FORMALE SYSTEME. 22. Vorlesung: Äquivalenzen und Normalformen. TU Dresden, 11. Januar Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme
|
|
|
- Clara Sachs
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 FORMALE SYSTEME 22. Vorlesung: Äquivalenzen und Normalformen Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 11. Januar 2018
2 Rückblick Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 2 von 33
3 10. Januar 2018 Happy 80th Birthday, Don Knuth! If you find that you re spending almost all your time on theory, start turning some attention to practical things; it will improve your theories. If you find that you re spending almost all your time on practice, start turning some attention to theoretical things; it will improve your practice. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 3 von 33
4 Aussagenlogik Syntax: F P F (F F) (F F) (F F) (F F) Semantik: Wertzuweisungen w : P {1, 0} zur Interpretation von Atomen Erweiterung von Atomen auf Formeln: w(f) w( F) w(f) w(g) w(f G) w(f G) w(f G) w(f G) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 4 von 33
5 Logische Schlussfolgerung Modelle: w = F gdw. w(f) = 1 gdw. w ist Modell von F gdw. w erfüllt F Logische Konsequenzen: F = G gdw. jedes Modell von F ist auch ein Modell von G gdw. G ist immer wahr wenn alle Formeln in F wahr sind Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 5 von 33
6 Logische Schlussfolgerung Modelle: w = F gdw. w(f) = 1 gdw. w ist Modell von F gdw. w erfüllt F Logische Konsequenzen: F = G gdw. jedes Modell von F ist auch ein Modell von G gdw. G ist immer wahr wenn alle Formeln in F wahr sind Dualität von Modellen und Formeln: Je mehr Formeln in F desto weniger Modelle erfüllen alle Formeln in F desto mehr Formeln sind in allen diesen Modellen wahr desto mehr Konsequenzen hat F Aussagenlogik ist monoton (mehr Annahmen mehr Schlüsse) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 5 von 33
7 Modellierungsbeispiel: Sudoku (1) Sudoku ist ein bekanntes Zahlenpuzzle. Aufgabe: Fülle jedes Feld mit einer Ziffer von 1 bis 9, so dass Spalten, Zeilen und die fetten Teilquadrate jede Ziffer nur einmal enthalten Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 6 von 33
8 Modellierungsbeispiel: Sudoku (2) Wir können Sudoku aussagenlogisch modellieren: Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 7 von 33
9 Modellierungsbeispiel: Sudoku (2) Wir können Sudoku aussagenlogisch modellieren: Atome: Für jede Ziffer z {1,..., 9} und alle Koordinaten i, j {1,..., 9} verwenden wir ein Atom p z [i, j] für die Aussage an Position (i, j) steht die Ziffer z Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 7 von 33
10 Modellierungsbeispiel: Sudoku (2) Wir können Sudoku aussagenlogisch modellieren: Atome: Für jede Ziffer z {1,..., 9} und alle Koordinaten i, j {1,..., 9} verwenden wir ein Atom p z [i, j] für die Aussage an Position (i, j) steht die Ziffer z Spielregeln modellieren wir als logische Formeln: Für alle i, j: p 1 [i, j] p 2 [i, j]... p 9 [i, j] Für alle i, j, z, z mit z z : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, i, j, z mit i i : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, j, j, z mit j j : p z [i, j] p z [i, j ] Für alle i, j, i, j, z mit (i, j) (i, j ); (i, j), (i, j ) im gleichen Teilquadrat: p z [i, j] p z [i, j ] Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 7 von 33
11 Modellierungsbeispiel: Sudoku (2) Wir können Sudoku aussagenlogisch modellieren: Atome: Für jede Ziffer z {1,..., 9} und alle Koordinaten i, j {1,..., 9} verwenden wir ein Atom p z [i, j] für die Aussage an Position (i, j) steht die Ziffer z Spielregeln modellieren wir als logische Formeln: Für alle i, j: p 1 [i, j] p 2 [i, j]... p 9 [i, j] Für alle i, j, z, z mit z z : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, i, j, z mit i i : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, j, j, z mit j j : p z [i, j] p z [i, j ] Für alle i, j, i, j, z mit (i, j) (i, j ); (i, j), (i, j ) im gleichen Teilquadrat: p z [i, j] p z [i, j ] Vorgegebene Ziffern werden als atomare Formeln dargestellt, z.b. p 3 [3, 1] im vorigen Beispiel Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 7 von 33
