Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016

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1 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016

2 Teil 2: Logik

3 1 Prädikatenlogik (Einleitung) 2 Aussagenlogik Motivation Grundlagen Eigenschaften Eigenschaften Normalformen Exkurs: Operatoren Folgerung 3 Prädikatenlogik (Fortsetzung)

4 Motivation (1/2) Praktische und theoretische Ziele: Formeln auswerten (auf einer Datenbank D) Eigenschaften von Formeln bestimmen: Beispiel 2.1 Nützlichkeit der Formel: 1 Gibt es eine Datenbank, für welche die Formel wahr ist? 2 Gilt für jede Datenbank, dass die Formel wahr ist? Zusammenhänge zwischen Formeln: 3 Gilt für jede Datenbank, dass ' und denselben Wert annehmen? 4 Gilt für jede Datenbank, unter der ' wahr ist, dass wahr ist? Für jede Datenbank und jede dazu passende Belegung 1 [[ R(x) ^ R(x) ]] = 0; 2 [[ R(x) _ R(x) ]] = 1; 3 [[ R(x, y) ^ S(y, z) ]] = [[ S(y, z) ^ R(x, y) ]] ; 4 [[ R(x, y) ^ S(y, z) ]] apple [[R(x, y)]]. gilt: Vorteil: Mit diesem Wissen kann der Aufwand für die Auswertung einer Formel reduziert werden. FM2 (WS 2014/15, Geck) 16

5 FM2 (WS 2014/15, Geck) 17 Motivation (2/2) Ein genauerer Blick auf die Formeln aus Beispiel 2.1: Beispiel R(x) ^ R(x) hat die Form (A ^ A); 2 R(x) _ R(x) hat die Form (A _ A); 3 R(x, y) ^ S(y, z) und S(y, z) ^ R(x, y) haben die Form (A ^ B) bzw. (B ^ A); 4 R(x, y) ^ S(y, z) und R(x, y) haben die Formen A ^ B und A. Nun: Beschränkung auf Datenbanken D = (U, A 1,...,A n ) mit leerem Universum (U = ;) nullstelligen Relationen A 1,...,A n (über ;), genannt Aussagenvariablen. Es gilt dann entweder A i = {} oder A i = {()}, für jedes i 2 {1,...,n}. Intuitiv: A i repräsentiert den Wahrheitswert einer Aussage: falsch: A i = {} wahr: A i = {()} Anschaulicher fassen wir eine solche Datenbank auf als Definition 2.3 Eine Interpretation für Aussagenvariablen A 1,...,A n ist eine Abbildung : {A,...,A n }! {0, 1}.

6 FM2 (WS 2014/15, Geck) 18 Grundlagen: Syntax und Semantik Beobachtung: Quantoren nutzlos, da nullstelligen Relationsatome keine Variablen enthalten. Vorausgesetzt: Menge AV = {A, B, C,...,A 1, A 2, A 3,...} von Aussagenvariablen. Hinweis: Aussagenvariablen entsprechen Relationen auf U, während prädikatenlogische Variablen Elementens aus U entsprechen! Definition 2.4 Die Menge AL aussagenlogischer Formeln ist die kleinste Menge mit für jede Variable X 2 AV ist X 2 AL; für jede Formel ' 2 AL ist ' 2 AL; für alle Formeln ', 2 AL ist (' ^ ) 2 AL; für alle Formeln ', 2 AL ist (' _ ) 2 AL. Definition 2.5 Sei eine Interpretation, die für alle Variablen in ' und definiert ist. Dann ist der Wahrheitswert [[']] = (X), falls ' = X 2 AV; [[ ']] = 1 genau dann, wenn nicht [[']] = 1 ist. [[ ' ^ ]] = 1 genau dann, wenn [[']] = 1 und [[ ]] = 1 ist. [[ ' _ ]] = 1 genau dann, wenn [[']] = 1 oder [[ ]] = 1 ist. Bezeichnung: Eine Interpretation ist passend zu einer Formel ', falls sie für alle Variablen in ' definiert ist.

