Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie
|
|
- Calvin Martin
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015
2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick
3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemform 2 Herbrand-Strukturen 3 Satz von Löwenheim und Skolem Bitte Fragen direkt stellen!
4 Überblick Organisation
5 Organisation Prüfung am um 13:00 Uhr im HS 3 1 DIN-A4-Blatt mit Notizen als Hilfsmittel zugelassen (beliebig beschrieben oder bedruckt) keine weiteren Hilfsmittel zugelassen Abmeldung noch bis 25. Januar möglich Tutorium keine Vorlesung am 6. Februar 2015 (letzte VL-Woche) stattdessen Tutorium (6. Februar 2015 um 11 Uhr im Hs. 5) (wir beantworten Ihre Fragen)
6 Prädikatenlogik Wiederholung: Skolemform
7 Prädikatenlogik Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick
8 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Wiederholung) Eine Formel F F ist bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist.
9 Prädikatenlogik Wiederholung Skolem-Transformation Sei F eine Formel in bereinigter Pränexform. 1 falls F keinen Existenzquantor enthält, liefere F 2 sei F = x i1 x in x i G für G in bereinigter Pränexform und n N (n = 0 zulässig und G kann Quantoren enthalten) 3 sei f n j / Symbole(F ) ein neues n-stelliges Funktionssymbol 4 setze F x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] und zu 1 (entferne Existenzquantor und ersetze x i durch f (x i1,..., x in )) Terminiert und jedes Resultat heißt Skolemform von F.
10 Prädikatenlogik Wiederholung Beispiel Formel in bereinigter Pränexform u x y z (P ( u, f (x, a), g(z) ) P ( x, u, g(y) )) nach 1. Schleifendurchlauf u y z (P ( u, f (g (u), a), g(z) ) P ( g (u), u, g(y) )) nach 2. Schleifendurchlauf u y (P ( u, f (g (u), a), g(f (u, y)) ) P ( g (u), u, g(y) ))
11 Prädikatenlogik Beweis für Skolemform
12 Prädikatenlogik Skolemform Überführungslemma Sei F F eine Formel, i N und t T ein Term mit Var(t) GV(F ) =. (t enthält keine gebundene Variable von F ) Für jede Interpretation I = (U, I ) gilt: (F [x i t]) I = F I [x i t I ] Beweis (1/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zunächst die korrespondierende Aussage (u[x i t]) I = u I [x i t I ] für alle Terme u T per Induktion. Sei u = x i. Dann ist (u[x i t]) I = t I = x I [x i t I ] i. Sei u = x j mit j N und j i. Dann ist (u[x i t]) I = x I j = x I [x i t I ] j.
13 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (2/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zunächst die korrespondierende Aussage (u[x i t]) I = u I [x i t I ] für alle Terme u T per Induktion. Sei u = f k j (t 1,..., t k ) mit j, k N und t 1,..., t k T. Dann ist (u[x i t]) I = ( fj k (t 1 [x i t],..., t k [x i t]) ) I = (fj k ) I ( (t 1 [x i t]) I,..., (t k [x i t]) I ) = (f k j ) I [x i t I ] ( t I [x i t I ] 1,..., t I [x i t I ] k = ( f k j (t 1,..., t k ) ) I [x i t I ] = u I [x i t I ] ) (IH)
14 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (3/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = R k j (t 1,..., t k ) mit j, k N und t 1,..., t k T. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 gdw. ( R k j (t 1 [x i t],..., t k [x i t]) ) I = 1 gdw. ( (t 1 [x i t]) I,..., (t k [x i t]) I ) (Rj k ) I gdw. ( t I [x i t I ] 1,..., t I [x i t I ]) k (R k j ) I [x i t I ] gdw. ( R k j (t 1,..., t k ) ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 (HA)
