Algebra II, Begriffe und Sätze, Kurzfassung. Inhaltsverzeichnis. 1 Ringe und Ideale 2. 2 Moduln 3. 3 Noethersche Ringe 4. 4 Ganze Ringerweiterungen 4

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1 Algebra II, Begriffe und Sätze, Kurzfassung Inhaltsverzeichnis 1 Ringe und Ideale 2 2 Moduln 3 3 Noethersche Ringe 4 4 Ganze Ringerweiterungen 4 5 Der Hilbertsche Nullstellensatz 6 6 Ring der Brüche 7 7 Primärzerlegung 8 8 Das Tensorprodukt 9 9 Vervollständigung Artinsche Ringe Dimensionstheorie 15 1

2 1 Ringe und Ideale Primideal, multiplikatives System, maximales Ideal, Spektrum, Spec(A), Maximalspektrum, m Spec(A). Satz Die Primideale im k[x, Y ] sind: 0, (f) für f k[x, Y ] irreduzibel und die maximalen Ideale. Die maximalen Ideale sind der Form m = (p, g) mit p k[x] irreduzibel und g k[x, Y ] mit Reduktion modulo (p) irreduzibel in (k[x]/(p))[y ]. Insbesondere ist k[x, Y ]/m eine endliche Körpererweiterung von k. 2. Die Primideale im Z[Y ] sind: 0, (f) für f Z[Y ] irreduzibel und die maximalen Ideale. Die maximalen Ideale sind der Form m = (p, g) mit p Z Primzahl und g Z[Y ] mit Reduktion modulo p irreduzibel in F p [Y ]. Insbesondere ist Z[Y ]/m eine endliche Körpererweiterung von F p. Ordnungsrelation, total geordnete Menge, obere Schranke, maximales Element. Das Zornsche Lemma Satz 1.2 Sei I A ein Ideal in A. Dann existiert ein maximales Ideal m in A mit I m. Korollar 1.3 A = A m m Spec(A) m. Satz 1.4 Sei S A ein multiplikatives System in A und I A \ S ein Ideal von A. Dann existiert ein Primideal P in A mit I P und P S =. Nilpotentes Element, Nilradikal, nilrad(a). Korollar 1.5 nilrad(a) = P Spec(A) P. Satz 1.6 Sei A ein Ring mit Nullteilern. Dann besitzt A nichtriviale nilpotente Elemente oder mindestens zwei minimale Primideale. Radikal eines Ideals, I = rad I, Radikalideal. Korollar 1.7 rad(i) = P Spec(A), I P P. Lokaler Ring, (A, m), (A, m, k). Bemerkung Ein Ring A ist genau dann lokal, wenn A \ A ein Ideal ist. A P, Ring der formalen Potenzreihen, A[[X]], k{x}. 2

3 2 Moduln A-Modul, Untermodul, Faktormodul, Modulhomomorphismus. Isomorphiesatz Korollar Ist L M N eine Kette von A-Moduln, so hat man einen kanonischen Isomorphismus von A-Moduln: N/M = (N/L)/(M/L). 2. Sind L, M N A-Untermoduln, so hat man einen kanonischen Isomorphismus von A-Moduln: (M + L)/L = M/(M L). Direkte Summe, Erzeugendensystem, endlich erzeugter Modul, Basis, freier Modul, zyklischer Modul. Satz von Cayley-Hamilton Für N A n n und χ N := det(xi n N) A[X] gilt χ N (N) = 0 in A n n. Korollar 2.2 (Determinantentrick) Seien M ein endlich erzeugter A-Modul, der ein Erzeugendensystem mit n Elementen besitzt, I A ein Ideal und φ : M M ein A- Modulhomomorphismus mit φ(m) IM. Dann gibt es Elemente a i I i für 1 i n mit φ n + a 1 φ n a n = 0. Korollar 2.3 Seien M ein endlich erzeugter A-Modul und I A ein Ideal mit M IM. Dann gibt es ein Element a A mit a (1 + I) und am = 0. Lemma von Nakayama Seien I ein Ideal mit (1 + I) A (z.b. I = m in einem lokalen Ring (A, m)) und M ein endlich erzeugter A-Modul. Aus M = IM folgt dann M = 0. Korollar 2.4 Seien (A, m, k) ein lokaler Ring, M ein A-Modul und N M ein Untermodul mit M/N endlich erzeugt und M = N +mm. Dann ist N = M. Insbesondere bilden Elemente s 1,..., s n M ein Erzeugendensystem eines endlich erzeugenden Modul M genau dann, wenn ihre Klassen modulo mm den k-vektorraum M/mM erzeugen. Exakte Sequenz, kurze exakte Sequenz, Cokern, Spaltung, Schnitt, Retrakt. 3