12 Modellierungsbeispiel: Sudoku (2) Wir können Sudoku aussagenlogisch modellieren: Atome: Für jede Ziffer z {1,..., 9} und alle Koordinaten i, j {1,..., 9} verwenden wir ein Atom p z [i, j] für die Aussage an Position (i, j) steht die Ziffer z Spielregeln modellieren wir als logische Formeln: Für alle i, j: p 1 [i, j] p 2 [i, j]... p 9 [i, j] Für alle i, j, z, z mit z z : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, i, j, z mit i i : p z [i, j] p z [i, j] Für alle i, j, j, z mit j j : p z [i, j] p z [i, j ] Für alle i, j, i, j, z mit (i, j) (i, j ); (i, j), (i, j ) im gleichen Teilquadrat: p z [i, j] p z [i, j ] Vorgegebene Ziffern werden als atomare Formeln dargestellt, z.b. p 3 [3, 1] im vorigen Beispiel Modelle der Formelmenge entsprechen Lösungen des Sudoku Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 7 von 33
13 Äquivalenzen Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 8 von 33
14 Logische Äquivalenz Formeln sind äquivalent, wenn sie die gleiche Semantik haben: Zwei Formeln F und G sind semantisch äquivalent, in Symbolen F G, wenn sie genau die selben Modelle haben, d.h. wenn für alle Wertzuweisungen w gilt: w(f) = w(g) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 9 von 33
15 Logische Äquivalenz Formeln sind äquivalent, wenn sie die gleiche Semantik haben: Zwei Formeln F und G sind semantisch äquivalent, in Symbolen F G, wenn sie genau die selben Modelle haben, d.h. wenn für alle Wertzuweisungen w gilt: w(f) = w(g) Beispiel: p q p q, wie man mithilfe der Wahrheitswertetabelle zeigen kann (die Spalten der Formeln sind gleich): p q p q p p q Vereinfachung: Wir beschriften Tabellenspalten ab jetzt nur mit F statt w(f). Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 9 von 33
16 Logische Äquivalenz Formeln sind äquivalent, wenn sie die gleiche Semantik haben: Zwei Formeln F und G sind semantisch äquivalent, in Symbolen F G, wenn sie genau die selben Modelle haben, d.h. wenn für alle Wertzuweisungen w gilt: w(f) = w(g) Beispiel: p q p q, wie man mithilfe der Wahrheitswertetabelle zeigen kann (die Spalten der Formeln sind gleich): p q p q p p q Vereinfachung: Wir beschriften Tabellenspalten ab jetzt nur mit F statt w(f). Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 9 von 33
17 Nützliche Eigenschaften von Satz: ist eine Äquivalenzrelation, d.h. reflexiv, symmetrisch und transitiv. Beweis: ist definiert als die Gleichheit der Modellmengen. Die gesuchten Eigenschaften ergeben sich, da auch die Relation = auf Mengen eine Äquivalenzrelation ist. Weitere Eigenschaften folgen direkt aus den Definitionen: Satz: Alle Tautologien sind semantisch äquivalent Alle unerfüllbaren Formeln sind semantisch äquivalent Satz: Semantische Äquivalenz entspricht wechselseitiger logischer Konsequenz: F G genau dann wenn F = G und G = F Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 10 von 33
18 Nützliche Eigenschaften von Satz (Ersetzungstheorem): Sei F eine Formel mit einer Teilformel G. Wenn G G und wenn F aus F gebildet werden kann, indem man ein beliebiges Vorkommen von G in F durch G ersetzt, dann gilt auch F F. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 11 von 33
19 Nützliche Eigenschaften von Satz (Ersetzungstheorem): Sei F eine Formel mit einer Teilformel G. Wenn G G und wenn F aus F gebildet werden kann, indem man ein beliebiges Vorkommen von G in F durch G ersetzt, dann gilt auch F F. Beweisskizze : Aus G G bedeutet, dass w = G gdw. w = G für beliebige Wertzuweisungen w. In der rekursiven Definition von = erfüllt daher die Teilformel G genau die selben Bedingungen wie G, so dass sich auch für F und F der selbe Wert ergibt. Dieser Satz ist ein Sonderfall der allgemeingültigen und intuitiven Tatsache, dass der Wert von rekursiv definierten Funktionen gleich bleibt, wenn man die syntaktische Definition einer Teilberechnung durch eine andere ersetzt, die stets den gleichen Wert liefert. Streng genommen folgt aus der Definition von = zunächst nur, dass die Ersetzung einer direkten Unterformel Äquivalenz erhält. Zum Beispiel folgt G H G H aus G G. Um zu zeigen, dass auch Ersetzungen in beliebiger Tiefe Äquivalenz erhalten, ist noch ein induktives Argument nötig, welches die Äquivalenz im Formelbaum nach oben propagiert. Aus G H G H folgt z.b. (G H) J (G H) J usw. usf. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 11 von 33
