Übungen zur Einführung in die Algebra

Transkript

1 Blatt 1, Aufgabe 1.1. Bestimme alle Untergruppen und Normalteiler der symmetrischen Gruppe S 3. Aufgabe 1.2. Es seien E, I, J, K M(2 2; C) die folgenden Matrizen: ( ) ( ) ( ) ( ) i i 0 E = I = J = K = i 0 0 i (i) Zeige, dass die Menge {E, E, I, I, J, J, K, K} zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe mit neutralem Element E ist, die sogenannte Quaternionengruppe. (ii) Zeige, dass in dieser Gruppe II = JJ = KK = IJK = E gilt. (iii) Bestimme alle Untergruppen der Quaternionengruppe. Aufgabe 1.3. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Zeige: (i) Ist H eine endliche Gruppe und ist H die einzige Untergruppe von G mit Ordnung ord H, so ist H ein Normalteiler von G. (ii) Ist H ein Normalteiler von G und sind ord H und (G : H) endlich und teilerfremd, so ist H die einzige Untergruppe von G mit Ordnung ord H. Aufgabe 1.4. Sei G eine Gruppe ungerader Ordnung mit neutralem Element e, und seien a, b, c G. Zeige: (i) Gilt a b a = b in G, so ist a = e. (ii) Gilt a b c b a = c so ist a b = e. Aufgabe 1.5. Sei G eine Gruppe und sei N ein Normalteiler von G mit N G, so dass für jede Untergruppe H von G mit N H und H G schon N = H gilt. Seien U und V zwei nichttriviale Untergruppen von G, für die U N und V N jeweils die triviale Gruppe sind. Zeige, dass die Gruppen U und V isomorph sind. Beachten Sie bitte die allgemeinen Hinweise auf der folgenden Seite! Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

2 Information zur Vorlesung und zum Übungsbetrieb Übungsgruppen. Die Übungsgruppen beginnen in der zweiten Semesterwoche. Wir raten Ihnen, die Übungen regelmäßig zu besuchen; dort werden die Übungsaufgaben besprochen und Fragen zur Vorlesung und zu den Übungen beantwortet. Übungsaufgaben. Jeweils donnerstags ab 12 Uhr liegt auf der Veranstaltungshomepage ein neues Blatt zum Herunterladen, das Sie innerhalb der darauffolgenden Woche bearbeiten sollen. Voraussichtlich gibt es für jedes Aufgabenblatt 20 Punkte, die sich gleichmäßig auf die Aufgaben verteilen. Donnerstags vor der Vorlesung werden Mappen im Hörsaal ausliegen, eine für jede Übungsgruppe. Legen Sie bitte Ihre Lösungen der Aufgaben der Vorwoche in die Mappe Ihrer Gruppe. Vergessen Sie nicht, Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Vornamen, der Nummer Ihrer Übungsgruppe und dem Namen des Übungsgruppenleiters zu beschriften und geben Sie Ihre Lösungen pünktlich zum angegebenen Termin ab. Es dürfen bis zu drei Teilnehmer aus derselben Übungsgruppe gemeinsam abgeben. Die Lösungen werden dann von Ihrem Übungsgruppenleiter korrigiert und in der Übungsgruppe zurückgegeben. Klausur. Klausurtermin für die Einführung in die Algebra ist der Die Nachklausur findet am statt. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