4 3 Noethersche Ringe Aufsteigende Kettenbedingung, noetherscher Ring, noetherscher Modul. Satz L ψ M φ N 0 sei eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. M ist noethersch genau dann, wenn L und N noethersch sind. Korollar Eine direkte Summe endlich vieler noetherscher A-Moduln ist noethersch. 2. Sei A ein noetherscher Ring. Dann ist ein A-Modul noethersch genau dann, wenn er endlich über A ist. 3. Ist A noethersch und φ : A B ein Ringhomomorphismus, der B die Struktur eines endlich erzeugten A-Modul verleiht, so ist auch B ein noetherscher Ring. Hilbertscher Basissatz Algebra, endlich erzeugte A-Algebra, endliche A-Algebra. Korollar 3.3 Ist A noethersch und B eine endlich erzeugte A-Algebra, so ist auch B ein noetherscher Ring. Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über k oder über Z nooethersch. 4 Ganze Ringerweiterungen Ganzes Element, ganze A-Algebra. Satz 4.1 Sei φ : A B ein Ringhomomorphismus und y B. Sind äquivalent: 1. y ist ganz über A. 2. Der von A := φ(a) und von y erzeugte Unterring A [y] von B ist endlich über A. 3. Eine A-Unteralgebra C B existiert mit y C und C endlich über A. Satz 4.2 Sei A B C eine Kette von Ringerweiterungen. Es gelten: 1. Aus C endlich über B und B endlich über A folgt C endlich über A. 4

5 2. Sind y 1,..., y m B ganz über A, so ist A[y 1,..., y m ] ganz über A. 3. Aus C ganz über B und B ganz über A folgt C ganz über A. 4. à := {y B y ganz übera} ist ein Unterring von B und à = Ã. Korollar 4.3 Für eine Ringerweiterung A B gelten: 1. Aus B endlich über A folgt B ganz über A. 2. Aus B ganz über A und B endlich erzeugte A-Algebra folgt B endlich über A. Ganzer Abschluss, ganz abgeschlossen, Normalisierung, normal, algebraisch unabhängige Elemente. Lemma 4.4 Sei A = k[y 1,..., y n ] mit y 1,..., y n algebraisch abhängig über k. Dann existieren Elemente x 1,...,x n in A mit A = k[x 1,..., x n ] und x n ganz über k[x 1,..., x n 1 ]. Noethersches Normalisierungslemma Jede endlich erzeugte k-algebra A besitzt ein System algebraisch unabhängiger Elemente z 1,..., z m über k derart, dass A endlich über k[z 1,..., z m ] ist. Monom, normiertes Monom, Grad, Grad bezüglich einer Unbestimmten, homogenes Polynom, homogener Anteil, Gewichtung Lemma 4.5 Sei S eine endliche Menge von Monomen in den Unbestimmten Y 1,..., Y n. Es gibt dann ein Sytem von Gewichten w 1,..., w n N \ {0} mit w n = 1 so, dass die Monomen aus S paarweise verschiedene Gewichte bekkommen: w(y m 1 1 Y m Yn mn ) = m 1 w m n w n. Satz 4.6 Sei A B eine ganze Ringerweiterung von Integritätsbereichen. Sind äquivalent: 1. A ist ein Körper. 2. B ist ein Körper. Schwacher Nullstellensatz Sei K/k eine endliche Körpererweiterung mit K endlich erzeugt als k-algebra. Dann ist K/k endlich. Korollar 4.7 Sei k algebraisch abgeschlossen. Dann ist jedes maximale Ideal von k[x 1,..., X n ] der Form (X 1 a 1,..., X n a n ) für a = (a 1,..., a n ) k n. Korollar 4.8 Seien k algebraisch abgeschlossen, 0 A = k[x 1,..., X n ]/J für ein Ideal J k[x 1,..., X n ] und x i die Restklassen von X i in A. Dann ist jedes maximale Ideal von A der Form (x 1 a 1,..., x n a n ) für a = (a 1,..., a n ) V (J) k n. 5

