II. Klein Gordon-Gleichung

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1 II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In jedem dieser Fälle lässt sich ein solcher Wellenfunktion-basierter Formalismus sinnvoll nur auf wechselwirkungsfreie (oder kurz: freie) Teilchen anwenden in Anwesenheit von Wechselwirkungen können Teilchen im relativistischen Regime leicht erzeugt werden, oder sie können zerfallen, was mit Wellenfunktionen nicht beschrieben werden kann. Hier wird zunächst in Abschn. II.1 die freie Klein Gordon-Gleichung eingeführt, deren Lösungen in Abschn. II.2 diskutiert werden. Die physikalische Deutung einiger dieser Lösungen führt zu Schwierigkeiten, die sich am besten im Rahmen einer quantenfeldtheoretischen Beschreibung vermeiden lassen. Somit werden in Abschn. II.3 einige Elemente der zweiten Quantisierung der Klein Gordon-Wellenfunktion kurz dargestellt. II.1 Heuristische Herleitung Bekannterweise lautet die Schrödinger-Wellengleichung in Ortsdarstellung für ein nicht-relativistisches freies Teilchen mit der Masse m ψ(t, x) i 2 ψ(t, x), t 2m (II.1) mit 2 dem Laplace-Operator. Diese Gleichung folgt aus der nicht-relativistischen Energie Impuls-Beziehung E p 2 /2m, indem die Energie E bzw. der Impuls p durch den auf Wellenfunktionen wirkenden Differentialoperator i / t bzw. i ersetzt wird. Wendet man jetzt nach Schrödinger, vgl. [9], Gl. (34) (36) diese Korrespondenz auf die relativistische Energie Impuls-Relation E 2 p 2 c 2 m 2 c 4 an, so ergibt sich die Wellengleichung ) ( 2 2 t c 2 φ(t, x) m 2 c 4 φ(t, x). (II.2) Diese Gleichung wird (wechselwirkungsfreie) Klein Gordon-Gleichung genannt [10, 11]. In relativistischer Notation gilt 1 2 c 2 t i i µ µ, (II.3) mit dem d Alembert-Operator, der offenbar relativistisch kovariant ist, denn es handelt sich um einen Lorentz-Quadrat. Dann lautet die Klein Gordon-Gleichung (II.2) in kovarianter Schreibweise ( + m2 c 2 ) φ(x) 0. (II.4) 2 Dank der relativistischen Kovarianz des d Alembert-Operators ist das Verhalten dieser Gleichung unter einer Lorentz-Transformation x x völlig durch das Verhalten der Wellenfunktion φ(x) unter der Transformation bestimmt. Falls die Letztere sich gemäß φ(x) φ (x ) φ(x) transformiert, stellt die Klein Gordon-Gleichung auch eine skalare Gleichung dar. In diesem Fall ist φ(x) ein Lorentz-Skalar, entsprechend einem Teilchen mit Spin 0. Bemerkungen: Die Korrespondenz E i / t, p i lässt sich kurz als p µ i µ umschreiben. Wird dies in p µ p µ m 2 c 2 eingesetzt, so folgt Gl. (II.4) sofort. (II.5) II. Klein Gordon-Gleichung 21

2 Statt von der Beziehung E 2 p 2 c 2 + m 2 c 4 auszugehen, könnte man die Korrespondenz in die genauere Gleichung E p 2 c 2 + m 2 c 4 einsetzen, da die Energie eines Teilchens positiv sein soll. Wendet man aber den auf der rechten Seite resultierenden Differentialoperator m 2 c 4 2 c 2 auf Wellenfunktionen an, so ergeben sich Ortsableitungen der Letzteren beliebiger Ordnung, entsprechend einer nicht-lokalen Gleichung, was unbefriedigend ist. Eine Lösung φ(x) der Klein Gordon-Gleichung kann entweder reell- oder komplexwertig sein. Die Möglichkeiten werden im nächsten Abschnitt anhand der allgemeinen Lösung der Gleichung (II.4) noch diskutiert. II. Klein Gordon-Gleichung 22

