Logik für Informatiker

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1 Vorlesung Logik für Informatiker 11. Prädikatenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1

2 Negationsnormalform Definition: Negationsnormalform Eine Formel A For Σ ist in Negationsnormalform (NNF), falls: und kommen in A nicht vor jedes Negationszeichen in A steht direkt vor einem Atom (insbes. auch kein ) Logik für Informatiker, SS 06 p.2

3 Negationsnormalform: Beispiele NNF p p ( p q) (r ( r q)) Logik für Informatiker, SS 06 p.3

4 Negationsnormalform: Beispiele NNF p p ( p q) (r ( r q)) Nicht NNF p (p q) p q Logik für Informatiker, SS 06 p.3

5 Bereinigte Formeln Definition: Bereinigte Formel Eine Formel A For Σ ist bereinigt, falls: Keine Variable in A sowohl gebunden als auch frei vorkommt Keine Variable mehr als einmal in A quantifiziert ist Logik für Informatiker, SS 06 p.4

6 Bereinigte Formeln: Beispiele Bereinigt p q x y(p(x) q(x, y) z(r(x, z))) Logik für Informatiker, SS 06 p.5

7 Bereinigte Formeln: Beispiele Bereinigt p q x y(p(x) q(x, y) z(r(x, z))) Nicht bereinigt p(x) x q(x) ( x p(x)) ( x q(x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.5

8 Pränexnormalform Definition: Pränexnormalform Eine Formel A For Σ ist in Pränexnormalform (PNF), falls: A = Q 1 x 1 Q n x n B wobei Q 1..., Q n {, } x 1,..., x n Var B quantorenfrei (dann heißt B Matrix von A) Logik für Informatiker, SS 06 p.6

9 Pränexnormalform: Beispiele In PNF p(x) q(x) x y(p(x) q(y)) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

10 Pränexnormalform: Beispiele In PNF p(x) q(x) x y(p(x) q(y)) Nicht in PNF ( x p(x)) ( y q(y)) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

11 Umwandlung in Pränexnormalform Theorem Zu jeder Formel A For Σ gibt es eine äquivalente Formel in Pränexnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.8

12 Umwandlung in Pränexnormalform Theorem Zu jeder Formel A For Σ gibt es eine äquivalente Formel in Pränexnormalform Konstruktiver Beweis 1. Formel bereinigen 2. Formel in NNF transformieren (Negationszeichen nach innen) und aussagenlogische Umformungen 3. Alle Quantoren nach vorne (Reihenfolge unverändert lassen) Logik für Informatiker, SS 06 p.8

13 Skolemnormalform Definition: Skolemnormalform Eine Formel A For Σ ist in Skolemnormalform (SNF), falls: A ist in Pränexnormalform A ist geschlossen (enthält keine freien Variablen) enthält nur universelle Quantoren die Matrix von A ist in konjunktiver Normalform Logik für Informatiker, SS 06 p.9

14 Skolemnormalform Definition: Skolemnormalform Eine Formel A For Σ ist in Skolemnormalform (SNF), falls: A ist in Pränexnormalform A ist geschlossen (enthält keine freien Variablen) enthält nur universelle Quantoren die Matrix von A ist in konjunktiver Normalform Bemerkung In der Literatur manchmal: Skolemnormalform als Klauselnormalform bezeichnet Logik für Informatiker, SS 06 p.9

15 Skolemnormalform: Beispiele In Skolemnormalform x y(p(x) q(y)) Logik für Informatiker, SS 06 p.10

16 Skolemnormalform: Beispiele In Skolemnormalform x y(p(x) q(y)) Nicht in Skolemnormalform y(p(x) q(y)) ( x p(x)) ( y q(y)) x y(p(x) q(y)) x y(p(x) (q(y) r(x))) Logik für Informatiker, SS 06 p.10

17 Umformung in Skolemnormalform Leider... Es gibt NICHT zu jeder Formel eine äquivalente Formel in Skolemnormalform (Existenzquantoren können nicht wegtransformiert werden) Jedoch... Logik für Informatiker, SS 06 p.11

18 Umformung in Skolemnormalform Leider... Es gibt NICHT zu jeder Formel eine äquivalente Formel in Skolemnormalform (Existenzquantoren können nicht wegtransformiert werden) Jedoch... Definition: Ërfüllbarkeitsäquivalenz Formeln A, B For Σ sind erfüllbarkeitsäquivalent, falls sie beide erfüllbar oder beide unerfüllbar sind Logik für Informatiker, SS 06 p.11

19 Existenzquantoren vs. Funktionssymbole Darstellung mit Existenzquantor 1. x y(y = x + x) 2. x y(x < y) 3. x y z(x < y x + z = y) Logik für Informatiker, SS 06 p.12

20 Existenzquantoren vs. Funktionssymbole Darstellung mit Existenzquantor 1. x y(y = x + x) 2. x y(x < y) 3. x y z(x < y x + z = y) Darstellung mit Funktionszeichen 1. x(do(x) = x + x) 2. x(x < gr(x)) 3. x y(x < y x + diff (x, y) = y) Logik für Informatiker, SS 06 p.12

21 Existenzquantoren vs. Funktionssymbole Darstellung mit Existenzquantor 1. x y(y = x + x) 2. x y(x < y) 3. x y z(x < y x + z = y) Darstellung mit Funktionszeichen 1. x(do(x) = x + x) 2. x(x < gr(x)) 3. x y(x < y x + diff (x, y) = y) Gib den existierenden Elementen einen Namen (wenn mehr als eines existiert wähle eines) Logik für Informatiker, SS 06 p.12

