3 Moduln. Analogon zu K-Vektorräumen, aber statt über einem Körper, über einem Ring definiert.

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1 3 Moduln Analogon zu K-Vektorräumen, aber statt über einem Körper, über einem Ring definiert. Beispiele: (1) (Z n, +, (Z, )), wobei (Z, ) Skalarmultiplikation. k (a 1,...,a n )=(ka 1,...,ka n )inz. (2) Jeder K-Vektorraum ist auch K-Modul. (3) R Ring, I R Ideal (I,+, (R, )) R-Modul. (4) R Ring, I R Ideal R/ I R-Modul, x + y := x + y, r x := rx. (5) V,W K-Vektorräume, Hom K ((V,W), +, (K, )) K-Modul; analog: V,W R- Moduln, (Hom R (V,W), +, (R, )) R-Modul, wobei (r f)(x) =r f(x) Skalarmultiplikation in W. (6) R Ring, (R n, +, (R, )) R-Modul; Speziell: M n (R) istr-modul. Definition (R-Modul): Sei R ein Ring. Eine abel sche Gruppe (M,+) zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation) R M M, (r, x) r x heißt Links-R-Modul wenn gilt: (MOD1) Assoziativ: (rs)x = r(sx), r, s R, x M, (MOD2) Distributiv: r(x+y) =rx+ry, (r +s)x = rx+sx, r, s R, x, y M. Schreibweise: R M. Analog: M R für Rechts-R-Moduln. Ist M Rechts- und Linksmodul, so heißt M R-Modul, (also rx = xr r R, x M). Ist R unitärer Ring, also 1 R R, soheißtm unitärer R-Modul, wenn 1 R x = x x M. Bemerkung: Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann gilt 0 R x =0 M, x M, r 0 M =0 M, r R, (rx) =( r)x = r( x) =r( 1 R )x, r R, x M. Beispiele: (1) Für K Körper gilt: K-Modul = K-Vektorraum. (2) Sei R = Z, Mein unitärer Z-Modul = abelsche additive Gruppe. Damit ist k x M für k Z, x M. Klar: M Z-Modul (M,+) abelsche Gruppe. Umgekehrt: Sei (M,+) eine abelsche Gruppe. Definiere Z-Skalarmultiplikation Z M M, (k, x) kx := x + + x }{{} k mal und ( k) x := kx für k 0. Wir erhalten damit einen Z-Modul M. (3) Triviale R-Moduln: (a) M =0trivialeabelscheGruppemitR M M, (r, 0) 0 (Nullmodul ). (b) (M,+) abelsche Gruppe, R beliebiger Ring. So erhalte R-Modul M durch R M M, (x, x) 0 = rx triviale Skalarmultiplikation. 29

2 (4) R Ring wird zu Rechts- bzw. Links-R-Modul vermöge R R R, (x, r) rx bzw. R R R, (x, r) xr. R ist R-Modul, wenn kommutativ, d.h. rx = xr x, r R. (5) Direktes oder kartesisches Produkt von R-Moduln: Sei (M i ) i I Familie von R-Moduln, M = i I M i = {f : I i I M i mit f(i) M i für alle i I} (x i ) i I, wobei x i M i. M wird mit komponentenweiser Addition (x i ) i I +(y i ) i I := (x i + y i ) i I und Skalarmultiplikation r(x i ) i I := (rx i ) i I zu einem R-Modul. Speziell: M,N R-Moduln M N R-Modul, MR-Modul M n = M MR-Modul. Definition (Modulhomomorphismus): Seien R Ring, M,N R-Moduln. Eine Abbildung f : M N heißt R-Modulhomomorphismus oder R-linear, wenn gilt: (HOM1) additiv: f(x + y) =f(x)+f(y) x, y M (also Gruppenhomomorphismus bzgl. +), (HOM2) R-homogen: f(rx) =rf(x) r R, x M. Bezeichnung: Hom R (M,N) :={f : M NR-linear}, End R (M) =Hom R (M,M) Endomorphismen. Bemerkung: (1) Aus f : M NR-linear folgt: ker f, im f sind wieder R-Moduln. (2) Für f : M NR-linear gilt: f injektiv ker f =0={0 M }. Satz: Es gilt: (1) Komposition von Homomorphismen ist wieder ein R-Homomorphismus. (2) Hom R (M,N) wird mit zu einem R-Modul. (f + g)(x) :=f(x)+g(x), (rf)(x) :=rf(x) (3) (End R (M), +, ) ist ein (nicht kommutativer,) unitärer Ring. Beweis: Wie in Linearer Algebra für Vektorräume. Satz: Sei R ein unitärer Ring, M ein R-Modul. Dann gilt: (1) ε :Hom R (R, M) M, f f(1 R ) ist Isomorphismus abelscher Gruppen (d.h. Isomorphismus bzgl. +). (2) Ist R kommutativ, so ist εr-modulisomorphismus. In Worten: Jede R-lineare Abbildung f : R M ist durch das Bild von 1 R 30

