Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

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1 Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015

2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemform 2 Herbrand-Strukturen 3 Satz von Löwenheim und Skolem Bitte Fragen direkt stellen!

4 Überblick Organisation

5 Organisation Prüfung am um 13:00 Uhr im HS 3 1 DIN-A4-Blatt mit Notizen als Hilfsmittel zugelassen (beliebig beschrieben oder bedruckt) keine weiteren Hilfsmittel zugelassen Abmeldung noch bis 25. Januar möglich Tutorium keine Vorlesung am 6. Februar 2015 (letzte VL-Woche) stattdessen Tutorium (6. Februar 2015 um 11 Uhr im Hs. 5) (wir beantworten Ihre Fragen)

6 Prädikatenlogik Wiederholung: Skolemform

7 Prädikatenlogik Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

8 Prädikatenlogik Wiederholung Definition (Wiederholung) Eine Formel F F ist bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) GV(F ) = und alle Quantoren verschiedene Variablen binden in Pränexform gdw. F = Q 1 x i1 Q 2 x i2 Q n x in G mit Q 1,..., Q n {, } n, i 1,..., i n N und G enthält keine Quantoren in bereinigter Pränexform gdw. sie bereinigt und in Pränexform ist.

9 Prädikatenlogik Wiederholung Skolem-Transformation Sei F eine Formel in bereinigter Pränexform. 1 falls F keinen Existenzquantor enthält, liefere F 2 sei F = x i1 x in x i G für G in bereinigter Pränexform und n N (n = 0 zulässig und G kann Quantoren enthalten) 3 sei f n j / Symbole(F ) ein neues n-stelliges Funktionssymbol 4 setze F x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] und zu 1 (entferne Existenzquantor und ersetze x i durch f (x i1,..., x in )) Terminiert und jedes Resultat heißt Skolemform von F.

10 Prädikatenlogik Wiederholung Beispiel Formel in bereinigter Pränexform u x y z (P ( u, f (x, a), g(z) ) P ( x, u, g(y) )) nach 1. Schleifendurchlauf u y z (P ( u, f (g (u), a), g(z) ) P ( g (u), u, g(y) )) nach 2. Schleifendurchlauf u y (P ( u, f (g (u), a), g(f (u, y)) ) P ( g (u), u, g(y) ))

11 Prädikatenlogik Beweis für Skolemform

12 Prädikatenlogik Skolemform Überführungslemma Sei F F eine Formel, i N und t T ein Term mit Var(t) GV(F ) =. (t enthält keine gebundene Variable von F ) Für jede Interpretation I = (U, I ) gilt: (F [x i t]) I = F I [x i t I ] Beweis (1/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zunächst die korrespondierende Aussage (u[x i t]) I = u I [x i t I ] für alle Terme u T per Induktion. Sei u = x i. Dann ist (u[x i t]) I = t I = x I [x i t I ] i. Sei u = x j mit j N und j i. Dann ist (u[x i t]) I = x I j = x I [x i t I ] j.

13 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (2/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zunächst die korrespondierende Aussage (u[x i t]) I = u I [x i t I ] für alle Terme u T per Induktion. Sei u = f k j (t 1,..., t k ) mit j, k N und t 1,..., t k T. Dann ist (u[x i t]) I = ( fj k (t 1 [x i t],..., t k [x i t]) ) I = (fj k ) I ( (t 1 [x i t]) I,..., (t k [x i t]) I ) = (f k j ) I [x i t I ] ( t I [x i t I ] 1,..., t I [x i t I ] k = ( f k j (t 1,..., t k ) ) I [x i t I ] = u I [x i t I ] ) (IH)

14 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (3/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = R k j (t 1,..., t k ) mit j, k N und t 1,..., t k T. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 gdw. ( R k j (t 1 [x i t],..., t k [x i t]) ) I = 1 gdw. ( (t 1 [x i t]) I,..., (t k [x i t]) I ) (Rj k ) I gdw. ( t I [x i t I ] 1,..., t I [x i t I ]) k (R k j ) I [x i t I ] gdw. ( R k j (t 1,..., t k ) ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 (HA)