20 Junktoren äquivalent ausdrücken Viele Junktoren können durch andere ausgedrückt werden: F G F G (F G) F G (F G) (G F) (F G) ( F G) F G ( F G) (De Morgansches Gesetz) F G ( F G) (De Morgansches Gesetz) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 12 von 33
21 Junktoren äquivalent ausdrücken Viele Junktoren können durch andere ausgedrückt werden: F G F G (F G) F G (F G) (G F) (F G) ( F G) F G ( F G) (De Morgansches Gesetz) F G ( F G) (De Morgansches Gesetz) Weitere Junktoren können mithilfe äquivalenter Formeln definiert werden: F G (F G) F G (NAND) F G (F G) F G (NOR) p p p p (Wahrheit; p P beliebig) p p (Falschheit; p P beliebig) Wir werden insbesondere und manchmal verwenden. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 12 von 33
22 Junktoren äquivalent ausdrücken (2) Satz: Sei F eine beliebige aussagenlogische Formel. Es gibt eine zu F äquivalente Formel, die nur die Junktoren und enthält. Es gibt eine zu F äquivalente Formel, die nur die Junktoren und enthält. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 13 von 33
23 Junktoren äquivalent ausdrücken (2) Satz: Sei F eine beliebige aussagenlogische Formel. Es gibt eine zu F äquivalente Formel, die nur die Junktoren und enthält. Es gibt eine zu F äquivalente Formel, die nur die Junktoren und enthält. Beweis: Für den ersten Fall ersetzen wir iterativ Teilformeln, die nicht die gewünschte Form haben, gemäß den folgenden Regeln: (G H) ( G H) (G H) (G H) (G H) ( (G H) (H G)) Jede Ersetzung führt zu einer äquivalenten Formel (Ersetzungstheorem), der Algorithmus terminiert (jeder Junktor wird höchstens einmal ersetzt) und das Ergebnis hat die gewünschte Form. Der zweite Fall ist analog. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 13 von 33
24 Nützliche Äquivalenzen (1) F G G F F G G F (F G) H F (G H) (F G) H F (G H) F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) F F F F F F F (F G) F F (F G) F Kommutativität Assoziativität Distributivität Idempotenz Absorbtion Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 14 von 33
25 Nützliche Äquivalenzen (2) F F (F G) ( F G) (F G) ( F G) F F F F F F doppelte Negation De Morgansche Gesetze Gesetze mit Gesetze mit Alle diese Äquivalenzen können leicht mit Wahrheitswertetabellen überprüft werden. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 15 von 33
26 Äquivalente Mengen von Formeln Die Definition von Äquivalenz ist leicht auf Formelmengen erweiterbar: Zwei Formelmengen F und G sind äquivalent, in Symbolen F G, wenn sie die selben Modelle haben. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 16 von 33
27 Äquivalente Mengen von Formeln Die Definition von Äquivalenz ist leicht auf Formelmengen erweiterbar: Zwei Formelmengen F und G sind äquivalent, in Symbolen F G, wenn sie die selben Modelle haben. Formelmengen verallgemeinern die Konjunktion, denn es gilt: {F 1,..., F n } {F 1... F n } Vereinfachung: Dank Assoziativität verzichten wir ab jetzt in Formeln wie (((F 1 F 2 ) F 3 ) F 4 ) auf Klammern (ebenso für ). Allerdings dürfen Formelmengen auch unendlich sein (Konjunktionen dagegen nicht). Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 16 von 33
28 = entspricht und entspricht Satz (Deduktionstheorem): Für jede Formelmenge F und Formeln G und H gilt F = G H genau dann wenn F {G} = H. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 17 von 33
29 = entspricht und entspricht Satz (Deduktionstheorem): Für jede Formelmenge F und Formeln G und H gilt F = G H genau dann wenn F {G} = H. Beweis: Einfache Anwendung der Definitionen. ( ) Wenn jedes Modell von F die Formel G H erfüllt, dann muss jedes dieser Modelle, welches zudem G erfüllt, H erfüllen. ( ) Wenn jedes Modell von F, welches zudem G erfüllt, auch H erfüllt, dann muss jedes Modell von F auch G H erfüllen. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 17 von 33
