Vorlesung Logik Wintersemester 2018/19 Universität Duisburg-Essen. Wer sind wir? Wer sind wir? Das heutige Programm:

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1 Vorlesung Logik Wintersemester 2018/19 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Dennis Nolte, Richard Eggert Das heutige Programm: Organisatorisches Vorstellung Ablauf der Vorlesung und der Übungen Prüfung & Klausur Literatur & Folien Einführung und Motivation: Logik in der Informatik Inhalt der Vorlesung Grundbegriffe der Wer sind wir? Barbara König Logik 1 Wer sind wir? Barbara König Logik 2 Dozentin: Prof. Barbara König Raum LF barbara koenig@uni-due.de Sprechstunde: nach Vereinbarung Web-Seite: logik.php Übungsleitung: Dennis Nolte Raum LF dennis.nolte@uni-due.de Übungsleitung: Richard Eggert Raum LF richard.eggert@uni-due.de Barbara König Logik 3 Barbara König Logik 4

2 Vorlesungstermine Termine der Übungsgruppen/Tutorien Übungsgruppen (zur Besprechung der Übungsblätter): Vorlesungstermin: Mittwoch, 8:30 10:00 Uhr, im Raum LB 107 Gruppe Tag Uhrzeit Raum 1 Mittwoch 16:00 18:00 LE Donnerstag 10:00 12:00 LE Donnerstag 10:00 12:00 LK Donnerstag 12:00 14:00 LE Donnerstag 12:00 14:00 LK Freitag 12:00 14:00 LE 120 Die Anzahl und die Termine der Gruppen können sich noch ändern! Barbara König Logik 5 Hinweise zu den Übungen Barbara König Logik 6 Hinweise zu den Übungen Die Übungen und Tutorien beginnen in der dritten Vorlesungswoche am Mittwoch, den 24. Oktober. Bitte versuchen Sie, sich möglichst gleichmäßig auf die Übungen zu verteilen. Besuchen Sie die Übungen! Diesen Stoff kann man nur durch regelmäßiges Üben erlernen. Auswendiglernen hilft nicht besonders viel. Die Übungsblätter werden jeweils am Mittwoch der Vorwoche ins Netz gestellt. Das erste Übungsblatt wird am bereitgestellt. Abgabe der gelösten Aufgaben bis Mittwoch der folgenden Woche, 16:00 Uhr. Einwurf in den Briefkasten neben dem Raum LF 259 oder Abgabe per Moodle. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung deutlich die Vorlesung, Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Gruppennummer an. Elektronische Abgaben sind nur als PDF zulässig! Bitte benennen Sie Dateien nach folgendem Schema (um eine eindeutige Namenswahl zu gewährleisten): <vorname>-<nachname>-<matrnr>-<blattnr>.pdf Es sind keine Gruppenabgaben erlaubt, nur Einzelabgaben. Barbara König Logik 7 Barbara König Logik 8

3 Hinweise zu den Übungen Prüfung Wir verwenden Moodle, um: die Aufgabenblätter zur Verfügung zu stellen, die Hausaufgaben elektronisch (nur PDF!) abzugeben und um Diskussionsforen bereitzustellen. Moodle-Plattform an der Universität Duisburg-Essen: (siehe auch Link auf der Webseite) Bitte legen Sie dort einen Zugang an (falls noch nicht vorhanden) und tragen Sie sich in den Kurs Logik (WS 2018/19) (Ingenieurwissenschaften) ein. Bitte mit Uni-Kennung anmelden! Zugangsschlüssel:... Die Klausur findet voraussichtlich statt am Montag, 18. Februar 2019, 8:30-10:30 Uhr Anmeldung über das Prüfungsamt Wenn Sie 50% der Übungspunkte erzielt haben, so erhalten Sie einen Bonus für die Klausur. Auswirkung: Verbesserung um eine Notenstufe; z.b. von 2,3 auf 2,0 Bonuspunkte aus dem WS 2017/18 (oder früher) gelten nicht mehr! Literatur Barbara König Logik 9 Literatur Barbara König Logik 10 Die Vorlesung basiert im Wesentlichen auf folgendem Buch: Uwe Schöning: Logik für Informatiker. Spektrum, Weitere relevante Bücher: Jon Barwise, John Etchemendy: Language, Proof, and Logic. Seven Bridges Press, Auf Deutsch: Sprache, Beweis und Logik, Band I Aussagenund. mentis, Kreuzer, Kühling: Logik für Informatiker, Pearson, Einführende/unterhaltsame Literatur: Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books, Auf Deutsch: Gödel, Escher, Bach: Ein Endloses Geflochtenes Band. dtv, Barbara König Logik 11 Barbara König Logik 12

4 Folien Geschichte der Logik Folien werden im Web bereitgestellt, regelmäßig aktualisiert, im Wesentlichen den Folien des letzten Semesters (WS 17/18) entsprechen Ein eigenes Skript gibt es neben dem Buch von Schöning nicht. Beginn in Griechenland: Aristoteles ( v.chr.) untersucht das Wesen der Argumentation und des logischen Schließens Verschiedene Werke, u.a.: Analytica priora, Analytica posteriora Seither: Weiterentwicklung der Logik, Formalisierung, Verwendung in der Mathematik und Informatik Syllogismen (I) Barbara König Logik 13 Syllogismen (II) Barbara König Logik 14 Aristoteles entwickelte den Begriff des Syllogismus: A syllogism is discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so. I mean by the last phrase that they produce the consequence, and by this, that no further term is required from without in order to make the consequence necessary. Alle Dackel sind Hunde Alle Hunde sind Tiere Dann sind alle Dackel Tiere Keine Blume ist ein Tier Alle Hunde sind Tiere Dann ist keine Blume ein Hund Alle P sind M Alle M sind S Alle P sind S Kein P ist M Alle S sind M Kein P ist S (Barbara) (Cesare) Wenn alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. Alle Delfine leben im Meer Alle Delfine sind Säugetiere Dann leben einige Säugetiere im Meer Alle M sind P Alle M sind S Einige S sind P (Darapti) Barbara König Logik 15 Barbara König Logik 16

5 Verschiedene Logiken (I) Es gibt viele verschiedene Logiken: (1. Stufe) höherer Stufe Modale und temporale Logiken Intuitionistische Logik... Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung nur mit und 1. Stufe. George Boole (1848) Verknüpfung von Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können, mit einfachen Operatoren (und; oder; nicht; wenn..., dann... ) Beispiel: Aussagen: Es regnet, Die Straße ist nass Verknüpfungen: Es regnet und die Straße ist nass. Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht. (II) Barbara König Logik 17 Barbara König Logik 18 Der Stoff im Bereich umfasst unter anderem: Syntax der : Was sind Operatoren? Was ist eine Formel? Welche Formeln sind syntaktisch korrekt? Semantik der : Was ist die Bedeutung einer Formel? Welche Formeln sind allgemeingültig, d.h. immer wahr? Welche Formeln sind unerfüllbar, d.h. immer falsch? Verfahren und Methoden, die überprüfen, ob eine Formel allgemeingültig oder unerfüllbar ist Frege, Peano, Russell (Ende des 19. Jahrhunderts) Mit der kann man zusätzlich Beziehungen zwischen Objekten beschreiben existentielle Aussagen treffen: es gibt ein x, so dass... universelle Aussagen treffen: für jedes x gilt, dass... Beispiel: Für jede natürliche Zahl x gilt, dass es eine natürliche Zahl y gibt, so dass x kleiner als y ist. Barbara König Logik 19 Barbara König Logik 20

6 Anwendungen in der Informatik (I) Modellierung und Spezifikation: Eindeutige Beschreibung von komplexen Systemen Verifikation: Beweisen, dass ein Programm das gewünschte Verhalten zeigt Schaltkreisentwurf: Schaltkreise lassen sich als logische Formeln darstellen Entwurf und Optimierung von Schaltungen Datenbanken: Formulierung von Anfragen an Datenbanken Abfragesprache SQL (Structured query language) Künstliche Intelligenz: Schlussfolgerungen automatisieren, insbesondere in Expertensystemen Barbara König Logik 21 Formale Syntax und Semantik Anwendungen in der Informatik (II) Theorembeweiser: Der Computer beweist mathematische Sätze automatischer Beweis von wichtigen Sätzen im Bereich der Booleschen Algebren Kombinatorische Optimierung (SAT-Solver) Logische Programmiersprachen: Prolog Außerdem: Logik ist ein Paradebeispiel für Syntax und formale Semantik Ein Zitat von Edsger W. Dijkstra: Informatik = VLSAL (Very large scale application of logics) (In Anspielung auf VLSI = Very large scale integration, ein Begriff aus dem Chipdesign) Barbara König Logik 22 Probleme mit natürlicher Sprache (I) Auch wenn die Beispiele bisher mit natürlicher Sprache beschrieben wurden, werden wir in der Vorlesung meist auf natürliche Sprache verzichten. Beispiele: Natürliche Sprache Formalisierung Es regnet und die Straße ist nass. R N Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. R N Für jede natürliche Zahl x gilt, x y(x < y) dass es eine natürliche Zahl y gibt, so dass x kleiner als y ist. Problem: Zuordnung von Wahrheitswerten zu natürlichsprachigen Aussagen ist problematisch. Beispiele: Jede gerade Zahl größer als 4 ist die Summe zweier Primzahlen. (Goldbach sche Vermutung, unbewiesen) Dieser Satz hat zwei Vehler. Frage: Warum nicht natürliche Sprache? Barbara König Logik 23 Barbara König Logik 24

