4.2 Quotientenvektorräume

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1 306 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.2 Quotientenvektorräume Zum Verständnis der folgenden Konstruktion ist es hilfreich, sich noch einmal den Abschnitt 1.4 über Restklassen vom Beginn der Vorlesung zu vergegenwärtigen. Etwas mehr über die Motivation für die Einführung der Quotientenvektorräume erfahren wir weiter unten bei sogenannten Homomorphiesatz Definition Es sei V ein K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum. Der Quotientenvektorraum (auch Faktorraum genannt) V/U (lies: V nach U ) ist als Menge definiert als V/U := {v + U v V }, also als Menge aller affinen Unterräume mit fester Richtung U. Als technische Grundlage für alles weitere klären wir zunächst, wann zwei affine Unterräume mit Richtungsraum U, gegeben durch v und v in V, übereinstimmen. Hilfssatz Für v, v V gilt v + U = v + U v v U Beweis: = : Es gilt insbesondere v v + U, d. h. es existiert u U mit v = v + u. Also ist v v = u U. = : Es existiert u 0 U mit v v = u 0. Sei nun x v + U beliebig, d. h. es existiert u U mit x = v + u. Dann gilt x = v + (v v ) + u = v + (u 0 + u) und u 0 + u U, also auch x v + U. Sei umgekehrt x v + U beliebig, d. h. es existiert u U mit x = v + u. Dann gilt x = v + (v v) + u = v (v v ) + u = v u 0 + u = v + (u u 0 ) und u u 0 U, also auch x v + U. Die Konstruktion des Quotientenraums V/U hat eine weitgehende Analogie zu den Restklassen ganzer Zahlen, d.h. zur aus Abschnitt 1.4 bekannten Konstruktion der Menge (die dann ein Ring wird) Z/mZ. Bevor wir die Verknüpfungen auf dem Quotientenraum definieren, wollen wir diese Analogie auf der Ebene der unterliegenden Mengen beschreiben. Vorgegeben ist wie gesagt ein fester Untervektorraum U (genau wie bei der Kongruenz von Zahlen eine natürliche Zahl m

2 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 307 fixiert ist). Durch die Bedingung v v U wird eine Relation zwischen zwei Vektoren v und v definiert, also eine Relation auf V. Man könnte diese Relation als Kongruenz modulo U bezeichnen. Entscheidend ist nun, daß diese Relation eine Äquivalenzrelation auf V ist. Wir wollen das hier nicht nachrechnen, weisen aber darauf hin, daß die Untergruppeneigenschaften von U hierbei voll eingehen. Wenn man genau hinsieht, folgen die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sogar aus 4.2.2, denn die linke Seite der dort formulierten Äquivalenz hat offenbar die drei gewünschen Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind nun genau die affinen Unterräume. Genauer ist die Äquivalenzklasse von v V, also die Menge aller v, die in obiger Relation mit v stehen, genau gleich v + U. Bisher haben wir den Quotientenvektorraum nur als Menge konstruiert. Zur Definition der Verknüpfungen auf V/U benötigen wir als Vorbereitung folgenden Hilfsatz, der analog zu dem Hilfssatz über die Kongruenz modulo m von Zahlen ist: Hilfssatz a) Seien v 1, v 1, v 2, v 2 so, daß v 1 + U = v 1 + U v 2 + U = v 2 + U. Dann gilt auch (v 1 + v 2 ) + U = (v 1 + v 2 ) + U. b) Seien v, v V so, daß und α K. Dann gilt auch v + U = v + U αv + U = αv + U. Beweis: Beide Teile folgen unmittelbar aus dem vorigen Hilfssatz und den Untervektorraum- Eigenschaften von U: zu a): Nach ist v 1 v 1 U und v 2 v 2 U, also auch (v 1 v 1 ) + (v 2 v 2) U. Umschrieben liefert (v 1 + v 2 ) (v 1 + v 2) U, wiederum mit also (v 1 + v 2 ) + U = (v 1 + v 2 ) + U, wie gewünscht. zu b): Es ist v v U, also auch αv αv = α(v v ) U, also αv + U = αv + U, wieder mit zweimaliger Verwendung von Nun können wir auf V/U die gewünschte Vektorraumstruktur definieren. Satz Sei V ein K-Vektorraum, U V ein Untervektorraum

3 308 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau a) Durch werden zwei Verknüpfungen sinnvoll definiert. (v 1 + U) + (v 2 + U) := (v 1 + v 2 ) + U α(v + U) := αv + U V/U V/U V/U K V/U V/U b) Der Quotientenraum V/U zusammen mit diesen Verknüpfungen ist ein K- Vektorraum. c) Die sogenannte kanonische Abbildung π U : V V/U, v v + U ist eine lineare Abbildung. Beweis zu a): Es ist zu zeigen, daß die rechte Seite (v 1 + v 2 ) + U bzw (αv) + U nur von v 1 + U und v 2 + U (bzw. α und v + U) abhängt, aber nicht von v 1, v 2 (bzw. α) selbst. Das ist genau die Aussage von zu b): alle Gesetze überprüft man durch einfaches Nachrechnen, neutrales Element ( Nullvektor ) in V/U ist U = 0 + U V/U, negatives zu v + U ist ( v) + U. zu c) Die beiden Linearitätseigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der Addition und der Multiplikation mit Skalaren. Strukturell gesehen ist c) der wichtigste Teil des Satzes. Seine gewünschte Gültigkeit erzwingt die Definition der Verknüpfungen auf V/U, aber unverzichtbar bleibt die Aussage 4.2.3, die der Definition erst Sinn gibt. Wenn der zur Bildung des Faktorraumes herangezogenen Unterraum U feststeht, bzw. aus dem Zusammenhang hervorgeht, schreibt man oft auch einfach v + U =: v für v V, genau wie bei Restklassen ganzer Zahlen. Die Verknüpfungen auf V/U lesen sich dann als v + w = v + w, v, w, V αv = αv, α K, v V, was wieder nur die Linearität der kanonischen Abbildung von V auf V/U ausdrückt. Wir stellen schließlich noch fest, daß der Kern von π U genau gleich U ist: für beliebiges v V gilt v Kern π U π U (v) = 0 v + U = 0 + U = U v U,

