Verständnisfragen: Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II

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1 Verständnisfragen: Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II Matrizen, lineare Gleichungssysteme Wie kommt man von einem linearen Gleichungssystem zu einer Matrix? Was ist die Zeilenstufenform? Was ist das Gauß-Verfahren? Wie addiert und multipliziert man Matrizen? Was ist das Produkt einer (2 3)- und einer (3 4)-Matrix? Wie berechnen man die inverse Matrix? Was ist eine notwendige Bedingung, damit diese überhaupt existieren kann? Die mathematische Sprache Was ist eine Relation zwischen 2 Mengen? Was ist eine Äquivalenzrelation? Wann heißt eine Funktion injektiv/surjektiv/bijektiv? Warum sind Äquivalenzklassen entweder disjunkt oder gleich? Was ist eine Gruppe? Wann heißt eine Gruppe abelsch? Was ist ein Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe? Was ist eine Untergruppe? Gibt es Gruppen, die nur triviale Untergruppen haben? Sind Diagonalmatrizen eine Untergruppe aller Matrizen bezüglich der Addition? Was ist ein Gruppenhomomorphismus? Was sind Kern und Bild eines solchen? Was haben Kern und Injektivität miteinander zu tun? Wieso ist der Quotient einer abelschen Gruppe nach einer Untergruppe wieder eine Gruppe? Was ist der Unterschied zwischen einem Ring und einem Körper? Was ist ein Ring mit 1? Gibt es Ringe, die keine 1 haben? Warum ist ein Körper nullteilerfrei? Was ist ein Ringhomomorphismus? 1

2 Vektorräume Was ist ein Vektorraum? Was ist ein Modul? Warum ist die Menge aller Abbildungen von einer beliebigen Menge in einen Vektorraum wieder ein Vektorraum? Sind die m n-matrizen über einem Körper ein Vektorraum? Was ist mit den invertierbaren Matrizen? Warum ist die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems ein Vektorraum? Was ist ein Untermodul, was ein Untervektorraum? Ist ein solcher wieder ein Modul bzw. Vektorraum? Wann heißt eine Abbildung K-linear? Wie bekommt man aus einer Matrix eine lineare Abbildung? Was kann man über den Kern und das Bild einer linearen Abbildung aussagen? Was ist der Quotientenvektorraum? Wie lautet der Homomorphiesatz für Vektorräume? Was ist der Spann einer Teilmenge eines Vektorraums? Was ist ein Erzeugendensystem eines Vektorraums? Was ist eine linear unabhängige Teilmenge? Hat jeder Vektorraum ein Erzeugendensystem? Was ist eine Basis eines Vektorraums? Was hat eine solche mit Erzeugendensystemen und linear unabhängigen Mengen zu tun? Was besagt der Basisergänzungssatz und was der Austauschsatz? Was ist die Dimension eines Vektorraums? Hat jeder Modul eine? Was besagt die Dimensionsformel? Wie bestimmt man eine Basis für den Kern und das Bild einer linearen Abbildung zwischen K m und K n? Was ist die direkte Summe von Vektorräumen? Hat diese immer eine Dimension und wenn ja, welche? Wie stellt man eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen durch eine Matrix dar? Was steht in den Spalten dieser Matrix? Wie lautet die Transformationsformel? Wie ist der Dualraum definiert? Was ist der Bidualraum? Wann sind diese endlich-dimensional? Was ist die duale Abbildung f einer linearen Abbildung f? Wenn f nach Wahl von Basen durch eine Matrix M dargestellt wird, kann man M benutzen, um die duale Abbildung darzustellen? 2