7 Probleme mit natürlicher Sprache (II) Problem: Natürliche Sprache ist oft schwer verständlich. Beispiel: Auszug aus der Analytica Priora von Aristoteles Die Aussage: If the middle term is related universally to one of the extremes, a particular negative syllogism must result whenever the middle term is related universally to the major whether positively or negatively, and particularly to the minor and in a manner opposite to that of the universal statement. Der Beweis: For if M belongs to no N, but to some O, it is necessary that N does not belong to some O. For since the negative statement is convertible, N will belong to no M: but M was admitted to belong to some O: therefore N will not belong to some O: for the result is reached by means of the first figure. Again if M belongs to all N, but not to some O, it is necessary that N does not belong to some O: for if N belongs to all O, and M is predicated also of all N, M must belong to all O: but we assumed that M does not belong to some O. And if M belongs to all N but not to all O, we shall conclude that N does not belong to all O: the proof is the same as the above. But if M is predicated of all O, but not of all N, there will be no syllogism. Ich sah den Mann... Barbara König Logik 25 Probleme mit natürlicher Sprache (III) Problem: Natürliche Sprache ist mehrdeutig. Beispiel: Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr. Ich sah den Mann... Barbara König Logik 26 (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) Barbara König Logik 27 Barbara König Logik 28

8 Ich sah den Mann... Ich sah den Mann... ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr)) (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) Ich sah den Mann... Barbara König Logik 29 Ich sah den Mann... Barbara König Logik 30 (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr)) 5 mögliche Interpretationen! (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) Barbara König Logik 31 (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) Barbara König Logik 32

9 Inhalt der Vorlesung Logik-Tools : Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz : Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz Herbrand-Theorie Grundlagen der Logikprogrammierung : SAT-Solver: Überprüfen der Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln limboole ( : Anschauliche Lehrsoftware für die Tarski s World Theorembeweiser für die 1. Stufe (basierend auf ) otter ( Barbara König Logik 33 Barbara König Logik 34 Mengen, Relationen und Funktionen Mengen, Relationen und Funktionen Menge: Menge X von Elementen, wird beschrieben als Aufzählung X = {A 1, A 2, A 3, A 7 } oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft X = {A i i N, 1 i 3 oder i = 7}. Bemerkungen: Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihre Ordnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1} Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten. Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 4} Barbara König Logik 35 Barbara König Logik 36

10 Mengen, Relationen und Funktionen Mengen, Relationen und Funktionen Element einer Menge: Wir schreiben x X, falls ein Element x in der Menge X enthalten ist. Teilmengenbeziehung: Für zwei Mengen X, Y schreiben wir X Y, falls jedes Element von X auch in Y enthalten ist. Die Relation heißt auch Inklusion. Leere Menge: Mit oder {} bezeichnet man die leere Menge. Sie enthält keine Elemente und ist Teilmenge jeder anderen Menge. Kreuzprodukt (kartesisches Produkt) Seien X, Y zwei Mengen. Die Menge X Y ist die Menge aller Paare (x, y), wobei die erste Komponente des Paars aus X, die zweite aus Y kommt. X Y = {(x, y) x X, y Y } Beispiel: {1, 2} {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} Barbara König Logik 37 Barbara König Logik 38 Mengen, Relationen und Funktionen Mengen, Relationen und Funktionen Relation zwischen der Menge X und der Menge Y Eine Teilmenge R X Y des Kreuzprodukts von X und Y heißt Relation zwischen X und Y. Beispiel: X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d} R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, d)} X Y Funktion von der Menge X in die Menge Y Eine Relation f X Y heißt Funktion, wenn folgendes gilt: für jedes Element x X gibt es genau ein Element y Y mit (x, y) f. Anschaulich: jedem Element der Menge X wird genau ein Element der Menge Y zugeordnet. Barbara König Logik 39 Barbara König Logik 40

11 Mengen, Relationen und Funktionen Notation von Funktionen f : X Y x f (x) Die Funktion f bildet ein Element x X auf ein Element f (x) Y ab. Dabei ist X der Definitionsbereich und Y der Wertebereich von f. Beispiel: f : {A 1, A 2, A 3, A 7 } {0, 1} A 1 0, A 2 1, A 3 0, A 7 1 alternativ: f (A 1 ) = 0, f (A 2 ) = 1, f (A 3 ) = 0, f (A 7 ) = 1 Syntax der Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel) Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert: 1 Alle atomaren Formeln sind Formeln 2 Für alle Formeln F und G sind (F G) und (F G) Formeln. 3 Für jede Formel F ist F eine Formel. Sprechweise: (F G): F und G, Konjunktion von F und G (F G): F oder G, Disjunktion von F und G F : nicht F, Negation von F Barbara König Logik 41 Barbara König Logik 42 Formel als Syntaxbaum Jede Formel kann auch durch einen Syntaxbaum dargestellt werden. Beispiel: F = (( A 4 A 1 ) A 3 ) Teilformel Die Teilformeln einer Formel F entsprechen den Teilbäumen. A 4 A4 A3 A3 A3 A1 A 1 A4 A1 A 3 A1 A4 A 3 A 4 A3 A1 ( A 4 A 1 ) A1 A3 A4 A4 A 1 A 4 (( A 4 A 1 ) A 3 ) A3 A1 (( A 4 A 1 ) A 3 ) A1 A3 A4 A4 Barbara König Logik 43 Barbara König Logik 44

12 Semantik der (I) Semantik der (II) Die Elemente der Menge {0, 1} heißen Wahrheitswerte. Eine Belegung ist eine Funktion A: D {0, 1}, wobei D eine Teilmenge der atomaren Formeln ist. Wir erweitern A zu einer Funktion Â: E {0, 1}, wobei E D die Menge aller Formeln ist, die nur aus den atomaren Formeln in D aufgebaut sind. Â(A) = A(A) falls A D eine atomare Formel ist { 1 falls Â(F ) = 1 und Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 1 oder Â(G) = 1 Â((F G)) = 0 sonst { 1 falls Â(F ) = 0 Â(( F )) = 0 sonst Wir schreiben A statt Â. Barbara König Logik 45 Barbara König Logik 46 Verknüpfungstafeln (I) Abkürzungen Beobachtung: Der Wert Â(F ) hängt nur davon ab, wie A auf den den in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist. Berechnung von  mit Hilfe von Verknüpfungstafeln, auch Wahrheitstafeln genannt. Tafeln für die Operatoren,, : A B A B A B A B A A A, B, C oder P, Q, R oder... statt A 1, A 2, A 3... (F 1 F 2 ) statt ( F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) statt ((F 1 F 2 ) ( F 1 F 2 )) n ( F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) ( i=1 n F i ) statt (... ((F 1 F 2 ) F 3 )... F n ) i=1 Barbara König Logik 47 Barbara König Logik 48

13 Verknüpfungstafeln (II) Tafeln für die Operatoren, : A B A B Name: Implikation, Folgerung Interpretation: Wenn A gilt, dann muss auch B gelten. A B A B Name: Äquivalenz, Biimplikation Interpretation: A gilt genau dann, wenn B gilt. Präzedenzen Präzedenz der Operatoren: Die Formel wird also wie folgt gelesen: bindet am schwächsten bindet am stärksten A B C D E (A ((B C) (D E))) Dennoch: Zusätzliche Klammern schaden im allgemeinen nicht Barbara König Logik 49 Barbara König Logik 50 Formalisierung natürlicher Sprache (I) Formalisierung natürlicher Sprache (II) Ein Gerät besteht aus einem Bauteil A, einem Bauteil B und einem roten Licht. Folgendes ist bekannt: Bauteil A oder Bauteil B (oder beide) sind kaputt. Wenn Bauteil A kaputt ist, dann ist auch Bauteil B kaputt. Wenn Bauteil B kaputt ist und das rote Licht leuchtet, dann ist Bauteil A nicht kaputt. Das rote Licht leuchtet. Formalisieren Sie diese Situation als aussagenlogische Formel und stellen Sie die Wahrheitstafel zu dieser Formel auf. Verwenden Sie dazu folgende atomare Formeln: RL (rotes Licht leuchtet), AK (Bauteil A kaputt), BK (Bauteil B kaputt) Gesamte Wahrheitstafel: (((AK BK) (AK BK)) RL AK BK ((BK RL) AK)) RL Barbara König Logik 51 Barbara König Logik 52