30 = entspricht und entspricht Satz (Deduktionstheorem): Für jede Formelmenge F und Formeln G und H gilt F = G H genau dann wenn F {G} = H. Beweis: Einfache Anwendung der Definitionen. ( ) Wenn jedes Modell von F die Formel G H erfüllt, dann muss jedes dieser Modelle, welches zudem G erfüllt, H erfüllen. ( ) Wenn jedes Modell von F, welches zudem G erfüllt, auch H erfüllt, dann muss jedes Modell von F auch G H erfüllen. Notation: Wir schreiben = F statt = F um auszudrücken, dass F allgemeingültig ist. Satz: F G genau dann wenn = F G. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 17 von 33
31 = entspricht und entspricht Satz (Deduktionstheorem): Für jede Formelmenge F und Formeln G und H gilt F = G H genau dann wenn F {G} = H. Beweis: Einfache Anwendung der Definitionen. ( ) Wenn jedes Modell von F die Formel G H erfüllt, dann muss jedes dieser Modelle, welches zudem G erfüllt, H erfüllen. ( ) Wenn jedes Modell von F, welches zudem G erfüllt, auch H erfüllt, dann muss jedes Modell von F auch G H erfüllen. Notation: Wir schreiben = F statt = F um auszudrücken, dass F allgemeingültig ist. Satz: F G genau dann wenn = F G. Beweis: F G gdw. F = G und G = F gdw. = F G und = G F (wegen Deduktionstheorem) gdw. = F G. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 17 von 33
32 Curry Mit Deduktionstheorem und dem Bezug von Formelmengen und Konjunktionen erhält man ein weiteres interessantes Ergebnis: = (F G) H gdw. {F G} = H gdw. {F, G} = H gdw. {F} = G H gdw. = F (G H) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 18 von 33
33 Curry Mit Deduktionstheorem und dem Bezug von Formelmengen und Konjunktionen erhält man ein weiteres interessantes Ergebnis: Tatsächlich gilt allgemein: = (F G) H gdw. {F G} = H gdw. {F, G} = H gdw. {F} = G H gdw. = F (G H) (F G) H F (G H) Die Ersetzung von (F G) H durch F (G H) wird Currying (im Deutschen manchmal auch: Schönfinkeln) genannt vgl. funktionale Programmierung Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 18 von 33
34 Normalformen Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 19 von 33
35 (C) Fred Benenson, 2008, CC-BY 2.0 Aaron Swartz 8. November Januar 2013 The Internet s Own Boy Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 20 von 33
36 Normalformen Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 21 von 33
37 Normalform Normalformen sind besondere syntaktische Formen aussagenlogischer Formeln Sie heißen so, weil sich jede aussagenlogische Formel in eine äquivalente Formel in Normalform umformen lässt Wir werden hier drei wichtige Normalformen kennenlernen: Negationsnormalform (NNF) Konjunktive Normalform (KNF) Disjunktive Normalform (DNF) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 22 von 33
38 Negationsnormalform Eine Formel F ist in Negationsnormalform (NNF) wenn (a) sie nur die Junktoren, und enthält und (b) der Junktor nur direkt vor Atomen vorkommt (d.h. nur in Teilformeln der Form p mit p P). Formeln, die negierte oder nicht-negierte Atome sind, nennt man Literale. In NNF darf Negation also nur in Literalen auftauchen. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 23 von 33
39 Negationsnormalform Eine Formel F ist in Negationsnormalform (NNF) wenn (a) sie nur die Junktoren, und enthält und (b) der Junktor nur direkt vor Atomen vorkommt (d.h. nur in Teilformeln der Form p mit p P). Formeln, die negierte oder nicht-negierte Atome sind, nennt man Literale. In NNF darf Negation also nur in Literalen auftauchen. Beispiele: ( p q) (p q) ist in NNF (b b) (b b) ist nicht in NNF q p ist nicht in NNF p p ist nicht in NNF Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 23 von 33
40 Umwandlung in NNF Es ist möglich, eine Formel rekursiv in NNF umzuformen. Dazu ersetzten wir zunächst alle Vorkommen von und durch äquivalente Formeln (wie zuvor). Sei F eine Formel, die nur die Junktoren, und enthält. Wir definieren eine Formel NNF(F) rekursiv wie folgt: NNF(p) = p falls p P NNF(F G) = NNF(F) NNF(G) NNF(F G) = NNF(F) NNF(G) NNF( p) = p falls p P NNF( F) = NNF(F) NNF( (F G)) = NNF( F) NNF( G) NNF( (F G)) = NNF( F) NNF( G) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 24 von 33