15 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (4/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = G mit G F. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 gdw. ( G[x i t] ) I = 1 gdw. ( G[x i t] ) I = 0 gdw. G I [x i t I ] = 0 gdw. ( G ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 Sei F = F 1 F 2 mit F 1, F 2 F und {, }. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 (IH) gdw. ( F 1 [x i t] F 2 [x i t] ) I = 1 gdw. ( F 1 [x i t] ) I und ( = 1 F2 [x i t] ) I = 1 oder gdw. F I [x i t I ] 1 = 1 und oder F I [x i ti ] 2 = 1 (IH) gdw. ( F 1 F 2 ) I [xi t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1
16 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (5/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = x j G mit G F und j N mit x j / Var(t). Sei i = j. Dann gilt Sonst gilt (F [x i t]) I = ( x i G) I = ( x i G) I [x i t I ] = F I [x i t I ] (F [x i t]) I = 1 gdw. ( x j G[x i t] ) I = 1 gdw. u U existiert mit ( G[x i t] ) I [x j u] = 1 gdw. u U existiert mit G I [x j u] [x i t I ] = 1 gdw. u U existiert mit G I [x i t I ] [x j u] = 1 (IH) gdw. ( x j G ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 F = x j G mit G F und j N mit x j / Var(t) analog
17 Prädikatenlogik Skolemform Theorem Sei F F eine Formel in bereinigter Pränexform und F eine zugehörige Skolemform. Dann sind F und F erfüllbarkeitsäquivalent. Beweis (1/4). Wir beweisen diese Aussage für jeden Iterationsschritt der Skolem-Transformation. Sei F = x i1 x in x i G in Schritt 2 und F = x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] die neue Formel in Schritt 4. Wir zeigen Erfüllbarkeitsäquivalenz.
18 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (2/4). Sei F erfüllbar. Dann existiert eine Interpretation I = (U, I ) mit I = F. Folglich gilt ( G[xi f n j (x i1,..., x in )] ) I [x i1 u 1 ] [x in u n] = 1 für alle u 1,..., u n U. Mit Hilfe des Überführungslemmas erhalten wir G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 mit u = ( fj n (x i1,..., x in ) ) I [x i1 u 1 ] [x in u n] = (f n j ) I (u 1,..., u n ) für alle u 1,..., u n U. Also existiert für alle u 1,..., u n U ein u U, so dass G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 und damit ( xi1 x in x i G ) I = F I = 1 womit I = F und F erfüllbar ist.
19 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (3/4). Sei F erfüllbar. Dann existiert Interpretation I = (U, I ) mit I = F. Für alle u 1,..., u n U existiert u = v u1,...,u n U, so dass G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 Sei h : U n U, so dass h(u 1,..., u n ) = v u1,...,u n. Wir definieren die Interpretation J = (U, J) mit (fj n ) J = h (ändern nur dieses Funktionssymbol) (fl m)j = (fl m)i für alle l, m N mit (l, m) (j, n) und xl J = x l I und (Rm l )J = (Rl m)i für alle l, m N.
20 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (4/4). Es gilt (denn f n j und damit auch kommt nicht in G vor) für alle u 1,..., u n U G J[x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i h(u 1,...,u n)] = 1 G J[x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i (f n j (x i1,...,x in )) J[x i 1 u 1 ] [x in un] ] = 1 Mit Hilfe des Überführungslemmas gilt also ( G[xi fj n (x i1,..., x in )] ) J[x i1 u 1 ] [x in u n] = 1 für alle u 1,..., u n U und damit ( xi1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] ) J = (F ) J = 1 womit J = F und F erfüllbar ist.