3 schon eindeutig bestimmt. Beweis: : (1) ε(f + g) =(f + g)(1 R )=f(1 R )+g(1 R )=ε(f)+ε(g), also ε additiv. ε bijektiv: f : R M, f(r) =f(r 1 R )=r f(1 R )istdurchf(1 R ) eindeutig bestimmt, also ε injektiv. ε surjektiv, da f(1 R )beliebiginm vorgeschrieben werden kann. (2) εr-homogen: ε(rf) =(rf)(1 R )=rf(1 R )=rε(f) =ε(f)r. Sprechweise: Hom R (R, M) und M sind vermöge ε als R-Moduln kanonisch isomorph. Definition (Untermodul): Seien R Ring, MR-Modul, N M Teilmenge. Dann heißt NR-Untermodul (Schreibweise: N R M), wenn gilt: (UM1) (N,+) (M,+) Untergruppe, (UM2) N bzgl. Skalarmultiplikation abgeschlossen, also r R, x N : rx N. Beispiele: (1) 0 R M, M R M. (2) Sei I R Ideal. Dann ist R als Ring auch R-Modul. Daher ist I R- Untermodul vom Modul R. Speziell: Ideale in Z sind Z-Untermoduln, also additive Untergruppen. (3) Seien M R-Modul, x M. Dann: R x = R x = {rx, r R} das R- Erzeugnis von x oder der von x erzeugte zyklische R-Untermodul. Analog: x 1,...,x k M, R x 1,...,x k = Rx Rx k = { k i=1 r ix i ; r i R} = R-Erzeugnis von x 1,...x k. Speziell: M = Z n, etwa Z 2 (x 1,x 2 ), x i Z. BetrachtedenZ-Modul N Z 2 mit N = Z (2, 1) = {(2k, k), k Z} = Z ( 2, 1) Z (4, 2). (Abbildung6 unten.) (2,1) Abbildung 6: Betrachte L Z 2,mitL = Z (2, 1), (1, 0) = Z (1, 0), (0, 1). EsgiltL (!) = Z 2. (Abbildung 7 unten.) Bemerkung: Das Auffinden eines minimalen Erzeugendensystems eines Z-Untermoduls von Z n kann beliebig kompliziert sein. (Sei N = Z v 1,...,v k Z n gegeben. Finde w 1,...,w m mit m minimal, sodass 31

4 Abbildung 7: w 1,...,w m Erzeugendensystem von N sind.) Definition (Summe): Seien MR-Modul, M i R MR-Untermoduln, i I. (1) i I M i := { i I r i x i,x i M i,r i R, r i =0für fast alle i (also endliche Summe)} heißt die Summe der M i und ist der kleinste R-Untermodul von M, derallem i enthält. (2) Sei {x i } i I eine Familie von Elementen in M. Dannheißt R x i,i I := i I R x i = i I Rx i = { i I r i x i,r i R, fast alle r i =0} R M der von den {x i, i I} erzeugte R-Untermodul von M. EristderkleinsteR- Untermodul der alle x i enthält. Beweis: (1) M i ist R-Untermodul: 0 = i I 0 x i M i, xi, y i M i x i + y i = (x i + y i ) M i, xi M i,r R r x i = rx i M i. Für den Rest des Beweises vergleiche analogen Beweis für Basen von K-Vektorräumen in der Linearen Algebra. Definition (Erzeugendensystem): (1) {x i ; i I} heißt R-Erzeugendensystem von R-Modul M R x i,i I = M Jedes Element x von M ist endliche R-Linearkombination der {x i ; i I}. Speziell: I = {1,...,n}, M = R x 1,...,x n = Rx Rx n. (2) R M heißt endlich erzeugt (als R-Modul) x 1,...,x n M mit R x 1,...,x n = M. Dann gilt x M r i R mit x = n r i x i. i=1 Beispiele: (1) Jede Basis eines K-Vektorraums ist K-Erzeugendensystem (K Körper). (2) 1 R = 1 ist Erzeugendensystem von R als R-Modul (sofern R unitär), denn 32

