Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen
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1 Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Dennis Nolte, Harsh Beohar Barbara König Logik 1
2 Mengen, Relationen und Funktionen Menge: Menge X von Elementen, wird beschrieben als Aufzählung X = {A 1, A 2, A 3, A 7 } oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft X = {A i i N, 1 i 3 oder i = 7}. Barbara König Logik 35
3 Mengen, Relationen und Funktionen Bemerkungen: Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihre Ordnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1} Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten. Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 4} Barbara König Logik 36
4 Mengen, Relationen und Funktionen Element einer Menge: Wir schreiben x X, falls ein Element x in der Menge X enthalten ist. Teilmengenbeziehung: Für zwei Mengen X, Y schreiben wir X Y, falls jedes Element von X auch in Y enthalten ist. Die Relation heißt auch Inklusion. Leere Menge: Mit oder {} bezeichnet man die leere Menge. Sie enthält keine Elemente und ist Teilmenge jeder anderen Menge. Barbara König Logik 37
5 Mengen, Relationen und Funktionen Kreuzprodukt (kartesisches Produkt) Seien X, Y zwei Mengen. Die Menge X Y ist die Menge aller Paare (x, y), wobei die erste Komponente des Paars aus X, die zweite aus Y kommt. X Y = {(x, y) x X, y Y } Beispiel: {1, 2} {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} Barbara König Logik 38
6 Mengen, Relationen und Funktionen Relation zwischen der Menge X und der Menge Y Eine Teilmenge R X Y des Kreuzprodukts von X und Y heißt Relation zwischen X und Y. Beispiel: X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d} R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, d)} X Y Barbara König Logik 39
7 Mengen, Relationen und Funktionen Funktion von der Menge X in die Menge Y Eine Relation f X Y heißt Funktion, wenn folgendes gilt: für jedes Element x X gibt es genau ein Element y Y mit (x, y) f. Anschaulich: jedem Element der Menge X wird genau ein Element der Menge Y zugeordnet. Barbara König Logik 40
8 Mengen, Relationen und Funktionen Notation von Funktionen f : X Y x f (x) Die Funktion f bildet ein Element x X auf ein Element f (x) Y ab. Dabei ist X der Definitionsbereich und Y der Wertebereich von f. Beispiel: f : {A 1, A 2, A 3, A 7 } {0, 1} A 1 0, A 2 1, A 3 0, A 7 1 alternativ: f (A 1 ) = 0, f (A 2 ) = 1, f (A 3 ) = 0, f (A 7 ) = 1 Barbara König Logik 41
9 Syntax der Aussagenlogik Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel) Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert: 1 Alle atomaren Formeln sind Formeln 2 Für alle Formeln F und G sind (F G) und (F G) Formeln. 3 Für jede Formel F ist F eine Formel. Sprechweise: (F G): F und G, Konjunktion von F und G (F G): F oder G, Disjunktion von F und G F : nicht F, Negation von F Barbara König Logik 42
10 Formel als Syntaxbaum Jede Formel kann auch durch einen Syntaxbaum dargestellt werden. Beispiel: F = (( A 4 A 1 ) A 3 ) A 3 A 1 A 4 Barbara König Logik 43
11 Teilformel Die Teilformeln einer Formel F entsprechen den Teilbäumen. A3 A3 A3 A 4 A1 A 1 A1 A 3 A1 A4 A4 A4 A 4 A3 A1 ( A 4 A 1 ) A1 A3 A4 A4 (( A 4 A 1 ) A 3 ) A3 A1 (( A 4 A 1 ) A 3 ) A1 A3 A4 A4 Barbara König Logik 44
12 Semantik der Aussagenlogik (I) Die Elemente der Menge {0, 1} heißen Wahrheitswerte. Eine Belegung ist eine Funktion A: D {0, 1}, wobei D eine Teilmenge der atomaren Formeln ist. Wir erweitern A zu einer Funktion Â: E {0, 1}, wobei E D die Menge aller Formeln ist, die nur aus den atomaren Formeln in D aufgebaut sind. Barbara König Logik 45
13 Semantik der Aussagenlogik (II) Â(A) = A(A) falls A D eine atomare Formel ist { 1 falls Â(F ) = 1 und Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 1 oder Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 0 Â(( F )) = 0 sonst Wir schreiben A statt Â. Barbara König Logik 46