3 Was ist der Rang einer Matrix und wie berechnet man diesen? Determinanten Was sind Minoren einer quadratischen Matrix und wie kann man mit diesen ihre Determinante berechnen? Was ist eine multilineare alternierende Abbildung? Ist die Determinante eine? Was ist die Formel von Leibniz? Wie ist die komplementäre Matrix definiert und welche Eigenschaften hat diese? Was hat die Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix über einem Ring mit der Determinante zu tun? Welche Matrizen mit ganzzahligen Einträgen sind über Z invertierbar? Wenn f ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist, wie kann man seine Determinante definieren? Hängt diese Definition von irgendwelchen Wahlen ab? Wie kann man die Determinante einer Matrix berechnen? Eigenwerte und die Jordansche Normalform Was sind Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume? Wann heißt ein Endomorphismus diagonalisierbar? Wann heißt eine Matrix diagonalisierbar? Was haben die beiden Konzepte miteinander zu tun? Was ist das charakteristische Polynom P A und was das Minimalpolynom m A einer quadratischen Matrix A? Was haben P A und m A mit den Eigenwerten zu tun? Warum sind Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig? Wenn R ein kommutativer Ring mit 1 ist, was ist dann R[X] und welche Universaleigenschaft hat letzteres Objekt? Was ist der Grad eines Polynoms? Welche Eigenschaften hat der Grad als Funktion auf dem Polynomring? Wie viele Nullstellen kann ein Polynom haben? Was hat Diagonalisierbarkeit einer Abbildung mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun? Wie lautet der Satz von Cayley-Hamilton? Wann ist eine Matrix trigonalisierbar und wie trigonalisiert man? Was ist eine Fahne in einem Vektorraum? 3

4 Was sind Haupträume? Was ist die Hauptraumzerlegung und wann existiert diese? Was ist ein (links-, rechts-, beidseitiges) Ideal in einem Ring? Was haben diese mit Moduln zu tun? Wann heißen zwei Ideale teilerfremd? Wie lautet der chinesische Restsatz? Was ist ein Hauptidealring? Wann heißt ein Element eines Rings prim? Wann irreduzibel? Welche Beziehung besteht zwischen diesen Begriffen? Was ist die Primfaktorzerlegung? Wie ist die Länge eines Moduls definiert? Ist sie immer endlich? Wie verhält sie sich auf kurzen exakten Sequenzen? Was kann man über die Struktur von Moduln endlicher Länge über Hauptidealringen aussagen? Wie lautet die Beziehung zwischen K[X]-Moduln und Paaren bestehend aus einem K-Vektorraum und einem Endomorphismus? Wie lautet der Satz über die Gaußsche Diagonalisierung für Polynomringe? Was sind die Invariantenteiler einer Matrix und wie berechnet man diese? Sind sie eindeutig? Was kann man über die Invariantenteiler von ähnlichen Matrizen aussagen? Was ist die Begleitmatrix eines Polynoms? Was ist die Frobenius-Normalform und was die Jordansche Normalform? Sind diese eindeutig? Wie kann man P A und m A durch die Invariantenteiler ausdrücken? Wie erkennt man Diagonalisierbarkeit an den Invariantenteilern? Bilinearformen und das Tensorprodukt Was ist eine bilineare Abbildung? Was hat eine solche mit dem Tensorprodukt zu tun? Wie ist letzteres definiert? Was ist eine Bilinearform? Wann heißt diese (anti-)symmetrisch, wann nicht-entartet? Wie kann man eine Bilinearform durch eine Matrix darstellen? Welche Eigenschaften hat diese Matrix? Wie sind die orthogonale und die spezielle orthogonale Gruppe definiert? Was ist das orthogonale Komplement eines Unterraums bezüglich eines Skalarprodukts? Welche Dimension hat das Komplement? Was ist die Normale? 4

5 Wie ist das Kreuzprodukt im R 3 definiert und welche Eigenschaften hat dieses? Was sind affine Unterräume? Was ist eine Sesquilinearform? Wie lautet die Basiswechselformel für die Matrixdarstellung einer Bilinearform über R? Was passiert für eine Sesquilinearform? Wann heißt eine Bilinearform positiv (semi-)definit? Welcher Zusammenhang besteht zum Begriff nicht-entartet? Was ist ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum? Was ist die dadurch definierte Norm? Hat jeder endlich-dimensionale Vektorraum über R oder C ein Skalarprodukt? Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung? Was ist eine Orthonormalbasis und wie berechnet man diese? Welche Eigenschaften hat das orthogonale Komplement eines Untervektorraums eines Vektorraums mit Skalarprodukt? Welche Eigenschaften hat die orthogonale Projektion? Was ist eine Isometrie? Was ist die adjungierte Abbildung? Wann heißt eine Abbildung selbstadjungiert, wann normal? Was haben die beiden Begriffe miteinander zu tun? Welcher Zusammenhang besteht zur Diagonalisierbarkeit? Was besagt der Satz von Sylvester? 5