13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung

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1 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x) t=f γ x,v = lim( ) =: Df x (v) t t die Richtungsableitung von f bei x in Richtung v, falls der lim existiert, also Df x (v) := d dt t=f x,v (t), wobei f x,v (t) = f(x + tv) : Ist v = e i, so heißt f (x) := Df x (e i ) = lim( f(x,, x i + t,, x n ) f(x,, x n ) ) x i t t f f x i (x) die i-te partielle Ableitung Ist f =, so ist f x i (x) = f f m m x i (x) f heißt (stetig) partiell differenzierbar (f C (B)), falls alle partielle Ableitungen existieren (und stetig sind) 32 Beispiel ( ) e f(x, x 2 ) = x2 x sin(x )cos(x 2 ) ( f x (x) = ( f x 2 (x) = e x2 cos(x )cos(x 2 ) ) e x2 x sin(x )sin(x 2 ) ) 33 Warnendes Beispiel { (x, y) = (, ) = f(x, y) = xy ist partiell differenzierbar bei (, ), x 2 +y sonst 2 { t = denn f(t, ), f(, t), aber f ist nicht stetig, denn f(t, t) = 2 t

2 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG Notation x i ( x i2 ( x i3 ( x ir f))) =: r x i x ir f heißt partielle Ableitung von f der Ordnung r, falls sie existiert f C r (B) : Alle partiellen Ableitungen der Ordnung r existieren und sind stetig 35 Satz (Schwarzscher Satz) Ist f eine C r -Funktion (dh f C r (B)), so sind die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung r miteinander vertauschbar, also f C 2 (B) = 2 2 f = f x i x i2 x i2 x i Beweis: MWS der Differentialrechnung, siehe Literatur 36 Notation Sei B R n offen, so heißt f := gradf = von f f = divf = n f f := rotf = x f x n f für differenzierbare f : B R, der Gradient f i x i, für f : B R n differenzierbar, die Divergenz von f 3 x 2 f2 x 3 f x 3 f3 x f 2 x f x 2, f : B R 3, n = 3 die Rotation von f f x (x) J f (x) = f k x (x) für f : B R k die Jacobimatrix von f 37 Anwendung f x n (x) f k x n (x) Ist v : R 3 R 2 eine C -Abbildung Wann hat v ein Potential, dh, wann gibt es eine Abbildung f :( R 2 ) R mit gradf = v? Notwendige Bedingung: x v 2 = v x 2 v, wobei v = v ( ) 2 y Beispiel: v(x, y) =, x x v 2 =, y v = Also hat v kein Potential

3 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG Lemma Ist f : B R differenzierbar und hat f bei x ein lokales Extremum, so ist gradf(x ) =, denn dann ist für i = n 39 Definition d dt t=f(x + te i ) = Ist f : B R differenzierbar, x B, gradf(x ) =, so heißt x kritischer Punkt von f 3 Bemerkung Nicht jeder kritische Punkt ist lokales Extremum, zb f(x, y) = x 2 y 2, gradf(, ) = (, ) Die Abbildungen f γ,e und f γ,e2 haben verschiedene lokale Extrem: f γ,e (t) = f(t, ) = t 2 hat bei ein Minimum, die Abbildung f γ,e2 (t) = f(, t) = t 2 hat bei ein Maximum 3 Definition Ein kritischer Punkt x einer Abbildung f : B R heißt Sattelpunkt: Für alle ǫ > gibt es x, x 2 U ǫ (x ) mit f(x ) > x und f(x 2 ) < x 32 Definition Sei f C 2 (B) Die symmetrische Matrix H f (x ) = ( 2 f x i x j ) m,j=m heißt die Hessematrix zu f bei x 33 Beispiele f(x, y) = x 2 + y 2, f hat bei (, ) lokales Minimum (sogar ein isoliertes), denn f(x, y) und f(x, y) = (x, y) = (, ) gradf (,) = ( ) 2 H f (, ) = 2 2 f(x, y) = x 2 + y 4 : f hat bei (, ) ein isoliertes lokales Minimum

4 3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 77 H f (, ) = ( ) 2 3 f(x, y) = x 2 y 4 : f hat bei (, ) einen Sattelpunkt ( ) 2 H f (, ) = 4 f(x, y) = x 2 y 2 ; f hat bei (, ) isoliertes lokales Maximum: ( ) 2 H f (, ) = 2 5 f(x, y) = xy: f hat bei Sattelpunkt, denn f(x, x) = x 2 >, falls x und f(x, x) = x 2 < falls x ( ) H f (, ) = Kriterium zur Bestimmung von Minima und Maxima aus Hessematrix später, dazu ist erst etwas lineare Algebra notwendig

