Diskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen Mathematische Logik

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1 Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen Mathematische Logik

2 Aussagen Begriff Aussage: Ausdruck, welcher entweder wahr oder falsch ist e Die RWTH Aachen hat eine Mensa. Es gibt unendlich viele Primzahlen = 6. Zu jeder reellen Zahl y gibt es eine reelle Zahl x mit y = x 2. Jede gerade Zahl, welche größer als 2 ist, ist eine Summe aus zwei Primzahlen. Gegenbeispiele Es ist kalt. a 2 + b 2 = c 2.

3 Aussagen (Forts.) Wenn es regnet oder schneit, dann ist die Straße nass. ist zusammengesetzt aus Es regnet. Es schneit. Die Straße ist nass. Umformulierung mit besser erkennbarer logischer Struktur: Wenn es regnet oder es schneit, dann die Straße ist nass.

4 Aussagen (Forts.) Wenn du ein Smartphone oder ein Tablet besitzt, so kannst du mobil im Internet surfen. hat dieselbe Formalisierung (A B) C Hypothese Wahrheitswert von zusammengesetzten Aussagen hängt ab von logischer Struktur der zusammengesetzten Aussage Wahrheitswerte der Einzelaussagen nicht von den Einzelaussagen selbst Aussagenlogik

5 Aussagenlogische Formeln Definition Alphabet der Aussagenlogik: A1, A 2, A 3,... 0, 1,,,,, (, ) Sprache der Aussagenlogik: sinnvoll aus dem Alphabet zusammengesetzte Wörter: A 1, A 2, A 3,... sind Wörter 0, 1 sind Wörter und für Wörter F und G haben wir Wörter F F G F G F G F G

6 Aussagenlogische Formeln (Forts.) aussagenlogische Formeln: A 1 B A B 0 1 A (B ( C)) keine aussagenlogische Formeln: D A B C

7 Aussagenlogische Formeln (Forts.) (formalsprachliche) Junktoren entsprechen (ugs.) Konnektoren: entspricht nicht entspricht und entspricht oder entspricht aus... folgt... entspricht wenn..., dann... entspricht nur dann..., wenn... entspricht genau dann..., wenn... entspricht... genau dann, wenn... entspricht... ist äquivalent zu...

8 Aussagenlogische Formeln (Forts.) Anwendungsbeispiel Modellierung: Es regnet. Es schneit. Die Straße ist nass. Es regnet oder es schneit. Die Straße ist trocken. entspreche A entspreche B entspreche C entspreche D entspreche E Es gibt unendlich viele Primzahlen. entspreche F = 6. Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine reelle Zahl y mit x + y = 0. entspreche G entspreche H

9 Aussagenlogische Formeln (Forts.) A B C D C A B E A B C A F

10 Aussagenlogische Formeln (Forts.) Definition n nicht-negative ganze Zahl, F aussagenlogische Formel F ist aussagenlogische Formel in A 1,..., A n : an keiner Stelle von F kommt ein A i für ein i > n vor A B C: A B D: A B C: aussagenlogische Formel in A, B, C aussagenlogische Formel in A, B, C, D aussagenlogische Formel in A, B, C, D A B D: keine aussagenlogische Formel in A, B, C

11 Wahrheitswerte Definition Interpretation der Aussagenvariablen A 1,..., A n : für jedes j mit 1 j n: eindeutige Zuordnung von Wahrheitswert v j zu A j : entweder 0 (falsch) oder 1 (wahr) Notation: v 1... v n Interpretationen der Aussagenvariablen A, B, C:

12 Wahrheitswerte (Forts.) Definition Interpretation sei gegeben Wahrheitswert einer aussagenlogischen Formel rekursiv gemäß folgender Wahrheitstafeln: F F F G F G F G F G F G

13 Wahrheitswerte (Forts.) Wahrheitswert von A B C unter 101: Wahrheitswerte von A B A C: A B C A B A C

14 Tautologien und Kontradiktionen Definition Tautologie: AF, die unter jeder Interpretation den Wahrheitswert 1 hat Kontradiktion: AF, die unter jeder Interpretation den Wahrheitswert 0 hat A A ist Tautologie A A ist Kontradiktion

15 Tautologien und Kontradiktionen (Forts.) Bemerkung F aussagenlogische Formel genau dann ist F Tautologie, wenn F Kontradiktion ist