6 5 Der Hilbertsche Nullstellensatz Affine Varietät. Hilbertscher Nullstellensatz Sei k algebraisch abgeschlossen. Es gelten: 1. Für jedes Ideal J k[x 1,..., X n ] mit J k[x 1,..., X n ] ist V (J). 2. I(V (J)) = J für jedes Ideal J k[x 1,..., X n ]. Untervarietät, irreduzible Varietät. Satz 5.1 Eine Varietät W ist genau dann irreduzibel, wenn I(W ) ein Primideal ist. Korollar 5.2 Sei k algebraisch abgeschlossen. Dann induzieren V und I bijektive Zuordnungen: {Radikalideale in k[x 1,..., X n ]} {V arietäten in k n }, Spec(k[X 1,..., X n ]) {irreduzible V arietäten in k n }. Korollar 5.3 Sei k algebraisch abgeschlossen und J k[x 1,..., X n ] ein Ideal. Dann induzieren V und I eine bijektive Zuordnung: Spec(k[X 1,..., X n ]/J) {irreduzible Untervarietäten von V (J)}. Topologie, topologischer Raum, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Unterraum, Hausdorff-Eigenschaft, stetige Abbildungen, Zariski-Topologie auf k n, noetherscher topologischer Raum. Satz 5.4 Die Zariski-Topologie auf k n ist noethersch. Irreduzibler Raum, irreduzible Komponente. Korollar 5.5 Sei k algebraisch abgeschlossen und J k[x 1,..., X n ] ein Radikalideal. Dann ist J Durchschnitt endlich vieler Primidealen. Zariski-Topologie auf Spec(A). Satz 5.6 Die Zariski-Topologie auf Spec(A) ist noethersch, falls A noethersch ist. Korollar 5.7 Sei A noethersch. Es gelten: 1. Jede abgeschlossene Teilmenge von Spec(A) besitzt eine Zerlegung in endlich vielen irreduziblen Komponenten. 2. Für jedes Ideal J A hat V(J) Spec(A) endlich viele minimale Elemente und ihr Durchschnitt ist J. Geometrischer Ring, Koordinatenring einer Varietät. 6

7 6 Ring der Brüche Ring der Brüche, A f. Lemma 6.1 Es gibt einen kanonischen Isomorphismus A f = A[X]/(Xf 1). Erweiterung und Einschränkung von Idealen: e(i), r(j). Satz 6.2 Für die Ideale I A und J S 1 A gelten: 1. e(i) = {a/s a I, s S}. 2. e(r(j)) = J. 3. r(e(i)) = {a A s S as I}. 4. e(i) ist ein Primideal, falls I Spec(A) und I S =. Korollar r(e(i)) = I genau dann, wenn ( ) (as I und s S) a I. 2. e und r induzieren eine Bijektion zwischen {Ideale in A mit ( )} und {Ideale in S 1 A}. 3. r(e(i)) = A e(i) = S 1 A I S. 4. e und r induzieren eine Bijektion zwischen {P Spec(A) P S = } und Spec(A). Lokalisierung. Satz 6.4 Sei A ein Ring und S A ein multiplikatives System. Moduln über S 1 A kann man natürlich identifizieren mit Moduln M über A, mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation µ s : M M mit Elementen s S bijektiv ist. Modul der Brüche, funktorielle Eigenschaften von S 1. Satz 6.5 Sei A ein Ring und S A ein multiplikatives System. Dann ist S 1 auf A-Moduln exakt. Korollar 6.6 Seien L und L A-Untermoduln von M. Dann sind S 1 L und S 1 L Untermoduln von S 1 M, S 1 (L L ) = S 1 L S 1 L und S 1 (M/L) = (S 1 M)/(S 1 L). Korollar 6.7 Seien A ein Ring, I A ein Ideal, S A ein multiplikatives System und T das Bild von S in A/I. Dann ist T ein multiplikatives System in A/I, S 1 I = I(S 1 A) ein Ideal in S 1 A und die Ringe T 1 (A/I) und (S 1 A)/(S 1 I) sind kanonisch isomorph. Insbesondere für P Spec(A) sind die Körper A P /P A P und F rac(a/p ) kanonisch isomorph. 7

