2.1 Strukturtheorie von Moduln Anwendungen auf lineare Abbildungen... 43

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1 Moduln 2 Inhaltsverzeichnis 2.1 Strukturtheorie von Moduln Anwendungen auf lineare Abbildungen Der Begriff des Moduls ist gleichzeitig eine Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe, Ring und Vektorraum. Die Modulstruktur ist so weit gefasst, dass sie den Rahmen für die relevanten Funktionen fast aller zentralen Gebiete der Mathematik bilden kann. Andererseits ist die Modulstruktur aber auch so reichhaltig, dass sie eine signifikante Theorie erlaubt, die ausgesprochen interessante Anwendungen hat. Ein wesentliches Ziel dieses Kapitels ist es, überzeugende Belege für diese beiden Behauptungen zu liefern. Wir gehen davon aus, dass dem Leser das Konzept einer abelschen Gruppe bekannt ist. Moduln sind ebenso wie Vektorräume abelsche Gruppen mit einer zusätzlichen Verknüpfung. Bei Vektorräumen besteht diese Verknüpfung darin, dass man seine Elemente mit den Elementen eines Körpers multiplizieren kann. Diese skalare Multiplikation erfüllt dann diverse Rechenregeln wie z. B. zwei Distributivgesetze. Für Moduln lässt man allgemeinere Skalare zu. Diese müssen nicht mehr Elemente eines Körpers sein, sondern nur Elemente eines Ringes. Man verzichtet also im Falle der Moduln bei den Skalaren auf mehrere Charakteristika eines Körpers, die Invertierbarkeit der von Null verschiedenen Elemente, die Existenz eines Einselements und auch auf die Kommutativität der Multiplikation. Nichtkommutative Ringe werden im ersten Studienjahr selten behandelt, spielen aber ebenso wie ihre Moduln eine sehr bedeutende Rolle z. B. in der Untersuchung von Differenzialgleichungen und in der Funktionalanalysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 J. Hilgert, Mathematische Strukturen, DOI / _2 25

2 26 2 Moduln 2.1 Strukturtheorie von Moduln In diesem Abschnitt führen wir eine prototypische algebraische Strukturtheorie vor. Wir beginnen mit der Definition eines Moduls, geben eine Reihe von Beispielen an und führen Homomorphismen, d. h. strukturerhaltende Abbildungen, zwischen Moduln ein. Damit können wir dann Moduln über einem festen Ring miteinander vergleichen und treffen auf Unter- und Quotientenmoduln. Danach studieren wir die von Teilmengen erzeugten Untermoduln ein Konzept, das man entsprechend variiert in allen algebraischen Strukturen findet. Etwas spezieller ist der Begriff des freien Moduls, aber auch er hat in einer Reihe von algebraischen Strukturen eine Entsprechung. Zum Abschluss studieren wir die Möglichkeit, Moduln aus kleineren Moduln zusammenzusetzen eine Zielsetzung, die man für alle algebraischen Strukturen betrachtet. Elementare Definitionen und Beispiele Die folgende Definition eines Moduls verallgemeinert in offensichtlicher Weise sowohl die Definition eines Ringes als auch die eines Vektorraumes. Weniger offensichtlich ist, dass auch jede abelsche Gruppe ein Modul ist. Definition 2.1 (Moduln) Sei R ein Ring. Ein Links-R-Modul (oder einfach R-Modul) M ist eine abelsche Gruppe mit einer Abbildung R M! M;.r; m/ 7! rm; die folgenden Bedingungen genügt: (i) 8 r 1 ;r 2 2 R; 8 m 2 M W.r 1 r 2 /m D r 1.r 2 m/. (ii) 8 r 1 ;r 2 2 R; 8 m 2 M W.r 1 C r 2 /m D r 1 m C r 2 m. (iii) 8 r 2 R; 8 m 1 ;m 2 2 M W r.m 1 C m 2 / D rm 1 C rm 2. (iv) Wenn R ein Einselement 1 2 R hat, dann gilt 1m D m für alle m 2 M. Unser erster Satz von Beispielen ist eher abstrakter Natur. Wir starten mit Ringen oder Vektorräumen und finden in natürlicher Weise dazu assoziierte Moduln. Beispiel 2.2 (Moduln) (i) Sei R ein Ring, dann macht die Ringmultiplikation R zu einem R-Modul. (i 0 ) Sei R einringundi R eine additive Untergruppe. Wenn sich die Ringmultiplikation zu einer Abbildung R I! I einschränken lässt, d. h., wenn 8 r 2 R; 8 x 2 I W rx 2 I; dann macht diese Abbildung.I; C / zu einem R-Modul. Man nennt I dann ein Linksideal in R.

