiegelbaren Polynome Proposition Es sei S X nichtleer. Dann ist die Lineare Hülle von S der kleinste S umfassende Unterraum von X. Beweis: Wenn x, y S ist αx + βy in spans (α, β K) Also ist spans Unterraum von X. spans enhält die Vektoren aus S und damit ist S spans Y X ist ein Unterraum von X mit x Y für sämtliche x S. Dann liegen sämtliche Linearkombinationen von Vektoren aus S in Y. Also ist spans in Y enthalten Korrolar Ist x eine Lienarkombination von Vektoren aus S X, so gilt. spans = span(s {x}). Beweis Wir zeigen die Behauptung durch zwei Inklusionen ( ): Es ist klar, dass spans span(s {x}). ( ): Als Linearkombination von Vektoren aus S liegt x auch in spans. Demnach ist spans derjenige Unterraum welcher S und x enthält. Damit folgt aus Proposition 2.3.4, dass span(s {X}) = spans. 30

31 2.3.6 Definition: Lineare Unabhängigkeit Eine endliche Menge {x,, x n } von Vektoren aus X heißt linear unabhängig, falls gilt: ξ k x k = 0 ξ k = 0 für alle k =,, n (87) k= Für beliebige Mengen S X nennt man S linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist. Die leere Menge wird als linear unabhängig betrachtet. Eine Teilmenge von X heißt linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig ist. Man nennt die Vektoren x, x 2, linear unabhängig, venn {x, x 2, } diese Eigenschaft hat. Einschub: Griechische Buchstaben (die Herr Pötzsche mag) η eta ξ xi Ξ Xi ζ zeta λ lambda Ω Omega χ chi Bemerkung. Lineare Abhängigkeit einer endlichen Menge {x,, x n } bedeutet, dass eine nichttriviale Darstellung der Null aus Vektoren x k existiert. Man kann also (2.3a) : ξ k x k = 0 (88) k= schreiben, ohne dass alle ξ k verschwinden. 2. Jede Obermenge einer linear abhängigen Menge ist linear abhängig. Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig Beispiel Die Menge {0} ist linear abhängig; dagegen ist {x}, x 0 linear unabhängig Poposition Es sei S X nichtleer und x,, x n X. a) Ist S = {x,, x n } linear abhängig, so lässt sich mindestens ein Vektor aus S als Linearkombination der weiteren Elemente von S darstellen. b) Für jede Linearkombination x aus S ist S {x} linear abhängig. 3

32 Beweis a) Weil {x,, x n } linear abhängig ist, besitzt 0 die Darstellung (2.3a) (Siehe 2.3.7) in welcher nicht alle ξ k verschwinden. Also existiert ein Index k n mit ξ k 0 und damit x k = ξ k k=,k k ξ k x k = k,k k ( ξ k ξ k )x k (89) b) Mit x = n k= ξ kx k ist x n k= ξ kx k eine nichttriviale Darstellung der 0. In X = K m gilt: Es sei S = {a,, a n } K m. Mit der m n-matrix A := (a,, a n ) ist die Beziehung ξ k a k = 0 (90) k= (vgl. (2.3a) in Bemerkung 2.3.7) äquivalent zu: ξ (2.3b) : Ax = 0, x =. (9) Demzufolge ist S genau dann linear unabhängig, wenn Ax = 0 nur die triviale Lösung hat. Aus Satz.4.8 (in Verbindung mit Blatt 5, Aufgabe ) erhalten wir daher, dass mehr als m Vektoren stehst linear abhängig sind Beispiel ξ n. Für die kanonischen Einheitsvektoren in K m e =., e 2 = 0,, e m = (92) gilt in obiger Terminologie A = I m. Also besitzt Ax = 0 nur die triviale Lösung und {e,, e m } ist linear unabhängig. 2. Es sei λ R : Um die lineare Unabhängigkeit von x = 2 3, x 2 = 4 5 6, x 3 = 7 8 λ (93) in R 3 zu untersuchen, betrachten wir die Gleichung (2.3b) (vgl ) mit 4 7 A = (94) 3 6 λ 32

