3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern

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1 Algebra I c Rudolf Scharlau, Erweiterungen von Ringen und Körpern In diesem Abschnitt werden Erweiterungen von Ringen (etwas vereinfacht gesagt: Oberringe), insbesondere Erweiterungen von Körpern behandelt. Hierzu wird zunächst etwas Terminologie eingeführt, die genügend präzise und allgemein genug ist, um später unterschiedliche Situationen abzudecken. Dann geht es darum, bei gegebenem Grundring R, meist einem Körper K, Erweiterungen mit bestimmten Eigenschaften zu konstruieren. Hierzu sind Polynome, genauer Polynomringe und ihre Faktorringe, ein wesentliches Hilfsmittel. (Tatsächlich enthält der obige Abschnitt über Polynome schon kleine Vorgriffe auf diesen Abschnitt, insbesondere bei der Behandlung des Einsetzungs-Homomorphismus.) Benutzt wird die (eigentlich sehr simple) Technik vor allem in der Körpertheorie und ihrer Anwendung auf polynomiale Gleichungen, die wir später in Kapitel 4 ausführlich behandeln werden. Allerdings beruhen auch andere, eher anwendungsorientierte algebraische Konstruktionen auf der geschickten Benutzung von Polynomringen. Solche Analogien werden besonders deutlich, wenn Erweiterungen nicht nur im Rahmen der Körpertheorie abgehandelt werden. Dewegen legen wir besonderen Wert auf den unten folgenden Satz und die darauf folgende Bemerkung Wie schon in vorangegangenen Abschnitten besitzen alle betrachteten Ringe ein Einselement und sind kommutativ, ausgenommen, etwas anderes ist ausdrücklich erwähnt. Ferner bildet jeder Ringhomomorphismus die Eins auf die Eins ab. Definition Eine Erweiterung eines Ringes R ist ein injektiver Ringhomomorphismus i : R S. Wenn i sich aus dem Zusammenhang ergibt, sagt man auch verkürzt, S sei eine Erweiterung von R. Insbesondere ist jeder Oberring S von R (das bedeutet: R ist Teilring von S) eine Erweiterung; hierbei ist i die Inklusionsabbildung. Es wäre anschaulicher, aber technisch weniger zweckmäßig, nur Oberringe als Erweiterungen zuzulassen. Dieses zeigen unter anderem die folgenden Beispiele: Beispiele (1) Der Polynomring R[X] ist eine Erweiterung von R mittels der Abbildung R R[X], a (a, 0, 0,..., ). (2) Der Matrizenring M n (K) ist eine Erweiterung von K mittels der Abbildung K M n (K), c ce n (Einheitsmatrix). (3) Der Ring F(X, R) aller reellwertigen Funktionen auf einer Menge X ist eine Erweiterung von R mittels der Abbildung R F(X, R), c f c, wobei f c die durch f c (x) = c für alle x X definierte konstante Funktion ist. (4) Die komplexen Zahlen, oft konstruiert als C = R R, sind eine Erweiterung von R durch die Abbildung R C, r (r, 0).