21 Prädikatenlogik Skolemform Notizen jedes Modell der Skolemform ist auch Modell der Ausgangsformel die Umkehrung gilt nicht F = xp(x) und F = P(a) F ist Skolemform von F, aber a I / P I ist in Modellen I von F möglich Skolemform und Ausgangsformel sind nur erfüllbarkeitsäquivalent
22 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform
23 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Definition Eine Formel F F ist ein Disjunktionsglied gdw. für Literale L 1,..., L n. F = L 1 L n Definition Eine Aussage F F ist in konjunktiver Normalform gdw. F = x i1 x in G wobei G = D 1 D k für Disjunktionsglieder D 1,..., D k. (G ist in klassischer konjunktiver Normalform mit prädikatenlogischen Atomen; keine Quantoren in G)
24 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Beispiele in konjunktiver Normalform: u y ( P ( u, f (g (u), a), g(f (u, y)) ) P ( g (u), u, g(y) )) x y (P(x, y) R ( y, f (b, g(x)) )) ( ) x P(x) R(a, x) nicht in konjunktiver Normalform: ( ) u y P(a, x) zr(x, y, z) x y (Q(x) ( P(x, y) R(y, g(x)) )) ( ) x P(x) R(a, x)
25 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Theorem Sei F F eine Formel mit freier Variable x FV(F ). Dann sind F und xf erfüllbarkeitsäquivalent. Beweis. ( ) Sei xf erfüllbar. Dann existiert ein Modell I = (U, I ) von xf. Also existiert u U, so dass F I [x u] = 1. Damit ist I [x u] ein Modell für F und F erfüllbar. ( ) Sei nun F erfüllbar vermittels des Modells I = (U, I ). Offenbar gilt I = I [x x I ] und damit F I = F I [x xi ] = 1. Also existiert u = x I U, so dass F I [x u] = 1 und daraus folgt ( xf ) I = 1. Also ist xf erfüllbar.
26 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Transformation in konjunktive Normalform Sei F F eine beliebige Formel. 1 Transformiere F in Negationsnormalform und bereinige das Ergebnis liefert F 1 2 Seien FV(F 1 ) = {x i1,..., x in } die freien Variablen von F 1. Setze F 2 = x i1 x in F 1 3 Transformiere F 2 in Pränexform und danach in Skolemform liefert F 3 4 Sei F 3 = x j1 x jk G, so dass G keine Quantoren mehr enthält. Transformiere G in konjunktive Normalform G (wie bisher) und setze F 4 = x j1 x jk G.
27 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Negationsnormalform Bereinigen Binden freier Var. Pränexform Erhält 1 Äquivalenz (NNF) 2 Äquivalenz (Bereinigen) 3 Erfüllbarkeit (Binden) 4 Äquivalenz (Pränexform) 5 Erfüllbarkeit (Skolemform) 6 Äquivalenz (KNF per Distr.) Erfüllbarkeit (KNF per Tseitin) Skolemform konj. Normalform Notiz selbst im Idealfall ist die konj. Normalform nur erfüllbarkeitsäquivalent zur Ausgangsformel
28 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Beispiele Welche der folgenden Formeln sind bereinigt, in Pränexform, in Skolemform, in konjunktiver Normalform? x ( Q(x) P(x) ) in Skolemform (bereinigter Pränexform) x y z ( P(x, y) R(x, f (a, y, z)) ) in bereinigter Pränexform x y ( P(x, y) P(y, x) ) in konjunktiver Normalform x y ( (P(x, a) R(x, y)) R(y, z) ) in Skolemform (bereinigter Pränexform) x ( (P(x, a) yr(x, y)) R(a, x) ) bereinigt, aber nicht in Pränexform ( P(a, b) P(a, c) R(a, b, c) ) in konjunktiver Normalform
29 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie
30 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick
31 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Motivation typische Schwierigkeit bei Modellkonstruktion zu viele Freiheitsgrade Universum Interpretation der Variablen Interpretation der Funktionssymbole Interpretation der Relationssymbole falsche Wahl einer Komponente kann Modelle unmöglich machen (Formeln die nur Modelle mit unendlichem Universum haben) Standard -Modelle