14 Verknüpfungstafeln (I) Berechnung von  mit Hilfe von Verknüpfungstafeln, auch Wahrheitstafeln genannt. Beobachtung: Der Wert Â(F ) hängt nur davon ab, wie A auf den den in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist. Tafeln für die Operatoren,, : A B A B A B A B A A Barbara König Logik 47
15 Abkürzungen A, B, C oder P, Q, R oder... statt A 1, A 2, A 3... (F 1 F 2 ) statt ( F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) statt ((F 1 F 2 ) ( F 1 F 2 )) n ( F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) ( i=1 n F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) i=1 Barbara König Logik 48
16 Verknüpfungstafeln (II) Tafeln für die Operatoren, : A B A B Name: Implikation, Folgerung A B A B Name: Äquivalenz, Biimplikation Interpretation: Wenn A gilt, dann muss auch B gelten. Interpretation: A gilt genau dann, wenn B gilt. Barbara König Logik 49
17 Präzedenzen Präzedenz der Operatoren: Die Formel wird also wie folgt gelesen: bindet am schwächsten bindet am stärksten A B C D E (A ((B C) (D E))) Dennoch: Zusätzliche Klammern schaden im allgemeinen nicht Barbara König Logik 50
18 Formalisierung natürlicher Sprache (I) Ein Gerät besteht aus einem Bauteil A, einem Bauteil B und einem roten Licht. Folgendes ist bekannt: Bauteil A oder Bauteil B (oder beide) sind kaputt. Wenn Bauteil A kaputt ist, dann ist auch Bauteil B kaputt. Wenn Bauteil B kaputt ist und das rote Licht leuchtet, dann ist Bauteil A nicht kaputt. Das rote Licht leuchtet. Formalisieren Sie diese Situation als aussagenlogische Formel und stellen Sie die Wahrheitstafel zu dieser Formel auf. Verwenden Sie dazu folgende atomare Formeln: RL (rotes Licht leuchtet), AK (Bauteil A kaputt), BK (Bauteil B kaputt) Barbara König Logik 51
19 Formalisierung natürlicher Sprache (II) Gesamte Wahrheitstafel: (((AK BK) (AK BK)) RL AK BK ((BK RL) AK)) RL Barbara König Logik 52
20 Modelle Sei F eine Formel und A eine Belegung. Falls A für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt A zu F passend. Sei A passend zu F : Falls A(F ) = 1 so schreiben wir A = F und sagen F gilt unter A oder A ist ein Modell für F Falls A(F ) = 0 so schreiben wir A = F und sagen F gilt nicht unter A oder A ist kein Modell für F Barbara König Logik 53
21 Gültigkeit und Erfüllbarkeit Definition (Erfüllbarkeit) Eine Formel F heißt erfüllbar, falls F mindestens ein Modell besitzt, andernfalls heißt F unerfüllbar. Eine (endliche oder unendliche!) Menge von Formeln M heißt erfüllbar, falls es eine Belegung gibt, die für jede Formel in M ein Modell ist. (In diesem Fall sagt man auch, die Belegung ist ein Modell für die Menge M.) Definition (Gültigkeit) Eine Formel F heißt gültig (oder allgemeingültig oder Tautologie) falls jede zu F passende Belegung ein Modell für F ist. Wir schreiben = F, falls F gültig ist, und = F sonst. Barbara König Logik 54
22 Aufgabe A A B A A A A A A A B A (B A) A (A B) A A Gültig Erfüllbar Unerfüllbar Barbara König Logik 55
23 Aufgabe Gelten die folgenden Aussagen? Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann F unerfüllbar Wenn F gültig, dann F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann F gültig J/N Gegenb. Barbara König Logik 56
24 Spiegelungsprinzip gültige Formeln erfüllbare, aber nicht gültige Formeln unerfüllbare Formeln G F F G Barbara König Logik 57
25 Ein Gültigkeitstest Wie kann man überprüfen, ob eine Formel F gültig (erfüllbar, unerfüllbar) ist? Eine Möglichkeit: Wahrheitstafel aufstellen Angenommen, die Formel F enthält n verschiedene atomare Formeln. Wie groß ist die Wahrheitstafel? Anzahl Zeilen in der Wahrheitstafel: 2 n Geht es auch effizienter? Diese Frage wird im Laufe der Vorlesung beantwortet. Barbara König Logik 58
26 Folgerung Definition (Folgerung) Eine Formel G heißt eine Folgerung der Formeln F 1,..., F k falls für jede Belegung A, die sowohl zu F 1,..., F k als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell von {F 1,..., F k } ist, dann ist A auch Modell von G. Wir schreiben F 1,..., F k = G, falls G eine Folgerung von F 1,..., F k ist. Barbara König Logik 59