2 Algebra I c Rudolf Scharlau, Ein injektiver Ringhomomorphismus R S heißt auch Einbettung von R in S (eine Terminologie, die für viele algebraische und sonstige mathematische Strukturen üblich ist). Einbettungen und Erweiterungen von Ringen sind formal das gleiche, nur der Standpunkt ist ein anderer (bei der Einbettung ist S schon vorhanden, bei der Erweiterung wird S erst konstruiert). Wenn bei einer Erweiternung i : R S der Grundring R ein Körper ist und S nicht der Nullring, braucht die Injektivität nicht gefordert zu werden. Wegen i(1) = 1 ist nämlich i nicht die Nullabbildung, also nach Satz injektiv. Wenn ein Ring S eine Erweiterung eines Körpers K ist, etwa gegeben durch i : K S, so ist S in natürlicher Weise ein K-Vektorraum mit der Skalarmultiplikation (r, s) i(r)s, r K, s S. Diese einfache Beobachtung zusammen mit der eben gegebenen Liste von Beispielen führt auf folgende Definition, die eventuell schon aus der Linearen Algebra bekannt ist: Definition (K-Algebra) Es sei K ein Körper. Eine Algebra über K, kurz K-Algebra, ist ein nicht notwendig kommutativer Ring A, der gleichzeitig ein K- Vektorraum ist, so dass die Ringmultiplikation mit der Skalarmultiplikation wie folgt verträglich ist: (xa) b = x(a b) = a (xb) für alle x K, a, b A. Die oben unter genannten Beispiele von Erweiterungen sind Algebren (das erste Beispiel, also der Polynomring R[X], jedenfalls dann, wenn R ein Körper ist). Weiter wäre noch der Endomorphismenring eines Vektorraums zu nennen, der im endlich-dimensionalen Fall isomorph zu einer Matrizenalgebra ist. Bemerkung Gegeben sei ein Körper K. a) Es sei A eine K-Algebra. Dann wird durch x x1 A ein Ringhomorphismus K A definiert. Falls A kommutativ und {0} ist, kann also A als Erweiterung von K aufgefasst werden. b) Es sei umgekehrt i : K S eine Erweiterung von K. Dann wird durch die äußere Verknüpfung K S S, (x, a) i(x) a auf S die Struktur einer K-Algebra definiert. Beweis: Im Grunde ist alles einfaches Nachrechnen anhand der Axiome bzw. Definitionen. Es ist interessant zu sehen, wie die verschiedenen Bedingungen gut zusammen passen. So ergibt sich die multiplikative Homomorphieeigenschaft der Abbildung unter a) wie folgt: (xy)1 A = x(y1 A ) = x(y(1 A 1 A )) = x(1 A y1 A ) = x1 A y1 A.

3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Überprüfen wir als beispielhaften Teil von b) dasjenige Vektorraumaxiom, das den Zusammenhang zwischen Multiplikation in K und Skalarmultiplikation regelt: Für x, y K und a S gilt x(ya) = x(i(y) a) = i(x) (i(y) a) = (i(x) (i(y)) a) = i(xy) a = (xy)a. Überprüfen wir nun das zusätzliche Algebren-Axiom: Für x K, a, b S gilt (xa) b = (i(x) a) b = i(x) (a b) = x(a b) sowie a (xb) = a (i(x) b) = i(x) (a b) = x(a b). Bemerkung Für die unter angegebene Einbettung i A : K A gilt auch für nicht-kommutatives A i A (x) a = a i A (x) für alle x K, a A. Mit anderen Worten: das Bild i A (K) ist im Zentrum Z(A) = {z A a A : az = za} von A enthalten. Deshalb haben wir für jedes a A den Einsetzungs-Homomorphismus K[X] A, f f(a). (Siehe die Bemerkung 3.2.5). Für die Konstruktion von neuen Körpern aus einem gegebenen Körper ist folgender Satz von zentraler Bedeutung: Satz Es sei K ein Körper, p K[X] ein nicht-konstantes Polynom und (p) := pk[x] das von p erzeugte Hauptideal im Polynomring K[X]. a) Der Faktorring K[X]/(p) ist eine K-Algebra {0} und kann somit in natürlicher Weise als Erweiterung von K aufgefasst werden. Das Polynom p hat in dieser Erweiterung eine Nullstelle, nämlich die Restklasse X := X + (p). b) Für K[X]/(p) aufgefasst als K-Vektorraum gilt: (1) dim K K[X]/(p) = gradp =: n (2) 1, X,..., X n 1 ist eine K-Basis von K[X]/(p), wobei X := X + (p).