3 Blatt 2, Definition. Ist G eine Gruppe und sind X und Y zwei G-Mengen, so ist eine G-Abbildung f : X Y eine Abbildung von Mengen, für die f(gx) = gf(x) für alle g G und x X gilt. Aufgabe 2.1. Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe und X eine H-Menge. Die Aktion H (G X) G X, (h, (g, x)) (gh 1, hx) macht G X zu einer H-Menge, deren Menge von Bahnen wir mit X bezeichnen. Definiere eine G-Aktion auf X sowie eine H-Abbildung Φ: X X, so dass f f Φ eine Bijektion zwischen der Menge der G-Abbildungen von X nach Y und der Menge H- Abbildungen von X nach Y definiert. Aufgabe 2.2. Sei G eine nicht-triviale endliche Gruppe und p der kleinste Primteiler der Ordnung von G. Zeige: Ist die Anzahl der Konjugationsklassen in G echt größer als ord G, so p hat das Zentrum von G mindestens 2 Elemente. Definition. Ist G eine Gruppe und X eine G-Menge, so heißt ein x X Fixpunkt von G, falls gx = x für alle g G gilt. Aufgabe 2.3. Zeige: Jede Operation einer Gruppe mit 77 Elementen auf einer Menge mit 17 Elementen hat mindestens 3 Fixpunkte. Aufgabe 2.4. Sei p eine Primzahl und sei G eine Gruppe der Ordnung p k für eine natürliche Zahl k 1. (i) Sei X eine endliche G-Menge. Zeige: Die Anzahl der Fixpunkte der Gruppenoperation und die Anzahl der Elemente von X sind kongruent modulo p. (ii) Sei N ein Normalteiler von G. Zeige: Der Durchschnitt von N und dem Zentrum von G besteht nicht nur aus dem neutralem Element von G. Aufgabe 2.5. Sei p ein Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p 3, die nicht abelsch ist. Zeige, dass das Zentrum von G die Ordnung p hat. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

4 Blatt 3, Aufgabe 3.1. Bestimme das Zentrum der symmetrischen Gruppe S n für n 1. Aufgabe 3.2. Zeige: Jede Gruppe der Ordnung 5929 = ist abelsch. Aufgabe 3.3. Sei G eine endliche Gruppe. (i) Zeige: Ist H G eine nichttrivale Untergruppe von G und ord G kein Teiler von (G : H)!, so enthält H einen nichttrivalen Normalteiler von G. (ii) Ist ord G = p k m für eine zu m teilerfremde Primzahl p mit p > m, so hat G einen nichttrivialen Normalteiler. Aufgabe 3.4. Sei G eine endliche Gruppe, sei H G eine Untergruppe von G und sei p eine Primzahl. Zeige: (i) Ist S H eine p-sylow-gruppe von H, so gibt es eine p-sylow-gruppe T G von G mit S = T H. (ii) Enthält G eine normale p-sylow-gruppe, so enthält auch H eine normale p-sylow-gruppe. (iii) Ist H G ein Normalteiler und T G eine p-sylow-gruppe von G, so ist T H eine p-sylow-gruppe von H. Aufgabe 3.5. Sei G eine Gruppe der Ordnung 132. Zeige, dass G für mindestens einen Primteiler p der Gruppenordnung eine normale p-sylow-gruppe enthält. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

5 Blatt 4, Aufgabe 4.1. Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 8 zu genau einer der folgenden fünf Gruppen isomorph ist: Z/8Z, Z/4Z Z/2Z, (Z/2Z) 3, der Quaternionengruppe (aus Aufgabe 1.2) oder der Diedergruppe D 4 Aufgabe 4.2. (i) Es seien π = (x 1,..., x r ) und τ = (y 1,..., y s ) zwei fremde Zykeln in S n. Bestimme die Ordnung von π, τ und π τ. (ii) Berechne ( ) Aufgabe 4.3. Sei ϕ: S n S n ein Automorphismus der symmetrischen Gruppe S n, der Transpositionen auf Transpositionen abbildet. Zeige, dass ϕ ein innerer Automorphismus ist, also durch Konjugation mit einem Element π S n gegeben ist. Aufgabe 4.4. Sei G eine Gruppe. Für ein n N sei G n = {g G g n [G, G]}. Zeige, dass diese Teilmenge von G ein Normalteiler von G ist. Aufgabe 4.5. Sei G eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft, dass die Kommutatorgruppe [G, G] von G die Ordnung 2 hat. Zeige, dass der Index (G : [G, G]) eine gerade Zahl ist. (Hinweis: Beweise zunächst, dass unter dieser Voraussetzung für jedes g G das Element g 2 im Zentrum von G liegt.) Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