14 Modelle Gültigkeit und Erfüllbarkeit Sei F eine Formel und A eine Belegung. Falls A für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt A zu F passend. Sei A passend zu F : Falls A(F ) = 1 so schreiben wir A = F und sagen F gilt unter A oder A ist ein Modell für F Falls A(F ) = 0 so schreiben wir A = F und sagen F gilt nicht unter A oder A ist kein Modell für F Definition (Erfüllbarkeit) Eine Formel F heißt erfüllbar, falls F mindestens ein Modell besitzt, andernfalls heißt F unerfüllbar. Eine (endliche oder unendliche!) Menge von Formeln M heißt erfüllbar, falls es eine Belegung gibt, die für jede Formel in M ein Modell ist. (In diesem Fall sagt man auch, die Belegung ist ein Modell für die Menge M.) Definition (Gültigkeit) Eine Formel F heißt gültig (oder allgemeingültig oder Tautologie) falls jede zu F passende Belegung ein Modell für F ist. Wir schreiben = F, falls F gültig ist, und = F sonst. Barbara König Logik 53 Barbara König Logik 54 Aufgabe Aufgabe A A B A A A A A A A B A (B A) A (A B) A A Gültig Erfüllbar Unerfüllbar Gelten die folgenden Aussagen? Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann F unerfüllbar Wenn F gültig, dann F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann F gültig J/N Gegenb. Barbara König Logik 55 Barbara König Logik 56

15 Spiegelungsprinzip Ein Gültigkeitstest gültige Formeln erfüllbare, aber nicht gültige Formeln unerfüllbare Formeln Wie kann man überprüfen, ob eine Formel F gültig (erfüllbar, unerfüllbar) ist? Eine Möglichkeit: Wahrheitstafel aufstellen Angenommen, die Formel F enthält n verschiedene atomare Formeln. Wie groß ist die Wahrheitstafel? G F F G Anzahl Zeilen in der Wahrheitstafel: 2 n Geht es auch effizienter? Diese Frage wird im Laufe der Vorlesung beantwortet. Barbara König Logik 57 Barbara König Logik 58 Folgerung Folgerung: Beispiel Definition (Folgerung) Eine Formel G heißt eine Folgerung der Formeln F 1,..., F k falls für jede Belegung A, die sowohl zu F 1,..., F k als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell von {F 1,..., F k } ist, dann ist A auch Modell von G. Wir schreiben F 1,..., F k = G, falls G eine Folgerung von F 1,..., F k ist. (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK Wenn Bauteil A oder Bauteil B kaputt ist und daraus, dass Bauteil A kaputt ist, immer folgt, dass Bauteil B kaputt ist und dann kann man die Folgerung ziehen: das rote Licht leuchtet, Bauteil A ist nicht kaputt und Bauteil B ist kaputt. Barbara König Logik 59 Barbara König Logik 60

16 Aufgabe Folgerung, Gültigkeit und Unerfüllbarkeit M F Gilt M = F? A (A B) A (A B) A, B (A B) A, B (A B) (A B) A (A B) A A, (A B) B Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: 1 F 1,..., F k = G, d.h., G ist eine Folgerung von F 1,..., F k. 2 (( k i=1 F i) G) ist gültig. 3 (( k i=1 F i) G) ist unerfüllbar. Barbara König Logik 61 Barbara König Logik 62 Äquivalenz Aufgabe Gelten die folgenden Äquivalenzen? (Semantische) Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, A(F ) = A(G) gilt. Hierfür schreiben wir F G. (A (A B)) A (A B) ( A B) (A (B C)) ((A B) C) (A (B C)) ((A B) (A C)) Barbara König Logik 63 Barbara König Logik 64

17 Die Hauptprobleme Reduktion von Problemen (I) Modellprüfung Sei F eine Formel und sei A eine passende Belegung. Gilt A(F ) = 1? Erfüllbarkeit Sei F eine Formel. Ist F erfüllbar? Gültigkeit Sei F eine Formel. Ist F gültig? Folgerung Seien F und G Formeln. Gilt F = G? Äquivalenz Seien F und G Formeln. Gilt F G? Welche Probleme lassen sich auf welche reduzieren? Gültigkeit (Nicht)Erfüllbarkeit: F gültig gdw. F nicht erfüllbar F erfüllbar gdw. F nicht gültig Gültigkeit = Folgerung: F gültig gdw. T = F (T ist beliebige gültige Formel) Folgerung = Gültigkeit: F = G gdw. F G gültig Barbara König Logik 65 Barbara König Logik 66 Reduktion von Problemen (II) Reduktion von Problemen (III) Unerfüllbarkeit = Folgerung: F unerfüllbar gdw. F = U (U ist beliebige unerfüllbare Formel) Folgerung = Unerfüllbarkeit: F = G gdw. F G unerfüllbar Gültigkeit = Äquivalenz: F gültig gdw. F T (T ist beliebige gültige Formel) Äquivalenz = Gültigkeit: F G gdw. F G gültig Bemerkung: Eine gültige Formel bezeichnet man manchmal auch mit 1, eine unerfüllbare Formel mit 0. Barbara König Logik 67 Barbara König Logik 68

18 Eigenschaften der Äquivalenz Ersetzbarkeitstheorem Wir betrachten nun wieder die Äquivalenz auf Formeln. Sie hat folgende Eigenschaften: reflexiv: Es gilt F F für jede Formel F (jede Formel ist zu sich selbst äquivalent) symmetrisch: Falls F G gilt, so gilt auch G F transitiv: Falls F G und G H gilt, so gilt auch F H abgeschlossen unter Operatoren: Falls F 1 F 2 und G 1 G 2 gilt, so gilt auch (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ), (F 1 G 1 ) (F 2 G 2 ) und F 1 F 2. Reflexive, symmetrische, transitive Relation Äquivalenzrelation Äquivalenzrelation + Abgeschlossenheit unter Operatoren Kongruenzrelation Barbara König Logik 69 Die Abgeschlossenheit unter Operatoren lässt sich auch folgendermaßen formulieren: Satz (Ersetzbarkeitstheorem) Seien F und G äquivalente Formeln (F G). Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H äquivalent zu H (d.h. H H ), wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend)ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Barbara König Logik 70 Äquivalenzen (I) Äquivalenzen (II) Satz Es gelten die folgenden Äquivalenzen: (F F ) F (F F ) F (Idempotenz) (F G) (G F ) (F G) (G F ) (Kommutativität) ((F G) H) (F (G H)) ((F G) H) (F (G H)) (Assoziativität) (F (F G)) F (F (F G)) F (Absorption) (F (G H)) ((F G) (F H)) (F (G H)) ((F G) (F H)) (Distributivität) F F (Doppelnegation) (F G) ( F G) (de Morgansche (F G) ( F G) Regeln) (F G) F, falls F gültig (Tautologie- (F G) G, falls F gültig regeln) (F G) G, falls F unerfüllbar (Unerfüllbarkeits- (F G) F, falls F unerfüllbar regeln) Barbara König Logik 71 Barbara König Logik 72

19 Äquivalenzen Normalformen (I) Die Tautologie- und Unerfüllbarkeitsregeln können auch folgendermaßen geschrieben werden: (1 G) 1 (1 G) G (Tautologieregeln) (0 G) G (0 G) 0 (Unerfüllbarkeitsregeln) Daraus folgt unter anderem, dass 1 (= gültige Formel) das neutrale Element der Konjunktion und 0 (= unerfüllbare Formel) das neutrale Element der Disjunktion ist. Definition (Normalformen) Ein Literal ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel. (Im ersten Fall sprechen wir von einem positiven, im zweiten Fall von einem negativen Literal). Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist: F = ( n i=1 ( m i j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } { A 1, A 2, } Eine Disjunktion von Literalen nennt man auch Klausel. Eine Formel in KNF besteht also aus einer Konjunktion von Klauseln. Barbara König Logik 73 Barbara König Logik 74 Normalformen (II) Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist: F = ( n i=1 ( m i j=1 L i,j )), wobei L i,j {A 1, A 2, } { A 1, A 2, } Umformungsmethode (in KNF) Gegeben: eine Formel F, die in eine äquivalente Formel in KNF umgeformt wird. 1 Ersetze in F jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart G durch G (G H) durch ( G H) (G H) durch ( G H) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. 2 Ersetze jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart (F (G H)) durch ((F G) (F H)) ((F G) H) durch ((F H) (G H)) bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt. Barbara König Logik 75 Barbara König Logik 76