4 Algebra I c Rudolf Scharlau, c) K[X]/(p) ist ein Körper genau dann, wenn das Polynom p irreduzibel ist. Beweis: zu a): Da p mindestens den Grad 1 hat, gilt 1 / (p) und somit K[X]/(p) {0}. Jedes Ideal I K[X] ist insbesondere ein Untervektorraum des K-Vektorraumes K[X]. Somit besitzt der Faktorring L := K[X]/(p) eine K-Vektorraumstruktur und ist in der Tat eine K-Algebra. Da die kanonische Abbildung f f+(p) ein Ringhomomorphismus ist, folgt p( X) = p(x+(p)) = p(x)+(p) = (p) = 0 L, wie gewünscht. zu b): Es reicht, die zweite Behauptung zu zeigen. (i) Die Elemente 1, X,..., X n 1 sind linear unabhängig über K. Dazu sei n 1 i=0 λ X i i = 0 mit λ i K. Wir definieren g := n 1 i=0 λ ix i K[X]. Dann ergibt sich für die Restklasse g + (p) dieses Polynoms im Faktoring sofort g + (p) = ḡ = g( X) = 0. Wir haben somit das Polynom g als Element des Ideals (p) K[X] erkannt, d.h. g = h p mit einem geeigneten h K[X]. Wenn h nicht das Nullpolynom wäre, so müsste g mindestens den Grad n haben. Dies wäre ein Widerspruch zur Definition von g. Also ist h das Nullpolynom. Das Polynom g ist als Vielfaches von h ebenfalls das Nullpolynom, und die Koeffizienen λ i sind somit alle gleich Null, wie gewünscht. (ii) 1, X,..., X n 1 ist ein Erzeugendensystem von K[X]/(p) als K-Vektorraum. Dazu sei g K[X] ein beliebiges Polynom. Mittels Division mit Rest finden wir Polynome q, r K[X] mit grad(r) < n und g = q p + r. Es gilt ḡ = g + (p) = q p + r + (p) = r + (p) = r. Da r Linearkombintation von 1, X,...,X n 1 ist, ist die Restklasse ḡ = r Linearkombintation von 1, X,..., X n 1, wie gewünscht. zu c): Der Polynomring K[X] ist euklidisch und somit ein Hauptidealring. Wenn p K[X] irreduzibel ist, folgt mit Lemma , dass das Ideal (p) K[X] maximal ist. Nach Satz b) ist deshalb K[X]/(p) ein Körper. Wenn umgekehrt dieses vorausgesetzt wird, dann ist K[X]/(p) insbesondere nullteilerfrei, also (p) ein Primideal nach a), also p ein Primelement nach a), also p irreduzibel nach b). Die Benutzung der Vektorraumstruktur von K[X]/(p) ist eine entscheidende Schnittstelle zwischen (Ring-) und Körpertheorie und linearer Algebra. Man sollte sich Zeit nehmen, diese genau zu durchdenken und gut zu verstehen. Deswegen habe ich auch den Beweis zunächst einmal so aufgeschrieben, dass die übliche Lineare Algebra deutlich sichtbar wird: Dimensionsbestimmung durch Angabe einer Basis, die beiden Eigenschaften linear unabhängig und erzeugend werden direkt anhand der Definition nachgeprüft. Etwas punktgenauer setzt man allerdings die Lineare Algebra ein, wenn man hier den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen und ihrem Zusammenhang mit Faktorräumen (Quotientenvektorräumen) benutzt: Wenn ein Vektorraum V die direkte Summe zweier

5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Unterräume U und W ist, V = U W, dann induziert die Inklusion W V einen Isomorphismus W = V/U. Hierzu brauchen die beteiligten Räume nicht endlich-dimensional zu sein, der (wirklich kurze) Beweis merkt nichts von der Dimension. Als Konsequenz ergibt sich aber dim V/U = dim W. Wenn wir diese Festellung auf Vektorraum V = K[X] und den Unterrraum U = (p) anwenden, kommen wir auf folgende Variante von Satz b): Bemerkung Es sei p K[X] vom Grad n > 0 und K[X] n := {f K[X] gradf < n}. a) K[X] n ist ein n-dimensionaler