32 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Sei F F eine Aussage in Skolemform und sei ( ( H = {f0 0 } Symbole(F ) S k)) k N (Menge der in F vorkommenden Funktionssymbole und f 0 0 ) Das Herbrand-Universum H(F ) von F ist H(F ) = {t T Funk(t) H, Var(t) = } (Menge aller variablenfreien Terme mit Funktionssymbolen aus H) Jacques Herbrand ( 1908; 1931) franz. Mathematiker und Logiker bester Abituriant in 1925 verunglückte tödlich beim Bergsteigen
33 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beispiele Aussage F 1 = x y ( P(x, y) P(y, x) ) Aussage F 2 = xp(x, f (x)) H(F 1 ) = {f 0 0 } H(F 2 ) = {f 0 0, f (f 0 0 ), f (f (f 0 0 )),... } Aussage F 3 = x y ( P(x, a) P(f (x), g(y)) ) H(F 3 ) = {f 0 0, f (f 0 0 ), f (f (f 0 0 )),..., a, f (a), f (f (a)),... } {g(f0 0 ), g(g(f0 0 )),..., g(a), g(g(a)),... } {g(f (f0 0 )), f (g(f0 0 )),..., g(f (a)), f (g(a)),... }
34 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Sei I = (U, I ) eine Interpretation und F F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt I Herbrand-Struktur für F gdw. U = H(F ) (x i ) I = f0 0 für alle i N für alle i, k N und u 1,..., u k U (f k i ) I (u 1,..., u k ) = { f k (Universum = Herbrand-Universum) i (u 1,..., u k ) f0 0 sonst falls f k i Symbole(F ) Notizen Interpretation eines Terms des Herbrand-Universums liefert Term selbst u I = u für alle u U Herbrand-Struktur für F ist Herbrand-Modell für F gdw. sie Modell für F ist
35 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Theorem (Fundamentalsatz der Prädikatenlogik) Sei F F eine Aussage in Skolemform. F ist erfüllbar gdw. F ein Herbrand-Modell besitzt. Beweis (1/3). Wir beweisen wie üblich beide Richtungen. ( ) Wenn F ein Herbrand-Modell hat, dann hat F ein Modell und ist daher erfüllbar. ( ) Sei F erfüllbar und I = (U, I ) ein Modell für F. Wir definieren nun eine Herbrand-Struktur J = (H(F ), J), wobei die Interpretation der Variablen und Funktionen bereits geklärt sind. Es fehlt die Interpretation der Relationssymbole. Seien i, k N. Wir setzen (R k i ) J = {(u 1,..., u k ) H(F ) k (u I 1,..., u I k ) (Rk i ) I }
36 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beweis (2/3). zu zeigen: J ist ein Modell für F. Wir beweisen per Induktion über die Anzahl der Quantoren in G, dass J = G falls I = G für alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G) Symbole(F ) {f0 0}. Induktionsanfang: Falls G keine Quantoren enthält, dann zeigen wir G I = G J per Induktion über G: Induktionsanfang: Sei G = Ri k (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T. Da G eine Aussage ist und keine Quantoren enthält, gilt FV(G) GV(G) = (d.h. G enthält keine Variablen). Es gilt daher G I = 1 gdw. (t1, I..., tk) I (Ri k ) I gdw. (t 1,..., t k ) (R k i ) J gdw. (t J 1,..., t J k ) (R k i ) J gdw. G J = 1 Induktionsschritt: Sei G = G 1 für G 1 F. Dann gilt G I = 1 G1 I IH = 1 G1 J = G J Analog für G = G 1 G 2 mit {, } und G 1, G 2 F
37 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beweis (3/3). zu zeigen: J ist ein Modell für F. Wir beweisen per Induktion über die Anzahl der Quantoren in G, dass J = G falls I = G für alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G) Symbole(F ) {f0 0}. Induktionsschritt: Sei G = x i G 1 mit i N und G 1 F. Gemäß Annahme ist G I = 1 und damit G I [x i u] 1 = 1 für alle u U. Da {t I t H(F )} U gilt auch G I [x i t I ] 1 = 1 für alle t H(F ). Nach dem Überführungslemma gilt also (G 1 [x i t]) I = 1. Für jedes t H(F ) ist G = G 1 [x i t] eine Aussage in Skolemform mit echt weniger Quantoren als G und Symbole(G ) Symbole(F ) {f0 0 }. Da I ein Modell für G ist, ist auch J ein Modell für G für jedes t H(F ) nach Induktionshypothese (d.h. (G 1 [x i t]) J = 1). Das Überführungslemma liefert G J[x i t J ] 1 = G J[x i t] 1 = 1 für alle t H(F ). Also gilt auch G J = 1. Also gilt die Hilfsaussage. Da F I = 1, gilt auch F J = 1.