20 Umformungsmethode (in KNF) Aufwand der Umformungsmethode Bei der Umwandlung einer Formel in KNF kann die Formel exponentiell größer werden. Beispiel: F = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) (A n B n ) (bestehend aus n Konjunktionen). Bei Umwandlung in KNF ergeben sich durch das Distributivgesetz 2 n Disjunktionen, da jede Kombination von Literalen (eines aus jeder Konjunktion) eine neue Disjunktion ergibt. F (A 1 A 2 A n ) (B 1 A 2 A n ) (A 1 B 2 A n )... Barbara König Logik 77 Mengendarstellung in KNF Klausel: Menge von Literalen (Disjunktion). {A, B} stellt (A B) dar. Formel in KNF: Menge von Klauseln (Konjunktion). {{A, B}, { A, B}} stellt ((A B) ( A B)) dar. Die leere Klausel ist äquivalent zu einer unerfüllbaren Formel (0). Die leere Formel ist äquivalent zu einer gültigen Formel (1). Barbara König Logik 78 Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafel Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF A B C F DNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 1 wird eine Konjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A ( A B C) (A B C) (A B C) KNF: Aus jeder Zeile mit Wahrheitswert 0 wird eine Disjunktion, aus einer 0 in der Spalte A wird A, aus einer 1 wird A (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) Barbara König Logik 79 Für Formeln in DNF gibt es einen einfachen Erfüllbarkeitstest. Erfüllbarkeitstest für Formeln in DNF Eine Formel in disjunktiver Normalform ist erfüllbar, genau dann wenn sie eine Konjunktion (L 1 L n ) enthält, in der jedes Literal entweder nur positiv oder nur negativ vorkommt. Das heißt, es gibt keine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A in dieser Konjunktion vorkommt. Beispiele: (A B C) ( A B) (B B) ist erfüllbar, beispielsweise mit der Belegung A(A) = 1, A(B) = 1, A(C) = 0. (A B A) ( A B A B C) (B B) ist nicht erfüllbar (= unerfüllbar). Barbara König Logik 80

21 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Für Formeln in KNF gibt es einen einfachen Gültigkeitstest. Gültigkeitstest für Formeln in KNF Eine Formel in konjunktiver Normalform ist gültig, genau dann wenn es in jeder vorkommenden Disjunktion (L 1 L n ) ein Literal gibt, das sowohl positiv als auch negativ vorkommt. Das heißt, es gibt in jeder Disjunktion eine atomare Formel A, die sowohl als A als auch als A vorkommt. Beispiele: (A B C) ( A B) (B B) ist nicht gültig, beispielsweise erhält man 0 bei Auswertung unter der Belegung A(A) = 0, A(B) = 0, A(C) = 1. (A B A) ( A B A B C) (B B) ist gültig. Barbara König Logik 81 Aufwand der Tests: Diese einfachen Erfüllbarkeits- bzw. Gültigkeitstests können durchgeführt werden, indem man einmal die Formel durchläuft. Das heißt, man benötigt nur lineare Zeit. Trotzdem erhält man dadurch keinen einfachen Erfüllbarkeitstest für Formeln in KNF und keinen einfachen Gültigkeitstest für Formeln in DNF. Dazu müsste man eine Formel in KNF erst in DNF umwandeln (oder umgekehrt), was exponentielle Zeit in Anspruch nehmen kann. Barbara König Logik 82 Erfüllbarkeits-/Gültigkeitstests für DNF/KNF Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole Das Problem, die Erfüllbarkeit einer beliebigen Formel (oder einer Formel in KNF) zu bestimmen ist auch als SAT-Problem (Satisfiability-Problem) bekannt. SAT ist NP-vollständig ( Berechenbarkeit und Komplexität ), was bedeutet, dass es (zur Zeit) keinen bekannten Polynomzeit-Algorithmus für dieses Problem gibt. Ob ein solcher Polynomzeit-Algorithmus existiert, ist ein offenes Problem. Es gibt jedoch einige Verfahren, die zumindest in vielen Fällen sehr effizient sind (z.b. limboole und das im folgenden besprochene sverfahren). limboole fmv.jku.at/limboole/ limboole ist ein Tool, mit dem Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests für aussagenlogische Formeln durchgeführt werden können. Wir werden in der Vorlesung dafür noch effiziente Verfahren kennenlernen. (Allerdings verwendet limboole etwas andere, stärker optimierte, Verfahren.) Es gibt noch zahlreiche andere Tools dieser Art, die normalerweise als SAT-Solver bezeichnet werden. Anders als andere Werkzeuge konvertiert limboole selbst die Eingabe in (konjunktive) Normalform. Barbara König Logik 83 Barbara König Logik 84

22 Gültigkeits- und Erfüllbarkeitstests mit limboole Eingabeformat für limboole limboole <-> -> &! limboole kann für eine Formel F sowohl überprüfen, ob sie gültig (valid) oder nicht gültig (invalid) ist als auch ob sie erfüllbar (satisfiable) oder unerfüllbar (unsatisfiable) ist. Bei einer nicht-gültigen Formel F wird eine Belegung A mit A(F ) = 0 ausgegeben, bei einer erfüllbaren Formel eine Belegung A mit A(F ) = 1. Barbara König Logik 85 Anwendung: Diagnose Um zu zeigen, dass F {}}{ (AK BK), (AK BK), ((BK RL) AK), RL = RL AK BK }{{} G gilt, überprüfen wir, ob F G gültig ist. Diese Formel sieht in limboole-syntax folgendermaßen aus: ((AK BK) & (AK -> BK) & ((BK & RL) ->!AK) & RL) -> (!AK & BK & RL) Barbara König Logik 86 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Schaltkreis 1: Aufgabe: Gegeben sind zwei Schaltkreise. Überprüfen Sie, ob diese Schaltkreise äquivalent sind, in dem Sinne, dass sie bei gleicher Eingabe die gleichen Ausgaben liefern. Diese Überprüfung soll mit Hilfe von limboole durchgeführt werden und nutzt die Tatsache, dass X 1 Y 1 Nor F G gdw. F G gültig ist. X 2 Y 2 Nor Barbara König Logik 87 Barbara König Logik 88

23 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Schaltkreis 2: X 1 Y 1 Formel S 1 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) (((X1 & Y1)!(X1 Y1)) & ((X2 & Y2)!(X2 Y2)) Formel S 2 für Schaltkreis 1 (in limboole-syntax) X 2 (X1 & Y2 & X2 & Y1) (X2 & Y2 &!X1 &!Y1) (X1 & Y1 &!X2 & Y2) (!X2 &!X1 &!Y1 & Y2) Y 2 Barbara König Logik 89 Barbara König Logik 90 Anwendung: Vergleich von Schaltkreisen Vollständigkeit von Operatormengen Mit Hilfe von limboole lässt sich feststellen, dass die Formel S 1 S 2 nicht gültig ist, das heißt die Schaltkreise sind nicht äquivalent. Definition (Boolesche Funktionen) Eine Funktion der Form b : {0, 1} n {0, 1} heißt (n-stellige) Boolesche Funktion. Eine Formel F mit atomaren Formeln aus der Menge {A 1,..., A n } beschreibt eine n-stellige Boolesche Funktion b F wie folgt: Zusatzaufgabe: wie kann man mit Hilfe von limboole überprüfen, auf welchen Eingaben sich die beiden Schaltkreise unterscheiden? wobei A x1,...,x n b F (x 1,..., x n ) = A x1,...,x n (F ), die Belegung ist, die A i mit x i {0, 1} belegt. Die n-stelligen Booleschen Funktionen entsprechen genau den Wahrheitstafeln mit n Spalten für atomare Formeln und einer Ergebnisspalte. Barbara König Logik 91 Barbara König Logik 92

24 Vollständigkeit von Operatormengen Daher gibt es genau 2 2n n-stellige Boolesche Funktionen bzw. Wahrheitstafeln mit n atomaren Formeln. Aufgabe: Stellen Sie alle 16 Wahrheitstafeln mit zwei atomaren Formeln auf, d.h., bestimmen Sie alle zweistelligen Booleschen Funktionen. Versuchen Sie, jeder Wahrheitstafel den Operator oder die Formel zuzuordnen, die sie beschreibt. Barbara König Logik 93 Vollständigkeit von Operatormengen Definition (Vollständigkeit) Eine Menge von Operatoren heißt vollständig, wenn man damit für jede Boolesche Funktion eine entsprechende Formel erstellen kann, die diese Funktion beschreibt. Die Operatormenge {,, } ist vollständig. Begründung: wie vorher beschrieben kann jede beliebige Wahrheitstafel in KNF bzw. DNF umgewandelt werden. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B ( A B). Die Operatormenge {, } ist vollständig. Die Operatormenge {, } ist vollständig. Begründung: A B A B. Barbara König Logik 94 Vollständigkeit von Operatormengen Die Operatormenge {Nand} ist vollständig, wobei der Operator Nand wie folgt definiert ist: A Nand B = (A B). Begründung: A Nand A = (A A) A und (A Nand B) Nand (A Nand B) A B. Die Operatormenge {Nor} ist vollständig, wobei der Operator Nor wie folgt definiert ist: A Nor B = (A B). Barbara König Logik 95 Vollständigkeit von Operatormengen Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig. Begründung: Hausaufgabe Die Operatormenge { } ist nicht vollständig. Begründung: Die Formel A kann nicht dargestellt werden. Falls eine Formel nur aus Operatoren der Form besteht und der Wahrheitswert 1 eingesetzt wird, so erhält man wieder 1. Das ist aber bei A nicht der Fall. Man erhält jedoch Vollständigkeit, wenn man auch die Konstante 0 ( falsch ) zulässt. Dann gilt A 0 A und kann wie oben beschrieben mit Hilfe von und dargestellt werden. Die Operatormenge {, } ist nicht vollständig (ohne Begründung). Barbara König Logik 96