3 2.1 Strukturtheorie von Moduln 27 (i 00 ) Sei R einringundi ein Linksideal in R. Dann ist Menge R=I DfrCI j r 2 Rg der Nebenklassen von I bezüglich der Addition (Add).r C I/C.r 0 C I/ D.r C r 0 / C I eine abelsche Gruppe, die Quotientengruppe. Bezüglich der Multiplikation (Mult) r.s C I/ WD rs C I wird.r=i; C / dann zu einem R-Modul. Die R-Moduln von dieser Form heißen zyklisch. (ii) Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann macht die skalare Multiplikation K V! V die abelsche Gruppe.V; C / zu einem K-Modul. (iii) Sei.M; C / eine abelsche Gruppe. Dann macht die durch 8 a C ƒ :::C a n 2 N ˆ< n-mal na WD 0 n D 0.a C :::C a/ n 2 N ˆ: ƒ. n/-mal gegebene Abbildung Z M! M die Gruppe.M; C / zu einem Z-Modul. (iv) Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist V ein End.V /-Modul bezüglich 'v WD '.v/. Das nächste Beispiel ist von viel speziellerer Natur, deutet aber schon an, dass Modulstrukturen auch für die Behandlung von Differenzialgleichungen von Interesse sein können. Beispiel 2.3 (Vektorfelder) Sei U R k eine offene Teilmenge und C 1.U; R m / der R-Vektorraum aller glatten Abbildungen von U nach R m.dannistc 1.U; R/ ein Ring bezüglich der punktweisen Addition und Multiplikation und C 1.U; R m / ein C 1.U; R/-Modul bezüglich der punktweisen Addition und skalaren Multiplikation (siehe Beispiel 1.2). Wieder beschreiben wir diese beiden Verknüpfungen genauer: Für f; g 2 C 1.U; R m /, s 2 C 1.U; R/ und x 2 U gilt: (Add).f C g/.x/ D f.x/ C g.x/, wobei die Addition auf der rechten Seite diejenige von R m ist. (Mult).sf /.x/ D s.x/ f.x/, wobei die Multiplikation auf der rechten Seite die skalare Multiplikation R R m! R m ist. Für den Fall, dass k D m gilt, kann man die Elemente von C 1.U; R m / als Vektorfelder interpretieren: Der Funktionswert f.x/ 2 R k an der Stelle x 2 R k ist ein Vektor, den man sich an der Stelle x angeklebt denkt. Solche Vektorfelder definieren gewöhnliche Differenzialgleichungen: Man sucht differenzierbare Lösungskurven W I! R k, wobei I R ein möglichst großes Intervall ist. Lösen

4 28 2 Moduln soll die Differenzialgleichung 0.t/ D f.t/ : Man beachte, dass (Mult) schon eine zweite Modulstruktur auf C 1.U; R m / definiert. Schließlich ist C 1.U; R m / ja auch ein reeller Vektorraum, d. h. ein R-Modul. Wenn man eine reelle Zahl als konstante Funktion auf U interpretiert, stellt man fest, dass die skalare Multiplikation R C 1.U; R m /! C 1.U; R m / eine Einschränkung der skalaren Multiplikation C 1.U; R/ C 1.U; R m /! C 1.U; R m / ist. Damit ist die C 1.U; R/-Modulstruktur eine Verfeinerung der Vektorraumstruktur. Die Ringe von Differenzialoperatoren