8 7 Primärzerlegung Annulator, Nullteiler eines Moduls, assoziertes Primideal, Ass(M). Satz Ass A (A/P ) = {P } für P Spec(A). 2. Aus x M, y Ax, y 0 und Ann(x) Spec(A) folgt Ann(y) = Ann(x). 3. Die maximalen Elemente der Menge {Ann(x) x M, x 0} sind Primideale. 4. Für A noethersch und M 0 gilt Ass(M). 5. Für L M Untermodul gilt Ass(L) Ass(M) (Ass(L) Ass(M/L)). Korollar 7.2 Seien A ein noetherscher Ring und M ein A-Modul. Dann gilt {Nullteiler von M} = P. P Ass(M) Satz 7.3 Jeder endlich erzeugte Modul M über einem noethershen Ring A besitzt eine Kette von Untermoduln 0 = M 0 M 1... M n = M mit M i /M i 1 = A/Pi und P i Spec(A) für alle 0 < i n. Weiter gilt Ass(M) {P 1,..., P n }, insbesondere ist Ass(M) endlich. Primärideal, P -primäres Ideal. Lemma 7.4 Ein Ideal Q mit Q m Spec(A) ist ein Primärideal. Lemma Seien P 1,..., P n Spec(A) und I A ein Ideal mit I 1 i n P i. Dann existiert ein i mit I P i. 2. Seien I 1,..., I n Ideale von A und P Spec(A) mit P 1 i n I i. Dann existiert ein i mit I i P. Satz 7.6 Sei Q ein P -primäres Ideal eines noetherschen Rings A. Dann ist Ass(A/Q) = {P }. Primärzerlegung, reduzierte Primärzerlegung, Komponenten, isolierte und eingebettete Komponenten, irreduzibles Ideal. Lemma 7.7 Jedes irreduzible Ideal eines noetherschen Rings ist ein Primärideal. 8

9 Satz 7.8 Jedes Ideal I A eines noethershen Rings A besitzt eine Primärzerlegung. Satz 7.9 (Erster Eindeutigkeitssatz) Sei A ein noetherscher Ring, I = 1 i n Q i eine reduzierte Primärzerlegung eines Ideals I und P i = Q i, 1 i n. Dann ist {P 1,..., P n } = Ass A (A/I). Insbesondere sind die P i -s nur vom Ideal I abhängig. Satz 7.10 Seien A ein Ring, S A ein multiplikatives System, φ : A S 1 A der kanonische Homomorphismus und I = 1 i n Q i eine reduzierte Primärzerlegung eines Ideals I und P i = Q i, 1 i n. Seien P i S = für 1 i m und P i S für m < i n. Dann gelten S 1 I = S 1 Q i, 1 i m φ 1 (S 1 I) = 1 i m Q i. Korollar 7.11 (Zweiter Eindeutigkeitssatz) Die isolierten Komponenten einer reduzierten Primärzerlegung eines Ideals sind nur vom Ideal abhängig. 8 Das Tensorprodukt A-lineare, bilineare, multilineare Abbildungen, Tensorprodukt, M A N, M N, x y, M 1... M n, x 1... x n. Satz 8.1 Es gibt eindeutig bestimmte Isomorphismen: 1. M N N M mit x y y x, 2. (M N) P M (N P ) mit (x y) z x (y z), 3. (M N) P (M P ) (N P ) mit (x, y) z (x z, y z), 4. A M M mit a x ax. Tensorprodukt zweier Homomorphismen, φ ψ, M B, Hom A (M, N) = Hom(M, N), Bil(M, N; P ). Satz 8.2 Für A-Moduln M, N, P gibt es kanonische Isomorphismen: Hom(M N, P ) = Bil(M, N; P ) = Hom(M, Hom(N, P )). 9