22 Skolemisierung Definition: Skolemisierung Gegeben A = x B Dann ist A sk = B{x/ f (y 1,..., y n )} die Skolemisierung von A, wobei f neu (nicht in A) y 1,..., y n die in A frei vorkommenden Variablen Logik für Informatiker, SS 06 p.13

23 Skolemisierung Theorem A sk die Skolemisierung von A, dann: A und A sk erfüllbarkeitsäquivalent A sk = A Im allgemeinen NICHT: A = A sk Theorem C hat Unterformel A C entsteht durch Ersetzung von A durch A sk Dann sind C und C erfüllbarkeitsäquivalent Logik für Informatiker, SS 06 p.14

24 Skolemisierung Theorem A sk die Skolemisierung von A, dann: A und A sk erfüllbarkeitsäquivalent A sk = A Im allgemeinen NICHT: A = A sk Theorem C hat Unterformel A C entsteht durch Ersetzung von A durch A sk Dann sind C und C erfüllbarkeitsäquivalent Logik für Informatiker, SS 06 p.14

25 Umformung in Skolemnormalform Theorem Zu jeder Formel A For Σ gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.15

26 Umformung in Skolemnormalform Theorem Zu jeder Formel A For Σ gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform Konstruktiver Beweis 1. Formel in Pränexnormalform umformen 2. Alle freien Variablen existentiell quantifizieren 3. Existenzquantoren durch Skolemisierung entfernen 4. Matrix in konjunktive Normalform transformieren (aussagenlogische Umformungen) Logik für Informatiker, SS 06 p.15

27 Umformung in Skolemnormalform Beispiel Gegeben x(p(y) z q(x, z)) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in SNF x(p(c) q(x, f (x))) Logik für Informatiker, SS 06 p.16

28 Umformung in Skolemnormalform Beispiel Gegeben w( x(p(w, x) y(q(w, x, y) z r(y, z)))) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in SNF x y ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) Logik für Informatiker, SS 06 p.17

29 Klauselnormalform Definition: Klauselnormalform Eine Formel A For Σ ist in Klauselnormalform, falls sie eine Konjunktion von Disjunktion von Literalen ist: n^ i=1 m i _ j=1 L ij Logik für Informatiker, SS 06 p.18

30 Klauselnormalform Definition: Klauselnormalform Eine Formel A For Σ ist in Klauselnormalform, falls sie eine Konjunktion von Disjunktion von Literalen ist: n^ i=1 m i _ j=1 L ij (wie in Aussagenlogik, jedoch mit prädikatenlogischen Literalen) Logik für Informatiker, SS 06 p.18

31 Klauselnormalform Definition: Klauselnormalform Eine Formel A For Σ ist in Klauselnormalform, falls sie eine Konjunktion von Disjunktion von Literalen ist: n^ i=1 m i _ j=1 L ij (wie in Aussagenlogik, jedoch mit prädikatenlogischen Literalen) Mengenschreibweise { {L 1,1,..., L 1,m1 },..., {L n,1,..., L n,mn } } Logik für Informatiker, SS 06 p.18

32 Umformung in Klauselnormalfom Theorem Zu jeder Formel gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.19

33 Umformung in Klauselnormalfom Theorem Zu jeder Formel gibt es eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselnormalform Konstruktiver Beweis 1. Umformung in Skolemnormalform 2. Allquantoren weglassen (freie Variablen in Klauseln sind implizit allquantifiziert) Logik für Informatiker, SS 06 p.19

34 Umformung in Klauselnormalfom Beispiel Gegeben x(p(w, x) y(q(w, x, y) z r(y, z))) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform x y ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) Logik für Informatiker, SS 06 p.20

35 Umformung in Klauselnormalfom Beispiel Gegeben x(p(w, x) y(q(w, x, y) z r(y, z))) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemnormalform x y ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselnormalform ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) Logik für Informatiker, SS 06 p.20

36 Umformung in Klauselnormalfom Beispiel (Fortsetzung) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselnormalform ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) Logik für Informatiker, SS 06 p.21

37 Umformung in Klauselnormalfom Beispiel (Fortsetzung) Erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Klauselnormalform in Mengenschreibweise ((p(w, f (w)) q(w, f (w), y)) (p(w, f (w)) r(y, g(w, y)))) ({ p(w, f (w)), q(w, f (w), y)) }, { p(w, f (w)), r(y, g(w, y)) } Logik für Informatiker, SS 06 p.21

38 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22

39 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Logik für Informatiker, SS 06 p.22

40 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22

41 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22

42 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Skolemnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22

43 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Skolemnormalform Erfüllbarkeitsäquivalenz Logik für Informatiker, SS 06 p.22

44 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Skolemnormalform Erfüllbarkeitsäquivalenz Skolemisierung Logik für Informatiker, SS 06 p.22

45 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Skolemnormalform Erfüllbarkeitsäquivalenz Skolemisierung Umwandlung in Skolemnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22

46 Zusammenfassung: Normalformen Negationsnormalform Bereinigte Formel Pränexnormalform Umwandlung in Pränexnormalform Skolemnormalform Erfüllbarkeitsäquivalenz Skolemisierung Umwandlung in Skolemnormalform Klauselnormalform Logik für Informatiker, SS 06 p.22