Übung 15. Zeige, dass man jede Formel äquivalent in eine neue Formel umwandeln kann, die nur die Operatoren und! verwendet.

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1 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Übung 5 Zeige, dass man jede Formel äquivalent in eine neue Formel umwandeln kann, die nur die Operatoren und! verwendet. Zum Beweis muss man nur prüfen, dass F _ G äquivalent ist zu F! G, sowie,dassf ^ G äquivalent ist zu (F! G). Bitte nachprüfen!! Zeige, dass das nicht geht, wenn man nur die Operatoren ^, _ und! zulässt. Zum Beweis prüft man folgendes: Wenn A eine Belegung ist, die alle atomaren Formeln aus ihrem Definitionsbereich mit dem Wert belegt, dann haben auch alle nur aus ^, _ und! gebildeten Formeln den Wert. Die Formel A kann dann offenbar nicht gebildet werden! Einheit 4 Folie

2 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Übung 6: Übungen 6 und 7 Verallgemeinern Sie die demorgan Regeln und die Distributivgesetze auf W und V anstelle von _ und ^. Zu zeigen ist also u.a. (F ^ nw i= G i ) n W i= (F ^ G i ) Bitte selbst durchführen. Übung 7: Zeigen Sie ((A _ (B ^ A)) ^ (C _ (D _ C))) (C _ D) sowohl mit Wahrheitstafeln als auch mit Äquivalenz-Umformungen! Im zweiten Teil kann man leicht mit Kommutativität, Assoziativität und Idempotenz aus (C _ (D _ C)) die Teilformel (C _ D) machen. Im ersten Teil kann man mit demorgan, Kommutativität und Assoziativität die Teilformel ((A _ A)_ B) erhalten. Da aber (A _ A) eine Tautologie bildet, ist nach der Tautologie-Regel auch ((A _ A)_ B) eine. Nun folgt wieder mit der Tautologie-Regel die Behauptung. Alternativer Beweis mit Wahrheitstafeln als Übungsaufgabe... Einheit 4 Folie

3 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Übung 8 Man soll die beiden folgenden Sätze formalisieren und ihre Äquivalenz zeigen: Wenn das Kind fiebrig ist oder stark hustet und wir erreichen den Arzt, so rufen wir ihn an. Wenn das Kind fiebrig ist, so rufen wir den Arzt, falls wir ihn erreichen, und, wenn wir den Arzt erreichen, so werden wir ihn, wenn das Kind stark hustet, rufen. Wir beginnen mit der Formalisierung: ((F _ H) ^ E)! R (F! (E! R)) ^ (E! (H! R)) Nun kann man die bekannten Methoden anwenden, um die Äquivalenz nachzuweisen. Wir bemerken, dass für A(R) =beideseitendenwertannehmen.damitgenügt eine Wahrheitstafel mit 8 Zeilen. Die sollte jetzt jeder selbst erstellen können. Einheit 4 Folie

4 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Normalformen Wir wollen die disjunktive und die konjunktive Normalform einführen. Hierzu benötigen wir den Begriff des Literals: Ein positives Literal ist eine atomare Formel. Ein negatives Literal ist die Negation einer atomaren Formel. Def.: Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist. Die Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist. Wir betrachten die Formel F =(A ^ B) _ C. IstF eine DNF, KNF oder beides? Dasselbe für die Formel G = A ^ B ^ C. IstF eine DNF, KNF oder beides? Einheit 4 Folie

5 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Satz (DNF und KNF) Satz: Zu jeder Formel F existieren äquivalente Formeln in DNF und in KNF. Den Beweis führen wir durch Induktion über den Aufbau von F. Induktionsanfang: Wenn F eine atomare Formel ist, dann ist F automatisch bereits sowohl eine DNF als auch eine KNF. Für den Induktionsschritt unterscheiden wir drei Fälle, je nachdem, wie F aus einfacheren Formeln G und ggfs. H gebildet worden ist: F = G, F = G ^ H oder F = G _ H. Einheit 4 Folie