41 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
42 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
43 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
44 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
45 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
46 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
47 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) = NNF( ( ( p q) p)) NNF(p) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
48 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) = NNF( ( ( p q) p)) NNF(p) = (NNF( ( p q)) NNF( p)) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
49 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) = NNF( ( ( p q) p)) NNF(p) = (NNF( ( p q)) NNF( p)) p = (NNF( p q) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
50 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) = NNF( ( ( p q) p)) NNF(p) = (NNF( ( p q)) NNF( p)) p = (NNF( p q) p) p = ((NNF( p) NNF(q)) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
51 Beispiel Wir betrachten die Formel ((p q) p) p. Zunächst eliminieren wir Vorkommen von in beliebiger Reihenfolge: ((p q) p) p (( p q) p) p ( ( p q) p) p ( ( p q) p) p Anschließend wenden wir NNF an: NNF( ( ( p q) p) p) = NNF( ( ( p q) p)) NNF(p) = (NNF( ( p q)) NNF( p)) p = (NNF( p q) p) p = ((NNF( p) NNF(q)) p) p = (( p q) p) p Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 25 von 33
52 NNF-Definition (Wiederholung) Sei F eine Formel, die nur die Junktoren, und enthält. Wir definieren eine Formel NNF(F) rekursiv wie folgt: NNF(p) = p falls p P NNF(F G) = NNF(F) NNF(G) NNF(F G) = NNF(F) NNF(G) NNF( p) = p falls p P NNF( F) = NNF(F) NNF( (F G)) = NNF( F) NNF( G) NNF( (F G)) = NNF( F) NNF( G) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 26 von 33
53 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
54 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
55 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Terminierung: Ist sichergestellt, dass die rekursive Berechnung terminiert? Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
56 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Terminierung: Ist sichergestellt, dass die rekursive Berechnung terminiert? Ja, denn NNF wir in jedem Rekursionsschritt auf Formeln angewendet, die insgesamt weniger Junktoren haben als zuvor. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
57 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Terminierung: Ist sichergestellt, dass die rekursive Berechnung terminiert? Ja, denn NNF wir in jedem Rekursionsschritt auf Formeln angewendet, die insgesamt weniger Junktoren haben als zuvor. Korrektheit: Ist das Ergebnis der rekusiven Umwandlung in NNF? Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
58 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Terminierung: Ist sichergestellt, dass die rekursive Berechnung terminiert? Ja, denn NNF wir in jedem Rekursionsschritt auf Formeln angewendet, die insgesamt weniger Junktoren haben als zuvor. Korrektheit: Ist das Ergebnis der rekusiven Umwandlung in NNF? Ja, denn kommt im Ergebnis nur in Fall p (p P) vor. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
59 NNF-Umwandlung: Korrektheit Ist diese Umformung korrekt? Wohldefiniertheit: Deckt die Rekursion wirklich jeden Fall ab? Ja, wie man leicht überprüfen kann (der Fall ist nach der Form der negierten Formel nochmals in vier Unterfälle aufgespalten). Terminierung: Ist sichergestellt, dass die rekursive Berechnung terminiert? Ja, denn NNF wir in jedem Rekursionsschritt auf Formeln angewendet, die insgesamt weniger Junktoren haben als zuvor. Korrektheit: Ist das Ergebnis der rekusiven Umwandlung in NNF? Ja, denn kommt im Ergebnis nur in Fall p (p P) vor. Satz: Jede Formel kann (in linearer Zeit) in eine äquivalente Formel in NNF umgewandelt werden. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 27 von 33