15 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (4/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = G mit G F. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 gdw. ( G[x i t] ) I = 1 gdw. ( G[x i t] ) I = 0 gdw. G I [x i t I ] = 0 gdw. ( G ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 Sei F = F 1 F 2 mit F 1, F 2 F und {, }. Dann gilt (F [x i t]) I = 1 (IH) gdw. ( F 1 [x i t] F 2 [x i t] ) I = 1 gdw. ( F 1 [x i t] ) I und ( = 1 F2 [x i t] ) I = 1 oder gdw. F I [x i t I ] 1 = 1 und oder F I [x i ti ] 2 = 1 (IH) gdw. ( F 1 F 2 ) I [xi t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1

16 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (5/5). Jetzt können wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = x j G mit G F und j N mit x j / Var(t). Sei i = j. Dann gilt Sonst gilt (F [x i t]) I = ( x i G) I = ( x i G) I [x i t I ] = F I [x i t I ] (F [x i t]) I = 1 gdw. ( x j G[x i t] ) I = 1 gdw. u U existiert mit ( G[x i t] ) I [x j u] = 1 gdw. u U existiert mit G I [x j u] [x i t I ] = 1 gdw. u U existiert mit G I [x i t I ] [x j u] = 1 (IH) gdw. ( x j G ) I [x i t I ] = 1 gdw. F I [x i t I ] = 1 F = x j G mit G F und j N mit x j / Var(t) analog

17 Prädikatenlogik Skolemform Theorem Sei F F eine Formel in bereinigter Pränexform und F eine zugehörige Skolemform. Dann sind F und F erfüllbarkeitsäquivalent. Beweis (1/4). Wir beweisen diese Aussage für jeden Iterationsschritt der Skolem-Transformation. Sei F = x i1 x in x i G in Schritt 2 und F = x i1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] die neue Formel in Schritt 4. Wir zeigen Erfüllbarkeitsäquivalenz.

18 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (2/4). Sei F erfüllbar. Dann existiert eine Interpretation I = (U, I ) mit I = F. Folglich gilt ( G[xi f n j (x i1,..., x in )] ) I [x i1 u 1 ] [x in u n] = 1 für alle u 1,..., u n U. Mit Hilfe des Überführungslemmas erhalten wir G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 mit u = ( fj n (x i1,..., x in ) ) I [x i1 u 1 ] [x in u n] = (f n j ) I (u 1,..., u n ) für alle u 1,..., u n U. Also existiert für alle u 1,..., u n U ein u U, so dass G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 und damit ( xi1 x in x i G ) I = F I = 1 womit I = F und F erfüllbar ist.

19 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (3/4). Sei F erfüllbar. Dann existiert Interpretation I = (U, I ) mit I = F. Für alle u 1,..., u n U existiert u = v u1,...,u n U, so dass G I [x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i u] = 1 Sei h : U n U, so dass h(u 1,..., u n ) = v u1,...,u n. Wir definieren die Interpretation J = (U, J) mit (fj n ) J = h (ändern nur dieses Funktionssymbol) (fl m)j = (fl m)i für alle l, m N mit (l, m) (j, n) und xl J = x l I und (Rm l )J = (Rl m)i für alle l, m N.

20 Prädikatenlogik Skolemform Beweis (4/4). Es gilt (denn f n j und damit auch kommt nicht in G vor) für alle u 1,..., u n U G J[x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i h(u 1,...,u n)] = 1 G J[x i 1 u 1 ] [x in u n] [x i (f n j (x i1,...,x in )) J[x i 1 u 1 ] [x in un] ] = 1 Mit Hilfe des Überführungslemmas gilt also ( G[xi fj n (x i1,..., x in )] ) J[x i1 u 1 ] [x in u n] = 1 für alle u 1,..., u n U und damit ( xi1 x in G[x i f n j (x i1,..., x in )] ) J = (F ) J = 1 womit J = F und F erfüllbar ist.

