Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 3 (SS 2016) 1. Abgabetermin: Freitag, 6. Mai.

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1 Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 3 (SS 2016) 1 Abgabetermin: Freitag, 6. Mai Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Die symmetrische und die äußere Algebra (Einleitung) Für einen R-Modul M gibt es drei allgemeine Konstruktionen von universellen Algebren, die Tensoralgebra, die symmetrische und die äußere Algebra von M: T R M = M k S R M = S k M Λ R M = Λ k M Vor den Definitionen von S R M und Λ RM einige Bemerkungen. Die Tensoralgebra haben wir bereits kennengelernt. Für den freien Modul n R n = Re i vom Rang n mit Basis e i haben wir i=1 T RR n = R e 1,...,e n als den nicht-kommutativen Polynomring über R in den Variablen e i interpretiert. (Das Wort nicht-kommutativ ist nicht perfekt, besser wäre vielleicht 1 Fassung vom 30. April

2 2 ohne spezielle Regeln, außer den allgemeinen Regeln einer Algebra, wie Assoziativität, Distributivität. Genau gefaßt wird dies mit der universellen Eigenschaft.) Die symmetrische Algebra S R M entsteht aus der Tensoralgebra in dem man die Multiplikation kommutativ macht. Die symmetrische Algebra von R n ist ein bekanntes Objekt, nämlich der gewöhnliche Polynomring in den Variablen e i : S R Rn = R[e 1,...,e n ] Die äußere Algebra Λ RM ist ein wichtiges neues Objekt. Sie entsteht aus der Tensoralgebra durch Erzwingen der Regel x 2 = 0. Das Produkt in der so entstehenden Algebra wird mit bezeichnet. Man spricht vom Dachprodukt ( wegde product ). Die Elemente von Λ RM sind Summen von Ausdrücken wie mit der besonderen Regel x 1 x k (x i M) x x = 0 (x M) Ferner gelten die üblichen Regeln wie bei Tensoren x 1 x k, also etwa a(x y) = (ax) y = x (ay) (a R,x,y M) (x+x ) y = x y +x y (x,x,y M) etc. Besonders wichtig ist die Antikommutativität : Vertauscht man Elemente aus M, so ändert sich das Vorzeichen: Lemma 1. Für x,y M gilt y x = x y Beweis. Man wendet die Regel z z = 0 an auf z = x+y und x, y: 0 = (x+y) (x+y) = x (x+y)+y (x+y) = (x x)+(x y)+(y x)+(y y) = 0+x y +y x+0 = x y +y x

3 3 Die symmetrische und die äußere Algebra (Definitionen) Nun wird es aber Zeit für die Definitionen (siehe Vorlesung). Definition 2. (a) Die symmetrische Algebra ist der Quotient S R M := T R M/I der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal I T R M das erzeugt wird von den Elementen x y y x (x,y M) (b) Die äußere Algebra ist der Quotient Λ R M := T R M/J der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal J T RM das erzeugt wird von den Elementen x x (x M) Diskutieren wir das genauer. Das zweiseitige Ideal I wird nach Definition als Gruppe erzeugt von den Elementen der Form α (x y y x) β mit α, β T R M. Die Elemente von T RM wiederum sind Summen von elementaren Tensoren, also wird I als Gruppe erzeugt von den Elementen der Form (1) (u 1 u r ) (x y y x) (v 1 v s ) M r+2+s mit u i,x,y,v j M. Anders gesagt: Modulo I gilt u 1 u r x y v 1 v s u 1 u r y x v 1 v s mod I In der symmetrischen Algebra vertauschen also alle Elemente aus M. Man schreibt das Produkt wie in einer gewöhnlichen Algebra (xy = x y). In M gilt also u S R oder einfach 1 u r xyv 1 v s = u 1 u r yxv 1 v s xy = yx