38 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Notizen Beweis funktioniert nur für Aussagen (siehe Induktionsanfang, da sonst freie Variablen existieren können) Beweis funktioniert nur für Skolemform (sonst gäbe es im Induktionsschritt noch Existenzquantoren) um die Erfüllbarkeit zu zeigen, reicht also die Untersuchung von Herbrand-Strukturen in Herbrand-Strukturen ist nur die Wahl der Interpretation von Relationssymbolen frei jede Formel kann in eine erfüllbarkeitsäquivalente Aussage in Skolemform umgewandelt werden
39 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Eine Menge M ist abzählbar gdw. eine Injektion h : M N existiert Theorem Für jede Aussage F F in Skolemform ist H(F ) abzählbar Beweis. In der Übung
40 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Theorem (Satz von Löwenheim und Skolem) Jede erfüllbare Formel F F hat ein Modell I = (U, I ), so dass U abzählbar ist Beweis. Wir transformieren F zunächst in eine erfüllbarkeitsäquivalente Aussage G in Skolemform (siehe Transformation in konjunktive Normalform). Also ist auch G erfüllbar und damit existiert ein Herbrand-Modell J = (H(G), J) für G. Gemäß Anmerkung ist jedes Modell der Skolemform auch Modell der Ausgangsformel. Ebenso sind F und x i F erfüllbarkeitsäquivalent und jedes Modell der einen Formel liefert ein Model über dem gleichen Universum für die andere Formel. Also hat F ein Modell mit Universum H(G) und damit ein Modell mit abzählbarem Universum.
41 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Leopold Löwenheim ( 1878; 1957) dtsch. Mathematiker und Logiker Hitler erzwang seinen Rücktritt ( 3 4 -Arier) Hauptresultat zunächst Paradoxon
42 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beispiel Formel F = x y ( P(x, y) P(y, z) ) Aussage z x y ( P(x, y) P(y, z) ) Aussage in Skolemform G = x y ( P(x, y) P(y, f0 0)) H(G) = {f0 0} es gibt es also nur 2 relevante Herbrand-Strukturen (entweder gilt P I = oder P I = {(f0 0, f 0 0)}) (formal gibt es unendlich viele Herbrand-Strukturen für G) beide sind Modelle von G; also ist F erfüllbar
43 Zusammenfassung Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemform Herbrand-Strukturen Satz von Löwenheim und Skolem Sechste Übungsserie ist bereits verfügbar.
Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie
Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
MehrLogik Vorlesung 9: Normalformen
Logik Vorlesung 9: Normalformen Andreas Maletti 19. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
MehrLogik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz Andreas Maletti 12. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
MehrLogik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrLogik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik
Logik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik Andreas Maletti 5. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrModellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle
smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung
MehrModellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle
smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung
MehrPrädikatenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe
Prädikatenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Teil 3: Modellierung und Beweise 4 Teil 4: Substitution, Unifikation und Resolution
MehrLogik Vorlesung 12: Unifikation und Resolution
Logik Vorlesung 12: Unifikation und Resolution Andreas Maletti 23. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 11. Prädikatenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Negationsnormalform Definition: Negationsnormalform
MehrTerme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1
Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken
MehrLogik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 23. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/25 Motivation Die ist eine Erweiterung
MehrFormale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Resolution
Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. November 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Eine besondere Formel
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/41 Ablauf Unendliche
MehrAussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen
Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Motivation Die ist eine Erweiterung
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 6 25.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letzte Vorlesungen Prädikatenlogik: Syntax Semantik
MehrAblauf. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution. Eine besondere Formel. Eine besondere Formel
Ablauf Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Wir werden heute die Themen aus den Kapitel 2.3, 2.4 und 2.5 aus
MehrPrädikatenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe
Prädikatenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Teil 3: Modellierung und Beweise 4 Teil 4: Substitution, Unifikation und Resolution
MehrHerbrand-Universum. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Herbrand-Universum. Herbrand-Universum
Herbrand-Universum Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 12. Prädikatenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Zur Erinnerung Definition: Aussagenlogische
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel
Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Die ist eine Erweiterung
MehrWissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik
Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4
MehrBeachte: Mit n = 0 sind auch Konstanten Terme.