aus Beispiel 1.7 und Übung 1.1 legen das folgende Beispiel nahe. Es ist ein einfacher Prototyp für einen sogenannten D- Modul (siehe [Co95]). Beispiel 2.4 (D-Moduln) Die abelsche Gruppe C 1.U; R/ ist ein D.U /-Modul bezüglich der durch 8D 2 D.U /; f 2 C 1.U; R/W Df WD D.f / definierten Abbildung D.U / C 1.U; R/! C 1.U; R/;.D; f / 7! Df.Dieselbe Gleichung definiert auch eine Weyl-Algebra-Modulstruktur auf dem Raum RŒx 1 ;:::;x k der Polynomfunktionen auf R n. Diese algebraische Variante des D- Moduls kann man für beliebige Körper der Charakteristik Null bilden, wenn man statt der Ableitung von Polynomfunktionen die durch dieselben Formeln gegebenen formalen Ableitungen der Polynome betrachtet. Das folgende Beispiel ist der Schlüssel zu einer ausgesprochen eleganten Behandlung diverser Normalformenprobleme aus der linearen Algebra (siehe Abschn. 2.2). Beispiel 2.5 (Vektorraumendomorphismen) Sei V ein K-Vektorraum und ' 2 End K.V / D Hom K.V; V /.DannistV ein KŒX - Modul (siehe Beispiel 1.6) via X aj X j v WD X a j ' j.v/: Ganz analog zu Definition 2.1 definiert man Rechts-R-Moduln über eine skalare Multiplikation M R! M;.m; r/ 7! mr. Das Assoziativgesetz hat dann die Form m.r 1 r 2 / D.mr 1 /r 2, und die Distributivgesetze werden als m.r 1 C r 2 / D mr 1 C mr 2 bzw..m 1 C m 2 /r D m 1 r C m 2 r geschrieben. Man sieht, dass für kommutative Ringe jeder Linksmodul ein Rechtsmodul wird, wenn man nur das Ringelement auf die andere Seite schreibt. Für kommutative Ringe ist die Verkürzung

5 2.1 Strukturtheorie von Moduln 29 von Linksmoduln zu Moduln daher ungefährlich. Wenn der Ring nichtkommutativ ist, sollte man explizit anmerken, wenn man Rechtsmoduln betrachtet. Übung 2.1 (Rechtsmoduln) Man finde Beispiele für Rechtsmoduln für nichtkommutative Ringe. Übung 2.2 (Adjunktion einer Ring-Eins) (i) Man zeige, dass sich jeder Ring R ringhomomorph in einen Ring mit Eins einbetten lässt. Hinweis: Man definiere auf QR WD R Z die komponentenweise Addition und definiert eine Multiplikation.r; n/.r 0 ;n 0 / WD.rr 0 C r n 0 C n r 0 ;nn 0 /; wobei n r WD r n WD sign.n/.r C :::C r/ die jnj-fache Summe von r ist. Dann kann man leicht nachrechnen, dass QR mit diesen Verknüpfungen ein Ring ist, in dem.0; 1/ 2 QR die Eins ist. Weiter sieht man, dass die Einbettung R! QR; r 7!.r; 0/ Addition und Multiplikation erhält. (ii) Man zeige: Wenn M ein R-Modul ist, dann kann man durch.r; n/ x WD r x C n x für.r; n/ 2 QR und x 2 M eine QR-Modulstruktur auf M definieren. Dabei ist n x wieder die jnj-fache Summe von x. Homomorphismen, Unter- und Quotientenmoduln Wir beginnen unsere systematische Strukturtheorie von Moduln mit