Unterraum von K[X], und es gilt K[X] = (p) K[X] n. Der kanonische Homomorphismus K[X] K[X]/(p) induziert folglich einen Vektorraum-Isomorphismus K[X] n = K[X]/(p). b) Wenn man auf K[X] n eine Verknüpfung p durch f p g := (f g) mod p, für f, g K[X] n, definiert, so wird die Abbildung aus a) zu einem Ringisomorphismus (sogar Algebren-Isomorphismus) (K[X] n, +, p ) = (K[X]/(p), +, ). Hierbei bezeichnet h mod p den eindeutig bestimmtem Rest von h nach Division durch p. Beweis: zu a): Man beachte, dass die angegebene Zerlegung als direkte Summe tatsächlich genau das gleiche wie die Division mit Rest nach besagt: jedes f K[X] schreibt sich eindeutig als f = qp + r mit qp (p) und r K[X] n. Zu b): Hier passiert genau das gleiche wie bei dem Ring (Z m, + m, m) in und : Die Menge Z m = {0, 1,..., m 1} ist ein Repräsentantensystem für den Faktorring Z/mZ, und die Verknüpfungen + m und m sind so definiert, dass die kanonische Bijektion Z m Z/mZ, x [x] m = x + mz verknüpfungstreu wird. Wir wollen übrigens auch für Restklassen von Polynomen, also Elemente des Faktorrings K[X]/(p), die Bezeichnung [f] p benutzen: [f] p := f + (p) = f + pk[x] K[X]/(p) für f K[X]. Die Situation ist hier allerdings noch besser als bei Z/mZ: Anders als Z m ist das Vertretersystem K[X] n sogar eine Untergruppe (weil Untervektorraum) von (K[X], +): Die Verknüpfung + ist also bereits auf K[X] n definiert und wird natürlich nicht mehr verändert. Die Multiplikation muss jedoch mit der Bijektion f [f] p vom Zielbereich K[X]/(p) auf den Definitionsbereich K[X] n übertragen werden, und genau das geschieht in Teil b) der Bemerkung. Bevor wir Satz in der Körpertheorie benutzen, machen wir einen kleinen Exkurs, bei dem der Aspekt der Nullstellen von Polynomen keine primäre Rolle spielt. Die folgende Definition ist vielleicht schon bekannt.

6 Algebra I c Rudolf Scharlau, Definition (Zyklische Codes) Es sei F ein endlicher Körper. Ein linearer Code der Blocklänge n über dem Alphabet F ist ein Untervektorraum C von F n. Im Fall F = F 2 = {0, 1} spricht man von einem binären (linearen) Code. Ein Code heißt zyklisch, wenn er invariant unter zyklischer Vertauschung ( Weiterschieben ) seiner Komponenten ist: (x 1, x 2,...,x n ) C = (x n, x 1, x 2,...,x n 1 ) C. Natürlich sind lineare Codes nicht das gleiche wie Vektorräume: der Begriff von Äquivalenz oder Isomorphie ist ein anderer. Wir gehen hier nicht weiter darauf ein. Die folgende Bemerkung zeigt, wie man mit Hilfe eines Ringes der Form K[X]/(p) die zyklischen Codes mit gegebener Blocklänge bestimmt, im Prinzip und auch in konkreten Fällen. Bemerkung (Zyklische Codes als Ideale) Es sei K ein Körper und n N. Wir betrachten die K-Algebra K[X]/(X n 1) bzw. die dazu isomorphe Algebra K[X] n mit K-Basis 1, X,...,X n 1 und der durch X i X j := X (i+j) mod n, 0 i, j < n gegebenen Multiplikation. Wenn (K endlich ist und) wir K[X] n mittels c i X i (c 0, c 1,...,c n 1 ) mit K n identifizieren, so ist eine Teilmenge C K[X] n genau dann ein zyklischer Code, wenn C ein Ideal in K[X] n ist. Die Ideale in K[X] n = K[X]/(X n 1) entsprechen bijektiv denjenigen Idealen im Polynomring K[X], die das Ideal (X n 1) umfassen, also den normierten Teilern des Polynoms X n 1. Zur Beschreibung der Multiplikation auf K[X] n ist lediglich anzumerken, dass bei der