10 Satz Die Sequenz von A-Moduln M α M β M 0 ist genau dann exakt, wenn für alle A-Moduln N 0 Hom(M, N) β Hom(M, N) α Hom(M, N) exakt ist. Dabei ist β (φ) := φ β, Die Sequenz von A-Moduln M α M β M 0 ist genau dann exakt, wenn für alle A-Moduln N M N α id N M N β id N M 0 exakt ist. 3. Die Sequenz von A-Moduln M α M β M 0 ist genau dann exakt, wenn für alle A-Moduln N Hom(N, M ) α Hom(N, M) β Hom(N, M ) 0 exakt ist. Dabei ist β (φ) := β φ,... Flacher A-Modul. 9 Vervollständigung Inverses System, inverser Limes, surjektives inverses System, lim M n, Homomorphismus von inversen Systemen, exakte Sequenzen von inversen Systemen. Satz 9.1 Ist 0 (M n) n (M n ) n (M n) n 0 eine exakte Sequenz von inversen Systemen, so ist die induzierte Sequenz exakt. Ist dazu (M n) n surjektiv, so ist 0 lim M n lim M n lim M n exakt. 0 lim M n lim M n lim M n 0 10

11 Filtrierung, ˆM. Korollar 9.2 Sei 0 M α M β M 0 eine exakte Sequenz von A-Moduln und seien (M n ) n eine Filtrierung von M und (α 1 (M n )) n, (β(m n )) n induzierte Filtrierungen auf M und auf M. Dann ist 0 ˆM ˆM ˆ M 0 exakt. Korollar 9.3 Für eine Filtrierung (M n ) n von M gelten: ˆMn ˆM, ˆM/ ˆMn = M/Mn. Insbesondere ist ˆMn eine Filtrierung von ˆM und ˆM = ˆM. I-adische Vervollständigung (Kompletierung) von A, Â, vollständig bezüglich I, I- Filtrierung, stabile I-Filtrierung, Filtrierungen beschränkter Differenz. Lemma 9.4 Zwei Filtrierungen beschränkter Differenz induzieren isomorphe Vervollständigungen. Lemma 9.5 Zwei stabile I-Filtrierungen haben beschränkte Differenz. Graduierter Ring, graduierter Modul, homogenes Element, Grad, homogene Komponente, Homomorphismus von graduierten Moduln, A +. Satz 9.6 Ein graduierter Ring A ist genau dann noethersch wenn A 0 noethersch ist und A eine endlich erzeugte A 0 -Algebra ist. Lemma 9.7 Seien A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul und (M n ) n eine I-Filtrierung von M. Dann besitzten à := n 0 In, M := n 0 M n Strukturen eines graduierten Rings, bzw. eines graduierten Ã-Moduls, à ist noethersch und sind äquivalent: 1. M ist endlich erzeugt über Ã. 2. (M n ) n ist eine stabile I-Filtrierung. Lemma von Artin-Rees Seien A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul, (M n ) n eine stabile I-Filtrierung von M und M M ein Untermodul. Dann ist (M M n ) n eine stabile I-Filtrierung von M. 11

12 Korollar 9.8 Unter den obigen Voraussetzungen m N n m (I n M) M = I n m ((I m M) M ). Korollar 9.9 Unter den obigen Voraussetzungen haben die Filtrierungen ((I n M) M ) n und(i n M ) n beschränkte Differenz. Korollar 9.10 Ist A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal und 0 M M M 0 eine exakte Sequenz endlich erzeugter A-Moduln, so ist die Folge der I-adischen Kompletierungen 0 ˆM ˆM M ˆ 0 auch exakt. Satz 9.11 Sei A ein Ring, I A ein Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul und Â, ˆM die I-adischen Vervollständigungen. Dann ist der natürliche Â-Modulhomomorphismus  A M ˆM surjektiv. Er ist auch injektiv, wenn A noethersch ist. Korollar 9.12 Ist A noethersch und I A ein Ideal, so ist die I-adische Vervollständigung  eine flache A-Algebra. Satz 9.13 Sei A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal und Vervollständigungen. Dann gelten: Â, Î die I-adischen 1. Î = I =  A I. 2. Î n = (Î)n. 3. (Î)n/(Î)n+1 = I n /I n Î m m Spec(Â) m. Korollar 9.14 Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring. Dann ist die m-adische Vervollständigung  ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ˆm. Krullscher Durchschnittssatz Seien A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul, ˆM die I-adische Vervollständigung von M und E = Ker(M ˆM) = n N(I n M). Dann a 1 + I mit E = {x M ax = 0} = {x M b I mit (1 b)x = 0}. 12