7 FM2 (WS 2014/15, Geck) 19 Grundlagen: Semantik (Wahrheitstabellen, 1/2) Die Semantik der aussagenlogischen Operatoren, ^, _ kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden. Beispiel 2.6 Sei eine zu ' und passende Interpretation, dann gilt: [[']] [[ ']] [[']] [[ ]] [[' ^ ]] [[']] [[ ]] [[' _ ]]

8 FM2 (WS 2014/15, Geck) 20 Grundlagen: Semantik (Wahrheitstabellen, 2/2) Wir definieren als Abkürzung die Operatoren (Syntaktische) Implikation: '! für ( ' _ ) (Syntaktische) Äquivalenz: '$ für (' ^ ) _ ( ' ^ ) Aufgabe Stelle die Wahrheitstabellen von '! und '$ auf. Lösung [[']] [[ ]] [['! ]] [[']] [[ ]] [['$ ]] Beobachtung: Es gilt [['! ]] = 1 genau dann, wenn [[']] apple [[ ]] ist. Es gilt [['$ ]] = 1 genau dann, wenn [[']] = [[ ]] ist.

9 FM2 (WS 2014/15, Geck) 21 Grundlagen: Semantik (Auswertung) Die induktive Definition des Wertes erlaubt eine rekursive Auswertung: Beispiel 2.7 (Rekursive Auswertung) Wir betrachten die Formel ' = (A _ A) ^ B _ A und die Interpretation : AV! {0, 1} mit (A) = 0 und (B) = 1. Ziel: Bestimme [[']] 0 [[ (A _ A) ^ B _ A]] 0 [[ (A _ A) ^ B ]] [[A]] 0 1 [[ (A _ A) ^ B ]] 1 [[A _ A]] [[B]] 1 0 [[A]] [[ A]] 1 [[A]] 0

10 FM2 (WS 2014/15, Geck) 22 Eigenschaften: Erfüllbarkeit (1/2) Definition 2.8 Sei ' eine aussagenlogische Formel und eine zu ihr passende Interpretation. Die Interpretation ist erfüllend für ' genau dann, wenn [[']] = 1 gilt. Beispiel 2.9 Wir betrachten die Formel ' = ( A _ B) ^ (A _ B) mit der vollständigen Wahrheitstabelle [[A]] [[B]] [[ A]] [[ B]] [[( A _ B)]] [[(A _ B)]] [[']] 0, , , , Die Belegungen 0,0 und 1,1 sind erfüllend für '. Die Belegungen 0,1 und 1,0 sind nicht erfüllend für '. Hinweis: Vollständige Wahrheitstabellen werden auf Übungsblatt 4 erläutert.

11 FM2 (WS 2014/15, Geck) 23 Eigenschaften: Erfüllbarkeit (2/2) Definition 2.10 Sei ' eine aussagenlogische Formel, dann heißt ' erfüllbar, wenn es eine passende erfüllende Interpretation für sie gibt; unerfüllbar, wenn es keine passende erfüllende Interpretation für sie gibt; allgemeingültig oder Tautologie, wenn jede zu ihr passende Interpretation erfüllend ist. Bemerkung: Frage Unerfüllbarkeit ist das Gegenteil von Erfüllbarkeit: Eine Formel ist genau dann unerfüllbar, wenn sie nicht erfüllbar ist. Unerfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit schließen sich aus. Allgemeingültigkeit bedingt Erfüllbarkeit, aber eine erfüllbare Formel muss nicht allgemeingültig sein. Sind die folgenden Formeln erfüllbar, unerfüllbar, allgemeingültig? ' 1 = (A ^ A) ' 2 = (A ^ B) ' 3 = (A _ A)