Division mit Rest eines Polynoms durch das spezielle Polynom X n 1 der Term X n durch 1, X n+1 durch X, und allgemein X k durch X k mod n ersetzt wird. So erhält man den Rest des gegebenen Polynoms; insbesondere ergibt sich die Formel für X i X j aus Anders ausgedrückt: Im Faktorring K[X]/(X n 1) ist X n = 1, im isomorphen Ring (K[X] n, +, ) ist X n = 1, und alle weiteren Rechenregeln folgen hieraus. Die Multiplikation in einer beliebigen K-Algebra A ist nämlich immer eine bilineare Abbildung A A A und deshalb durch ihre Werte auf Paaren von Basisvektoren bestimmt. Unter der angegebenen Identifikation von K[X] n mit K n gilt nun X (c 0, c 1,...,c n 1 ) = (c n 1, c 0, c 1,...,c n 2 ), d.h. die Multiplikation mit X definiert genau die zyklische Vertauschung aus der Definition zyklischer Codes. Somit ist jedes Ideal eine zyklischer Code; die Umkehrung ist ebenfalls leicht zu sehen. Für K = F 2 und n = 7 werden wir das Verfahren aus in den Übungen explizit durchführen. Im folgenden konzentrieren wir uns auf Erweiterungen, die selbst Körper sind, kurz: Erweiterungskörper. Als direkte Folgerung von Satz erhalten wir:

7 Algebra I c Rudolf Scharlau, Korollar Es sei K ein Körper und f K[X] ein nicht-konstantes Polynom, d.h. grad(f) > 0. Dann gibt es einen Erweiterungskörper L von K so, dass f eine Nullstelle in L hat. Es gibt sogar einen Erweiterungskörper L derart, dass f in L[X] in Linearfaktoren zerfällt. Beweis: Wir wählen einen irreduziblen Teiler p K[X] des Polynoms f, d.h. f = g p mit g K[X], und betrachten L := K[X]/(p). Nach Satz gilt für α := X + (p) L : f(α) = g(α) p(α) = g(α) 0 = 0. Wenn wir nun K durch L = L 1 und f durch f/(x α) L 1 [X] ersetzen, konstruieren wir entsprechend eine Erweiterung L 2 von L 1, in der ein weiterer Linearfaktor X α 2 abspaltet. L 2 ist durch die Verkettung der beiden kanonischen Einbettungen K L 1 L 2 auch eine Erweiterung von K. Nach (spätestens) n 1 = gradf 1 Schritten erhält man die gesuchte Erweiterung L n 1 = L, über der f in Linearfaktoren zerfällt. Wir greifen das letzte Korollar in Abschnitt 4.4 wieder auf. Beispiele (Körpererweiterungen) (1) Es ist C = R[X]/(X 2 + 1). Wenn wir R[X]/(X 2 + 1) bzw. R[X] 2 durch a + bx (a, b) mit R 2 identifizieren, erhalten wir genau die Multiplikation, mit der man R 2 üblicherweise zum Körper der komplexen Zahlen macht. Insbesondere ist (0, 1) 2 = X 2 = 1 C = ( 1, 0). Die Definition C := R[X]/(X 2 + 1) wäre nun die einfachste Definition der komplexen Zahlen; man muss nichts mehr überprüfen. (2) Es sei K := Q, p = X 2 d mit d Z und R := Q[X]/(p). Dann gilt dim Q R = 2, eine Basis von R als Q-Vektorraum ist {1, X}. In dieser Situation sind äquivalent: (i) d ist kein Quadrat in Z. (ii) d ist kein Quadrat in Q. (iii) X 2 d ist irreduzibel in Q[X]. (iv) R ist ein Körper. Wenn wir noch d := X setzen, so ist d eine Quadratwurzel von d, die im Erweiterungskörper Q[ d] von Q liegt. Diese Konstruktion der Nullstelle von X 2 d und des zugehörigen Körpers ist völlig unabhängig von der Kenntnis der reellen bzw. komplexen Zahlen. (3) Es sei K := Q, p = X 3 d, wobei d Z keine dritte Potenz (in Z oder Q) ist, und L := Q[X]/(p). Dann ist L ein Körper, der als Q-Vektorraum eine Basis {1, X, X 2 } besitzt. Hierbei ist X eine dritte Wurzel von d X 3 d = X 3 d = X 3 d + (X 3 d) = (X 3 d) = 0.