27 Folgerung: Beispiel (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK Wenn Bauteil A oder Bauteil B kaputt ist und daraus, dass Bauteil A kaputt ist, immer folgt, dass Bauteil B kaputt ist und dann kann man die Folgerung ziehen: das rote Licht leuchtet, Bauteil A ist nicht kaputt und Bauteil B ist kaputt. Barbara König Logik 60
28 Aufgabe M F Gilt M = F? A (A B) A (A B) A, B (A B) A, B (A B) (A B) A (A B) A A, (A B) B Barbara König Logik 61
29 Folgerung, Gültigkeit und Unerfüllbarkeit Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: 1 F 1,..., F k = G, d.h., G ist eine Folgerung von F 1,..., F k. 2 (( k i=1 F i) G) ist gültig. 3 (( k i=1 F i) G) ist unerfüllbar. Barbara König Logik 62
30 Äquivalenz (Semantische) Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, A(F ) = A(G) gilt. Hierfür schreiben wir F G. Barbara König Logik 63
31 Aufgabe Gelten die folgenden Äquivalenzen? (A (A B)) A (A B) ( A B) (A (B C)) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) (A C)) Barbara König Logik 64
32 Die Hauptprobleme Modellprüfung Sei F eine Formel und sei A eine passende Belegung. Gilt A(F ) = 1? Erfüllbarkeit Sei F eine Formel. Ist F erfüllbar? Gültigkeit Sei F eine Formel. Ist F gültig? Folgerung Seien F und G Formeln. Gilt F = G? Äquivalenz Seien F und G Formeln. Gilt F G? Barbara König Logik 65
33 Reduktion von Problemen (I) Welche Probleme lassen sich auf welche reduzieren? Gültigkeit (Nicht)Erfüllbarkeit: F gültig gdw. F nicht erfüllbar F erfüllbar gdw. F nicht gültig Gültigkeit = Folgerung: F gültig gdw. T = F (T ist beliebige gültige Formel) Folgerung = Gültigkeit: F = G gdw. F G gültig Barbara König Logik 66
34 Reduktion von Problemen (II) Unerfüllbarkeit = Folgerung: F unerfüllbar gdw. F = U (U ist beliebige unerfüllbare Formel) Folgerung = Unerfüllbarkeit: F = G gdw. F G unerfüllbar Barbara König Logik 67
35 Reduktion von Problemen (III) Gültigkeit = Äquivalenz: F gültig gdw. F T (T ist beliebige gültige Formel) Äquivalenz = Gültigkeit: F G gdw. F G gültig Bemerkung: Eine gültige Formel bezeichnet man manchmal auch mit 1, eine unerfüllbare Formel mit 0. Barbara König Logik 68
36 Eigenschaften der Äquivalenz Wir betrachten nun wieder die Äquivalenz auf Formeln. Sie hat folgende Eigenschaften: reflexiv: Es gilt F F für jede Formel F (jede Formel ist zu sich selbst äquivalent) symmetrisch: Falls F G gilt, so gilt auch G F transitiv: Falls F G und G H gilt, so gilt auch F H abgeschlossen unter Operatoren: Falls F 1 F 2 und G 1 G 2 gilt, so gilt auch (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ), (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ) und F 1 F 2. Reflexive, symmetrische, transitive Relation Äquivalenzrelation Äquivalenzrelation + Abgeschlossenheit unter Operatoren Kongruenzrelation Barbara König Logik 69
37 Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit unter Operatoren lässt sich auch folgendermaßen formulieren: Satz (Ersetzbarkeitstheorem) Seien F und G äquivalente Formeln (F G). Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H (d.h. H H ), wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend)ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Barbara König Logik 70
38 Äquivalenzen (I) Satz Es gelten die folgenden Äquivalenzen: (F F ) F (F F ) F (Idempotenz) (F G) (G F ) (F G) (G F ) (Kommutativität) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) Barbara König Logik 71
39 Äquivalenzen (II) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) F F (Doppelnegation) (F G) ( F G) (de Morgansche (F G) ( F G) Regeln) (F G) F, falls F gültig (Tautologie- (F G) G, falls F gültig regeln) (F G) G, falls F unerfüllbar (Unerfüllbarkeits- (F G) F, falls F unerfüllbar regeln) Barbara König Logik 72
40 Äquivalenzen Die Tautologie- und Unerfüllbarkeitsregeln können auch folgendermaßen geschrieben werden: (1 G) 1 (1 G) G (Tautologieregeln) (0 G) G (0 G) 0 (Unerfüllbarkeitsregeln) Daraus folgt unter anderem, dass 1 (= gültige Formel) das neutrale Element der Konjunktion und 0 (= unerfüllbare Formel) das neutrale Element der Disjunktion ist. Barbara König Logik 73