12 FM2 (WS 2014/15, Geck) 24 Eigenschaften: Äquivalenz Formeln können sich syntaktisch unterscheiden, aber semantisch gleich verhalten: Definition 2.11 Seien ' und aussagenlogische Formeln. Die Formel ' ist äquivalent zu (Notation: ' ), falls [[']] = [[ ]] für jede zu ' und passende Interpretation gilt. Bemerkung: Es lässt sich leicht prüfen, dass eine Äquivalenzrelation auf AL ist. Beispiel 2.12 Es gilt etwa ' ', für jede Formel ' 2 AL. Direkter Beweis durch Fallunterscheidung: Sei eine beliebige zu ' passende Interpretation. Dann gilt entweder [[']] = 1 oder [[']] = Fall ([[']] = 1): Dann gilt [[ ']] = 0. (Semantikdefinition von ) Ferner gilt [[ ']] = 1 = [[']]. (Semantikdefinition von ) 2. Fall ([[']] = 0): Dann gilt [[ ']] = 1. (Semantikdefinition von ) Ferner gilt [[ ']] = 0 = [[']]. (Semantikdefinition von ) In jedem Fall gilt also [[']] = [[ ']], was zu zeigen war.

13 FM2 (WS 2014/15, Geck) 25 Eigenschaften: Äquivalenz (Ersetzungslemma) Was geschieht, wenn Frage Teilformeln durch äquivalente Teilformeln ersetzt werden? Es gilt: (A ^ B) ( A _ B). Naheliegende Frage: Gilt dann auch (A ^ B)_C ( A _ B)_C? Lemma 2.13 (Ersetzungslemma) Antwort Seien ' und äquivalente aussagenlogische Formeln, '. Die Formel enthalte die Teilformel ' und die Formel 0 gehe aus hervor, indem ein Vorkommen von ' durch ein Vorkommen von ersetzt wird, dann gilt 0. Es gilt (A ^ B)_C ( A _ B)_C gemäß Ersetzungslemma mit ' = (A ^ B) und = ( A _ B) = (A ^ B)_C und 0 = ( A _ B)_C.

14 FM2 (WS 2014/15, Geck) 26 Eigenschaften: Äquivalenz (Substitutionslemma) Was geschieht, wenn Aussagenvariablen durch Teilformeln einheitlich ersetzt werden? Definition 2.14 Eine (Variablen-)Substitution ist eine Abbildung S : AV! AL. Für eine aussagenlogische Formel ' bezeichnen wir mit S (') die Formel, die aus ' hervorgeht, indem jede Variable X 2 AV, die sowohl in ' als auch in D(S) vorkommt, durch S(X) ersetzt wird. Beispiel 2.15 Sei S : AV! AL mit A 7! C, B 7! (A ^ A) und C 7! (E _ F), dann gilt etwa S (A ^ B) _ (B ^ A) = C ^ (A ^ A) _ (A ^ A) ^ C. Lemma 2.16 (Substitutionslemma) Sind aussagenlogische Formeln ' und äquivalent, so sind die aussagenlogischen Formeln S (') und S ( ) für jede Substitution S äquivalent. Beispiel 2.17 Wir wissen: (A ^ B) ( A _ B). Mit der Substitution A 7! ( C ^ D) folgt daher ( C ^ D) ^ B ( C ^ D) _ B.

15 Eigenschaften: Äquivalenz (Wichtige Gesetze, 1/2) Satz 2.18 Seien ', und aussagenlogische Formeln. Dann gilt Doppelnegation: ' ' Idempotenz: (' ^ ') ' und (' _ ') ' (mehrfaches Auftreten der Operanden irrelevant) Kommutativität: (' ^ ) ( ^ ') (' _ ) ( _ ') Assoziativität: (' ^ ) ^ ' ^ ( ^ ) (' _ ) _ ' _ ( _ ) (Reihenfolge der Operanden irrelevant) (Klammerung bei selbem Operator irrelevant) De-Morgan sche Regeln: (' ^ ) ( ' _ ) (' _ ) ( ' ^ ) Beweisidee Beispiel De-Morgan sche Regel (' ^ ) ( ' _ ): 1 Beweise (A ^ B) ( A _ B), etwa via Wahrheitstabellen. 2 Nutze Substitutionslemma mit S(A) = ' und S(B) =. FM2 (WS 2014/15, Geck) 27