25 Endlichkeitssatz Definition (Erfüllbarkeit einer Menge) Wiederholung Eine (möglicherweise unendliche) Menge M von aussagenlogischen Formeln heißt erfüllbar genau dann, wenn es eine Belegung A gibt, die für alle Formeln in M passend ist und für die gilt A(F ) = 1 für alle F M. Endlichkeitssatz (compactness theorem) Eine Menge M von Formeln ist erfüllbar genau dann, wenn jede der endlichen Teilmengen von M erfüllbar ist. Endlichkeitssatz Beweis (Skizze): 1. Schritt: Zerlegung von M in Mengen M 1, M 2, M 3,..., wobei M i genau die Formeln von M enthält, die aus den atomaren Formeln A 1,..., A i bestehen. Es gilt: M 1 M 2 M 3... M = i=1 M i Problem: Jede Menge M i kann unendlich viele Formeln enthalten. (Beispielsweise könnte M 1 die Formeln A 1, A 1, A 1, A 1,... enthalten.) Da es jedoch höchstens 2 2i verschiedene i-stellige Boolesche Funktionen geben kann, kann man diese in endlich viele Äquivalenzklassen zusammenfassen. Barbara König Logik 97 Barbara König Logik 98 Endlichkeitssatz 2. Schritt: Wir zeigen nun, dass M erfüllbar ist, wenn jede endliche Teilmenge von M (insbesondere jede Menge M i ) erfüllbar ist. Sei A i ein Modell für M i. Wir konstruieren ein Modell A von M wie folgt: 1 Setze I := {1, 2, 3,... } 2 Stufe n > 0 (Wahrheitswert für A n wird festgelegt) Falls es unendlich viele Indizes i I gibt mit A i (A n ) = 1, dann setze A(A n ) = 1 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 0 gilt. Sonst: setze A(A n ) = 0 und entferne aus I alle Indizes j, für die A j (A n ) = 1 gilt. 3. Schritt: Zeige, dass A tatsächlich ein Modell für M ist. Endlichkeitssatz Bemerkungen zum Endlichkeitssatz: Der Beweis ist nicht-konstruktiv, er zeigt nur, dass es ein Modell A gibt, nicht wie man es erhält. Aussagen der Form es gibt unendlich viele i I mit... können nicht in eine (mechanische) Konstruktion umgewandelt werden. Korollar: Wenn M eine unerfüllbare Menge ist, dann ist bereits eine endliche Teilmenge von M unerfüllbar. Die Bedeutung des Endlichkeitssatzes liegt vor allem in seinen Anwendungsmöglichkeiten im Bereich der (siehe 2. Kapitel der Vorlesung). Barbara König Logik 99 Barbara König Logik 100

26 (Motivation) (Idee) Wir betrachten im folgenden nur Formeln in KNF. Es gilt (für Formeln F, G und eine atomare Formel A): Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests, die zumindest in vielen Fällen gutartiges Verhalten zeigen. Dennoch ist im schlimmsten Fall (worst case) immer eine exponentielle Laufzeit zu erwarten. Wir betrachten nun als Erfüllbarkeitstest und untersuchen dann einige Fallstudien mit schlechtem bzw. gutem Laufzeitverhalten. Barbara König Logik 101 (F A) (G A) = (F G) Aus der Herleitung der leeren Disjunktion bzw. leeren Klausel (= unerfüllbare Formel 0) folgt Unerfüllbarkeit. (Korrektheit) (Siehe auch der Zusammenhang zwischen Folgerung und Unerfüllbarkeit: F unerfüllbar gdw. F = 0.) Zwei Fragen: Kann man aus einer unerfüllbaren Formel immer die leere Klausel herleiten? (Vollständigkeit) Gibt es eine Möglichkeit, die Herleitung kompakter aufzuschreiben? Barbara König Logik 102 (Idee) Mengendarstellung der KNF Es gilt: Daraus folgt: F = G F F G Klausel: Menge von Literalen (Disjunktion). {A, B} stellt (A B) dar. Formel: Menge von Klauseln (Konjunktion). {{A, B}, { A, B}} stellt ((A B) ( A B)) dar. (F A) (G A) (F A) (G A) (F G) Das kann so interpretiert werden, dass man zu den bisher existierenden Klauseln (F A), (G A) die Klausel (F G) hinzufügt, ohne die Aussage der Formel zu verändern. Dies macht man so lange, bis man die leere Klausel erhält, oder sich sicher sein kann, dass die leere Klausel nicht auftaucht. Die leere Klausel (= leere Disjunktion) ist äquivalent zu einer unerfüllbaren Formel. Diese wird auch mit bezeichnet. Die leere Formel (= leere Konjunktion) ist äquivalent zu einer gültigen Formel. Barbara König Logik 103 Barbara König Logik 104

27 Vorteile der Mengendarstellung Resolvent (I) Man erhält automatisch: Kommutativität: (A B) (B A), beide dargestellt durch {A, B} Assoziativität: ((A B) C) (A (B C)), beide dargestellt durch {A, B, C} Idempotenz: (A A) A, beide dargestellt durch {A} Definition (Resolvent) Seien K 1, K 2 und R Klauseln. Dann heißt R Resolvent von K 1 und K 2, falls es ein Literal L gibt mit L K 1 und L K 2 und R die Form hat: R = (K 1 {L}) (K 2 {L}). Hierbei ist L definiert als { Ai falls L = A L = i, A i falls L = A i Barbara König Logik 105 Barbara König Logik 106 Resolvent (II) s-lemma Wir stellen diesen Sachverhalt durch folgendes Diagramm dar (Sprechweise: R wird aus K 1, K 2 nach L resolviert). K 1 K 2 s-lemma Sei F eine Formel in KNF, dargestellt als Klauselmenge. Ferner sei R ein Resolvent zweier Klauseln K 1 und K 2 in F. Dann sind F und F {R} äquivalent. R Ferner: falls K 1 = {L} und K 2 = {L}, so entsteht die leere Menge als Resolvent. Diese wird mit dem speziellen Symbol bezeichnet, das eine unerfüllbare Formel darstellt. Beweis: Folgt direkt aus (F 1 A) (F }{{} 2 A) }{{} K 1 (F 1 A) }{{} K 2 K 1 (F 2 A) }{{} (F 1 F 2 ) }{{} K 2 R Barbara König Logik 107 Barbara König Logik 108

28 Definition von Res(F ) Anzahl der Resolventen Definition Sei F eine Klauselmenge. Dann ist Res(F ) definiert als Res(F ) = F {R R ist Resolvent zweier Klauseln in F }. Außerdem setzen wir: Res 0 (F ) = F Res n+1 (F ) = Res(Res n (F )) für n 0 und schließlich sei Res (F ) = Res n (F ). n 0 Angenommen, die Formel F enthält n atomare Formeln. Dann gilt welche Abschätzung für Res (F )? A Res (F ) 2 n B Res (F ) 4 n C Res (F ) kann beliebig groß werden Dabei bezeichnet Res (F ) die Anzahl der Elemente in Res (F ). Es gilt Res (F ) 4 n 4 n ist eine obere Schranke für die Menge aller Klauseln (jede atomare Formel kann auf vier verschieden Arten in einer Klausel vorkommen: gar nicht, nur positiv, nur negativ, positiv und negativ). Barbara König Logik 109 Barbara König Logik 110 Anzahl der Resolventen ssatz Wir zeigen nun die Korrektheit und Vollständigkeit der : Was passiert, wenn alle Klauseln maximal zweielementig sind? Durch die von zweielementigen Klauseln können nur wieder maximal zweielementige Klauseln entstehen. (Das ist bei drei- und mehrelementigen Klauseln anders.) Da es bei n verschiedenen atomaren Formeln nur ( ) 2n 2 = 2n(2n 1) 2 viele zweielementige und 2n viele einelementige Klauseln gibt, werden nach spätestens dieser polynomialen Anzahl von Schritten keine neuen Klauseln mehr abgeleitet. ssatz (der ) Eine Klauselmenge F ist unerfüllbar genau dann, wenn Res (F ). Diese Aussage beinhaltet zwei Teile: Wenn Res (F ), dann ist F unerfüllbar. (Korrektheit, folgt unmittelbar aus dem slemma) Wenn F unerfüllbar ist, dann Res (F ). (Vollständigkeit, muss noch per Induktion bewiesen werden) Barbara König Logik 111 Barbara König Logik 112