3 III. Dirac-Gleichung Historisch wurde die Existenz der Lösungen der Klein Gordon-Gleichung mit negativer Energie als einen Beweis der Irrelevanz der Gleichung für Physik angesehen, bevor die Stückelberg Feynman- Interpretation und die zweite Quantisierung eingeführt wurden. Da diese damals unerwünschten Lösungen daraus folgen, dass die Klein Gordon-Gleichung (II.4) zweiter Ordnung in der Zeit t ist, wurde nach einer relativistischen Wellengleichung gesucht. Eine solche Gleichung wurde durch P. A. M. Dirac gefunden [14] und wird in Abschn. III.1 für den Fall eines freies Teilchen hergeleitet. Diese Gleichung nutzt Matrizen, deren Eigenschaften in Abschn. III.2 dargestellt sind. Schließlich befasst sich Abschn. III.3 mit den Lösungen der Gleichung sowie mit deren physikalischen Deutung. III.1 Heuristische Herleitung Die ursprüngliche Idee von Dirac bestand darin, die linke Seite der quadratischen relativistischen Energie Impuls-Beziehung p 2 m 2 c 2 0 als Produkt von zwei linearen Beiträgen zu faktorisieren p µ p µ m 2 c 2 (γ ν p ν + mc)(β λ p λ mc) wobei β λ, γ ν acht zu bestimmenden Koeffizienten sind. Dann gewährleistet das Verschwinden eines der Multiplikanden des rechten Glieds, dass die Beziehung erfüllt wird. Berechnet man das Produkt auf der rechten Seite, so ergibt sich durch Gleichsetzung der quadratischen und linearen Terme in p η µν p µ p ν β λ γ ν p λ p ν und mc(β λ γ λ )p λ 0. Die zweite Gleichung liefert β λ γ λ für λ 0,..., 3. Ersetzt man dann β λ in der ersten Gleichung, so lautet die Letztere (hier wird die Einstein sche Summenkonvention ausnahmsweise nicht verwendet!) (γ µ ) 2 (p µ ) 2 + (γ µ γ ν + γ ν γ µ )p µ p ν η µµ (p µ ) 2. µ0 µ,ν0 µ ν Der Vergleich der Koeffizienten der Bilinearformen in p 0, p 1, p 2, p 3 auf den beiden Seiten dieser Gleichung führt zu (γ 0 ) 2 +1, (γ 1 ) 2 1, (γ 2 ) 2 1, (γ 3 ) 2 1, γ µ γ ν + γ ν γ µ 0 für µ ν. (III.1) Mit Zahlen können diese Beziehungen nicht erfüllt werden die Wahlen γ 0 ±1, γ k ±i genügen ja den vier ersten Relationen, nicht aber der letzten. Um mögliche Lösungen des Systems (III.1) zu finden, soll man somit nicht nach Zahlen, sondern nach N N-Matrizen suchen. Mittels des Antikommutators zweier Matrizen {A, B} AB BA lassen sich die Beziehungen als { γ µ, γ ν} 2η µν 1 N (III.2) µ0 umschreiben, mit 1 N der N N-Identitätsmatrix und η µν den Komponenten des inversen metrischen Tensors. Die Matrizen kleinster Dimension, die den Beziehungen (III.2) genügen, sind 4 4-Matrizen. Der Fall N 1 entspricht Zahlen und wurde schon diskutiert. Für N 2 existieren ja drei linear unabhängige 2 2-Matrizen, die Pauli-Matrizen σ k, die tatsächlich miteinander antikommutieren: {σ j, σ k } 2δ jk. Die einzigen noch bleibenden linear unabhängigen Matrizen sind proportional zur Identität 1 2, die aber nicht mit den Pauli-Matrizen anitkommutiert: {1 2, σ k } 2σ k, so dass Beziehung (III.2) nicht erfüllt werden kann. III. Dirac-Gleichung 29