der Definition der passenden strukturerhaltenden Abbildungen. Definition 2.6 (Modulhomomorphismen) Seien R ein Ring und M; N Links-R-Moduln. Eine Abbildung 'W M! N heißt ein R-Modulhomomorphismus, wenn für alle r 1 ;r 2 2 R und m 1 ;m 2 2 M gilt: '.r 1 m 1 C r 2 m 2 / D r 1 '.m 1 / C r 2 '.m 2 /: Wenn ' bijektiv ist, dann heißt ' ein R-Modulisomorphismus oder einfach Isomorphismus. Die Menge der R-Modulhomomorphismen M! N wird mit Hom R.M; N / bezeichnet. Man rechnet leicht nach (Übung!), dass das Inverse eines bijektiven Modulhomomorphismus selbst ein Modulhomomorphismus ist. Dieser Umstand rechtfertigt den Namen Isomorphismus. Wäre die Umkehrabbildung nicht automatisch strukturerhaltend, würde man eine bijektive strukturerhaltende Abbildung nur dann einen Isomorphismus nennen, wenn auch ihre Umkehrung strukturerhaltend ist. Der Größenvergleich zwischen zwei Moduln durch einen Homomorphismus ist besonders einfach, wenn der eine Modul eine Teilmenge des anderen Moduls ist. In diesem Fall möchte man die Inklusionsabbildung W M! N als Homomorphismus haben. Das funktioniert nur, wenn 8m 1 ;m 2 2 M; r 1 ;r 2 2 RW r 1 m 1 C r 2 m 2 2 N gilt. In diesem Fall nennt man M einen Untermodul von N.

6 30 2 Moduln Übung 2.3 (Untermoduln) Sei R ein Ring, N ein Links-R-Modul und M N eine Teilmenge. Man zeige, dass M genau dann ein Untermodul von N ist, wenn M M M und RM M gilt. Man hätte analog zur eben vorgestellten Begriffsbildung des Untermoduls in Kap. 1 auch den Begriff des Unterringes bilden können. Gemäß Definition 1.8 ist dann ein Unterring S eines Ringes R eine Teilmenge, für die 8 x;y 2 SW x C y 2 S und xy 2 S gilt sowie 1 2 S, falls R ein Ring mit Eins ist. Dass wir es nicht getan haben, hat zwei Gründe. Erstens haben wir gar nicht erst versucht, eine systematische Strukturtheorie von Ringen zu entwickeln. Zweitens ist aus historischen Gründen die Sprechweise für die Tatsache, dass S ein Unterring von R ist, eher R ist eine Ringerweiterung von S. Dieselbe Sprachregelung gibt es für Körper, wo man normalerweise nicht von R als Unterkörper von C spricht, sondern von C als Körpererweiterung von R. Aus den Definitionen sieht man sofort, dass sich die Begriffe Untermodul und Modulhomomorphismus zu Untervektorraum und lineare Abbildung reduzieren, wenn R ein Körper ist. Damit erhält man sofort eine große Klasse von Beispielen für Untermoduln. Man könnte sogar sagen, dass Modultheorie die lineare Algebra über Ringen ist. Eine weitere Klasse von Beispielen erhält man aus Beispiel 2.2(iii): Jede Untergruppe M einer abelschen Gruppe N ist, als Z-Modul betrachtet, ein Untermodul des Z-Moduls N. Beispiel 2.7 (Modulhomomorphismen und Untermoduln) (i) C k.r/ ist C 1.R/-Untermodul von C.R/. (ii) Sei R einringundr n Df.r 1 ;:::;r n / j r j 2 Rg. DannistR n bezüglich r.r 1 ;:::;r n / D.rr 1 ;:::;rr n / ein R-Modul und f.r 1 ;:::;r k ;0;:::;0/j r j 2 Rg ein Untermodul von R n. (iii) Betrachtet man R als Links-R-Modul wie in Beispiel 2.2(i), so ist r W R! R, s 7! s r ein Modulhomomorphismus. (iv) Die Ableitung (v) D W C 1.R/! C 1.R/; f 7! df dt ist ein R-Modulhomomorphismus, nicht aber ein C 1.R/-Modulhomomorphismus. n o I WD a 0 ˇˇˇ a; c 2 R ist ein Linksideal in Mat.2 2;R/ im Sinne von c 0 Beispiel 2.2(i 0 ), nicht aber ein Rechtsideal, d. h., es gilt nicht, dass 8r 2 Mat.2 2;R/; 8x 2 I W xr 2 I:

7 2.1 Strukturtheorie von Moduln 31 (vi) Wir verallgemeinern das Beispiel aus (v): Sei R ein Ring. Betrachtet man R als Links- oder Rechts-R-Modul und ist I R ein Untermodul, dann heißt I ein Links- bzw. Rechtsideal. I ist genaudanneinidealvonr, wennes sowohl ein Links- als auch ein Rechtsideal ist. Die Untermoduln, die wir als Bilder von Inklusionsabbildungen gefunden haben, sind Spezialfälle eines ganz allgemeinen Phänomens: Bilder von Modulhomomorphismen sind immer Untermoduln des Wertebereichs. Umgekehrt sind auch Urbilder von Untermoduln unter Modulhomomorphismen immer Untermoduln. Beispiel 2.8 (Modulhomomorphismen und Untermoduln) Sei 'W M! N ein Modulhomomorphismus sowie M 0 M und N 0 N Untermoduln. Dann ist ' 1.N 0 / ein Untermodul von M und '.M 0 / ein Untermodul von N. Insbesondere ist der Kern ker.'/ WD ' 1.0/ D ' 1.f0g/ ein Untermodul von M und das Bild im.'/ WD '.M/ ein Untermodul von N. Die Verknüpfung von Modulhomomorphismen ist ein Modulhomomorphismus. Da die Verknüpfung von Abbildungen assoziativ ist, bilden insbesondere die Modulendomorphismen 'W M! M eines festen Moduls M eine Halbgruppe. Man bezeichnet sie auch mit End R.M /. Übung 2.4 (Automorphismengruppe) Sei M ein R-Modul. Man zeige: Aut R.M / WD f' 2 Hom R.M; M / j ' bijektiv g ist zusammen mit der Verknüpfung von Abbildungen als Multiplikation eine Gruppe. Übung 2.5 (Modulstrukturen auf Hom R.M; N /) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und M; N zwei R-Moduln. Man zeige, dass durch 8r 2 R;' 2 Hom R.M; N /; m 2 M W.r '/.m/ WD r '.m/ D '.r m/ auf Hom R.M; N / eine R-Modulstruktur definiert wird. Ganz analog zur Konstruktion von Quotientenvektorrräumen (siehe [Hi13, Beispiel 2.25]) und Quotientenringen (siehe Proposition 1.13) findet man auch Quotientenmoduln. Konstruktion 2.9 (Quotientenmoduln) Sei M ein R-Modul und N ein Untermodul von M. Weiter sei M=N WD fm C N j m 2 M g die Menge aller additiven N -Nebenklassen.