41 Normalformen (I) Definition (Normalformen) Ein Literal ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel. (Im ersten Fall sprechen wir von einem positiven, im zweiten Fall von einem negativen Literal). Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist: F = ( n ( m i i=1 j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } { A 1, A 2, } Eine Disjunktion von Literalen nennt man auch Klausel. Eine Formel in KNF besteht also aus einer Konjunktion von Klauseln. Barbara König Logik 74
42 Normalformen (II) Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist: F = ( n ( m i i=1 j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } { A 1, A 2, } Barbara König Logik 75
43 Umformungsmethode (in KNF) Gegeben: eine Formel F, die in eine äquivalente Formel in KNF umgeformt wird. 1 Ersetze in F jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart G durch G (G H) durch ( G H) (G H) durch ( G H) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. 2 Ersetze jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart (F (G H)) durch ((F G) (F H)) ((F G) H) durch ((F H) (G H)) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. Barbara König Logik 76
44 Umformungsmethode (in KNF) Aufwand der Umformungsmethode Bei der Umwandlung einer Formel in KNF kann die Formel exponentiell größer werden. Beispiel: F = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A n B n ) (bestehend aus n Konjunktionen). Bei Umwandlung in KNF ergeben sich durch das Distributivgesetz 2 n Disjunktionen, da jede Kombination von Literalen (eines aus jeder Konjunktion) eine neue Disjunktion ergibt. F (A 1 A 2 A n ) (B 1 A 2 A n ) (A 1 B 2 A n )... Barbara König Logik 77
45 Mengendarstellung in KNF Klausel: Menge von Literalen (Disjunktion). {A, B} stellt (A B) dar. Formel in KNF: Menge von Klauseln (Konjunktion). {{A, B}, { A, B}} stellt ((A B) ( A B)) dar. Die leere Klausel ist äquivalent zu einer unerfüllbaren Formel (0). Die leere Formel ist äquivalent zu einer gültigen Formel (1). Barbara König Logik 78
46 Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafel A B C F DNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 1 wird eine Konjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A ( A B C) (A B C) (A B C) KNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 0 wird eine Disjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) Barbara König Logik 79
47 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Für Formeln in DNF gibt es einen einfachen Erfüllbarkeitstest. Erfüllbarkeitstest für Formeln in DNF Eine Formel in disjunktiver Normalform ist erfüllbar, genau dann wenn sie eine Konjunktion (L 1 L n ) enthält, in der jedes Literal entweder nur positiv oder nur negativ vorkommt. Das heißt, es gibt keine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A in dieser Konjunktion vorkommt. Beispiele: (A B C) ( A B) (B B) ist erfüllbar, beispielsweise mit der Belegung A(A) = 1, A(B) = 1, A(C) = 0. (A B A) ( A B A B C) (B B) ist nicht erfüllbar (= unerfüllbar). Barbara König Logik 80
48 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Für Formeln in KNF gibt es einen einfachen Gültigkeitstest. Gültigkeitstest für Formeln in KNF Eine Formel in konjunktiver Normalform ist gültig, genau dann wenn es in jeder vorkommenden Disjunktion (L 1 L n ) ein Literal gibt, das sowohl positiv als auch negativ vorkommt. Das heißt, es gibt in jeder Disjunktion eine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A vorkommt. Beispiele: (A B C) ( A B) (B B) ist nicht gültig, beispielsweise erhält man 0 bei Auswertung unter der Belegung A(A) = 0, A(B) = 0, A(C) = 1. (A B A) ( A B A B C) (B B) ist gültig. Barbara König Logik 81
49 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Aufwand der Tests: Diese einfachen Erfüllbarkeits- bzw. Gültigkeitstests können durchgeführt werden, indem man einmal die Formel durchläuft. Das heißt, man benötigt nur lineare Zeit. Trotzdem erhält man dadurch keinen einfachen Erfüllbarkeitstest für Formeln in KNF und keinen einfachen Gültigkeitstest für Formeln in DNF. Dazu müsste man eine Formel in KNF erst in DNF umwandeln (oder umgekehrt), was exponentielle Zeit in Anspruch nehmen kann. Barbara König Logik 82