5 R = R 1 R. (3) R n = R Rn-faches kartesisches Produkt eines Ringes R hat das Standard-Erzeugendensystem e 1 =(1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e n = (0,...,0, 1). (4) R[x] hat R-Erzeugendensystem x i,i N. Bemerkung: {x i,i N} ist unendliches R-Erzeugendensystem von R[x]. Satz (Produkt): Dann ist Sei M R-Modul, I R Ideal, N M R-Untermodul. I M := { n r j x j, r j I, x j N} M j=1 die Menge aller Linearkombination von Elementen in N mit Koeffizienten in I. Speziell: Seien I,J R Ideale (sind also auch R-Untermoduln). Dann ist das Produkt I J R und es gilt: I N MR-Untermodul, I J R Ideal. Beweis: Einfach. Satz: Sei M R-Modul, {x i, i I} Familie von Elementen aus M. Dannist äquivalent: (1) Jedes x M hat eindeutig die Gestalt x = i I r i x i mit r i R, r i =0für fast alle i I. (2) (a) {x i, i I} bilden ein R-Erzeugendensystem von M. (b) {x i, i I} sind R-linear unabhängig, d.h. aus r i x i =0mitr i R und r i =0für fast alle i I, i I folgt r i =0für alle i I. Beweis: Wie in Linearer Algebra für Basen von Vektorräumen. Definition (Basis): Die Elemente {x i, i I} eines R-Moduls M die (1) und (2) des Satzes erfüllen, heißen R-Basis von M. M heißt frei oder freier R-Modul M besitzt R-Basis. Achtung: Jeder K-Vektorraum besitzt eine K-Basis (ohne Beweis), aber R- Moduln sind im allgemeinen nicht frei. Beispiele: (1) Vektorräume sind frei. (2) Ein unitärer Ring R ist frei als R-Modul mit Basis 1 R. (3) R = 0 Nullring ist per Definition frei mit Basis. (4) R = Z, M = Z/ kz mit k 2. Dann ist M endlich erzeugter Z-Modul (Erzeugendensystem: 1), aber nicht frei, denn k 1=k 1=k = 0, also 1 nicht Z-linear unabhängig. (5) Sei R = Q[x, y, z], M = x, y, z R das von x, y, z erzeugte Ideal. Dann sind x, y, z ein R-Erzeugendensystem von M, aber nicht R-linear unabhängig, 33

6 denn y x +( x)y = 0.(Achtung: x, y, z sind Q-linear unabhängig.) (6) Sei R = C[x, y, z], M= C x 3 yz, xz y 2,x 2 y z 2 = f 1,f 2,f 3 R Ideal in R. Dann ist f 1,f 2,f 3 ein R-Erzeugendensystem von M, aber nicht R-linear unabhängig, denn yf 1 zf 2 xf 3 = 0. (Vergleiche PS.) (7) R n ist frei mit Basis e i =(0,...,0, 1 R, 0,...,0) (falls R unitär). R n = {(r 1,...,r n ); r i R} = Abb({1,...,n},R)=R {1,...,n} (f : {1,...,n} R, i f(i) =r i ). Allgemeiner: Sei I eine beliebige Indexmenge. Dann ist R I = Abb(I,R) (r i ) i I, R (I) = {f R I ; f(i) = 0 für fast alle i} = {(r i ) i I ; r i = 0 für fast alle i I}. Speziell: R N sind alle Folgen in R, R (N) sind alle endliche Folgen in R. Dann gilt: R (I) ist frei mit Basis {e i ; i I} wobei e i : I R, i 1, j 0 für j i. Seien M R-Modul, x 1,...,x n M gege- Definition (Relationenmodul): bene Elemente. Dann heißt Rel(x 1,...,x n )={(r 1,...,r n ) R n ; Relationenmodul von x 1,...,x n. Satz: (1) Rel(x 1,...,x n ) R n R-Untermodul. n r i x i =0} R n (2) x 1,...,x n R-linear unabhängig Rel(x 1,...,x n )={(0,...,0)} =0. Beweis: Klar. Beispiel: Lösen von Gleichungen über Ringen. Sei R = Z, x 1 =3, x 2 =5, x 3 = 2. Dann: Rel(3, 5, 2) = {(k, l, m) Z 3 ;3k+5l 2m =0} (5, 3, 0), (2, 0, 3), (0, 2, 5), ( 1, 1, 1). Aufgabe: Finde minimales Erzeugendensystem von Rel(3, 5, 2). Bemerkung: Konstruktion von Relationenmoduln über Z. Sind x 1,...,x n Z k,soistm Q = Rel Q (x 1,...,x n ) Q n ein Q-Untervektorraum, der Lösung eines linearen Gleichungssystems ist. Denn: Rel Z (x 1,...,x n )=M Q Z n. Universelle Eigenschaft von Basen: Sei M ein freier R-Modul mit Basis {e i ; i I}. N sei ein beliebiger R-Modul und x i N seien beliebig vorgegeben, i I. Dann existiert genau eine R-lineare Abbildung f : M N mit f(e i )=x i i I, nämlich: Für x = r i e i M i I ist f(x) =f( i I i=1 r i e i )=(dasummeendlich)= i I r i f(e i )= i I r i x i. 34