16 Eigenschaften: Äquivalenz (Wichtige Gesetze, 2/2) Satz 2.19 Seien ', und beliebige aussagenlogische Formeln, sei? eine unerfüllbare Formel und > eine Tautologie, dann gilt Distributivität: '^( _ ) ('^ )_('^ ) '_( ^ ) ('_ )^('_ ) Tertium non datur: ' ^ '?und ' _ ' > Dominanz:?^'?und >_' > Neutralität: >^' ' und?_' ' Praxisbezug Das Dominanzgesetz liegt der Shortcut-Evaluation (C++, Java,... ) zugrunde: Bedingungen mit Boole schen Ausdrücken werden von links nach rechts ausgewertet. Weniger aufwendig zu testende Bedingungen sollten deshalb weiter links stehen. Möglich: if (langwierigertest (i) && i >= 10) meinemethode (i); Besser: if (i >= 10 && langwierigertest (i)) meinemethode (i); (Analog für die disjunktive Verknüpfung.) FM2 (WS 2014/15, Geck) 28

17 FM2 (WS 2014/15, Geck) 29 Normalformen (1/2) Definition 2.20 Dabei ist Eine Formel ' ist in Negationsnormalform (NNF), wenn Negationen nur unmittelbar vor Variablen vorkommen. Eine Formel ' ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn sie von der Form ' = D 1^...^D k für disjunktive Klauseln D 1,...,D k ist. Eine Formel ' ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn sie von der Form ' = C 1 _..._C k für konjunktive Klauseln C 1,...,C k ist. eine disjunktive Klausel ist eine Formel (`1 _ _ `n) mit Literalen `1,...,`n; eine konjunktive Klausel ist eine Formel (`1 ^ ^ `n) mit Literalen `1,...,`n; und ein Literal ist eine Variable X oder eine negierte Variable X. Beispiel 2.21 in NNF: A _ (B ^ A) _ C ; nicht in NNF: A _ B, (A ^ B); in KNF: A ^ (B _ C) ^ (A _ A _ B), nicht in KNF: A _ (B ^ C); A _ B _ C; Definition 2.22 Eine Formel ist in 3-KNF bzw. in 3-DNF, falls sie in KNF bzw. DNF ist und jede Klausel genau drei Literale enthält.

18 FM2 (WS 2014/15, Geck) 30 Normalformen (2/2) Satz 2.23 Sei ' eine aussagenlogische Formel, dann kann in Polynomialzeit eine Formel ' 0 berechnet werden, sodass ' 0 in Negationsnormalform ist und ' 0 ' gilt. Prinzip der NNF-Berechnung Idee: Nutze wiederholt die Doppelnegationsregel, um Mehrfachnegationen zu eliminieren. Nutze wiederholt die De-Morgan schen Regeln, um Negationen nach innen zu ziehen. Induktive Definition: Wir definieren eine Abbildung NNF : AL! AL, die jede Formel ' auf eine äquivalente Formel in Negationsnormalform abbildet. 8 >< ' 7! >: X, falls ' = X für X 2 AV NNF( 1 ) ^ NNF( 2 ), falls ' = ( 1 ^ 2 ) für 1, 2 2 AL NNF( 1 ) _ NNF( 2 ), falls ' = ( 1 _ 2 ) für 1, 2 2 AL X, falls ' = X für X 2 AV NNF( ), falls ' = für 2 AL NNF( 1 ) _ NNF( 2 ), falls ' = ( 1 ^ 2 ) für 1, 2 2 AL NNF( 1 ) ^ NNF( 2 ), falls ' = ( 1 _ 2 ) für 1, 2 2 AL Aufgabe Bestimmen NNF(') für ' = A ^ B ^ C ^ (D _ E).