4 Für N 3 führt die Gleichung γ µ γ ν γ ν γ µ für µ ν zu (det γ µ )(det γ ν ) (det γ µ )(det γ ν ), d.h. eine der Determinanten muss gleich 0 sein, was vermeidet sein soll, damit das Produkt einer γ µ -Matrix mit einem nicht-verschwindenden D-komponentigen Vektor nicht Null ist. Eine mögliche Wahl, gennant Standard- oder Dirac-Darstellung, besteht aus den Matrizen ( ) ( ) γ , γ k 0 σk, (III.3) σ k 0 mit σ k für k 1, 2, 3 den üblichen Pauli-Matrizen ( ) 0 1 σ 1, σ ( 0 i i 0 ), σ 3 ( ) 1 0. (III.4) 0 1 Die Matrizen γ µ werden als Dirac-Gamma-Matrizen oder kurz Dirac-Matrizen bezeichnet. Zusammen bilden die vier Dirac-Matrizen γ µ eine Größe, die sich unter der Lorentz-Gruppe wie ein kontravarianter Vektor dessen Komponenten 4 4-Matrizen sind transformieren. Dementsprechend stellen die Beziehungen (III.2) die Komponenten einer Gleichung zwischen zwei Lorentz- Tensoren zweiter Stufe dar, wobei eine Komponente schon eine 4 4-Matrix ist. Sei a µ ein aus vier Zahlen bestehender kovarianter Vektor. Dann bezeichnet das Skalarprodukt a µ γ µ eine Lorentz-invariante 4 4-Matrix. Diese lässt sich auch kompakt in der durch Feynman eingeführten Slash-Notation als a a µ γ µ. (III.5) Die relativistische Energie Impuls-Beziehung p µ p µ m 2 c 2 0 für ein Teilchen der Masse m kann jetzt erfüllt werden, indem wir das Teilchen durch eine Größe ψ(x) beschreiben, auf das die Wirkung der Matrix γ µ p µ mc1 4 Null gibt: (γ µ p µ mc1 4 )ψ(x) 0, wobei wir im Folgenden die 4-dimensionale Identität 1 4 weglassen können. Unter Verwendung der Korrespondenz (II.5) zur Ortsdarstellung ergibt sich dann die Dirac-Gleichung (in Ortsdarstellung) ( iγ µ µ mc ) ψ(x) 0. (III.6a) Unter Verwendung der Slash-Notation lautet dies auch ( i mc ) ψ(x) 0. (III.6b) Da die Dirac-Matrizen der Dimension 4 sind, ist ψ(x) ein vierkomponentiger Spaltenvektor, der auch Dirac-Spinor oder 4-Spinor genannt wird. Unter Lorentz-Transformationen transformiert sich der Letztere aber nicht wie ein Vierervektor seine Komponenten sollten deshalb nicht mit einem Lorentz-Index µ 0, 1, 2, 3 bezeichnet werden. Die Anwesenheit der Pauli-Matrizen in den Dirac-Matrizen deutet darauf hin, dass die Dirac- Spinoren freie Teilchen mit dem Spin 1 2 beschreiben. Solche Teilchen besitzen aber nur zwei Freiheitsgrade, während ein Dirac-Spinor vier Freiheitsgrade hat. Tatsächlich werden wir im Folgenden sehen, dass ein Dirac-Spinor ein Spin- 1 2-Teilchen und sein Antiteilchen auf einmal beschreiben. Bemerkungen: Mittels des metrischen Tensors definiert man auch Matrizen γ µ. Andere Darstellungen der Dirac-Matrizen sind auch möglich, und lassen sich durch Basistransformationen im vierdimensionalen Vektorraum, auf welchen die γ µ -Matrizen wirken, erhalten. Zum Beispiel ist es manchmal bequemer, mit der folgenden sog. chiralen Darstellung zu arbeiten ( ) ( ) γ , γ k 0 σk. (III.7) σ k 0 III. Dirac-Gleichung 30