50 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Das Problem, die Erfüllbarkeit einer beliebigen Formel (oder einer Formel in KNF) zu bestimmen ist auch als SAT-Problem (Satisfiability-Problem) bekannt. SAT ist NP-vollständig ( Berechenbarkeit und Komplexität ), was bedeutet, dass es (zur Zeit) keinen bekannten Polynomzeit-Algorithmus für dieses Problem gibt. Ob ein solcher Polynomzeit-Algorithmus existiert, ist ein offenes Problem. Es gibt jedoch einige Verfahren, die zumindest in vielen Fällen sehr effizient sind (z.b. limboole und das im folgenden besprochene sverfahren). Barbara König Logik 83
51 Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole limboole fmv.jku.at/limboole/ limboole ist ein Tool, mit dem Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests für aussagenlogische Formeln durchgeführt werden können. Dieses Tool basiert auf einer Kombination des Davis-Putnam-Verfahrens zusammen mit Boolean Constraint Propagation. (Genau dieses Verfahren wird in der Vorlesung nicht vorgestellt, jedoch andere mögliche Verfahren.) Es gibt noch zahlreiche andere Tools dieser Art, die normalerweise als SAT-Solver bezeichnet werden. Anders als andere Werkzeuge konvertiert limboole selbst die Eingabe in (konjunktive) Normalform. Barbara König Logik 84
52 Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole Eingabeformat für limboole Aussagenlogik limboole <-> -> &! limboole kann für eine Formel F sowohl überprüfen, ob sie gültig (valid) oder nicht gültig (invalid) ist als auch ob sie erfüllbar (satisfiable) oder unerfüllbar (unsatisfiable) ist. Bei einer nicht-gültigen Formel F wird eine Belegung A mit A(F ) = 0 ausgegeben, bei einer erfüllbaren Formel eine Belegung A mit A(F ) = 1. Barbara König Logik 85
53 Anwendung: Diagnose Um zu zeigen, dass F {}}{ (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK }{{} G gilt, überprüfen wir, ob F G gültig ist. Diese Formel sieht in limboole-syntax folgendermaßen aus: ((AK BK) & (AK -> BK) & ((BK & RL) ->!AK) & RL) -> (!AK & BK & RL) Barbara König Logik 86
54 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Aufgabe: Gegeben sind zwei Schaltkreise. Überprüfen Sie, ob diese Schaltkreise äquivalent sind, in dem Sinne, dass sie bei gleicher Eingabe die gleichen Ausgaben liefern. Diese Überprüfung soll mit Hilfe von limboole durchgeführt werden und nutzt die Tatsache, dass F G gdw. F G gültig ist. Barbara König Logik 87
55 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Schaltkreis 1: X 1 Y 1 X 2 Nor Y 2 Nor Barbara König Logik 88
56 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Schaltkreis 2: X 1 Y 1 X 2 Y 2 Barbara König Logik 89
57 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Formel S 1 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) (((X1 & Y1)!(X1 Y1)) & ((X2 & Y2)!(X2 Y2)) Formel S 2 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) (X1 & Y2 & X2 & Y1) (X2 & Y2 &!X1 &!Y1) (X1 & Y1 &!X2 & Y2) (!X2 &!X1 &!Y1 & Y2) Barbara König Logik 90
58 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Mit Hilfe von limboole lässt sich feststellen, dass die Formel S 1 S 2 nicht gültig ist, das heißt die Schaltkreise sind nicht äquivalent. Zusatzaufgabe: wie kann man mit Hilfe von limboole überprüfen, auf welchen Eingaben sich die beiden Schaltkreise unterscheiden? Barbara König Logik 91
59 Vollständigkeit von Operatormengen Definition (Boolesche Funktionen) Eine Funktion der Form b : {0, 1} n {0, 1} heißt (n-stellige) Boolesche Funktion. Eine Formel F mit atomaren Formeln aus der Menge {A 1,..., A n } beschreibt eine n-stellige Boolesche Funktion b F wie folgt: b F (x 1,..., x n ) = A x1,...,x n (F ), wobei A x1,...,x n die Belegung ist, die A i mit x i {0, 1} belegt. Die n-stelligen Booleschen Funktionen entsprechen genau den Wahrheitstafeln mit n Spalten für atomare Formeln und einer Ergebnisspalte. Barbara König Logik 92