13 Korollar 9.15 Seien A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal,  die I-adische Vervollständigung und S = 1 + I. Dann gilt: S ist ein multiplikatives System und es gibt einen kanonischen injektiven Homomorphismus S 1 A Â. Korollar 9.16 Seien A ein noetherscher Integritätsbereich und I A ein Ideal. Dann ist n N In = 0. Korollar 9.17 Seien A ein noetherscher Ring, M ein endlich erzeugter A-Modul und I m m Spec(A) m ein Ideal. Dann ist n N (In M) = 0. Assozierter graduierter Ring von A bezüglich I, gr I A, gr M, gr n M. Satz 9.18 Seien A ein noetherscher Ring, I A ein Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul und (M n ) n eine stabile I-Filtrierung von M. Es gelten: 1. gr I A ist noethersch. 2. gr I A und grî  sind isomorph als graduierte Ringe. 3. gr M ist endlich erzeugt über gr I A. Lemma 9.19 Sei φ : M N ein Homomorphismus von A-Moduln und (M n ) n, (N n ) n Filtrierungen von M und N mit φ(m n ) N n for all n N. Es gelten: 1. ˆφ ist injektiv, falls gr φ injektiv ist. 2. ˆφ ist surjektiv, falls gr φ surjektiv ist. Satz 9.20 Seien A ein vollständiger Ring bezüglich eines Ideals I A, M ein A-Modul und (M n ) n eine I-Filtrierung von M mit n N M n = 0. Es gelten: 1. M ist endlich erzeugt über A, wenn gr M ein endlich erzeugter gr I A-Modul ist. 2. M ist ein noetherscher A-Modul, wenn gr M ein noetherscher gr I A-Modul ist. Satz 9.21 Ist A noethersch und I A ein Ideal, so ist die I-adische Vervollständigung  von A auch noethersch. Korollar 9.22 Ist A ein noetherscher Ring, so ist der Ring der formalen Potenzreihen A[[X 1,..., X n ]] auch noethersch. 13

14 10 Artinsche Ringe Artinscher Modul, artinscher Ring. Satz L ψ M φ N 0 sei eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. M ist artinsch genau dann, wenn L und N artinsch sind. 1. Eine direkte Summe endlich vieler artinscher A-Moduln ist ar- Korollar 10.2 tinsch. 2. Sei A ein artinscher Ring. Dann ist jeder endlich erzeugter A-Modul artinsch. 3. Ist A artinsch und I A ein Ideal, so ist auch A/I ein artinscher Ring. Normalreihe, Länge einer Normalreihe, einfacher Modul, Kompositionsreihe, Modul endlicher Länge, Länge eines Moduls, l(m). Satz von Jordan-Hölder Wenn M eine Kompositionsreihe besitzt, dann läßt sich jede Normalreihe zu einer Kompositionsreihe verfeinern und alle Kompositionsreihen haben dieselbe Länge. Die Faktormoduln zweier beliebigen Kompositionsreihen von M sind paarweise isomorph. Satz 10.3 Ein A-Modul besitzt eine Kompositionsreihe genau dann, wenn er beiden Kettenbedingungen genügt. Satz 10.4 Die Länge ist additiv auf der Klasse der Moduln endlicher Länge. Satz 10.5 Für einen Vektorraum V über k sind äquivalent: 1. dim V <. 2. l(v ) <. 3. V ist ein noetherscher k-modul. 4. V ist ein artinscher k-modul. Korollar 10.6 Seien m 1,..., m n m Spec A mit m 1 m 2...m n = 0. Sind äquivalent: 1. A ist ein noetherscher Ring. 2. A ist ein artinscher Ring. 14