21 Prädikatenlogik Skolemform Notizen jedes Modell der Skolemform ist auch Modell der Ausgangsformel die Umkehrung gilt nicht F = xp(x) und F = P(a) F ist Skolemform von F, aber a I / P I ist in Modellen I von F möglich Skolemform und Ausgangsformel sind nur erfüllbarkeitsäquivalent

22 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform

23 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Definition Eine Formel F F ist ein Disjunktionsglied gdw. für Literale L 1,..., L n. F = L 1 L n Definition Eine Aussage F F ist in konjunktiver Normalform gdw. F = x i1 x in G wobei G = D 1 D k für Disjunktionsglieder D 1,..., D k. (G ist in klassischer konjunktiver Normalform mit prädikatenlogischen Atomen; keine Quantoren in G)

24 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Beispiele in konjunktiver Normalform: u y ( P ( u, f (g (u), a), g(f (u, y)) ) P ( g (u), u, g(y) )) x y (P(x, y) R ( y, f (b, g(x)) )) ( ) x P(x) R(a, x) nicht in konjunktiver Normalform: ( ) u y P(a, x) zr(x, y, z) x y (Q(x) ( P(x, y) R(y, g(x)) )) ( ) x P(x) R(a, x)

25 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Theorem Sei F F eine Formel mit freier Variable x FV(F ). Dann sind F und xf erfüllbarkeitsäquivalent. Beweis. ( ) Sei xf erfüllbar. Dann existiert ein Modell I = (U, I ) von xf. Also existiert u U, so dass F I [x u] = 1. Damit ist I [x u] ein Modell für F und F erfüllbar. ( ) Sei nun F erfüllbar vermittels des Modells I = (U, I ). Offenbar gilt I = I [x x I ] und damit F I = F I [x xi ] = 1. Also existiert u = x I U, so dass F I [x u] = 1 und daraus folgt ( xf ) I = 1. Also ist xf erfüllbar.

26 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Transformation in konjunktive Normalform Sei F F eine beliebige Formel. 1 Transformiere F in Negationsnormalform und bereinige das Ergebnis liefert F 1 2 Seien FV(F 1 ) = {x i1,..., x in } die freien Variablen von F 1. Setze F 2 = x i1 x in F 1 3 Transformiere F 2 in Pränexform und danach in Skolemform liefert F 3 4 Sei F 3 = x j1 x jk G, so dass G keine Quantoren mehr enthält. Transformiere G in konjunktive Normalform G (wie bisher) und setze F 4 = x j1 x jk G.

27 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Negationsnormalform Bereinigen Binden freier Var. Pränexform Erhält 1 Äquivalenz (NNF) 2 Äquivalenz (Bereinigen) 3 Erfüllbarkeit (Binden) 4 Äquivalenz (Pränexform) 5 Erfüllbarkeit (Skolemform) 6 Äquivalenz (KNF per Distr.) Erfüllbarkeit (KNF per Tseitin) Skolemform konj. Normalform Notiz selbst im Idealfall ist die konj. Normalform nur erfüllbarkeitsäquivalent zur Ausgangsformel

28 Prädikatenlogik Konjunktive Normalform Beispiele Welche der folgenden Formeln sind bereinigt, in Pränexform, in Skolemform, in konjunktiver Normalform? x ( Q(x) P(x) ) in Skolemform (bereinigter Pränexform) x y z ( P(x, y) R(x, f (a, y, z)) ) in bereinigter Pränexform x y ( P(x, y) P(y, x) ) in konjunktiver Normalform x y ( (P(x, a) R(x, y)) R(y, z) ) in Skolemform (bereinigter Pränexform) x ( (P(x, a) yr(x, y)) R(a, x) ) bereinigt, aber nicht in Pränexform ( P(a, b) P(a, c) R(a, b, c) ) in konjunktiver Normalform