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.2 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Syntax und Semantik 107 Terme Ab sofort wird Signatur τ als festgelegt angenommen. Sei V = {x, y,...} Vorrat
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und
Mehrdas Konzept der Gleichung in der Algebra Robert Recorde Spielsemantik Semantik-Spiel FO mit oder ohne =? Abschnitt 2.5
Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 Spielsemantik Semantik-Spiel Satz: A = ψ[a] V hat Gewinnstrategie in Position (ψ, a. Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 das Konzept der Gleichung in der Algebra Robert
MehrDie Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik
Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik 1 Mathematische Strukturen und deren Typen Definition 1.1 Eine Struktur A ist ein 4-Tupel A = (A; (R A i i I); (f A j j J); (c A k k K)) wobei I, J,
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
MehrPrädikatenlogik. Einführende Beispiele Geschwister x y ( u v (Eltern(u, v, x) Eltern(u, v, y) Geschwister(x, y)))
Prädikatenlogik Einführende Beispiele Geschwister x y ( u v (Eltern(u, v, x) Eltern(u, v, y) Geschwister(x, y))) symmetrische Relation x y (R(x, y) R(y, x)) Das Zeichen bezeichnen wir als Existenzquantor
MehrErsetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
MehrSyntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...
Mehr4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik
Theorie der Informatik 3. März 2014 4. Prädikatenlogik I Theorie der Informatik 4. Prädikatenlogik I 4.1 Motivation Malte Helmert Gabriele Röger 4.2 Syntax der Prädikatenlogik Universität Basel 3. März
MehrSatz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich
Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes
MehrRalf Möller, TUHH. Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem. Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik
Ralf Möller, TUHH Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik Danksagung Bildmaterial: S. Russell, P. Norvig, Artificial
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel
Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen
MehrNormalform. 2.1 Äquivalenz und Folgerung. 2.2 Die pränexe Normalform
2 Normalformen 2.1 Äquivalenz und Folgerung Definition 2.1 Äquivalenz, Folgerung). Seien ϕ, ψ FO[σ]. a) ϕ und ψ heißen äquivalent kurz: ϕ ψ, bzw. ϕ = ψ), wenn für alle zu ϕ und ψ äquivalent passenden σ-interpretationen
MehrNormalformen der Prädikatenlogik
Normalformen der Prädikatenlogik prädikatenlogische Ausdrücke können in äquivalente Ausdrücke umgeformt werden Beispiel "X (mensch(x) Æ sterblich(x)) "X (ÿ mensch(x) sterblich(x)) "X (ÿ (mensch(x) Ÿ ÿ
MehrLogik Vorlesung 6: Resolution
Logik Vorlesung 6: Resolution Andreas Maletti 28. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
MehrKapitel L:III. III. Prädikatenlogik
Kapitel L:III III. Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik Wichtige Äquivalenzen Einfache Normalformen Substitution Skolem-Normalformen Standard-Erfüllbarkeit Prädikatenlogische
MehrSLD-Ableitungsbäume. G = B 1... B m. G die Menge aller SLD-Resolventen von G und definiten. G einen Nachfolger, der mit G markiert ist.