19 FM2 (WS 2014/15, Geck) 31 Exkurs: Operatoren Abbildungen, die gleichartige oder ähnliche Objekte miteinander verknüpfen, werden Operatoren oder Verknüpfungen genannt. Ihre Argumente heißen Operanden, die Anzahl der Operanden ist die Stelligkeit des Operators. Beispiel 2.24 Addition: + : R R! R Wurzel: p : R! R Relationenkomposition: : P(X Y) P(Y Z)! P(X Z) Ableitung: d dx : F (R)! F (R), wobei F (R) die Menge der Funktionen f : R! R bezeichnet. Bemerkung: Binäre (zweistellige) Operatoren werden oft in Infixnotation verwendet. Beispiel: Statt +(5, 3) (Präfixnotation) schreiben wir (Infixnotation).

20 FM2 (WS 2014/15, Geck) 32 Exkurs: Operatoren (Assoziativität, Kommutativität) Definition 2.25 Ein binärer Operator : M M! M ist assoziativ, falls (x y) z = x (y z) für alle x, y, z 2 M gilt; kommutativ, falls x y = y x für alle x, y 2 M gilt. Beispiel 2.26 Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ. Vereinigung und Schnittbildung sind assoziativ und kommutativ. Die Relationenkomposition ist assoziativ. Fragen 1 Ist die Relationenkomposition kommutativ? 2 Ist die Subtraktion kommutativ? 3 Ist die Subtraktion assoziativ?

21 Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 1/3) Die Assoziativität der Addition, Multiplikation, Vereinigung und Schnitt erlaubt uns die Einsparung von Klammern. Wir schreiben meist x + y + z x y z statt (x + y) + z oder x + (y + z); statt x (y z) oder (x y) z); M [ N [ P statt M [ (N [ P) oder (M [ N) [ P; M \ N \ P statt M \ (N \ P) oder (M \ N) \ P. Assoziative binäre Operatoren können kanonisch auf beliebig (aber endlich) viele Operanden verallgemeinert werden: Beispiel 2.27 Seien a 1,...,a k Zahlen und M 1,...,M` Mengen. Dann schreiben wir P k i=1 a i für a 1 + a 2 + a a k 1 + a k ; Q k j=1 a j für a 1 a 2 a 3... a k 1 a k ; S` h=1 M h für M 1 [ M 2 [ M 3 [ [ M k 1 [ M k ; T` h=1 M h für M 1 \ M 2 \ M 3 \ \ M k 1 \ M k. Analog schreiben wir V n i=1 ' i für ' 1 ^ ^ ' n ; und W n i=1 ' i für ' 1 _ _ ' n. FM2 (WS 2014/15, Geck) 33

22 FM2 (WS 2014/15, Geck) 34 Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 2/3) Definition 2.28 (Neutrales Element) Sei : M M! M ein binärer Operator auf M. Ein Element e 2 M heißt neutral bezüglich, falls e x = x und x = x e für alle x 2 M gilt. Beispiel R ist das neutrale Element bezüglich der Addition + : R R! R; 1 2 R ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation : R R! R. Frage Was ist das neutrale Element bezüglich der Mengenvereinigung [?

23 FM2 (WS 2014/15, Geck) 35 Exkurs: Operatoren (Verallgemeinerung, 3/3) Assoziative und kommutative binäre Operatoren können kanonisch auf endlich viele Operanden, die durch Mengen indiziert sind, verallgemeinert werden: Definition 2.30 Dann ist Sei I = {i 1,...,i k } eine endliche Menge von k paarweise verschiedenen Indizes, M eine Menge mit neutralem Element e, x i 2 M für jedes i 2 I und : M M! M ein binärer Operator auf M. i2ix i definiert als x i1 x ik, falls I, ;, und e, falls I = ;. Aufgabe Seien M 1 = {1, 2}, M 2 = {3, 4} und M 3 = {8, 9, 12}. Bestimme S i2{2,4} M i 1 ; S i2{1,2,3}\{5,6} M i.