29 Induktionsprinzip Beweisidee (I) Um die Aussage Für jedes n {0, 1, 2, 3,...} gilt P(n). zeigen, gehen wir im allgemeinen folgendermaßen vor: Wir zeigen, dass P(0) gilt. (Induktionsanfang) Wir zeigen, dass für jedes n gilt: Wenn P(n) gilt, dann gilt auch P(n + 1). (Induktionsschritt) Dann kann man schließen, dass P(n) für jedes beliebige n gilt. zu Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + 1 = 4 F = {{A 1 }, { A 2, A 4 }, { A 1, A 2, A 4 }, {A 3, A 4 }, { A 1, A 3, A 4 }} Barbara König Logik 113 Barbara König Logik 114 Beweisidee (I) Beweisidee (I) Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + 1 = 4 Vollständigkeitsbeweis: Induktion über die Anzahl der atomaren Formeln. Hier: Induktionsschritt mit n + 1 = 4 F = {{A 1 }, { A 2, A 4 }, { A 1, A 2, A 4 }, {A 3, A 4 }, { A 1, A 3, A 4 }} F = {{A 1 }, { A 2, A 4 }, { A 1, A 2, A 4 }, {A 3, A 4 }, { A 1, A 3, A 4 }} F 0 = {{A 1 }, { A 2 }, { A 1, A 2 }} A 4 wird mit 0 belegt F 0 = {{A 1 }, { A 2 }, { A 1, A 2 }} A 4 wird mit 0 belegt F 1 = {{A 1 }, {A 3 }, { A 1, A 3 }} A 4 wird mit 1 belegt Barbara König Logik 114 Barbara König Logik 114

30 Beweisidee (II) Beweisidee (II) F 0 F 1 { A 2 } { A 1, A 2 } {A 1 } {A 3 } { A 1, A 3 } F 0 F 1 { A 2, A 4 } { A 1, A 2, A 4 } {A 1 } {A 3, A 4 } { A 1, A 3, A 4 } { A 1 } { A 1 } { A 1, A 4 } { A 1, A 4 } {A 4 } { A 4 } Barbara König Logik 115 Barbara König Logik 115 Beweisidee (II) Deduktion F 0 F 1 { A 2, A 4 } { A 1, A 2, A 4 } {A 1 } {A 3, A 4 } { A 1, A 3, A 4 } { A 1, A 4 } { A 1, A 4 } {A 4 } { A 4 } Definition (Deduktion) Eine Deduktion (oder Herleitung oder Beweis) der leeren Klausel aus einer Klauselmenge F ist eine Folge von K 1, K 2,..., K m von Klauseln mit folgenden Eigenschaften: K m ist die leere Klausel und für jedes i = 1,..., m gilt, dass K i entweder Element von F ist oder aus gewissen Klauseln K a,k b mit a, b < i resolviert werden kann. Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn eine Deduktion der leeren Klausel existiert. Es ist also nicht notwendig, ganz Res (F ) zu berechnen, sondern es können geeignete Such-Heuristiken verwendet werden. Barbara König Logik 115 Barbara König Logik 116

31 skalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften herleiten kann. Syntaktische Umformungsregeln:, Stopp bei Erreichen der leeren Klausel Semantische Eigenschaft: Unerfüllbarkeit Wünschenswerte Eigenschaften eines Kalküls: Korrektheit: Wenn die leere Klausel aus F abgeleitet werden kann, dann ist F unerfüllbar. Vollständigkeit: Wenn F unerfüllbar ist, dann ist die leere Klausel aus F ableitbar. Beispiel mit otter Wir wollen zeigen, dass ((AK BK) (AK BK) (BK RL AK) RL) ( AK BK) gültig ist. Das ist genau dann der Fall, wenn (AK BK) ( AK BK) ( BK RL AK) RL (AK BK) unerfüllbar ist. (Wegen: F G gültig gdw. F G unerfüllbar.) Barbara König Logik 117 Barbara König Logik 118 Beispiel mit otter Wir verwenden otter einen Theorembeweiser basierend auf. otter Mit Hilfe von otter kann man sbeweise durchführen. otter ist eigentlich für die gedacht, für die ist im allgemeinen ein aussagenlogischer SAT-Solver (wie limboole) angebracht. otter ist inzwischen zu prover9 weiterentwickelt worden, wir verwenden in der Vorlesung jedoch trotzdem otter, weil man in der Ausgabe sehr schön die sbeweise nachvollziehen kann. Barbara König Logik 119 Beispiel mit otter Eingabesyntax (Beispielformel) set(prolog_style_variables). set(binary_res). clear(unit_deletion). clear(factor). list(sos). ak bk. % (ak bk) in limboole-syntax -ak bk. % (!ak bk) -bk -rl -ak. % (!bk!rl!ak) rl. % rl ak -bk. % (ak!bk) end_of_list. Die Optionen zu Beginn stellen sicher, dass die in der Vorlesung eingeführte Art der verwendet wird. Barbara König Logik 120

32 Beispiel mit otter Textuelle Ausgabe von otter PROOF [] ak bk. 2 [] -ak bk. 3 [] -bk -rl -ak. 4 [] rl. 5 [] ak -bk. 6 [binary,2.1,1.1] bk. 7 [binary,5.2,6.1] ak. 8 [binary,3.1,6.1] -rl -ak. 11 [binary,8.1,4.1] -ak. 12 [binary,11.1,7.1] $F end of proof Beispiel mit otter Ausgabe von otter visuell mit GraphViz aufbereitet Barbara König Logik 121 Barbara König Logik 122 Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Wir betrachten nun eine Formel, bei der viele Erfüllbarkeitstester (SAT-Solver) ein schlechtes Verhalten zeigen. Pigeonhole-Prinzip/Dirichletsches Schubfachprinzip Wenn N + 1 Tauben in N Schlägen sitzen, dann gibt es in mindestens einem Schlag zwei (oder mehr) Tauben. Wir verwenden zur Formalisierung folgende atomare Formeln: T i,j mit i {1,..., N + 1}, j {1,..., N}. A(T i,j ) = 1 bedeutet dabei, dass die i-te Taube im j-ten Schlag sitzt. Wir formalisieren zunächst: N + 1 Tauben sitzen in N Schlägen. Jede Taube sitzt in mindestens einem Schlag: F 1 = i {1,...,N+1} j {1,...,N} T i,j Keine Taube sitzt in zwei Schlägen: F 2 = ( T i,j1 T i,j2 ) i {1,...,N+1} j 1,j 2 {1,...,N}, j 1 j 2 In einem Schlag sitzen (mindestens) zwei Tauben: G = (T i1,j T i2,j) i 1,i 2 {1,...,N+1}, i 1 i 2 j {1,...,N} Barbara König Logik 123 Barbara König Logik 124

33 Beispiel: Pigeonhole-Prinzip Der gesamte aussagenlogische Ausdruck lautet: Anwendung: Sudoku Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests F 1 F 2 G. Er ist gültig genau dann, wenn F 1 F 2 G unerfüllbar ist. Dabei ist F 1 F 2 G schon beinahe in konjunktiver Normalform. Mit Hilfe eines Programms kann man Formeln für jedes N erzeugen und mit Hilfe von limboole überprüfen. Für diese Art von Formeln zeigt limboole ein relativ schlechtes Laufzeitverhalten, bereits ab N = 12 dauert der Test sehr lange. Sudoku-Regeln Ein Sudoku-Feld ist ein Schachbrett mit 9 Zeilen und 9 Spalten. Es ist außerdem unterteilt in 9 Regionen, bestehend aus 3 3 Feldern. Barbara König Logik 125 Barbara König Logik 126 Anwendung: Sudoku Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests Anwendung: Sudoku Beispiel: ein Sudoku-Solver, basierend auf Erfüllbarkeitstests Sudoku-Regeln Zu Beginn sind einige dieser Felder mit Zahlen aus der Menge {1,..., 9} gefüllt Sudoku-Regeln Die Aufgabe besteht nun darin, das Feld vollständig auszufüllen, so dass in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder Region jede Zahl zwischen 1 und 9 genau einmal vorkommt Barbara König Logik 126 Barbara König Logik 126