SLD-Ableitungsbäume Definition 5.48 Sei P ein definites Programm und G ein definites Ziel. Ein SLD-Ableitungsbaum ist ein Baum, der die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Jeder Knoten des Baums ist mit
MehrTU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik
TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 5.12.2016 1 / 32 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische
Mehr3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C
3. Prädikatenlogik 3.1 Motivation In der Aussagenlogik interessiert Struktur der Sätze nur, insofern sie durch "und", "oder", "wenn... dann", "nicht", "genau dann... wenn" entsteht. Für viele logische
MehrFormale Grundlagen der Informatik II
Formale Grundlagen der Informatik II FO: Axiome und Theorie (de-)motivierendes Beispiel: S=(+,0) Strukturen ({0,1}*,,ε) Strukturen (P(X),, ) Formale Grundlagen der Informatik II Interessieren uns für alle
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der
MehrSS Juni Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 8
SS 2011 08. Juni 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 8 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 23. Juni 2011 10:00 Uhr 1. Aufgabe: [Terme und Formeln, Übung] Betrachten Sie folgende Ausdrücke: a) 3 + 4
Mehrf(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch
Belegungen, Wahrheitsfunktionen 1. Wie viele binäre Funktionen gibt es auf der Menge {0, 1} (d.h., Funktionen von {0, 1} 2 nach {0, 1})? Geben Sie alle diese Funktionen an, und finden Sie sinnvolle Namen
MehrAufgabe - Fortsetzung
Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
MehrFormale Systeme, WS 2012/2013. Lösungen zu Übungsblatt 7
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Faragó, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt
MehrGrundbegriffe für dreiwertige Logik
Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn 1.11.2011 1 Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren
Mehr7. Prädikatenlogik. Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit.
7. Prädikatenlogik Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit. Aber: Aussagenlogik ist sehr beschränkt in der Ausdrucksmächtigkeit. Wissen kann nur
MehrBeweisen mit Semantischen Tableaux
Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet
MehrResolution und Regeln
Resolution und Regeln Hans Kleine Büning University of Paderborn Institute for Computer Science Group Paderborn, 18. Juli 2013 Resolution und Regeln Hans Kleine Büning 1/9 Resolution Theorem Resolution:
MehrGrundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
MehrKurseinheit 1 Einführung und mathematische Grundlagen Aussagenlogik
Kurseinheit 1 Einführung und mathematische Grundlagen Aussagenlogik Fragen Seite Punkte 1. Was ist die Mathematische Logik? 3 2 2. Was sind die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik? 5 4 3. Was sind Formeln,
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
MehrFormale Systeme, WS 2013/2014. Lösungen zu Übungsblatt 5
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt Dr. V. Klebanov, Dr. M. Ulbrich, C. Scheben Formale Systeme, WS 2013/2014 Lösungen zu Übungsblatt 5 Dieses
MehrEinführung in die Logik, Übungsklausur 2016/07/11
Institut für Theoretische Informatik ITI Dr. Jürgen Koslowski Einführung in die Logik, Übungsklausur 2016/07/11 Diese Aufgaben werden in der Extra-Übung am Freitag, 2016-07-15, 13:15, im SN 19.4 besprochen,
MehrStrukturerhaltende Transformation in konjunktive Normalform
Proseminar: Präsentation ausgewählter Problemstellungen der Informatik Strukturerhaltende Transformation in konjunktive Normalform Thomas Kemmerich 31. Oktober 2005 Inhalt 1 Abstract 2 2 Einführung 3 2.1
MehrLogik für Informatiker
Martin Kreuzer Stefan Kühling Logik für Informatiker Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid Boston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of Pearson plc worldwide 4 PRÄDIKATENLOGIK
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski
MehrFormale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
MehrFormale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
MehrZusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.
MehrPrädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 8. Alexander Bors. 27. April., 4. & 11. Mai A. Bors Logik
Mathematische Logik Vorlesung 8 Alexander Bors 27. April., 4. & 11. Mai 2017 1 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) Der Gödelsche und Folgerungen 2 Erinnerung
MehrTableaukalkül für Aussagenlogik
Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird
MehrLogik I. Symbole, Terme, Formeln
Logik I Symbole, Terme, Formeln Wie jede geschriebene Sprache basiert die Prädikatenlogik erster Stufe auf einem Alphabet, welches aus den folgenden Symbolen besteht: (a) Variabeln wie zum Beispiel v 0,v
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrMusterlösung 11.Übung Mathematische Logik
Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt SS 2015 Aufgabe 2 Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Geben Sie für die folgenden
Mehr4. Logik und ihre Bedeutung für WBS
4. Logik und ihre Bedeutung für WBS WBS verwenden formale Sprache L um Wissen zu repräsentieren Grundidee: Problemlösen = Folgern aus in L dargestelltem Wissen Folgern = implizites Wissen explizit machen
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37 Modellierungsaufgabe Es gibt drei Tauben und zwei Löcher. Jede Taube soll in
Mehr3.2 Prädikatenlogik. WS 06/07 mod 321
3.2 Prädikatenlogik WS 06/07 mod 321 Prädikatenlogik umfasst Aussagenlogik mit atomaren Aussagen, Variablen, Junktoren. Zusätzliche Konzepte: A = (τ, Σ) sei die so genannte Termalgebra (mit Variablen,
MehrLogik Grundvorlesung WS 17/18 Folien Teil 2: Prädikatenlogik
Logik Grundvorlesung WS 17/18 Folien Teil 2: Prädikatenlogik Gerhard Brewka Institut für Informatik Universität Leipzig brewka@informatik.uni-leipzig.de G. Brewka (Leipzig) WS 17/18 1 / 43 Motivation Aussagenlogik:
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
MehrTheoretische Grundlagen 1
Theoretische Grundlagen 1 Prüfung im Wintersemester 2003/04 Name, Vorname:... Matrikelnummer:... Hochschule Reutlingen - Reutlingen University Fachbereich: Informatik Bachelor-Studiengang/Semester: Medien-
MehrSyntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
Mehr8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem
8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung
MehrFormale Systeme. Tableaukalku l (ohne Gleichheit) Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
MehrWiderspruchsbasiertes Kalkül. Präinterpretation. Variablenzuweisung. Interpretation
Widerspruchsbasiertes Kalkül Ziel: Zeige dass gilt: x 1 x s (B 1 B n ) Mittel: Negiere so dass: B 1 B n Resultate: Widerspruch Variablenbindungen [y/5.6.17.22.nil] für sort(17.22.6.5.nil,y) Präinterpretation
MehrFundamentale Sätze. versuche folgendes: gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(N, +, )}
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 171 Fundamentale Sätze versuche folgendes: gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(R, +, )} gib
MehrKapitel L:III. III. Prädikatenlogik
Kapitel L:III III. Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik Wichtige Äquivalenzen Einfache Normalformen Substitution Skolem-Normalformen Standard-Erfüllbarkeit Prädikatenlogische
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
MehrMusterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker
Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Bernhard Beckert Christoph Gladisch Claudia Obermaier Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.16 Syntax der Aussagenlogik:
MehrKapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
MehrBeispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 5.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit Resolution 192 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N
MehrLogische und funktionale Programmierung
Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION
MehrNamen von Objekten des Diskursbereichs (z. B. Substantive des natürlichsprachlichen Satzes)
Prädikatenlogik Aussagen wie Die Sonne scheint. die in der Aussagenlogik atomar sind, werden in der Prädikatenlogik in Terme (sonne) und Prädikate (scheint) aufgelöst und dann dargestellt als z.b. Terme
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 1 5.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik + Aussagenlogik
MehrLogik erster Stufe FO
Logik erster Stufe FO Sonderstellung als die Logik für die Grundlegung der Mathematik natürliche Semantik (Tarski) und große Ausdrucksstärke vollständige Beweiskalküle (Gödelscher Vollständigkeitssatz)
MehrTHEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 13. Vorlesung: Prädikatenlogik: Syntax und Semantik Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 26. Mai 2017 Komplexität und Spiele NP ist eine typische
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrHauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans 23.07.2012 Dipl.-Inform. Markus Bender Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
MehrSyntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln
Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10 Syntax
Mehr