16 Logische Äquivalenz Definition F, G aussagenlogische Formeln F ist logisch äquivalent zu G, geschrieben F G: unter jeder Interpret. sind die Wahrheitswerte von F und G gleich A B A B

17 Logische Äquivalenz (Forts.) Proposition F, G aussagenlogische Formeln genau dann gilt F G, wenn F G Tautologie ist Bemerkung F aussagenlogische Formel genau dann ist F Tautologie, wenn F 1 ist genau dann ist F Kontradiktion, wenn F 0 ist

18 Logische Äquivalenz A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A 1 A A 0 A A B B A A B B A A A A A A A A A 0 A A 1 A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A (A B) A A (A B) A

19 Logische Äquivalenz (Forts.) ( A) A (De Morgansche Gesetze) (A B) A B (A B) A B

20 Semantische Implikation Definition F, G aussagenlogische Formeln F impliziert G semantisch, geschrieben F = G: für jede Interpret.: wenn F Whw. 1 hat, dann hat G Whw. 1 A B = A C

21 Semantische Implikation (Forts.) Proposition F, G aussagenlogische Formeln genau dann gilt F = G, wenn F G Tautologie ist Proposition F, G aussagenlogische Formeln genau dann gilt F G, wenn F = G und G = F gilt

22 Direkter Beweis Ziel zeige Aussage der Form A B Methode finde und verwende Aussage der Form A 1 A 2 Aussage der Form A 2 A 3. Aussage der Form A n 1 A n für eine natürliche Zahl n mit A = A 1 B = A n

23 Direkter Beweis (Forts.) (A B) (B C) = (A C) (modus ponens) A (A B) = B A B = A A = A B A B A A B

24 Direkter Beweis (Forts.) Anwendungsbeispiel für jede ganze Zahl n: wenn n gerade ist, dann ist auch n 2 gerade

25 Kontraposition A B B A Anwendungsbeispiel für jede ganze Zahl n: wenn n 2 gerade ist, dann ist auch n gerade

26 Indirekter Beweis A B (A B) Anwendungsbeispiel Jede reelle Zahl x mit x 3 + x = 1 ist irrational.

27 Beweis einer Äquivalenz A B (A B) (B A) Anwendungsbeispiel für jede ganze Zahl n: genau dann ist n 2 gerade, wenn n gerade ist

28 Disjunktive und konjunktive Normalform Definition n nicht-negative ganze Zahl potentielle Wahrheitstafel für A 1,..., A n : eindeutige Zuordnung von entweder 0 oder 1 zu jeder Interpretation von A 1,..., A n

29 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) potentielle Wahrheitstafel für A, B, C: A B C

30 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Definition n nicht-negative ganze Zahl, F AF in A 1,..., A n F ist in (kanonischer) disjunktiver Normalform (DNF): es gibt eine nicht-neg. ganze Zahl k und versch. AFen F 1,...,F k : F = F 1... F k für 1 i k: für 1 j n: F i = X i,1... X i,n X i,j = A j oder X i,j = A j A B A B ist in DNF

31 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Definition n nicht-negative ganze Zahl, F AF in A 1,..., A n F ist in (kanonischer) konjunktiver Normalform (KNF): es gibt eine nicht-neg. ganze Zahl k und versch. AFen F 1,...,F k : F = F 1... F k für 1 i k: wobei für 1 j n: F i = X i,1... X i,n X i,j = A j oder X i,j = A j (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) ist in KNF

32 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Ziel potentielle Wahrheitstafel sei gegeben finde aussagenlogische Formel in DNF mit dieser Wahrheitstafel Methode arbeite zeilenweise zu jeder Zeile (d.h. zu jeder Interpretation) gehört ein Disjunkt dieses Disjunkt taucht in der AF entweder auf oder nicht

33 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Definition n nicht-negative ganze Zahl, v 1... v n Interpretation zu v 1... v n gehöriges Disjunkt: wobei für 1 j n: Dis(v 1... v n ) = X 1... X n X j = { A j, falls v j = 1, A j, falls v j = 0 Dis(1011) =

34 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Bemerkung n nicht-negative ganze Zahl, v 1... v n, w 1... w n Interpretationen äquivalent: Dis(w 1... w n ) hat unter v 1... v n den Wahrheitswert 1 w 1... w n = v 1... v n