33 und lösen sie mit dem im Beispiel.4.7 beschriebenen Schema: I II 3 6 λ 0 3I III : λ 0 III 2II (95) λ 0 (96) Also hat Ax = 0 für λ 9 nur die triviale Lösung (lineare Unabhängigkeit von {x, x 2, x 3 } und für λ = 9 nichttriviale Lösungen (lineare Abhähngigkeit) Satz Eine Menge S X ist genau dann linar unabhängig, wenn jedes x spans auf nur eine Art (bis auf Glieder mit Nullkoeffizienten) als Linearkombination von Vektoren aus S dargestellt werden kann. 2.4 Basis und Dimension Es sei X ein linearer Raum über K Definition: Basis Eine Menge X X heißt Basis von X, falls X linear unabhängig mit X = spanx. Eine Menge X mit X = spanx heißt Erzeugendes System (EZS) von X. Man nennt X endlich erzeugt, falls er ein endliches EZS besitzt Beispiel Die Basis von {0} ist die leere Menge Beispiel: Standardbasis Die mittels der kanonischen Einheitsvektoren aus Beispiel 2.3.0() gebildete Menge E m := {e,, e m } ist eine Basis von K m, die sogenannte Standardbasis, damit ist K m endlich erzeugt Beispiel: Polynome Für K = R oder K = C sind M n := {m 0,, m n } aus Beispiel eine Basis der Polynome P n (K) von maximalem Grad n. Ebenso ist {m n } n N0 eine Basis von P (K). Somit ist jedes P n (K) endlich erzeugt. P (K) dagegen nicht Lemma Es sei S X linear unabhängig. Gilt dann x / spans, so ist auch S {x} linear unabhängig. 33

34 Beweis Es ist nachzuweisen, dass jede endliche Teilmenge von S {x} linear unabhängig ist. Dazu sei {x,, x n, x} eine solche Menge und n k= ξ kx k + ηx = 0 eine Darstellung der Null. Wäre η 0, so könnte man x als Linearkombination der x,, x n darstellen, dies widerspricht x / spans. Also gilt η = 0. Da aber {x,, x n } linear unabhängig ist, folgt ξ = = ξ n = 0. In trivialer Weise ist X ein EZS von X. Unser Interesse besteht aber gerade in kleinen EZSen Satz Mit nicht leerem X X sind äquivalent: a) X ist eine Basis von X b) Jeder Vektor x X lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus X darstellen. c) X ist maximal linear unabhängig, d.h. X ist linear unabhängig und für jedes x X \ X ist X {x} linear abhängig. d) X ist ein minimales EZS, d.h. keine echte Teilmenge von X ist ein EZS Bemerkung: Koordinaten Besitzt x X bzgl. der Basis X := {x,, x n } die nach Satz 2.4.6(b) eindeutige Darstellung x = n k= ξ kx k mit Koeffizienten ξ k K so bezeichnet man das n-tupel (ξ,, ξ n ) als Koordinaten von x (bzgl. X ). Von nun an sei X endlich erzeugt Satz Jedes endliche EZS eines Vektorraumes enthält eine Basis. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte lineare Raum eine Basis. Beweis Es sei X ein endliches EZS. Ist X keine Basis, so kann X nicht minimal sein und es existiert eine echte Teilmenge X X, die ebenfalls ein EZS ist. Ist wiederum X keine Basis, so existiert erneut eine echte Teilmenge X 2 X, die X erzeugt. Durch Iteration erhält man eine echt absteigende Folge von Teilmengen X 2 X X. Diese Folge bricht nach endlich vielen Schritten ab, da X endlich ist, d.h. es gibt ein minimales X k. Dieses X k ist nach Satz eine Basis von X Proposition Ist X endlich erzeugbar und S X linear unabhängig, so existiert eine Basis von X, welche S als Teilmenge enthält Lemma: Austauschsatz von Steinitz Ist {x,, x p } linear unabhängig und {y,, y n } ein EZS von X, so gilt p n und nach einer Umnummerierung der y k ist {x,, x p, y p+,, y n } ein EZS von X. 34