4 4 Man kann I auch noch nach dem Grad aufschlüsseln: Lemma 3. Es sei I k = I M k der Durchschnitt mit dem Summanden M k von T R M. Als Gruppe wird I k erzeugt von den Elementen der Form (u 1 u r ) (x y y x) (v 1 v s ) M k mit r,s 0 und r +s = k 2. Es gilt I 0 = I 1 = 0 und I = I 2 I 3 Beweis. Dies ist klar, nachdem wir bereits festgestellt haben, daß I als Gruppe von den Elementen der Form (1) erzeugt wird. Diese liegen ja in I r+2+s mit variablen r,s 0. Nun wollen wir auch die Quotientenbildung nach dem Grad aufschlüsseln: Definition 4. Die Gruppe S k M := M k I k heißt das k-fache symmetrische Produkt des R-Moduls M. Wegen I 0 = I 1 = 0 gilt Allgemein folgt S 0 M = R S 1 M = M S RM = T RM/I ( ) ( / ) = M k I k = R M M 2 I 2 M k I k = R M S 2 M S k M Die symmetrische Algebra zerfällt daher als S R M = S k M

5 Analoge Überlegungen und Definitionen macht man für die äußere Algebra. Dies soll hier nur zusammengefaßt werden. Lemma 5. Es sei J k = J M k der Durchschnitt von J mit dem Summanden M k von T R M. Als Gruppe wird J k erzeugt von den Elementen der Form (u 1 u r ) (x x) (v 1 v s ) M k mit r,s 0 und r +s = k 2. Es gilt J 0 = J 1 = 0 und Definition 6. Die Gruppe J = J 2 J 3 Λ k M := M k J k heißt die k-fache äußere Potenz des R-Moduls M. Wegen J 0 = J 1 = 0 gilt Allgemein gilt Λ 0 M = R Λ 1 M = M Λ R M = Λ k M In der Einleitung haben wir bereits die Schreibweise der Multiplikation als Dach- Produkt und einige Regeln besprochen (siehe Lemma 1). Die symmetrische und die äußere Algebra (universelle Eigenschaften) Siehe Vorlesung. Wie schon oft bemerkt, sind universelle Eigenschaften nützlich, um Homomorphismen zu konstruieren und um Eigenschaften präzise zu fassen. Für die Tensoralgebra siehe Blatt 2, Seite 5, Proposition 2. Für die symmetrische Algebra lautet die universelle Eigenschaft: Proposition 7. Es sei M ein R-Modul. Für jede kommutative R-Algebra A und jeden R-Modulhomomorphismus f: M A gibt es genau einen R-Algebrenhomomorphismus f: S R M A 5

6 6 mit für x M. f(x) = f(x) Der Unterschied zur Tensoralgebra besteht nur in dem Wort kommutativ. Wie in der Vorlesung von jemanden bemerkt, reicht es, an Stelle der Kommutativität zu verlangen, daß die Werte von f kommutieren (f(x)f(y) = f(y)f(x)). Korollar 8. Die symmetrische Algebra von n M = R n = Rt i ist der Polynomring R[t 1,...,t n ]. Genauer: Es gibt den Isomorphismus i=1 S R n R[t 1,...,t n ] t i t i Beweis. Man wendet Proposition 7 an auf f: R n R[t 1,...,t n ] f(t i ) = t i (Dies geht, denn die t i bilden ja die Basis von R n.) Der resultierende Algebren- Homomorphismus f: S R n R[t 1,...,t n ] bildet dann die (kommutativen) Monome in den t i in S R n auf die entsprechenden Monome im Polynomring ab. f ist also surjektiv. Andererseits erzeugen die Monome die symmetrische Algebra als R-Modul (siehe Vorlesung oder unten). Ihre Bilder bilden eine Basis des Polynomringes. Daher ist f bijektiv. Nach dem wir nun die Identifikation S R n = R[t 1,...,t n ] haben, wollen wir Proposition 7 auf den Polynomring übertragen. Man erhält die universelle Eigenschaft des Polynomringes (für eine Variable haben wir diese schon in LA1 oder in LA2, jedenfalls in der Vorlesung Algebra 1 kennengelernt). Proposition 9. Es sei A eine kommutative R-Algebra und es seien α 1,...,α n A beliebige Elemente. Dann gibt es genau einen Homomorphismus mit ϕ: R[t 1,...,t n ] A ϕ(t i ) = x i (i = 0,...,n)