8 Algebra I c Rudolf Scharlau, (4) Es sei F 3 := Z/3Z der Körper mit drei Elementen. Dann ist ein Körper mit 9 Elementen. F 9 := F 3 [X]/(X 2 + 1) Beweis: Weil 1 = 2 F 3 kein Quadrat in F 3 ist, besitzt p := X in F 3 keine Nullstelle. Als Polynom vom Grad 2 ist p somit irreduzibel, und der angegebene Faktorring ist ein Körper. Dieser hat als F 3 -Vektorraum die Dimension grad p = 2 und besteht daher aus genau 3 2 = 9 Elementen. (5) Analog zu (4) ist F 4 := F 2 [X]/(X 2 + X + 1) ein Körper mit 4 Elementen. (6) Sowohl K 1 := F 2 [X]/(X 3 + X + 1) als auch K 2 := F 2 [X]/(X 3 + X 2 + 1) sind Körper mit jeweils 8 Elementen. Diese beiden Körper sind nicht nur als F 2 -Vektorräume isomorph, sondern auch als Körper. Später werden wir zeigen, dass es zu jeder Primzahlpotenz bis auf Isomorphie nur einen Körper K mit K = p m gibt. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer ggf. neuen, jedenfalls allgemeineren Behandlung des aus der Linearen Algebra bekannten Minimalpolynoms eines Endomorphismus bzw. einer Matrix. Dieser Begriff ist in natürlicher Weise für die Elemente einer beliebigen K-Algebra definiert. Wir erinnern daran, dass eine K-Algebra nicht notwendig kommutativ ist, und dass der Fall von Ringerweiterungen eines Körpers jedenfalls eingeschlossen ist. Satz und Definition (Minimalpolynom) a) Es sei K ein Körper, A eine K-Algebra und α A. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom p α so, dass für ein beliebiges Polynom f K[X] gilt: f(α) = 0 p α teilt f. Dieses Polynom heißt Minimalpolynom von α. b) Für die von α erzeugte K-Algebra gilt K[α] = K[X]/(p α ). Insbesondere hat K[α] als K-Vektorraum die Dimension { gradp α, falls p α 0 dim K K[α] = sonst. Beweis: Beide Teile des Satzes werden praktisch gleichzeitig bewiesen: Wir betrachten zu der kanonischen Einbettung i : K A den Einsetzungs-Homomorphismus i α : K[X] A, f f(α)

9 Algebra I c Rudolf Scharlau, (siehe und 3.2.5). Nach Definition ist K[α] das Bild von i α. Es sei I := Kern(i α ) = {f K[X] f(α) = 0} K[X] der Kern von i α. Nach dem Isomorphiesatz induziert i α einen Isomorphismus K[X]/I = K[α]. Als Kern eines Ringhomomorphismus ist I ein Ideal in K[X]. Weil K ein Körper ist, ist K[X] ein euklidischer Ring und insbesondere ein Hauptidealring. Es existiert also ein p I mit I = pk[x] = (p). Nach Bemerkung d) und dem darauf folgenden Beispiel ist ein Erzeuger p des Ideals (p) bis auf Multiplikation mit einem Körperelement c K eindeutig bestimmt. Es gibt also ein eindeutiges normiertes Polynom mit (p) = I; dieses bezeichnen wir mit p α ; die Äquivalenz aus Teil a) gilt dann nach Konstruktion. Teil b) folgt sofort aus der Isomorphie K[α] = K[X]/(p α ) und, falls I {0}, aus Satz b). Der Fall I = {0} kann auch auftreten (dann ist α überhaupt nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus K), aber dann ist K[α] = K[X] und dim K K[α] =, wie behauptet. Das Minimalpolynom ist dann das Nullpolynom, das wir auch als normiert ansehen. Für Körpererweiterungen L von K (statt beliebiger K-Algebren) wird sich das Minimalpolynom wie ein roter Faden durch das gesamte Kapitel 4 ziehen.