6 Blatt 5, Aufgabe 5.1. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. (i) Zeige, dass für jedes Element x N H des Normalisators von H die Teilmenge x H = {gh g x, h H} eine Untergruppe von G ist. (ii) Sei H eine maximale auflösbare Untergruppe von G, also eine auflösbare Untergruppe von G, so dass keine auflösbare Untergruppe H G existiert, die H als echte Untergruppe enthält. Zeige, dass dann N H = H gilt. Definition. Eine Gruppe G heißt einfach, falls G {e} gilt und die Untergruppen G und {e} die einzigen Normalteiler von G sind. Aufgabe 5.2. Sei n 2 eine natürliche Zahl und sei H eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n. Zeige: (i) Enthält H eine ungerade Permutation, so hat H A n den Index 2 in H. (ii) Ist H eine einfache Gruppe und gilt ord H > 2, so ist H in A n enthalten. Aufgabe 5.3. Sei R ein kommutativer Ring mit mindestens zwei Elementen, der keine Nullteiler hat. Es gelte, dass jede echte Teilmenge von R, die das Nullelement enthält und mit der induzierten Addition und Multiplikation einen Ring ohne Einselement bildet, endlich ist und das Einselement von R enthält. Zeige, dass R unter diesen Voraussetzungen ein Körper ist. Aufgabe 5.4. Sei R ein Ring mit mindestens zwei Elementen, in dem a 2 = a für alle a R gilt. Zeige: (i) Der Ring R ist kommutativ. (ii) Es gilt 2a = 0 für alle a R. (iii) Hat R keine Nullteiler, so ist R isomorph zu Z/2Z. Aufgabe 5.5. Sei R ein Integritätsring, sei a ein Ideal von R und sei b das von a im Polynomring R[X] erzeugte Ideal. Zeige: (i) b = {f R[X] f = n i=0 a ix i mit n 0 und a i a für alle i} (ii) Der Faktorring R[X]/b ist isomorph zum Polynomring (R/a)[X]. Ein Hinweis der Fachschaft Mathematik: Die Fachschaft Mathematik feiert am ihre Matheparty im Carpe Noctem. Der VVK findet am Mo , Di und Mi in der Mensa Poppelsdorf statt. Alle weiteren Infos auch auf unserer Internetseite. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

7 Blatt 6, Aufgabe 6.1. Sei R ein kommutativer Ring, der die folgende Eigenschaft hat: Es existiert eine natürliche Zahl n > 1, so dass für jedes Element a R die Gleichung a n = a gilt. Zeige, dass in R jedes Primideal maximal ist. Aufgabe 6.2. Sei ϕ: R S ein surjektiver Ringhomomorphismus von nicht notwendig kommutativen Ringen, so dass für jedes Element a ker ϕ eine natürliche Zahl n 1 mit der Eigenschaft a n = 0 existiert. Zeige: (i) Die Menge 1 + ker ϕ = {1 + a a ker ϕ} ist ein Normalteiler der Einheitengruppe R von R. (ii) Der Ringhomomorphismus ϕ induziert einen Isomorphismus von Gruppen R /(1 + ker ϕ) = S. Bemerkung. Für die folgenden beiden Aufgaben können Sie ohne Beweis den folgenden Satz annehmen: Ist R ein kommutativer Ring, so ist jedes Ideal a R mit a R in einem maximalen Ideal von R enthalten. (Diese Aussage kann man leicht aus dem am Ende der Linearen Algebra II bewiesenen Zornschen Lemma herleiten.) Aufgabe 6.3. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige: (i) Ist a R keine Einheit, so gibt es ein maximales Ideal m in R mit a m. (ii) Ein Element a R liegt genau dann in jedem maximalen Ideal von R, wenn für jedes b R das Element 1 ab eine Einheit ist. Aufgabe 6.4. Sei R ein Integritätsring mit unendlich vielen Elementen, in dem es nur endlich viele Einheiten gibt. Zeige, dass R unendlich viele verschiedene maximale Ideale enthält. Aufgabe 6.5. Bestimme einen größten gemeinsamen Teiler der Elemente 2 i und 2 + i sowie einen größten gemeinsamen Teiler der Elemente 5 + 3i und i im Ring Z[i]. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