8 32 2 Moduln (i) M=N ist ein R-Modul via r.mc N/WD rmc N;.m 1 C N/C.m 2 C N/WD.m 1 C m 2 / C N (ii) für r 2 R und m; m 1 ;m 2 2 M. Die Wohldefiniertheit der beiden Verknüpfungen folgt aus den Untermoduleigenschaften RN N und N C N N,die Rechenregeln sind dann unmittelbare Konsequenzen der entsprechenden Rechenregeln für M. Man nennt M=N den Quotientenmodul oder Faktormodul von M nach N. Die Abbildung W M! M=N; m 7! m C N ist ein surjektiver R-Modulhomomorphismus mit Kern N. Die Surjektivität und Homomorphie folgen sofort aus der Definition. Dass der Kern gleich N ist, liegt daran, dass die Nebenklasse N D 0 C N die Null von M=N ist und m C N D N genau dann gilt, wenn m in N N D N liegt. (iii) Sei 'W M! L ein R-Modulhomomorphismus mit Kern N.Dannistim.'/ D '.M/ isomorph zu M=N. Dazu betrachtet man die Abbildung N'W M=N! im.'/, die durch N'.m C N/ WD '.m/ definiert ist. Sie ist wohldefiniert, weil mit m C N D m 0 C N auch m m 0 2 N gilt, also '.m/ '.m 0 / D '.m m 0 / D 0. Man rechnet dann leicht nach, dass N' ein Modulhomorphismus ist. Die Surjektivität von N' ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition. Wie in (ii) sieht man, dass N'.m C N/ D '.m/ D 0 genau dann gilt, wenn m 2 N ist, d. h., wenn m C N die Null in M=N ist. Also ist ker. N'/ Df0g, und wie im Fall von linearen Abbildungen folgt daraus die Injektivität von N': N'.m C N/DN'.m 0 C N/)N'.m m 0 C N/D 0 ) m m 0 2 N ) m C N D m 0 C N: Zusammen ergibt sich, dass N' ein Modulisomorphismus ist. Man nennt diese Aussage auch den ersten Isomorphiesatz für Moduln. Die Parallelität der Definitionen von Unterring und Quotientenring sowie von Untermodul und Quotientenmodul ist ebenso augenfällig wie die Ähnlichkeiten zu den aus der linearen Algebra bekannten Konzepten Untervektorraum und Quotientenvektorraum. Man kann diese Ähnlichkeiten präzisieren und damit die Konstruktionen auch auf andere Strukturen übertragen. Dazu muss man einen Rahmen schaffen, innerhalb dessen man über unterschiedliche algebraische Strukturen gleichzeitig sprechen kann. Einen solchen Rahmen stellt die universelle Algebra bereit. Wir werden in Kap. 4 darauf zurückkommen. Erzeugte und freie Moduln Ein besonders wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von Vektorräumen in der linearen Algebra ist das Konzept einer Basis, mit dem man abstrakte Objekte durch Zahlentupel charakterisieren kann. Wir untersuchen im Folgenden, inwieweit sich diese Ideen der linearen Algebra auch für Moduln umsetzen lassen.

9 2.1 Strukturtheorie von Moduln 33 Wir beginnen mit einer Verallgemeinerung der linearen Hülle einer Teilmenge E eines Vektorraumes V. Die lineare Hülle lässt sich auf unterschiedliche Weisen beschreiben. Besonders leicht zu verallgemeinern ist die Sichtweise, dass die lineare Hülle von E in V der kleinste Untervektorraum von V ist, der E enthält. Definition 2.10 (Erzeugter Untermodul) Sei M ein Links-R-Modul und E M eine Teilmenge. Dann heißt hei WD \ fn M j E N; N Untermodulg der von E erzeugte Links-R-Modul (siehe Beispiel 1.11). In der linearen Algebra zeigt man, dass sich jedes Element der linearen Hülle von E als eine Linearkombination von Elementen aus E schreiben lässt. Von dieser Sichtweise rührt auch der alternative Name linearer Spann für die lineare Hülle her. Man kann diese Sichtweise auch auf Moduln übertragen: Dazu bezeichnen wir endliche Summen der Form P r j m j mit r j 2 R und m j 2 M als R-Linearkombinationen. Proposition 2.11 (Charakterisierung des Erzeugnisses) Sei R ein Ring mit Eins und M ein Links-R-Modul. Für E M gilt