15 Satz 10.7 Jedes Primideal eines artinschen Rings ist maximal. Korollar 10.8 In einem artinschen Ring stimmen das Nilradikal und das Jacobson- Radikal überein. Satz 10.9 Ein artinscher Ring hat nur endlich viele maximale Ideale. Satz Sei A ein artinscher Ring. Dann gibt es ein n N mit (nilrad(a) n = 0. (Krull)-Dimension, dim A. Satz Ein Ring A ist genau dann artinsch, wenn A noethersch ist und dim A = 0. Satz Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring. Dann entweder m n m n+1 für alle n N, oder n N mit m n = 0. Der zweite Fall taucht genau dann auf, wenn A artinsch ist. 11 Dimensionstheorie Die Poincaré-Reihe eines graduierten Moduls, P M. Satz 11.1 f Z[t] P M = f s i=1 (1 tk i ). d = d(m), das Hilbert-Polynom eines graduierten Moduls. Satz 11.2 Für x A homogen und kein Nullteiler von M ist d(m/xm) = d(m) 1. Differenzfunktion. Lemma 11.3 Sei f : Z Q eine Funktion mit Differenzfunktion f. Wenn f eine polynomielle Funktion vom Grad s 1 ist, dann ist f eine polynomielle Funktion vom Grad s. Satz 11.4 Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring, Q ein m-primäres Ideal, das von s Elementen erzeugt wird, M ein endlich erzeugter A-Modul und (M n ) n eine stabile Q-Filtrierung von M. Dann gelten: 1. l(m/m n ) < für alle n N. 15

16 2. Für n >> 0 definiert l(m/m n ) eine polynomielle Funktion g in n vom Grad höchstens s. 3. Der Grad und der Leitterm von g sind von der Filtrierung (M n ) n unabhängig. Charakteristisches Polynom χ M Q, χ Q. Korollar 11.5 deg χ M Q = d(gr Q M). Satz 11.6 Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring und Q ein m-primäres Ideal. Es gilt deg χ Q = deg χ m. d(a), δ(a). Korollar 11.7 δ(a) d(a). Satz 11.8 Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring, Q ein m-primäres Ideal, M ein endlich erzeugter A-Modul und x A kein Nullteiler von M. Dann ist: deg χ M/xM Q deg χ M Q 1. Korollar 11.9 Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) und x A keinen Nullteiler gilt d(a/(x)) d(a) 1. Satz Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) gilt d(a) dim(a). Korollar Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) gilt dim A <. Höhe eines Primideals, h(p ). Korollar Für P Spec A ist h(p ) = dim A P. Insbesondere ist die Höhe eines Primideals in einem noetherschen Ring endlich, und für A noethersch gilt die a.k.b. auf Spec A. Satz Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) gilt dim(a) δ(a). Korollar Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) gilt δ(a) = d(a) = dim A. Korollar Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m, k) gilt dim A dim k (m/m 2 ). 16

17 Korollar Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) und x A keinen Nullteiler gilt dim(a/(x)) = dim A 1. Korollar Sei A ein noetherscher Ring, f 1,..., f s A und P Ass A (A/(f 1,..., f s )) minimal. Dann ist h(p ) s. Der Krullsche Hauptidealsatz Für einen noetherschen Ring A, x A keinen Nullteiler und keine Einheit und P Ass A (A/(x) minimal gilt h(p ) = 1. Korollar Für einen noetherschen lokalen Ring (A, m) gilt dim Âm = dim A. Parametersystem. Satz Sei (A, m) ein noetherscher lokaler Ring, {x 1,..., x d } ein Parametersystem von A, Q := (x 1,..., x d ) und f A[X 1,..., X d ] ein homogenes Polynom vom Grad s. Ist f(x 1,..., x d ) Q s+1, so ist f m[x 1,..., X d ]. Korollar Sei (A, m, k) ein noetherscher lokaler Ring zusammen mit einer Ringerweiterung k A, die ein Isomorphismus k A/m induziert, und {x 1,..., x d } ein Parametersystem von A. Dann ist das System {x 1,..., x d } algebraisch unabhängig über k. Regulärer lokaler Ring. Lemma Ist n N In = 0 für ein Ideal I von A und gr I A nullteilerfrei, so ist auch A nullteilerfrei. Korollar Reguläre lokale Ringe sind nullteilerfrei. Korollar Ein noetherscher lokaler Ring (A, m) ist genau dann regulär, wenn  m regulär ist. Korollar Sei (A, m, k) ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d zusammen mit einer Ringerweiterung k A, die ein Isomorphismus k A/m induziert. A ist genau dann regulär, wenn Âm = k[[x 1,..., X d ]]. Satz Sei V k n eine Varietät mit V (I) = (f 1,..., f s ), a V, m a k[x 1,..., X n ], m a k[v ] die entsprechenden maximalen Ideale, A = k[v ] ma und d = dim A. A ist genau dann regulär, wenn Rang( f i X j (a)) i,j = n d. 17