8 Blatt 7, Aufgabe 7.1. Sei n eine positive natürliche Zahl, nicht vom Quadrat einer Primzahl geteilt wird. Bestimme alle invertierbaren Elemente im Ring Z[ n] = Z + nz C. Aufgabe 7.2. Bestimme alle Teiler von 21 im Ring Z[ 5] = Z + 5Z C. Definition. Ein Element a eines Rings heißt nilpotent, falls a n = 0 für ein n N gilt. Aufgabe 7.3. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige: Ein Polynom f = a n X n + + a 0 R[X] ist genau dann invertierbar, wenn a 0 in R invertierbar ist und die Koeffizienten a i für 1 i n nilpotent sind. Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Die Menge R N aller Abbildungen von N nach R hat eine Ringstruktur, welche die Addition und Multiplikation des Polynomrings R[X] = R (N) fortsetzt. Wir schreiben R x = R N, nennen R x den Ring der formalen Potenzreihen in einer Variable X über R und schreiben die Elemente von R x als unendliche Reihen i=0 a ix i. Aufgabe 7.4. Zeige: (i) Der Ring der formalen Potenzreihen R x ist genau dann ein Integritätsring, wenn R es ist. (ii) Eine formale Potenzreihe i=0 a ix i R x ist genau dann invertierbar, wenn der Koeffizient a 0 in R invertierbar ist. (iii) Das Polynom f = X 2 + 3X + 2 ist irreduzibel als Element des Rings der formalen Potenzreihen Z x, nicht aber als Element des Polynomrings Z[X]. Aufgabe 7.5. Sei K ein Körper. Bestimme alle Ideale des Rings K x und entscheide, ob K x ein Hauptidealring ist. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

9 Blatt 8, Aufgabe 8.1. Sei R ein kommutativer Ring und sei S R eine Teilmenge, die bezüglich der Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. (Es gilt also 1 S und s s S für Elemente s, s S.) Auf der Menge R S betrachten wir die durch (r, s) (r, s ) es gibt ein t S mit r s t = r s t die Äquivalenz- definierte Relation. (i) Zeige, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist. (ii) Es bezeichne R[S 1 ] die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich und r s klasse eines Elements (r, s). Zeige, dass die durch r s + r = rs + r s r r und = r r s s s s s s s definierten Verknüpfungen wohldefiniert sind und R[S 1 ] zu einem kommutativen Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1 machen. 1 1 (iii) Zeige, dass ϕ: R R[S 1 ], r r einen Ringhomomorphismus mit der folgenden universellen Eigenschaft definiert: Für jeden Homomorphismus kommutativer Ringe ψ : R R 1 mit der Eigenschaft ψ(s) (R ) existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus ψ S : R[S 1 ] R mit ψ S ϕ = ψ. Ist ϕ immer injektiv? Aufgabe 8.2. Es bezeichne P N die Menge aller Primzahlen. Zu einer Teilmenge T P sei S(T ) die durch S(T ) = {n Z n hat keine Teiler aus T } definierte Teilmenge von Z. Sei ψ : Z Q der kanonische Ringhomomorphismus. Zeige, dass S(T ) Z ein Untermonoid ist und dass die Abbildung T im(ψ S(T ) : Z[S(T ) 1 ] Q) eine Bijektion zwischen der Potenzmenge von P und der Menge von Unterringen von Q definiert. Aufgabe 8.3. Sei R ein kommutativer Ring und sei S R eine Teilmenge, die bezüglich der Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. Zeige: Ist R noethersch, so ist auch R[S 1 ] noethersch. Aufgabe 8.4. Überprüfe, ob die folgenden Ideale in den Ringen Z[X 1, X 2 ] oder Q[X 1, X 2 ] Primideale oder maximale Ideale sind: (i) (X 1, X 2 ) (ii) (X 1 + X 2 ) (iii) (X 1, X 2, 2) (iv) (X 1 + X 2 2, X X 2 ) Aufgabe 8.5. Zeige, dass die folgenden Polynome im Ring Q[X] irreduzibel sind: (i) X 3 2 (ii) X X 2 4X + 8 (iii) X 6 + X (iv) X X X X 8 Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