29 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie

30 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

31 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Motivation typische Schwierigkeit bei Modellkonstruktion zu viele Freiheitsgrade Universum Interpretation der Variablen Interpretation der Funktionssymbole Interpretation der Relationssymbole falsche Wahl einer Komponente kann Modelle unmöglich machen (Formeln die nur Modelle mit unendlichem Universum haben) Standard -Modelle

32 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Sei F F eine Aussage in Skolemform und sei ( ( H = {f0 0 } Symbole(F ) S k)) k N (Menge der in F vorkommenden Funktionssymbole und f 0 0 ) Das Herbrand-Universum H(F ) von F ist H(F ) = {t T Funk(t) H, Var(t) = } (Menge aller variablenfreien Terme mit Funktionssymbolen aus H) Jacques Herbrand ( 1908; 1931) franz. Mathematiker und Logiker bester Abituriant in 1925 verunglückte tödlich beim Bergsteigen

33 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beispiele Aussage F 1 = x y ( P(x, y) P(y, x) ) Aussage F 2 = xp(x, f (x)) H(F 1 ) = {f 0 0 } H(F 2 ) = {f 0 0, f (f 0 0 ), f (f (f 0 0 )),... } Aussage F 3 = x y ( P(x, a) P(f (x), g(y)) ) H(F 3 ) = {f 0 0, f (f 0 0 ), f (f (f 0 0 )),..., a, f (a), f (f (a)),... } {g(f0 0 ), g(g(f0 0 )),..., g(a), g(g(a)),... } {g(f (f0 0 )), f (g(f0 0 )),..., g(f (a)), f (g(a)),... }

34 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Sei I = (U, I ) eine Interpretation und F F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt I Herbrand-Struktur für F gdw. U = H(F ) (x i ) I = f0 0 für alle i N für alle i, k N und u 1,..., u k U (f k i ) I (u 1,..., u k ) = { f k (Universum = Herbrand-Universum) i (u 1,..., u k ) f0 0 sonst falls f k i Symbole(F ) Notizen Interpretation eines Terms des Herbrand-Universums liefert Term selbst u I = u für alle u U Herbrand-Struktur für F ist Herbrand-Modell für F gdw. sie Modell für F ist

35 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Theorem (Fundamentalsatz der Prädikatenlogik) Sei F F eine Aussage in Skolemform. F ist erfüllbar gdw. F ein Herbrand-Modell besitzt. Beweis (1/3). Wir beweisen wie üblich beide Richtungen. ( ) Wenn F ein Herbrand-Modell hat, dann hat F ein Modell und ist daher erfüllbar. ( ) Sei F erfüllbar und I = (U, I ) ein Modell für F. Wir definieren nun eine Herbrand-Struktur J = (H(F ), J), wobei die Interpretation der Variablen und Funktionen bereits geklärt sind. Es fehlt die Interpretation der Relationssymbole. Seien i, k N. Wir setzen (R k i ) J = {(u 1,..., u k ) H(F ) k (u I 1,..., u I k ) (Rk i ) I }

36 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beweis (2/3). zu zeigen: J ist ein Modell für F. Wir beweisen per Induktion über die Anzahl der Quantoren in G, dass J = G falls I = G für alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G) Symbole(F ) {f0 0}. Induktionsanfang: Falls G keine Quantoren enthält, dann zeigen wir G I = G J per Induktion über G: Induktionsanfang: Sei G = Ri k (t 1,..., t k ) für i, k N und t 1,..., t k T. Da G eine Aussage ist und keine Quantoren enthält, gilt FV(G) GV(G) = (d.h. G enthält keine Variablen). Es gilt daher G I = 1 gdw. (t1, I..., tk) I (Ri k ) I gdw. (t 1,..., t k ) (R k i ) J gdw. (t J 1,..., t J k ) (R k i ) J gdw. G J = 1 Induktionsschritt: Sei G = G 1 für G 1 F. Dann gilt G I = 1 G1 I IH = 1 G1 J = G J Analog für G = G 1 G 2 mit {, } und G 1, G 2 F