n X o hei D r j e j ˇˇˇ rj 2 R; e j 2 E : endl. Beweis Die rechte Seite ist offensichtlich ein Untermodul, der E enthält (wegen 1 2 R). Aber dann liefert die Definition, dass hei in der rechten Seite enthalten ist. Umgekehrt enthält jeder Untermodul mit E auch alle R-Linearkombinationen von E. Wenn R ein Körper ist, fällt Definition 2.10 mit der Definition der linearen Hülle und Proposition 2.11 mit ihrer Charakterisierung als Menge der Linearkombinationen zusammen. Wir haben also eine Verallgemeinerung der linearen Hülle für alle Moduln gefunden. Das zweite definierende Element einer Basis, die lineare Unabhängigkeit, lässt sich ebenfalls ganz allgemein formulieren. Allerdings wird sich herausstellen, dass ein Modul im Allgemeinen kein linear unabhängiges Erzeugendensystem hat. Definition 2.12 (Unabhängigkeit, Basen und freie Moduln) Sei R ein Ring mit Eins und M ein Links-R-Modul sowie E M.Mansagt,E erzeugt M oder spannt M auf,wennhei DM.WennM von einer endlichen Teilmenge aufgespannt wird, so heißt M endlich erzeugt. Die Menge E heißt R- unabhängig, wenn für alle n 2 N;r 1 ;:::;r n 2 R und paarweise verschiedene m 1 ;:::;m n 2 E gilt: r 1 m 1 C :::C r n m n D 0 ) r 1 D :::D r n D 0:

10 34 2 Moduln Wenn E den Modul M erzeugt und R-unabhängig ist, dann heißt E eine R-Basis von M. Dies ist äquivalent dazu, dass jedes Element von M auf genau eine Weise (bis auf die Reihenfolge) als R-Linearkombination der Basiselemente geschrieben werden kann. Schließlich heißt M ein freier (Links-)R-Modul, wenn es eine R- Basis für M gibt. Wenn R D K ein Körper ist, dann reduziert sich der Begriff der R-Unabhängigkeit auf den Begriff der linearen Unabhängigkeit aus der Theorie der Vektorräume. Aus unserer obigen Diskussion der linearen Hülle folgt also, dass eine R-Basis in diesem Fall das Gleiche ist wie eine Vektorraumbasis. Da nach dem Lemma von Zorn (siehe [Hi13, Satz A.11]) jeder K-Vektorraum eine Basis hat, ist also jeder K-Modul frei. Beispiel 2.13 (Freie Moduln) (i) Sei R ein Ring mit Eins. Dann ist R n mit der R-Modulstruktur aus Beispiel 2.7(ii) frei mit Basis f.1;0;:::;0/;.0;1;0;:::;0/;:::;.0;:::;0;1/g: n o (ii) R D Mat.2 2;R/; M D a 0 ˇˇˇ a; b 2 R.GäbeeseineR-Basis E für b 0 M,sowäre2 D dim R M jejdim R R D 4jEj.AlsoistM nicht frei. (iii) Ein von Null verschiedener freier R-Modul hat mindestens so viele Elemente wie R.Alsoistz.B.derZ-Modul Z=nZ nicht frei, d. h., er hat keine Basis. Torsionsphänomene wie das in Beispiel 2.13(iii) beschriebene, d. h. die Existenz von m 2 M und r 2 R mit rm D 0, führen dazu, dass Moduln in der Regel nicht frei sind. Trotzdem sind freie Moduln für die Strukturtheorie sehr wichtig. Das liegt daran, dass alle Moduln als Quotientenmoduln von freien Moduln geschrieben werden können. Der Nachweis dieser Tatsache wird uns eine Weile beschäftigen, ist aber ausgesprochen lehrreich, da alle Einzelschritte grundlegende Konstruktionen und Denkfiguren algebraischer Strukturtheorien sind. Wir beginnen mit einer Charakterisierung der Freiheit eines Moduls durch eine sogenannte universelle Eigenschaft. Satz 2.14 (Universelle Eigenschaft freier Moduln) Sei R ein Ring mit Eins und M ein Links-R-Modul und E M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) M ist frei mit Basis E. (2) Zu jedem Links-R-Modul V und zu jeder Abbildung ' W E! V gibt es genau einen R-Modulhomomorphismus ' W M! V mit 'j E D '. Beweis.1/ ).2/: '. P r j m j / WD P r j '.m j / für m j 2 E..2/ ).1/: Wir zeigen zunächst die R-Unabhängigkeit von E:

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