4 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 309 die letzte Äquivalenz nach Hilfssatz Wenn wir schließlich noch beachten, daß π U offensichtlich surjektiv ist, so liefert die Dimensionsformel für lineare Abbildungen als Spezialfall den folgenden wichtigen Satz. Satz ein Untervektorraum. Dann ist der Quotientenraum V/U wieder endlich erzeugt und es gilt dim V/U = dim V dim U. Eine andere Herleitung der Dimension von V/U liefert der folgende Satz, für den wir an den Begriff der direkten Summe zweier Unterräume erinnern. Satz Die Voraussetzungen seien wie in und ferner W V ein Komplement zu U (d. h. V = W U). Dann gilt W = V/U. Genauer ist die Einschränkung der kanonischen Abbildung W V/U, w w + U ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. Beweis: (1) Die in Frage stehende Abbildung sei kurz mit ψ bezeichnet, also ψ = π U W. Wir wissen bereits, daß π U, erst recht also ψ, linear ist. (2) ψ ist surjektiv: sei v + U V/U vorgegeben. Gesucht ist w W mit ψ(w) = v + U, d. h. w + U = v + U. Wegen der vorausgesetzten Zerlegung von V als (direkte) Summe können wir schreiben v = w + u, w W, u U. Hieraus folgt mit unmittelbar, daß v + U = w + U ist, dieses w ist also bereits das Gesuchte. (3) ψ ist injektiv. Sei w Kern ψ, also w + U = 0 + U. Dann ist w U, also w W U, also w = 0 nach Voraussetzung. Also ist Kern ψ = {0}, wie gewünscht. Zusammen mit der Dimensionsformel für direkte Summen liefert der letzte Satz auch einen neuen Beweis für 4.2.5: es ist dimv/u = dim W = dim V dim U (weil dim U + dim W = dim V ). Wir wollen hervorheben, daß Satz eine stärkere Aussage enthält als nur die Dimensionsformel. Auf den ersten Blick scheint der Satz etwas abstrakt, da er vom Quotientenvektorraum handelt. In Wirklichkeit macht er aber eine unmittelbar

5 310 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau einsichtige geometrische Aussage: jeder zu U parallele affine Unterraum v + U besitzt genau einen Schnittpunkt w mit W: (v + U) W = {w}. Wenn etwa V = R 2 ist und U = R b eine Gerade, so kann man für W jede von U verschiedene Gerade nehmen: W = R c mit c R b. Die Aussage ist dann, daß jede Parallele zu U genau einen Schnittpunkt mit W hat. Entsprechendes gilt für eine Ebene (d. h. einen zweidimensionalen Untervektorraum) U im R 3 und eine nicht in U enthaltene Gerade W. Wir kommen nun zu einem wichtigen Satz, den es übrigens analog auch für Gruppen und Ringe gibt und der einer der Hauptgründe für die Einführung von Faktorräumen (allgemeiner: Faktorstrukturen von algebraischen Strukturen) ist: der Faktorraum ist der natürliche Lebensraum für lineare Abbildungen (Homomorphismen), die auf U verschwinden (Zitat aus dem Buch Lineare Algebra von Jänich). Satz (Homomorphiesatz für Vektorräume) a) Es sei F : V W eine lineare Abbildung. Weiter sei U V ein Untervektorraum mit U Kern F. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung F : V/U W mit F = F π U, d.h. das Diagramm V F W π U V/U F ist kommutativ. Der Homomorphismus F heißt auch der von F induzierte Homomorphismus. b) Unter den Voraussetzungen von a) ist Bild F = Bild F. Insbesondere ist F surjektiv genau dann, wenn F surjektiv ist. c) Unter den Voraussetzungen von a) ist Kern F = (Kern F)/U. Insbesondere ist F injektiv genau dann, wenn U = Kern F ist. Wenn wir die unter b) und c) genannten Spezialfälle zusammenfassen, so ist insbesondere geklärt, wann der induzierte Homomorphismus F bijektiv, also ein Isomorphismus ist. Somit enthält der Homomorphiesatz auch ein Werkzeug, um Isomorphismen zu konstruieren. Wir illustrieren das an dem folgenden Satz, in dem wir den Dualraum eines Unterraumes beschreiben.

6 LinAlg II Version 1 6. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 311 Satz Es V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U ein Untervektorraum. Dann ist der Dualraum von U in natürlicher Weise isomorph zu einem Faktorraum des Dualraumes von V. Genauer induziert die Abbildung V U, ϕ ϕ U einen Isomorphismus V /U = U, wobei wie früher U der Annulator von U ist. Unter Benutzung der Dimensionsformel für den Faktorraum sowie der Gleichheiten dim V = dim V, dim U = dim U ergibt sich hiermit erneut die Dimension des Annulators aus Satz