5 4 BASEN UND DIMENSIONEN VON VEKTORRÄUMEN 78 4 Basen und Dimensionen von Vektorräumen Sei V ein k-vr 4 Definition und Notiz Sei S V, dann heißt der kleinste UVR von V, der S enthält, die lineare Hülle oder der Span von S Wir schreiben < S >= LH(S) = span(s) Sind v,,v r V und U V ein Untervektorraum von V mit U =< v,, v r >, so heißen v,, v r ein erzeugendes System von U Es ist dann U = {λ v + + λ r v r λ i k} ( ist klar, gilt auch, da {λ v + + λ r v r λ i k} ein VR ist) 2 v V heißt Linearkombination von v,,v r V, wenn es λ,, λ r k gibt mit v = r λ i v i 3 v,, v r heißen linear unabhängig, wenn aus r λ i v i = folgt, dass λ = λ 2 = = λ r = Sonst heißen v,, v r linear abhängig 4 v,, v r heißen eine Basis von V, wenn v,, v r linear unabhängig sind und span{v,, v r } = V gilt 42 Beispiele ( a span{ b ) { ( a } = λ b ) } λ R span{, } = R 2 2 und 2 sind linear abhängig 2 und sind linear abhängig

6 4 BASEN UND DIMENSIONEN VON VEKTORRÄUMEN 79 und sind linear unabhängig 3 Sei V = C (R); φ i : R R, φ i C (R) x [i 2 φ, i + 2 ] i (x) = x i + 2 x [i 2, i] x + i + 2 x [i, i + 2 ] {φ, φ 2,, φ N } sind linear unabhängig für jedes N N, denn aus N λ iφ i = folgt λ = λ 2 = =, aber φ, φ N bilden für kein N eine Basis für C (R) 43 Definition und Notiz Die Vektoren e =, e 2 =,, e n = bilden eine Basis von k n, die sogenannte Standardbasis 44 Bemerkung Dies ist natürlich nicht die einzige Basis von R n 45 Notiz Sind v,, v r linear unabhängig und ist x span{v,, v r }, x = r λ i v i, dann sind die λ,,λ r eindeutig bestimmt, denn r r λ i v i = λ i v i r (λ i λ i)v i =,

7 4 BASEN UND DIMENSIONEN VON VEKTORRÄUMEN 8 also folgt aus der linearen Unabhängigkeit von {v,, v r }, dass λ i λ i = für alle i {,,r} 46 Basisergänzungssatz Ist V ein k-vr, U = {u,,u r } eine Menge linear unabhängiger Vektoren, W = {w,,w t } ein erzeugendes System für V, dann ist t r und es gibt j(),, j(s) {,,t}, so dass {u,, u r, w j(),, w j(s) } eine Basis von V ist Insbesondere hat jeder VR mit endlich erzeugendem System eine endliche Basis Beweis: Siehe Literatur 47 Beispiel V = R 4 u =, sind linear unabhängig, w = {e, e 2, e 3, e 4 } ist ein erzeugendes System (sogar Basis) mit e i = i,,,, ist eine Basis von R 4 48 Korollar und Definition Sind {v,, v n } eine Basis von V, {w,,w m } ebenfalls eine Basis von V, dann folgt aus (36) n = m Die damit wohldefinierte Anzahl der Basisvektoren n eines (endlich erzeugten) VRs heißt die Dimension

8 5 LINEARE ABBILDUNGEN 8 5 Lineare Abbildungen 5 Definition Eine Abbildung f : V W zwischen VRen heißt linear oder Vektorraumhomophismus, wenn gilt f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y V 2 f(λx) = λ f(x) für alle x V, λ k Die Menge der linearen Abbildungen f : V W bezeichnet man mit L(V, W) oder Hom k (V, W) (=Hom(V, W)) Ein Isomorphismus zwischen 2 VRen ist eine bijektive, lineare Abbildung Zwei VRe V und W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f : V W gibt 52 Lemma Ist f ein Isomorphismus, so ist f ebenfalls eine lineare Abbildung 53 Beispiele f : R R, x 2x ist ein Isomorphismus f : R R, x x + ist nicht linear f : R R, x x 2 ist keine lineare Abbildung 2 C ([a, b]) C ([a, b]), f f ist eine lineare Abbildung: (f + g) = f + g, f, g C ([a, b]) (λf) = λ f, λ k 54 Erinnerung und Notation A = (A ij ) m;j=n A A j A n (Zeile ) A = A i A ij A in (Zeile i) A m A mj A mn (Zeile m) (Spalte ) (Spalte j) (Spalte n) A M(m n, k) (m Zeilen, n Spalten) Für A, B M(m n, k) ist A + B =: (A ij + B ij ) M(m n, R) A M(m n, k), B(n r, k) ist A B =: C M(m r, k), c ij = n a ip b pj p= R m = M(m, R)