10 Blatt 9, Aufgabe 9.1. Zeige, dass die unterliegende additive Gruppe des Körpers der rationalen Zahlen Q torsionsfrei, aber nicht endlich erzeugt und auch nicht frei als Z-Modul ist. Definition. Sei R ein Ring. Eine Folge von R-Modulhomomorphismen M N P heißt exakt, wenn im(m N) = ker(n P ) gilt. Eine kurze exakte Folge ist eine Folge von R-Modulhomomorphismen 0 M N P 0, die an jeder Stelle exakt ist. Dies bedeutet also, dass M N injektiv ist, im(m N) = ker(n P ) gilt und N P surjektiv ist. Aufgabe 9.2. Sei R ein kommutativer Ring und sei S R eine Teilmenge, die bezüglich der Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. (i) Sei M ein R-Modul. Betrachte die Äquivalenzrelation (m, s) (m, s ) es gibt ein t S mit t s m = t s m auf M S. Wie bei R[S 1 ] bezeichne m die Äquivalenzklasse von (m, s). Zeige, dass die s Menge M[S 1 ] der Äquivalenzklassen ein R[S 1 ]-Modul mit Verknüpfungen ist. (ii) Bezüglich der Multiplikation m s + m = s m + sm s s s und r s m s = r m s s r m s = r m s können wir M[S 1 ] als R-Modul auffassen. Zeige, dass der R-Modulhomomorphismus ϕ: M M[S 1 ], m m 1 die folgende universelle Eigenschaft hat: Sei ϕ : M N ein R-Modulhomomorphismus in einen R-Modul N mit der Eigenschaft, dass für jedes s S die Abbildung n s n bijektiv N ist. Dann existiert ein eindeutig bestimmter R-Modulhomomorphismus ψ : M[S 1 ] N mit ψ ϕ = ϕ. (iii) Zeige, dass eine exakte Folge von R-Moduln eine exakte Folge von R[S 1 ]-Moduln induziert. M N P M[S 1 ] N[S 1 ] P [S 1 ] Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

11 Aufgabe 9.3. Sei A ein Hauptidealring und sei 0 M N P 0 eine kurze exakte Folge von A-Modulhomomorphismen. Zeige, dass die Längen der beteiligten Moduln die Gleichung l A (N) = l A (M) + l A (P ) erfüllen. Aufgabe 9.4. Sei R ein Integritätsring und sei S R \ {0} eine Teilmenge, die bezüglich der Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. Zeige, dass für jeden R-Modul M der Rang von M mit dem Rang des R[S 1 ]-Moduls M[S 1 ] übereinstimmt. Aufgabe 9.5. Sei R ein Integritätsring. (i) Sei I eine Menge und sei (M i ) i I eine Familie von R-Moduln. Zeige, dass der Torsionsuntermodul der direkten Summe i I M i isomorph zur direkten Summe der Torsionsuntermoduln der M i ist. (ii) Zeige anhand eines Beispiels, dass der Torsionsuntermodul eines Produkts von R-Moduln im allgemeinen nicht isomorph zum Produkt der Torsionsuntermoduln ist.

12 Blatt 10, Aufgabe Sei A ein Hauptidealring, sei p A ein Primelement und sei M ein A-Modul mit der Eigenschaft, dass es zu jedem m M eine natürliche Zahl n mit p n m = 0 gibt. Weiterhin sei α 1 α 2... α k die bis auf Assoziertheit eindeutig bestimmte Folge von Elementarteilern von M. Zeige: (i) Die A-Modulstruktur von M induziert eine A/(p)-Modulstruktur auf M(p) = {m M p m = 0}. (Da A/(p) ein Körper ist, können wir M(p) also als A/(p)-Vektorraum ansehen.) (ii) Die Dimension des A/(p)-Vektorraums M(p) stimmt mit der Anzahl k der Elementarteiler von M überein. Aufgabe Bestimme die Anzahl der Isomorphieklassen von abelsche Gruppen mit der Ordnung 15625, in denen es genau 124 Elemente der Ordnung 5 gibt. Aufgabe Sei p eine Primzahl, sei n eine natürliche Zahl, sei K ein Körper mit p n Elementen und sei σ : K K, a a p der Frobenius-Homomorphismus. (i) Zeige: Unter diesen Voraussetzungen ist σ ein Automorphismus. (ii) Bestimme die Ordnung von σ als Element der Automorphismengruppe von K. Aufgabe Finde ein Polynom f Q[X] vom Grad 3, so dass Q[X]/(f) ein Körper ist und R[X]/(f) kein Körper ist. Aufgabe Sei K L eine Körpererweiterung und seien α, β L algebraisch über K mit m = [K(α) : K] und n = [K(β) : K]. Es bezeichne K(α, β) den kleinsten Teilkörper von L, der α und β enthält. Zeige: (i) Es gilt [K(α, β) : K] m n (ii) Falls m und n teilerfremd sind, gilt [K(α, β) : K] = m n. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