35 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Proposition n nicht-negative ganze Zahl, potentielle Wahrheitstafel sei gegeben F sei Disjunktion über alle Disjunkte zu Interpretationen, welche in der potentiellen Wahrheitstafel 1 zugewiesen bekommen F ist eindeutige AF in DNF, welche die Wahrheitswerte der gegebenen potentiellen Wahrheitstafel annimmt

36 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) potentielle Wahrheitstafel für A, B, C: A B C

37 Disjunktive und konjunktive Normalform (Forts.) Satz F aussagenlogische Formel F ist zu genau einer AF in DNF logisch äquivalent (bis auf Reihenfolge der Disjunkte) A B A C ist logisch äquivalent zu:

38 Prädikate Begriff Prädikat über Individuenbereich: Eigenschaft oder Beziehung, welche für Individuen entweder gilt oder nicht Prädikat von konkreten Individuen ergibt Aussage Aussage Anne speist mit Christian. entsteht aus:... speist mit... zweistelliges Prädikat Anne und Christian Individuen aus Individuenbereich Freundeskreis

39 Prädikatenlogische Formeln Formalisierung Aussagenlogik: Aussagen Aussagenvariablen Prädikatenlogik: Prädikate Prädikatvariablen Individuen Individuenvariablen... speist mit... entspreche P Anne entspreche x Christian entspreche y Anne speist mit Christian. entspricht dann P(x, y)

40 Prädikatenlogische Formeln (Forts.) Alphabet der Prädikatenlogik P 1, P 2, P 3,... x 1, x 2, x 3,... 0, 1,,,,,, (, ) Notation schreibe x : P(x) statt ( x)(p(x)) schreibe x : P(x) statt ( x)(p(x))

41 Prädikatenlogische Formeln (Forts.) x : y : P(x, y) x : y : P(x, y) x : y : P(x, y) x : y : P(x, y)

42 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln Interpretation: Festlegung eines Individuenbereichs für jede Prädikatvariable: Zuordnung eines Prädikats für jede Individuenvariable: Zuordnung eines Individuums Wahrheitswert einer prädikatenlogischen Formel: rekursiv als Wahrheitswert der erhaltenen Aussage

43 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.) prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0) Individuenbereich: natürliche Zahlen P und > 0 werde wie üblich interpretiert x werde beliebige natürliche Zahl zugeordnet Wahrheitswert:

44 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.) prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0) Individuenbereich: reelle Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Fall: x werde 1 2 zugeordnet Wahrheitswert: prädikatenlogische Formel: F (x) = P(x) = (x > 0) Individuenbereich: reelle Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Fall: x werde 2 zugeordnet Wahrheitswert:

45 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.) prädikatenlogische Formel: G = ( x : x > 0) Individuenbereich: natürliche Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Wahrheitswert: prädikatenlogische Formel: H = ( x : x > 0) Individuenbereich: natürliche Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Wahrheitswert:

46 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.) prädikatenlogische Formel: G = ( x : x > 0) Individuenbereich: reelle Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Wahrheitswert: prädikatenlogische Formel: H = ( x : x > 0) Individuenbereich: reelle Zahlen P bzw. > 0 werde wie üblich interpretiert Wahrheitswert:

47 Wahrheitswerte prädikatenlogischer Formeln (Forts.) e prädikatenlogische Formeln: G = ( y : x : y = x 2 ) H = ( x : y : y = x 2 ) K = ( x : y : y = x 2 ) L = ( y : x : y = x 2 ) Individuenbereich: reelle Zahlen 2 werde wie üblich interpretiert Wahrheitswerte:

48 Logische Äquivalenz prädikatenlogischer Formeln definieren Begriff der logischen Äquivalenz für präd.log. Formeln e ( x : P(x)) x : P(x) ( x : P(x)) x : P(x)

49 Verwendung von logischen Symbolen in mathematischen Texten: keine logische Symbole, ausschließlich Umgangssprache Ausnahme: zur Präzisierung komplexer logischer Situationen in Vorträgen: Symbole zur Abkürzung

50 Sprachliche Konventionen erste Aussage oder zweite Aussage gilt : beide Aussagen können gelten Existenz eines Objekts : Existenz mindestens eines Objekts Eigenschaft gilt für gewisse Objekte : Eigenschaft gilt für alle diese Objekte Eigenschaft gilt für eines der Objekte : es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft Objekt sei gegeben : das danach Dargestellte gilt für jedes solche Objekt Objekt sei gewählt : ein solches Objekt existiert