37 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beweis (3/3). zu zeigen: J ist ein Modell für F. Wir beweisen per Induktion über die Anzahl der Quantoren in G, dass J = G falls I = G für alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G) Symbole(F ) {f0 0}. Induktionsschritt: Sei G = x i G 1 mit i N und G 1 F. Gemäß Annahme ist G I = 1 und damit G I [x i u] 1 = 1 für alle u U. Da {t I t H(F )} U gilt auch G I [x i t I ] 1 = 1 für alle t H(F ). Nach dem Überführungslemma gilt also (G 1 [x i t]) I = 1. Für jedes t H(F ) ist G = G 1 [x i t] eine Aussage in Skolemform mit echt weniger Quantoren als G und Symbole(G ) Symbole(F ) {f0 0 }. Da I ein Modell für G ist, ist auch J ein Modell für G für jedes t H(F ) nach Induktionshypothese (d.h. (G 1 [x i t]) J = 1). Das Überführungslemma liefert G J[x i t J ] 1 = G J[x i t] 1 = 1 für alle t H(F ). Also gilt auch G J = 1. Also gilt die Hilfsaussage. Da F I = 1, gilt auch F J = 1.

38 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Notizen Beweis funktioniert nur für Aussagen (siehe Induktionsanfang, da sonst freie Variablen existieren können) Beweis funktioniert nur für Skolemform (sonst gäbe es im Induktionsschritt noch Existenzquantoren) um die Erfüllbarkeit zu zeigen, reicht also die Untersuchung von Herbrand-Strukturen in Herbrand-Strukturen ist nur die Wahl der Interpretation von Relationssymbolen frei jede Formel kann in eine erfüllbarkeitsäquivalente Aussage in Skolemform umgewandelt werden

39 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Definition Eine Menge M ist abzählbar gdw. eine Injektion h : M N existiert Theorem Für jede Aussage F F in Skolemform ist H(F ) abzählbar Beweis. In der Übung

40 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Theorem (Satz von Löwenheim und Skolem) Jede erfüllbare Formel F F hat ein Modell I = (U, I ), so dass U abzählbar ist Beweis. Wir transformieren F zunächst in eine erfüllbarkeitsäquivalente Aussage G in Skolemform (siehe Transformation in konjunktive Normalform). Also ist auch G erfüllbar und damit existiert ein Herbrand-Modell J = (H(G), J) für G. Gemäß Anmerkung ist jedes Modell der Skolemform auch Modell der Ausgangsformel. Ebenso sind F und x i F erfüllbarkeitsäquivalent und jedes Modell der einen Formel liefert ein Model über dem gleichen Universum für die andere Formel. Also hat F ein Modell mit Universum H(G) und damit ein Modell mit abzählbarem Universum.

41 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Leopold Löwenheim ( 1878; 1957) dtsch. Mathematiker und Logiker Hitler erzwang seinen Rücktritt ( 3 4 -Arier) Hauptresultat zunächst Paradoxon

42 Prädikatenlogik Herbrand-Theorie Beispiel Formel F = x y ( P(x, y) P(y, z) ) Aussage z x y ( P(x, y) P(y, z) ) Aussage in Skolemform G = x y ( P(x, y) P(y, f0 0)) H(G) = {f0 0} es gibt es also nur 2 relevante Herbrand-Strukturen (entweder gilt P I = oder P I = {(f0 0, f 0 0)}) (formal gibt es unendlich viele Herbrand-Strukturen für G) beide sind Modelle von G; also ist F erfüllbar

43 Zusammenfassung Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemform Herbrand-Strukturen Satz von Löwenheim und Skolem Sechste Übungsserie ist bereits verfügbar.

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