34 Anwendung: Sudoku Wir verwenden folgende atomare Formeln, um ein Sudoku zu beschreiben: S i,j,k mit i, j, k {1,..., 9}. A(S i,j,k ) = 1 bedeutet dabei, dass sich auf Feld (i, j) die Zahl k befindet. Mit Hilfe dieser = 729 atomaren Formeln lassen sich nun die Sudoku-Spielregeln mit Hilfe der formalisieren. Anwendung: Sudoku Barbara König Logik 127 Für die Erzeugung dieser Formel als limboole-formel bietet es sich an, ein Programm zu schreiben, das die (sehr große) Formel in eine Datei schreibt. Die Datei besteht aus ca Zeichen. Anschließend muss nur noch die Situation in einem bestimmten Sudoku-Rätsel dargestellt werden, wie z.b. für das obige Beispiel: S115 & S123 & S157 & S216 & S241 & S259 & S265 & S329 & S338 & S386 & S418 & S456 & S493 & S514 & S548 & S563 & S591 & S617 & S652 & S696 & S726 & S772 & S788 & S844 & S851 & S869 & S895 & S958 & S987 & S999 Die entstehende Formel ist erfüllbar und limboole gibt (trotz der Größe der Formel) ohne erkennbare Zeitverzögerung die Lösung aus. Barbara König Logik 129 Anwendung: Sudoku Auf jedem Feld befindet sich eine Zahl: i,j {1,...,9} k {1,...,9} S i,j,k Auf keinem Feld befinden sich zwei Zahlen: ( S i,j,k1 S i,j,k2 ) i,j {1,...,9} k 1,k 2 {1,...,9}, k 1 k 2 In keiner Zeile, Spalte, Region kommt eine Zahl doppelt vor: für Zeile 1 lautet die Formel wie folgt ( S 1,j1,k S 1,j2,k) j 1,j 2 {1,...,9}, j 1 j 2 k {1,...,9} (Für die restlichen Zeilen und für die Spalten und Regionen ergeben sich analoge Formeln). Barbara König Logik 128 Motivation: Herbrandtheorie und Wir beschäftigen uns nun im folgenden mit der, die gegenüber der folgendes erlaubt: Man kann über ein beliebiges Universum (= Grundmenge) und dessen Elemente Aussagen machen. Man kann quantifizieren: für alle x gilt... ; es gibt ein x, so dass... Es gibt mehrstellige Prädikatsymbole (interpretiert als Relationen) und mehrstellige Funktionssymbole (interpretiert als Funktionen). Der Aufbau dieses Kapitels ist ähnlich wie bei der : wir beginnen mit Grundbegriffen (Syntax, Semantik, Gültigkeit, Erfüllbarkeit), Äquivalenz und Normalformen, und beschäftigen uns dann mit der. Barbara König Logik 130

35 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Syntax der : Variablen, Terme Syntax der : Variablen, Terme Definition (Syntax der ) Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3... und k = 0, 1, Hierbei heißt i jeweils der Unterscheidungsindex und k die Stelligkeit (oder Stellenzahl). Wir definieren nun die Terme durch einen induktiven Prozess: 1 Jede Variable ist ein Term. 2 Falls f ein Funktionssymbol mit der Stelligkeit k ist, und falls t 1,..., t k Terme sind, so ist auch f (t 1,..., t k ) ein Term. Bemerkungen zur Syntax der : Es sind auch Funktionssymbole der Stelligkeit 0 eingeschlossen, und in diesem Fall fallen die Klammern weg, d.h., statt c() schreiben wir nur c. Nullstellige Funktionssymbole heißen auch Konstanten(-symbole). Genauso gibt es nullstellige Prädikatsymbole der Form P() bzw. einfach nur P. Barbara König Logik 131 Herbrandtheorie und Syntax der : Variablen, Terme Barbara König Logik 132 Syntax der : Formeln Herbrandtheorie und Weitere Bemerkungen: Für Variablen schreiben wir auch x, y, z, u, v, w,... Für Prädikatsymbole schreiben wir auch P, Q, R, S,... (die Stelligkeit ergibt sich dann aus dem Kontext). Für Funktionssymbole schreiben wir auch f, g, h,... (die Stelligkeit ergibt sich dann ebenfalls aus dem Kontext). Für Konstanten(-symbole) schreiben wir auch a, b, c, d,... Nun können wir (wiederum induktiv) definieren, was Formeln (der ) sind. 1 Falls P ein Prädikatsymbol der Stelligkeit k ist, und falls t 1,..., t k Terme sind, dann ist P(t 1,..., t k ) eine Formel. 2 Für jede Formel F ist auch F eine Formel. 3 Für alle Formeln F und G sind auch (F G) und (F G) Formeln. 4 Falls x eine Variable ist und F eine Formel, so sind auch xf und xf Formeln. Das Symbol wird Existenzquantor und Allquantor genannt. Barbara König Logik 133 Barbara König Logik 134

36 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Syntax der : Formeln Freie und gebundene Variablen Bemerkungen: Atomare Formeln nennen wir genau diejenigen, die die Form P(t 1,..., t n ) haben (gemäß (1)). Falls F eine Formel ist und F als Teil einer Formel G auftritt, so heißt F Teilformel von G. Quantoren binden stärker als alle anderen Operatoren, d.h., Formeln werden folgendermaßen geklammert: xp(x) Q(y) entspricht ( xp(x)) Q(y) P(x) yq(y) R(z) entspricht P(x) ( yq(y)) R(z) Definition (Freie und gebundene Variable) Alle Vorkommen von Variablen in einer Formel werden in freie und gebundene Vorkommen unterteilt. Dabei heißt ein Vorkommen der Variablen x in der Formel F gebunden, falls F eine Formel der Form xg oder xg enthält und x in G vorkommt. Andernfalls heißt dieses Vorkommen von x frei. Eine Formel ohne Vorkommen einer freien Variablen heißt geschlossen oder eine Aussage. Barbara König Logik 135 Freie und gebundene Variablen Beispiele für freie und gebundene Variable: Herbrandtheorie und xp(x): in dieser Formel kommt x gebunden vor. xq(x, y): in dieser Formel kommt x gebunden und y frei vor. ( xp(x)) R(x): in dieser Formel hat x sowohl ein gebundenes als auch ein freies Vorkommen. x(( xp(x)) R(x)): in dieser Formel ist das erste Vorkommen von x unter dem inneren und das zweite Vorkommen unter dem äußeren Quantor gebunden. Definition (Matrix) Die Matrix einer Formel F ist diejenige Formel, die man aus F erhält, indem jedes Vorkommen von bzw., samt der dahinterstehenden Variablen gestrichen wird. Symbolisch bezeichnen wir die Matrix der Formel F mit F. Barbara König Logik 137 Barbara König Logik 136 Aufgabe zur Herbrandtheorie und NF: Keine Formel F: Formel, aber nicht Aussage A: Aussage P(x) xp(a) x y(q(x, y) R(x, y)) xq(x, x) xq(x, y) xp(x) xq(x, x) P(x) P(x) x NF F A Barbara König Logik 138

37 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Aufgabe zur Semantik der : Strukturen NF: Keine Formel F: Formel, aber nicht Aussage A: Aussage x yq(x, y) R(x, y) z(q(z, x) R(y, z)) y(r(x, y) Q(x, z)) x( P(x) P(a)) P(x) xp(x) x y((p(y) Q(x, y)) P(x)) NF F A Definition (Struktur) Eine Struktur ist ein Paar A = (U A, I A ), wobei U A eine beliebige aber nicht-leere Menge ist, die die Grundmenge von A (oder der Grundbereich, der Individuenbereich, das Universum) genannt wird. Ferner ist I A eine Abbildung, die jedem k-stelligen Prädikatensymbol P (im Definitionsbereich von I A ) eine k-stellige Relation über U A zuordnet, jedem k-stelligen Funktionssymbol f (im Definitionsbereich von I A ) eine k-stellige Funktion auf U A zuordnet, jeder Variablen x (im Definitionsbereich von I A ) ein Element der Grundmenge U A zuordnet. Barbara König Logik 139 Semantik der : Strukturen Bemerkungen zu Strukturen: Herbrandtheorie und Eine Struktur ist das analoge Konzept zu Belegungen in der. Die den Funktionssymbolen zugeordneten Funktionen können folgendermaßen dargestellt werden: sei f ein n-stelliges Funktionssymbol, dann schreiben wir f A = I A (f ) mit f A : UA n U A (a 1,..., a n ) f A (a 1,..., a n ), beispielsweise die einstellige Nachfolgerfunktion auf den natürlichen Zahlen (U A = N 0 = {0, 1, 2, 3, 4,... }): f A : N 0 N 0 n n + 1 Barbara König Logik 141 Barbara König Logik 140 Semantik der : Strukturen Herbrandtheorie und Die den Prädikatsymbolen zugeordneten Relationen können folgendermaßen dargestellt werden: sei P ein n-stelliges Prädikatsymbol, dann schreiben wir P A = I A (P) mit P A UA n = U A U }{{ A } n-mal P A = {(a 1,..., a n ) a 1,..., a n U A und... } beispielsweise die zweistellige -Relation auf den natürlichen Zahlen: P A N 0 N 0 P A = {(n, m) n, m N 0 und n m} Barbara König Logik 142