24 FM2 (WS 2014/15, Geck) 36 Folgerung (1/3) Formeln können Wissen repräsentieren in Form von Fakten: etwa A oder B und Regeln: etwa A!B oder C$ D. Beispiel 2.31 Wir nutzen folgende Aussagenvariablen mit angegebener Interpretation: U(laub) Ich habe Urlaub. R(egen) Es regnet. S(onne) Die Sonne scheint. M(eer) Ich bin am Meer. G(lück) Ich bin glücklich. Modellierung expliziten Wissens: U Ich habe Urlaub. R Es regnet nicht. S$ R Die Sonne scheint genau dann, wenn es nicht regnet. (U ^ S)!M Wenn ich Urlaub habe und die Sonne scheint, dann bin ich am Meer. M!G Wenn ich am Meer bin, dann bin ich glücklich. Implizit enthaltenes Wissen: Die Sonne scheint. Ich bin am Meer. Ich bin glücklich.

25 Folgerung (2/3) Der formale Hintergrund des implizit enthaltenen Wissens spiegelt sich wider in Definition 2.32 (Semantische Implikation) Sei {' 1,...,' n } AL eine Formelmenge und 2 AL eine Formel. Die Formelmenge {' 1,...,' n } impliziert, falls jede Interpretation, die zu ' 1,...,' n und passt und die für jede Formel ' 1,...,' n erfüllend ist, auch die Formel erfüllt. Wir schreiben dann {' 1,...,' n } =. Bemerkung: Diese Definition lässt sich auch auf unendliche Formelmengen erweitern. Beispiel 2.33 Sei = U, R, S$ R, (U ^ S)!M, M!G und = G, dann gilt =. 1 Sei eine beliebige Interpretation mit {G, M, R, S, U} D( ), die jede Formel aus erfüllt. 2 Wegen [[U]] = 1 gilt dann (U) = 1. 3 Wegen [[ R]] = 1 gilt ferner (R) = 0. 4 Aus (R) = 0 und [[S$ R]] = 1 folgt weiter (S) = 1. 5 Aus (U) = 1 und (S) = 1 und [[(U ^ S)!M]] = 1 folgt außerdem (M) = 1. 6 Schließlich folgt aus (M) = 1 und [[M!G]] = 1 auch (G) = 1. Insbesondere erfüllt also die Formel = G. FM2 (WS 2014/15, Geck) 37

26 FM2 (WS 2014/15, Geck) 38 Folgerung (3/3) Aufgabe Zeige die Gültigkeit folgender semantischer Implikationen: n o 1 A_B_C, (A^B)! C, (A^C)! B, (B^C)! A = A^( B_ C) _B_C n o 2 A _ B, B! A, A$(C _ D), B! D, (A ^ B)!(C ^ E) = C

27 FM2 (WS 2014/15, Geck) 39 Folgerung, Äquivalenz und Erfüllbarkeit ist nicht dasselbe wie $ und {' 1,...,' n } = ist nicht dasselbe wie (' 1 ^... ^ ' n )!. Dies lässt schon der Typ der Konstrukte erkennen: und = sind Aussagen über Formeln, $ und (' 1 ^ ^ 'n)! sind Formeln. Dennoch besteht ein enger Zusammenhang zwischen semantischer Äquivalenz und syntaktischer Äquivalenz; zwischen semantischer Implikation und syntaktischer Implikation. Satz 2.34 Sei {' 1,...,' n } AL eine Menge von Formeln und, 2 AL Formeln. Es gilt genau dann, wenn $ allgemeingültig ist. Es gilt {' 1,...,' n } = genau dann, wenn (' 1 ^ ^ ' n )! allgemeingültig ist. Lemma 2.35 Eine Formel ' 2 AL ist genau dann allgemeingültig, wenn ' unerfüllbar ist. Folgerung 2.36 Sei {' 1,...,' n } AL und 2 AL. Es gilt {' 1,...,' n } = genau dann, wenn ' 1 ^ ^ ' n ^ unerfüllbar ist.