60 Vollständigkeit von Operatormengen Daher gibt es genau 2 2n n-stellige Boolesche Funktionen bzw. Wahrheitstafeln mit n atomaren Formeln. Aufgabe: Stellen Sie alle 16 Wahrheitstafeln mit zwei atomaren Formeln auf, d.h., bestimmen Sie alle zweistelligen Booleschen Funktionen. Versuchen Sie, jeder Wahrheitstafel den Operator oder die Formel zuzuordnen, die sie beschreibt. Barbara König Logik 93
61 Vollständigkeit von Operatormengen Definition (Vollständigkeit) Eine Menge von Operatoren heißt vollständig, wenn man damit für jede Boolesche Funktion eine entsprechende Formel erstellen kann, die diese Funktion beschreibt. Die Operatormenge {,, } ist vollständig. Begründung: wie vorher beschrieben kann jede beliebige Wahrheitstafel in KNF bzw. DNF umgewandelt werden. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B ( A B). Die Operatormenge {, } ist vollständig. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B A B. Barbara König Logik 94
62 Vollständigkeit von Operatormengen Die Operatormenge {Nand} ist vollständig, wobei der Operator Nand wie folgt definiert ist: A Nand B = (A B). Begründung: A Nand A = (A A) A und (A Nand B) Nand (A Nand B) A B. Die Operatormenge {Nor} ist vollständig, wobei der Operator Nor wie folgt definiert ist: A Nor B = (A B). Barbara König Logik 95
63 Vollständigkeit von Operatormengen Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig. Begründung: Hausaufgabe Die Operatormenge { } ist nicht vollständig. Begründung: Die Formel A kann nicht dargestellt werden. Falls eine Formel nur aus Operatoren der Form besteht und der Wahrheitswert 1 eingesetzt wird, so erhält man wieder 1. Das ist aber bei A nicht der Fall. Man erhält jedoch Vollständigkeit, wenn man auch die Konstante 0 ( falsch ) zulässt. Dann gilt A 0 A und kann wie oben beschrieben mit Hilfe von und dargestellt werden. Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig (ohne Begründung). Barbara König Logik 96
64 Endlichkeitssatz Definition (Erfüllbarkeit einer Menge) Wiederholung Eine (möglicherweise unendliche) Menge M von aussagenlogischen Formeln heißt erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung A gibt, die für alle Formeln in M passend ist und für die gilt A(F ) = 1 für alle F M. Endlichkeitssatz (compactness theorem) Eine Menge M von Formeln ist erfüllbar genau dann, wenn jede der endlichen Teilmengen von M erfüllbar ist. Barbara König Logik 97
65 Endlichkeitssatz Beweis (Skizze): 1. Schritt: Zerlegung von M in Mengen M 1, M 2, M 3,..., wobei M i genau die Formeln von M enthält, die aus den atomaren Formeln A 1,..., A i bestehen. Es gilt: M 1 M 2 M 3... M = i=1 M i Problem: Jede Menge M i kann unendlich viele Formeln enthalten. (Beispielsweise könnte M 1 die Formeln A 1, A 1, A 1, A 1,... enthalten.) Da es jedoch höchstens 2 2i verschiedene i-stellige Boolesche Funktionen geben kann, kann man diese in endlich viele Äquivalenzklassen zusammenfassen. Barbara König Logik 98
66 Endlichkeitssatz 2. Schritt: Wir zeigen nun, dass M erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge von M (insbesondere jede Menge M i ) erfüllbar ist. Sei A i ein Modell für M i. Wir konstruieren ein Modell A von M wie folgt: 1 Setze I := {1, 2, 3,... } 2 Stufe n > 0 (Wahrheitswert für A n wird festgelegt) Falls es unendlich viele Indizes i I gibt mit A i (A n ) = 1, dann setze A(A n ) = 1 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 0 gilt. Sonst: setze A(A n ) = 0 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 1 gilt. 3. Schritt: Zeige, dass A tatsächlich ein Modell für M ist. Barbara König Logik 99
67 Endlichkeitssatz Bemerkungen zum Endlichkeitssatz: Der Beweis ist nicht-konstruktiv, er zeigt nur, dass es ein Modell A gibt, nicht wie man es erhält. Aussagen der Form es gibt unendlich viele i I mit... können nicht in eine (mechanische) Konstruktion umgewandelt werden. Korollar: Wenn M eine unerfüllbare Menge ist, dann ist bereits eine endliche Teilmenge von M unerfüllbar. Die Bedeutung des Endlichkeitssatzes liegt vor allem in seinen Anwendungsmöglichkeiten im Bereich der (siehe 2. Kapitel der Vorlesung). Barbara König Logik 100
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