6 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) DNF/KNF: Beweis des Satzes Sei also F von der Form F = G. G hat eine DNF, die wir G nennen wollen, und eine KNF G. G ist eine DNF, also von der Form Disjunktion von Konjunktionen: G W = n Vn i G L ij i= j= Damit ist F = G äquivalent zu G, d.h. W F n Vn i V L ij n i= j= Wn i L ij i= j= Falls L ij ein negatives Literal ist, nutzen wir die Regel der Doppelnegation, um aus L ij wieder ein Literal zu machen. Wir haben also eine KNF für F erhalten. Für die DNF starten wir mit G und verfahren analog. Einheit 4 Folie

7 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) DNF/KNF Beweis des Satzes (Forts.) Jetzt sei F von der Form F =(G ^ H). G habe DNF G und KNF G, H habe DNF H und KNF H. Eine KNF für F erhält man ganz leicht aus G und H. Wir zeigen, wie man aus G und H eine DNF für F erhält: Sei G = WV L ij und H = WV R µ. (Grenzen der W -und V -Operatoren sind zugunsten der Übersichtlichkeit unterdrückt.) Damit F ( WV L ij ) ^ ( WV R µ ) W WV L ij ^ ( V R µ ) W V (L ij ^ R µ ) Erweitertes Distributivgesetz Assoziativität und Distribut. Die letzte Formel ist eine DNF für F. Wenn F von der Form (G _ H) ist, verfährt man analog. Einheit 4 Folie

8 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) KNF-Algorithmus Man kann eine KNF wie folgt direkt erzeugen:. Schritt: Negationen nach innen schieben (demorgan) und dabei Doppelnegationen eliminieren. 2. Schritt: Zweites Distributivgesetz nutzen, um _-Operationen an ^-Operatoren vorbei nach innen zu schieben. (Voraussetzung: Die Ausgangsformel ist nur mit Operatoren, _ und ^ gebildet.) Beispiel: ( (A ^ (C _ B)) _ ( D _ (B ^ A))) ( (A ^ ( C ^ B)) _ (D ^ (B ^ A))) (( A _ (C _ B)) _ (D ^ ( B _ A))) ( A _ C _ B _ D) ^ ( A _ C _ B _ B _ A) Diese letzte Formel ist in KNF! Einheit 4 Folie

9 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) KNF aus der Wahrheitstafel Man kann eine KNF auch direkt aus der Wahrheitstafel generieren: A B C F Um eine KNF für die Formel F zu erhalten, schließen wir mit einer Konjunktion alle Fälle aus, in denen F den Wert annimmt. Zu vermeiden sind also die erste, die vierte und die letzte Zeile! Um z.b. die erste Zeile zu vermeiden, muss eine der atomaren Formeln den Wert annehmen. Also erhalten wir die Disjunktion (A _ B _ C), aus der 4. Zeile entsprechend (A _ B _ C), und aus der letzten Zeile ( A _ B _ C). Damit lautet die gesuchte KNF wie folgt: F F =(A _ B _ C) ^ (A _ B _ C) ^ ( A _ B _ C) Einheit 4 Folie

10 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Analog ist auch eine DNF direkt aus der Wahrheitstafel generierbar: A B C F DNF aus der Wahrheitstafel Für die DNF müssen wir umgekehrt die positiven Fälle aussuchen und mit ODER verknüpfen: Die 2. Zeile liefert ( A ^ B ^ C) Die 3. Zeile liefert ( A ^ B ^ C) Die 5. Zeile liefert (A ^ B ^ C) Die 6. Zeile liefert (A ^ B ^ C) Die 7. Zeile liefert (A ^ B ^ C) Damit erhalten wir die folgende DNF: F F =( A ^ B ^ C) _ ( A ^ B ^ C)_ (A ^ B ^ C) _ (A ^ B ^ C) _ (A ^ B ^ C) Einheit 4 Folie

11 Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Bilde DNF und KNF für folgende Formel: F =(( A! B) ^ ((A ^ C) $ B)) A B C F Übung 9 Die nebenstehende Wahrheitstafel liefert eine recht kurze DNF, nämlich: (A ^ B ^ C) _ (A ^ B ^ C) Die KNF ist länger - sie hat 6 Disjunktionen. Wie kann man eine kurze KNF finden? Einheit 4 Folie