38 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Semantik der : Strukturen Definition (Passende Struktur) Sei F eine Formel und A = (U A, I A ) eine Struktur. A heißt zu F passend, falls I A für alle in F vorkommenden Prädikatsymbole, Funktionssymbole und freien Variablen definiert ist. Der Definitionsbereich der Abbildung I A ist also eine Teilmenge von {Pi k, fi k, x i i = 1, 2, 3,... und k = 0, 1, 2,...} (in der alle Prädikatsymbole, Funktionssymbole und freien Variablen von F enthalten sind) und der Wertebereich (bzw. Bildbereich) von I A ist eine Teilmenge aller Relationen und Funktionen auf U A, sowie der Elemente von U A. Wir schreiben abkürzend statt I A (P) einfach P A, statt I A (f ) einfach f A und statt I A (x) einfach x A. Barbara König Logik 143 Semantik der : Strukturen Herbrandtheorie und Auf analoge Weise definieren wir (induktiv) den (Wahrheits-)Wert einer Formel F unter der Struktur A, wobei wir ebenfalls die Bezeichnung A(F ) verwenden. Es gilt A(F ) {0, 1}. Definition (Wahrheitswert einer Formel) Falls F die Form F = P(t 1,..., t k ) hat mit den Termen t 1,..., t k und k-stelligem Prädikatsymbol P, so ist { 1, falls (A(t1 ),..., A(t A(F ) = k )) P A 0, sonst Falls F die Form F = G hat, so ist Semantik der : Strukturen Definition (Wert eines Terms) Sei F eine Formel und A eine zu F passende Struktur. Für jeden Term t, den man aus den Bestandteilen von F bilden kann (also aus den freien Variablen und Funktionssymbolen), definieren wir nun den Wert von t in der Struktur A, den wir mit A(t) bezeichnen. Es gilt A(t) U A. Die Definition ist wieder induktiv. 1 Falls t eine Variable ist (also t = x), so ist A(t) = x A. 2 Falls t die Form t = f (t 1,..., t k ) hat, wobei t 1,..., t k Terme und f ein k-stelliges Funktionssymbol ist, so ist A(t) = f A (A(t 1 ),..., A(t k )). Fall (2) schließt auch die Möglichkeit ein, dass f nullstellig ist, d.h., t = a für eine Konstante a. In diesem Fall gilt A(t) = a A. Barbara König Logik 144 Semantik der : Strukturen Herbrandtheorie und Falls F die Form F = (G H) hat, so ist { 1, falls A(G) = 1 und A(H) = 1 A(F ) = 0, sonst Falls F die Form F = (G H) hat, so ist { 1, falls A(G) = 1 oder A(H) = 1 A(F ) = 0, sonst { 1, falls A(G) = 0 A(F ) = 0, sonst Barbara König Logik 145 Barbara König Logik 146

39 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Semantik der : Strukturen Modell, Gültigkeit, Erfüllbarkeit Falls F die Form F = xg hat, so ist { 1, falls für alle d UA gilt: A A(F ) = [x/d] (G) = 1 0, sonst Falls F die Form F = xg hat, so ist { 1, falls es ein d UA gibt mit: A A(F ) = [x/d] (G) = 1 0, sonst Für d U A steht A [x/d] für diejenige Struktur A, die überall mit A identisch ist, bis auf die Definition von x A. Wir definieren x A = d, unabhängig davon, ob I A auf x definiert ist oder nicht. Definition (Modell) Falls für eine Formel F und eine zu F passende Struktur A gilt A(F ) = 1, so schreiben wir wieder A = F. Sprechweise: F gilt in A oder A ist Modell für F. Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit Falls jede zu F passende Struktur ein Modell für F ist, so schreiben wir = F, andernfalls = F. Sprechweise: F ist (allgemein-)gültig. Falls es mindestens ein Modell für die Formel F gibt, so heißt F erfüllbar, andernfalls unerfüllbar. Barbara König Logik 147 Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit Herbrandtheorie und Barbara König Logik 148 Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit Herbrandtheorie und Modell A für F = xp(x): Folgende Formeln sind erfüllbar, aber nicht gültig. Finden Sie jeweils eine Struktur, die ein Modell für die Formel ist, und eine Struktur, die kein Modell für die Formel ist. 1 F = xp(x) 2 G = x yq(x, f (y)) Universum U A = N 0 P A = N 0 (das ist die einzige mögliche Interpretation von P, die zu einem Modell führt) Struktur, die kein Modell für F = xp(x) ist: Universum U B = N 0 P B = {n n N 0, n gerade} Barbara König Logik 149 Barbara König Logik 150

40 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit Modell A für G = x yq(x, f (y)) Universum U A = N 0 Q A = {(n, m) n, m N 0, n < m} f A : N 0 N 0 mit f A (n) = n + 1 Struktur, die kein Modell für G = x yq(x, f (y)) ist: Universum U B = N 0 Q B = {(n, m) n, m N 0, n < m} f B : N 0 N 0 mit f B (n) = 1 G: Gültig E: Erfüllbar U: Unerfüllbar xp(a) x( P(x) P(a)) P(a) xp(x) xp(x) xp(x) xp(x) yp(y) xp(x) xp(f (x)) G E U Bemerkung: diese Strukturen sind natürlich keineswegs die einzigen Beispiele für Modelle bzw. Nicht-Modelle von F, G. Barbara König Logik 151 mit Gleichheit Herbrandtheorie und Barbara König Logik 152 Aufgabe zu Erfüllbarkeit und Gültigkeit Herbrandtheorie und Bei mit Gleichheit sind Formeln genauso aufgebaut, wie bei herkömmlicher, mit dem Unterschied, dass es ein spezielles Prädikat = gibt, das in Infix-Notation verwendet wird. Das heißt, zur Definition der Syntax wird folgender Satz hinzugefügt: Falls t 1, t 2 Terme sind, dann ist (t 1 = t 2 ) eine Formel. Außerdem steht (t 1 t 2 ) für (t 1 = t 2 ). Und die Definition des Wahrheitswert einer Formel wird folgendermaßen ergänzt: Falls F die Form F = (t 1 = t 2 ) hat mit den Termen t 1, t 2, so ist { 1, falls A(t1 ) = A(t A(F ) = 2 ) 0, sonst G: Gültig E: Erfüllbar U: Unerfüllbar x y z(x y y z x z) x y(x = y f (x) = f (y)) x y(f (x) = f (y) x = y) x y z(f (x) = y f (x) = z y z) G E U Barbara König Logik 153 Barbara König Logik 154

41 Herbrandtheorie und Herbrandtheorie und Tarski s World Tarski s World Screenshot Tarski s World Tarski s World ist eine Lehrsoftware für, entworfen von Jon Barwise und John Etchemendy. Dabei werden die Formeln auf einem Schachbrett evaluiert, auf dem sich Tetraeder, Würfel und Dodekaeder in drei Größen (small, medium, large) befinden können. Gegenüber der allgemeinen gibt es sowohl Einschränkungen an die Syntax von Formeln als auch an die zulässigen Strukturen. Ob eine Formel für eine bestimmte Welt gilt (oder nicht), kann in einem Spiel gegen den Rechner intuitiv veranschaulicht werden. Barbara König Logik 155 Herbrandtheorie und Barbara König Logik 156 Herbrandtheorie und Tarski s World Einschränkungen an die Syntax zulässige Konstanten und Prädikatsymbole: Zulässige Konstanten: a, b, c, d, e, f Zulässige Prädikatsymbole (Auswahl): Einstellig: Tet, Cube, Dodec, Small, Medium, Large Zweistellig: Smaller, Larger, BackOf, FrontOf, LeftOf, RightOf Dreistellig: Between Neben den Konstanten kommen in den Formeln bei Tarski s World keine weiteren Funktionssymbole vor. Variablen, aussagenlogische Operatoren und Quantoren können beliebig benutzt werden. Außerdem ist das Prädikat Gleichheit (=) erlaubt. Barbara König Logik 157 Tarski s World Einschränkungen an die Semantik zulässige Strukturen: Universen bestehen immer aus Mengen von Körpern auf dem Schachbrett. Die Interpretation der Prädikatsymbole ist durch die Größe und Art der Körper und durch ihre Positionierung auf dem Schachbrett festgelegt. Beispielsweise gilt: Tet(a) bedeutet, dass a ein Tetraeder ist. Smaller(a, b) bedeutet, dass a kleiner als b ist. LeftOf (c, d) sagt aus, dass sich c links von d befindet. Between(a, b, c) sagt aus, dass sich a zwischen b und c befindet. Barbara König Logik 158