7 Für die äußere Algebra lautet die universelle Eigenschaft: Proposition 10. Es sei M ein R-Modul. Für jede R-Algebra A und jeden R-Modulhomomorphismus f: M A mit f(x) 2 = 0 (x M) gibt es genau einen R-Algebrenhomomorphismus mit für x M. f: Λ R M A f(x) = f(x) Ist etwas banal, wird aber später nützlich sein. Das Tensorprodukt von Algebren Sind A, B R-Algebren, so ist auch A R B eine R-Algebra. Das Produkt ist gegeben durch (a b) (a b ) = (aa ) (bb ) Sie Kersten, Lemma 5.7 (1). Bitte anschauen! Das ganze Lemma 5.7 besprechen wir später. Die symmetrische und die äußere Algebra von direkten Summen Die symmetrische Algebra einer direkten Summe ist das Tensorprodukt der symmetrischen Algebren der Summanden: Proposition 11. Es gilt S (M N) = S M R S N Dies ist eine Identifikation von R-Algebren. Beweis. Man wende verschiedene universelle Eigenschaften an... Im Speziallfall M = R m, N = R n ergibt sich R[x 1,...,x m ] R R[y 1,...,y n ] = R[x 1,...,x m,y 1,...,y n ] Ein ähnliche Aussage gilt für die äußere Algebra. Proposition 12. Es gilt Λ (M N) = Λ M R Λ N 7

8 8 Dies ist eine Identifikation von R-Moduln. Damit man eine Identifikation von R-Algebren erhält, muß man das Produkt rechts modifizieren zu: wobei (a b) (a b ) = ( 1) rs (aa ) (bb ) a Λ M, b Λ r N, a Λ s M, b Λ N Beweis. Man wende verschiedene universelle Eigenschaften an... Basen im Fall M = R n Es sei M = R n = Re 1 Re n der freie R-Modul vom Rang n mit Basis e i (1 i n). Proposition 13. (1) Eine Basis von T R Rn ist wobei k 0 und (2) Eine Basis von S R Rn ist e i1 e ik 1 i j n wobei k 0 und (3) Eine Basis von Λ R Rn ist wobei k 0 und e i1 e ik 1 i 1 i k n e i1 e ik 1 i 1 < < i k n Beweis. Siehe Vorlesung. Für (1) siehe Blatt 2, Seite 3. (2) ergibt sich aus der Identifikation mit dem Polynomring (Korollar 8). (3) ergibt sich aus Proposition 12 folgendermaßen: Es gilt Λ Re i = R Re i und daher Λ R n = n Λ Re i = n (R Re i )

9 9 Korollar 14. Es sei M frei vom Rang n, also M R n. Dann gilt (a) M k ist frei vom Rang n k. (b) S k M ist frei vom Rang (( )) ( ) ( ) n n+k 1 n+k 1 := = k k n 1 (c) Λ k M ist frei vom Rang ( ) n k Insbesondere ist Λ n M frei vom Rang 1 und Λ k M = 0 für k > n.

10 10 Aufgabe 1. (1) Es sei M = R 3 mit Basis e 1, e 2, e 3. Man gebe Basen an für Λ 2 M und Λ 3 M. (2) w 1, w 2, w 3 M Elemente mit Man zeige 1) 2) w 1 +w 2 +w 3 = 0 w 1 w 2 w 3 = 0 w 1 w 2 = w 2 w 3 Aufgabe 2. Es sei K ein Körper. Für jede der folgenden Folgen von Vektoren bestimme man die Dimension des von den Vektoren erzeugten Untervektorraumes. (1) In K 2 K 3 : ( 1 v 1 = 0) 1 ( 0 1, v 2 = 1) 1 ( 1 1, v 3 = 1) (2) In K 2 K 2 : ( ( 1 0 v 1 = 0) 1) ( ( 0 1 v 2 = 1) 0) ( ( 1 1 v 3 = 1) 1) ( ) ( ) (3) In Λ 2 (K 3 ): , , Hinweis. Ist dimu = 2, so ist dimλ 2 U = 1.

11 Aufgabe 3. Es sei K ein Körper und V ein 3-dimensionaler Vektorraum. Man zeige, daß jedes Element α Λ 2 V von der Form mit v, w V ist. α = v w 11 Aufgabe 4. Es sei K ein Körper und V = K 4 mit Basis e 1, e 2, e 3, e 4. (1) Man gebe eine Basis von Λ 2 V und Λ 4 V an. (2) Man gebe ein Element von Λ 2 V an das nicht von der Form mit v, w V ist. v w Hinweis. (v w) (v w) = v v w w = 0