7 Beweis: Vergleiche Lineare Algebra. Folgerung: Sei M freier R-Modul mit Basis {a i ; i I}. Dann existiert ein R-Isomorphismus α : M R (I), a i e i, r i a i r i e i. Speziell: Ist I = {1,...,n}, dannistm = R n als R-Modul. Beweis: Vergleiche Lineare Algebra. Einschränkung der Skalare: Sei f : R S Ringhomomorphismus, M ein S-Modul. Dann wird M zu einem R-Modul vermöge r x := f(r) x. R M S M Beispiele: (1) Sei M C-Vektorraum. Dann ist M auch ein R-Vektorraum (Betrachte dazu f : R C) undeinq-vektorraum (betrachte f : Q C) undein Z-Modul (betrachte f : Z C). (2) Sei I R[x, y, z] Ideal, also R[x, y, z]-untermodul. Betrachte f : R[u, v] R[x, y, z], u xy, v y 2 z. Sei P (u, v) P (xy, y 2 z) ein Substitutionshomomorphismus. Für Q(x, y, z) I definiere P (u, v) Q(x, y, z) :=P (xy, y 2 z) Q(x, y, z) (Multiplikation in R[x, y, z]). Damit wird I zu einem R[u, v]-modul. Definition (Faktormodul): Sei M R-Modul, N R M Untermodul (insbesondere (N,+) (M,+) abelsche Untergruppe). Betrachte die abelsche Faktorgruppe (M/ N, +) x wobei x = y x y N z N mit x = y + z. Die Skalarmultiplikation R M/ N M/ N, (r, x) rx macht M/ N zu einem R-Modul, dem Faktormodul von M nach N. Die kanonische Abbildung π : M M/ N,x x ist R-linear und surjektiv. Sprechweise: M/ N = M modulo N. Beispiele: (1) 2Z 3Z Z 2. Z 2 / 2Z 3Z = {(x, y); x Z/ 2Z, y Z/ 3Z } = Z/ 2Z Z/ 3Z. (2) Für R[x, y]/ x 2 + y 2 {P ; P R[x, y]} gilt: 1 P = Q P Q x 2 + y 2 1 (P Q) S 1 0. Definition: Sei X R n Teilmenge. Eine Abbildung f : X R heißt polynomial F : R n R Polynomfunktion mit F X f. Im Beispiel: ker α = x 2 + y 2 1 (!) F S 1 Poly(S 1, R) = S α π F R[x, y] 35

8 Universelle Eigenschaft von Faktormoduln: Für alle R-linearen Abbildungen f : M M mit M ker f existiert genau eine R-lineare Abbildung f : M/ N M,nämlich f(x) :=f(x). M f M π f M/ N Beweis: f wohldefiniert und additiv: wie bei abelschen Faktorgruppen. Noch z.z.: fr-homogen, d.h. f(r x) =r f(x). Aber: f(r x) =f(rx) =f(rx) =rf(x) =r f(x). Satz (Homomorphiesatz für Moduln): Sei f : M N R-linear zwischen R-Moduln. Dann gilt: f induziert R-Isomorphismus f : M/ ker f Bi f N. Beweis: Existenz nach universeller Eigenschaft und Homomorphiesatz für abelsche Gruppen. Definition (Folge): Seien R Ring, M i R-Moduln, 1 i k +1, f i : M i M i+1 R-linear für 1 i k. DasDiagramm f 1 f 2 f k M 1 M2 M3 M k Mk+1 heißt Folge von R-Moduln oder Komplex von R-Moduln Bi (f i ) ker(f i+1 ) 1 i k f i f i i k. Die Folge heißt exakt Bi (f i ) = ker(f i+1 ) 1 i k. Beispiele: (1) Sei M f N 0 0. Dann: Bi f N = ker0. Also liegt eine Folge vor. Diese Folge ist exakt Bi f = ker 0 = N f surjektiv. (2) Sei 0 0 M f N. Dann:Bi0=0 ker f. AlsoliegteineFolgevor. Diese ist exakt Bi 0 = ker f =0 f injektiv. (3) Sei N MR-Untermodul und 0 N inkl M π M/ N 0seieineexakte Folge. Dann gilt: Bi (inkl) = N = ker π. Intuitiv: M = N M/ N. f 1 f 2 (4) Folgen der Gestalt 0 M 1 M2 M3 0( ) heißenkurze Folgen. ( ) ist exakt bedeutet, dass M 2 aus M 1 und M 3 zusammengesetzt ist. Speziell: 0 M M N N 0 x (x, 0) ist eine kurze exakte Folge. (x, y) y 0 36