35 2.4. Satz: Dimension Falls X eine Basis von n Elementen besitzt, enthält jede Basis von X genau n Elemente. Wir bezeichnen n als Dimension von X und schreiben n = dimx Bemerkung Ein linearer Raum X heißt unendlich-dimensional (symbolisch: dimx = ) falls er kein endlichen EZS besitzt, anderenfalls heißt er endlich-dimensional. Beweis Es seien {x,, x n } und auch {y,, y m } Basen von X. Mit Lemma folgt dann n m, wie auch m n, und somit m = n Beispiel Für die bislang betrachteten Räume ist dimk n = n, dimk m n = m n, dimp n (R) = n+ und dimp (R) = dimc (R, R) = dimc(r, R) = dimf (R, R) =. C ist die Menge der differenzierbaren Funktionen, C ist die Menge der stetigen Funktionen Beispiel Die komplexen Zahlen C sind ein 2-dimensionaler Vektorraum über R und ein -dimensionaler Raum über C Korollar In linearen Räumen X mit n := dimx gilt:. Weniger als n Vektoren aus X sind kein EZS. 2. Mehr als n Vektoren aus X sind linear abhängig. 3. Jedes EZS mit n Elementen ist eine Basis. 4. Jede linear unabhängige Menge mit n Elementen ist eine Basis. Beweis. jedes EZS enthält laut Satz eine Basis. Für jedes aus weniger als n Vektoren bestehenden EZS gäbe es dann auch eine Basis mit Weniger als n Elementen. Dies widerspricht Satz Laut Proposition ist jede linear unabhängige Menge Teil einer Basis. Somit hätte man mit einer linear unabhängigen Familie von mehr als n Vektoren auch eine Basis mit mehr als n Elementen im Widerspruch zu Ein EZS enthält wegen Satz eine Basis und ist wegen Satz 2.4. bereits eine solche. 4. Mit Proposition ist eine linear unabhängige Familie Teilmenge einer Basis und mit Satz 2.4. eine Basis. 35

36 2.4.6 Korollar Für jeden Unterraum Y eines endlich-dimensionalen Raumes X ist dimy dimx, Gleichheit gilt genau für X = Y. 2.5 Komplemente und direkte Summen Wieder sei X ein linearer Raum über K Definition: Direkte Summe Es seien Y, Y 2 X Unterräume. Dann heißt Y 2 Komplement von Y in X, falls gilt:. Y + Y 2 = X 2. Y Y 2 = {0} man schreibt X = Y Y 2 und nennt X direkte Summe von Y, Y 2 Beispiele in R 3 y y 2 {} y y = R 3 y + y R 3 36

37 2.5.2 Beispiel Im Raum X = R 3 ist die Gerade Y 2 := x x 2 X : x = x 2 = x 3 x 3 ein Komplement zur Ebene (97) Y := {x X : x x 2 + x 3 = 0} (98) In der Tat liegt x Y Y 2, so erfüllen die Elemente des Durchschnittes x x 2 + x 3 = 0 x x 2 = 0 (99) x 2 x 3 = 0 und folglich x = 0; dies bedeutet Y Y 2 = {0}. Anderereseits liegen y =, y 2 = 0 in Y und y 3 = in Y 2 (00) 0 Da {y, y 2, y 3 } eine Basis von R 3 = X bilden, gilt auch Y + Y 2 = X Beispiel Wir betrachten den Unterraum Y := {p P (K) : p(0) = 0} von X = P (K). Dann gilt P (K) = Y P 0 (K), d.h. der lineare Raum aller konstanten Polynome ist ein Komplement von Y Satz Es seien Y, Y 2 X Unterräume. Es ist X = Y Y 2 genau dann, wenn es zu jedem x X eindeutige y Y, y 2 Y 2 mit x = y + y 2 gibt. Beweis ( ) Es sei Y 2 ein Komplement von Y in Y. Wegen Y + Y 2 = X lässt sich jedes x X darstellen als x = y + y 2 mit y Y, y 2 Y 2. Um deren Eindeutigkeit zu verifizieren, seien ŷ Y, ŷ 2 Y 2 zwei weitere Vektoren mit x = ŷ + ŷ 2. Das impliziert y ŷ = ŷ 2 y 2 und y i ŷ i Y für i =, 2 und folglich y ŷ i Y Y 2 für i =, 2. Wegen Y Y = {0} folgt y = ŷ und y 2 = ŷ 2. ( ) Umgekehrt seien Y, Y 2 X Unterräume derart, dass sich jedes x X eindeutig als Summe x = y + y 2 mit y i Y i, i =, 2 darstellen lässt. Dann gilt sicherlich Y + Y = X. Ist nun x Y Y 2, so gilt x = x + 0 = 0 + x und da die Darstellung eindeutig sein muss, resultiert x = 0, also Y Y 2 = {0} 37