9 5 LINEARE ABBILDUNGEN Notiz Ist A M(m n, k), dann definiert die Matrizenmultiplikation mit A eine lineare Abbildung k n k m, nämlich: T A : R n R m, v A v Falls kein Missverständnis möglich ist, werden wir die lineare Abbildung T A wieder mit A bezeichnen 56 Bemerkung In der i-ten Spalte von A steht das Bild von e i unter T A, denn a k a 2k T A (e k ) = = m a jk e j j= a mk (mit e k als Basisvektor in R n und e j als Basisvektor in R m ) wobei A = (a ij ) m;j=n 57 Beispiel ( ) A : R 2 x R, x x + 2x 2 (n = 2, m = ; a =, a 2 = 2); 2 58 Notiz Ist f eine lineare Abbildung, so ist f() =, denn f( + v) = f() + f(v) = }{{} f(v) f() = 59 Lemma und Definition Ist f : V W eine lineare Abbildung, so sind kerf := {x V f(x) = } der Kern von f und bildf := {f(x) W x V } UVRe, kerf V, bildf W Beweis: Sind x, y kerf, so ist auch f(x+y) = f(x)+f(y) =, also x+y kerf Ist x kerf, λ k, so ist f(λx) = λ f(x) = λ =, also λ x kerf und kerf nach (22) Ebenso folgt, dass bildf W ein UVR von W ist

10 5 LINEARE ABBILDUNGEN 83 5 Lemma Eine lineare Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn kerf = gilt Beweis: f(x) = f(y) f(x) f(y) = f(x y) = x y kerf 5 Lemma Ist V ein VR, U = {u,, u n } V Dann gilt: U ist genau dann eine Basis von V, wenn φ U : k n V, λ λ n n λ i u i ein Isomorphismus ist φ U heißt dann der durch U gegebene Basisisomorphismus Insbesondere gilt dann φ u (e i ) = u i 52 Beweis φ U ist linear λ 2 φ U = n λ i u i =, λ n also kerφ U = u,, u n linear unabhängig, also ist genau dann φ U injektiv, wenn u,, u n linear unabhängig sind 3 φ U ist surjektiv {u,,u n } ist erzeugendes System von V 53 Korollar V hat genau dann die Dimension n, wenn es einen Isomorphismus f : k n V gibt Beweis: = : = : Ist v = (v,,v n ) eine Basis von V, so definiere φ v wie in 5 Ist f : k n V ein Isomorphismus, dann ist {f(e ),, f(e n )} eine Basis von V

11 5 LINEARE ABBILDUNGEN Bemerkung Lineare Abbildungen sind durch ihre Werte auf den Basisvektoren schon festgelegt, dh, ist f : V W linear, v,, v n Basis von V, f(v i ) =: w i (w,, w n nicht notwendig erzeugend oder linear unabhängig), dann ist f( n λ i v i ) = n λ i f(v i ) = n λ i w i 55 Satz Sei T : V W eine lineare Abbildung, dann ist dimkert + dimbildt = dimv Beweis: Sei v,, v n eine Basis von kert, v,, v n, w,, w k eine Basis von V, also dimv = n + k, dim kert = n Dann ist {T(w ),, T(w k )} bildt eine Basis von bildt, denn: span{w,, w k } kert = {} 2 span{t(w ),, T(w k )} = bildt, denn für x bildt gibt es λ i n k, λ i k mit x = λ i T(v i ) + k λ i T(w i), also gilt und ist klar } {{ } 3 T(w ),, T(w k ) sind linear unabhängig: T( k λ i w i ) = = λ k = Def ker k k λ i w i kert () k λ i T(w i ) =, Linearität λ i w i = λ = 56 Definition rgt := dim bildt heißt der Rang von T 57 Korollar Ist f Hom(V, V ), dann ist f genau dann injektiv, wenn es surjektiv ist

12 6 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 85 6 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 6 Erinnerung Ist A M(m n, k), dann definiert die Matrizenmultiplikation mit A eine lineare Abbildung k n k m, nämlich: T A : R n R m, v A v Falls kein Missverständnis möglich ist, werden wir die lineare Abbildung T A wieder mit A bezeichnen 62 Notiz Ist A = (a a n ) M(m n, k), wobei a j k m, dann ist denn a j = T A (e j ) 63 Definition bildt A = span{a,, a n }, Die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren, der Rang von A, ist rga := dimbildt A 64 Notiz Folgende Operationen ändern den Rang einer Matrix nicht: Vertauschen zweier Spalten 2 Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar λ 3 Addition einer Spalte zu einer anderen 65 Beispiel rg 2 4 3Sp 2Sp 2 {}}{ = rg λ λ + 2µ 3µ 66 Bemerkung = folgt λ = µ = = rg 2 = 2, denn aus 3 3Sp 2 Sp {}}{ (64) gilt analog für Zeilenumformungen (vgl Übung)