5 IV. Maxwell-Gleichungen Dieses Kapitel geht auf die relativistische Wellengleichung für ein wechselwirkungsfreies masseloses Teilchen mit Spin 1 ein. Dabei handelt es sich tatsächlich um die Maxwell-Gleichungen des freien elektromagnetischen Feldes, die in einem ersten Schritt in kovarianter Schreibweise geschrieben werden (Abschn. IV.1). Dann werden die Lösungen zu diesen Gleichungen in Abschn. IV.2 diskutiert, wobei die wichtige Rolle der Eichinvarianz offenbar wird. IV.1 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik Die Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik sind (fast definitionsgemäß) Lorentzkovariant. Somit bilden das Skalarpotential Φ(t, x) und das Vektorpotential A(t, x) einen Vierervektor, das Viererpotential A(x), mit den kontravarianten Komponenten ( ) Φ(x)/c A µ (x). (IV.1) A(x) Ausgehend vom Viererpotential definiert man einen zweimal kontravarianten Lorentz-Tensor F µν (x), den elektromagnetischen Feldstärketensor, als F µν (x) µ A ν (x) ν A µ (x). (IV.2) Unter Nutzung der Beziehungen E (t, x) φ(t, r) A(t, x), B(t, x) A(t, x) (IV.3) t prüft man nach, dass die Komponenten des Feldstärketensors einfach mit den Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder E, B verknüpft sind: F i0 i A 0 0 A i i A 0 0 A i E i c, F ij i A j j A i i A j + j A i ɛ ijk B k Diese Relationen lassen sich mithilfe der Matrixform des Feldstärketensors zusammenfassen 0 E x E y E z c c c E x F µν 0 B z B y c E y, (IV.4) B z 0 B x c E z B y B x 0 c wobei die x-abhängigkeit der Felder der Kürze halber nicht geschrieben wurde. Durch den elektromagnetischen Feldstärketensor können die Maxwell-Gleichungen in Abwesenheit äußerer Quellen durch 22 µ F µν (x) 0 ν (IV.5a) und µ F νρ (x) + ν F ρµ (x) + ρ F µν (x) 0 µ, ν, ρ. (IV.5b) ausgedrückt werden. Die Letztere entsprechend der Maxwell Thomson-Gleichung B 0 und 22 In Anwesenheit einer äußeren Ladungsdichte ρ(t, x) bzw. einer Ladungsstromdichte j(t, x) bilden die beiden einen Viererstrom mit kontravarianten Komponenten j µ (ρc, j) T und die Maxwell-Gleichung wird µf µν µ 0j ν. IV. Maxwell-Gleichungen 42

6 der Maxwell Faraday-Gleichung E + B/ t 0 enthält keine Dynamik und folgt sofort aus der Antisymmetrie des Feldstärketensors (IV.2). Dagegen bestimmt Gl. (IV.5a) die Dynamik der elektrischen und magnetischen Felder die ν 0-Komponente entspricht der Maxwell Gauß-Gleichung E 0, während die räumlichen Komponenten die Maxwell Ampère-Gleichung B + c 2 E / t 0 darstellen. Mit Gl. (IV.2) ergibt sich µ F µν (x) µ µ A ν (x) µ ν A µ (x) A ν (x) ν[ µ A µ (x) ]. Bekannterweise sind die Potentiale Φ und A, und somit A, nicht eindeutig definiert, sondern können gemäß sogenannter Eichtransformationen A µ (x) A µ (x) A µ (x) + µ χ(x) (IV.6) mit χ(x) einer skalaren Funktion transformiert werden, ohne die physikalischen Felder E und B bzw. den elektromagnetischen Feldstärketensor F µν zu ändern. Diese Eichfreiheit kann benutzt werden, um Gleichungen zu vereinfachen. Zum Beispiel kann man erfordern, dass das Viererpotential der Lorenz-Eichung-Bedingung µ A µ (x) 0 (IV.7) genügt. Unter dieser Forderung lauten die freien Maxwell-Gleichungen (IV.5a) einfach A ν (x) 0. (IV.8) Somit sind die Maxwell-Gleichungen ziemlich ähnlich der Klein Gordon-Gleichung (II.4), für den Fall masseloser Teilchen. Da A µ (x) sich wie ein (kontravarianter) Vierervektor transformiert, handelt es sich um Teilchen mit dem Spin 1. Bemerkungen: Für massive Teilchen mit dem Spin 1, beschrieben durch ein Vektorfeld V µ (x), heißt die relativistische Wellengleichung ( + m2 c 2 ) V µ (x) 0 (IV.9) 2 Proca-Gleichung, wobei m die Teilchenmasse bezeichnet. Wegen des Massenterms besitzt aber das Vektorfeld V µ (x) keine Eichfreiheit mehr. Die Lorenz-Eichung-Bedingung (IV.7) bestimmt noch nicht das Viererpotential eindeutig. Es gibt noch eine Eichfreiheit um einen Vierergradienten µ χ(x) mit χ(x) Lösung von χ(x) 0. In Abwesenheit äußerer Quellen kann diese Freiheit benutzt werden, um die temporale Weyl-Eichung- Bedingung A 0 (x) 0 (IV.10) zu erfordern. Dann wird die Lorenz-Eichung äquivalent zur Coulomb-Eichung A(t, x) 0. (IV.11) IV. Maxwell-Gleichungen 43

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