13 Blatt 11, Aufgabe Bestimme das Minimalpolynom von 3 + i über Q. Aufgabe Sei x C eine Nullstelle des Polynoms f = X 3 6X 2 + 9X + 3 in Q[X]. Zeige, dass 1, x, x 2 eine Q-Basis von Q(x) bildet und schreibe die Elemente x 5, 3x 4 2x und 1 x+2 als Linearkombinationen bezüglich dieser Basis. Aufgabe Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass K unendlich viele Elemente hat. Aufgabe Es seien a, b Q rationale Zahlen für die f = X 2 +a und g = X 2 +b irreduzibel über Q sind. Zeige: Die Zerfällungskörper von f und g sind genau dann isomorph, wenn a b ein Quadrat in Q ist. Aufgabe Seien a, b Q rationale Zahlen für die f = X 3 + ax + b in Q[X] irreduzibel ist. Gib mit Hilfe von a und b eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür an, dass der Zerfällungskörper von f über Q den Grad 3 hat. Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

14 Blatt 12, Aufgabe Bestimme ein Polynom f Q[X] vom Grad 4 mit Nullstellen α 1,..., α 4 C, so dass die Körper Q(α 1, α 2 ) und Q(α 1, α 3 ) nicht isomorph sind. Aufgabe Es seien α 1, α 2, α 3 C Nullstellen des Polynoms f = X 3 + X + 1 Q[X]. Zeige, dass Q( α 2 α 1 ) ein Zerfällungskörper von f ist und bestimme das Minimalpolynom von α 2 α 1 über Q und über Q(α 1 ). Aufgabe Sei p eine Primzahl, sei q = p n für eine natürliche Zahl n und sei f F p [X] ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass f genau dann das Polynom X q X teilt, wenn gradf die Zahl n teilt. Aufgabe Sei p eine Primzahl. Für natürliche Zahlen d und n sei Irr(d, p) = {f F p [X] f ist irreduzibel, normiert und es gilt gradf = d}. (i) Zeige: X pn X = f d n f Irr(d,p) (ii) Bestimme die Anzahl der Elemente von Irr(1, p), Irr(2, p) und Irr(3, p). Aufgabe Sei K L eine endliche normale Körpererweiterung, sei f K[X] ein Polynom und sei M ein Zerfällungskörper von f über L. Zeige, dass dann K M eine normale Körpererweiterung ist. Beachten Sie bitte die Hinweise zur Klausur auf der folgenden Seite! Abgabe : Donnerstag in der Vorlesungspause.

15 Hinweise zur Klausur am 6. Februar 2014 Über die Zulassung zur Klausur informiert das Bachelor-Master-Büro durch Aushang. Die Klausur findet am 6. Februar 2014 im Großen Hörsaal, Weglerstr. 10 und im Lipschitz-Saal (Raum 1.016), Endenicher Allee 60 statt. Die Aufteilung auf die Hörsäle wird auf der Veranstaltungshomepage bekannt gegeben. Die Klausur beginnt um 10:15 und dauert 90 Minuten. Bitte finden Sie sich 10 Minuten vor Beginn der Klausur vor Ort ein, damit Sie den für Sie bestimmten Sitzplatz rechtzeitig finden. Mitzubringen sind Stifte (blau oder schwarz, kein Bleistift) und der Personalausweis oder Reisepass. Jacken und Taschen dürfen nicht mit an den Sitzplatz genommen werden. Sie können diese im Tafelbereich ablegen und dort nach Ende der Klausur abholen. Hilfsmittel sind nicht zugelassen. Insbesondere sollten Sie also keine Lehrbücher, Vorlesungsmitschriften, Notizen, Taschenrechner oder Mobiltelefone mitbringen. Das Mitführen eines nicht zugelassenen Gegenstands gilt als Betrugsversuch, unabhängig davon, ob dieser benutzt wurde oder nicht. Bitte bringen Sie kein eigenes Papier mit, Sie bekommen von uns Papier gestellt. Die Klausureinsicht findet am um 9:00 Uhr im Zeichensaal in der Weglerstr. 10 statt. Die Klausurergebnisse werden vom Bachelor-Master-Büro durch Aushang bekannt gegeben. Diese Regeln gelten sinngemäß auch für die Nachklausur. Diese findet am im Großen Hörsaal (Weglerstr. 10) statt.