13 6 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lemma Sind V, W VRe mit Basen v = (v,, v n ) und w = (w,, w m ), f : V W eine lineare Abbildung, so ist durch mit f(v j ) =: f v,w := (a ij ) m;j=n M(m n, k) m a ij w i eine m n-matrix wohldefiniert f v,w heißt die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen v, w Es ist dann λ n m f( λ j v j ) = µ i w i f v,w j= λ n denn f( n λ j v j ) = j= j= j= = µ µ m n m n λ j f(v j ) = λ j a ij w i } {{ } µ i Insbesondere ist (T A ) En,E m = A, wobei E n := (e,,e n ), E m := (e,,e m ) die Standardbasen in R n bzw R m sind 68 Beispiel f : R 3 R 2, f( x y ) = z ( x + 3y z 2x ( ) 3 f E3,E 2 =, denn 2 ( ) ( 3 f(e ) =, f(e 2 2 ) = ( ) f( e }{{} ) = }{{} }{{} 2 v a }{{} w 2 Sei f wie in () ) ( a 2 ) (, f(e 3 ) = ) }{{} w 2, ), also v := {e, e 2, e 3 } = E 3 ( ) ( 3 w := {, 2 ) } Es ist f(e ) = w f(e 2 ) = w 2 f(e 3 ) = 2 w + 6 w 2 = f v,w = ( ) 2 6

14 6 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Satz Sind U, V, W VRe f : U V, g : V W lineare Abbildungen, so gilt für Matrixdarstellungen bezüglich Basen u, v, w: denn ist g v,w f u,v = (g f) u,w, f u,v g v,w = (a ij ) n;j=m = (b ij ) r;j=n mit dimu = m, dimv = n, dimw = r, so ist (g f)(u j ) = g( 6 Notiz n a ij v i ) = n a ij g(v i ) = n,r,k= a ij b ki w k }{{} (B A) kj Seien v = (v,,v n ), w = (w,,w m ) Basen von V und W und φ v : k n V, e i v i, ψ w : k m W, e i w i die dadurch gegebenen Basisisomorphismen Dann kommutiert f V W φ v ψ w f v,w k m dh f φ v (x) = ψ w (f v,w x) 6 Korollar k n Seien v = {v,, v n }, v = {v,,v n }, w = {w,, w m }, w = {w,, w m } Basen von V und W mit v i = n a ji v j und w i = m b ji w j Dann ist j= f v,w = B f v,w A (B = (b ij ) i,j=m, A = (a ij ) i,j=n ), denn folgendes Diagramm kommutiert: j=

15 6 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Notiz und Notation Sei A M(m n, k), A = (a ij ), a ij k: x kera x kert A (mit T A : R n R m, x Ax) a x + +a n x n = ( ) a m x + +a mn x n = : x = T (x,, x n ) ist Lösung des durch (*) gegebenen homogenen Systems linearer Gleichungen Sei b R m, b = (b,, b m ): Ax = b a x + +a n x n = b ( ) a m x + +a mn x n = b m : x ist Lösung des durch (**) gegebenen inhomogenen Systems linearer Gleichungen 63 Korollar Die Lösungen von (62*) bilden einen VR, dh sind x und x Lösungen von (62*), so auch λx, λ k und x + x 2 Ist x eine Lösung von (62**), so ist die Menge aller Lösungen von (62**) durch {x + v v Lösung von (62*)} gegeben 3 Ist n = m, so hat (62**) genau dann für jedes b R m genau eine Lösung, wenn (62*) nur die triviale Lösung hat 64 Beispiel x + z = 2x + y + 3z = x y y + z = z A { }}{ ker 2 3 Das Gleichungssystem hat den -dim Lösungsraum L = {λ λ R} (denn offenbar ist L kera und rga 2, denn 2 und sind

16 6 MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 89 linear unabhängig, also ist dimkera, also ist L = kera) 4 Betrachte das inhomogene System x + z = 2x + y + 3z = ( ) y + z = Dann ist offenbar eine Lösung von (***), dh der Lösungsraum von (***) ist durch λ + λ λ R gegeben λ 4 rga + dimker A = dim V }{{}}{{} 2 =3