60 Konjunktive und Disjunktive Normalform Wir erinnern uns: Literale = negierte oder nicht-negierte Atome Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF) wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist, d.h. wenn sie die Form hat: (L 1,1... L 1,m 1 ) (L 2,1... L 2,m 2 )... (L n,1... L n,m n ) wobei die Formeln L i,j Literale sind. Eine Disjunktion von Literalen heißt Klausel. Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF) wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist, d.h. wenn sie die Form hat: (L 1,1... L 1,m 1 ) (L 2,1... L 2,m 2 )... (L n,1... L n,m n ) wobei die Formeln L i,j Literale sind. Eine Konjunktion von Literalen heißt Monom. Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 28 von 33
61 KNF und DNF bilden (Methode 1) Man kann KNF und DNF direkt aus der Wahrheitswertetabelle ablesen: p q p q Disjunktive Normalform: Für jede Zeile mit Wert 1, bilde ein Monom mit allen Atomen, wobei genau die Atome mit Wert 0 negiert werden Beispiel: (p q) ( p q) Konjunktive Normalform: Für jede Zeile mit Wert 0, bilde eine Klausel mit allen Atomen, wobei genau die Atome mit Wert 1 negiert werden Beispiel: (p q) ( p q) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 29 von 33
62 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 30 von 33
63 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Beispiel: (p q) ( p q)
64 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Beispiel: (p q) ( p q) ((p q) p) ((p q) q))
65 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Beispiel: (p q) ( p q) ((p q) p) ((p q) q)) (p p) ( q p) ((p q) q))
66 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Beispiel: (p q) ( p q) ((p q) p) ((p q) q)) (p p) ( q p) ((p q) q)) (p p) ( q p) (p q) ( q q)
67 KNF und DNF bilden (Methode 2) Man kann KNF und DNF bilden, indem man die NNF erzeugt und anschließend Distributivgesetze anwendet oft direkter Konjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) Beispiel: (p q) ( p q) ((p q) p) ((p q) q)) (p p) ( q p) ((p q) q)) (p p) ( q p) (p q) ( q q) (Man könnte die wahren Klauseln (p p) und ( q q) streichen.) Disjunktive Normalform Distributivgesetz: F (G H) (F G) (F H) (analog) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 30 von 33
68 Wie effizient sind die Umformungen in KNF? Ableitung aus Wahrheitswertetabelle Anzahl der Zeilen (=Klauseln) exponentiell in Variablenzahl Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 31 von 33
69 Wie effizient sind die Umformungen in KNF? Ableitung aus Wahrheitswertetabelle Anzahl der Zeilen (=Klauseln) exponentiell in Variablenzahl Umformung mit Distributivgesetz Negationsnormalform hat lineare Größe Distributivgesetz kann Vorkommen von Formeln verdoppeln exponentielles Wachstum Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 31 von 33
70 Wie effizient sind die Umformungen in KNF? Ableitung aus Wahrheitswertetabelle Anzahl der Zeilen (=Klauseln) exponentiell in Variablenzahl Umformung mit Distributivgesetz Negationsnormalform hat lineare Größe Distributivgesetz kann Vorkommen von Formeln verdoppeln exponentielles Wachstum Beispiel: Wir betrachten die Atome a i und b i für i {1,..., n}. Für ergibt sich die KNF: (a 1 b 1 ) (a 2 b 2 )... (a n b n ) (a 1 a 2... a n ) (b 1 a 2... a n )... (b 1 b 2... b n ) } {{ } 2 n Klauseln mit allen Kombinationen aus a i und b i Anzahl der Klauseln exponentiell in Variablenzahl Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 31 von 33
71 Effizientere Normalformen? Unsere Umformungen sind schlimmstenfalls exponentiell Allgemein unvermeidbar: Es gibt oft keine kleinere KNF/DNF Für KNF (aber nicht für DNF!) kann das Problem durch Einführung zusätzlicher Hilfsvariablen gelöst werden (Es gibt eine polynomielle Formel in KNF mit zusätzlichen Variablen, welche bezüglich der Variablen der ursprünglichen Formel semantisch äquivalent ist) Beispiel: (a 1 b 1 ) (a 2 b 2 )... (a n b n ) ist ausdrückbar als: ((a 1 b 1 ) c 1 ) (c 1 ((a 2 b 2 ) c 2 )) (c 2 ((a 3 b 3 ) c 3 ))... (c n 1 (a n b n )) Diese Formel ist fast äquivalent (bis auf die zusätzlichen c i ) und hat eine polynomielle KNF (Jede Zeile kann einzeln in KNF übersetzt werden, wobei Formeln fester Größe entstehen, von denen es linear viele gibt.) Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 32 von 33
72 Zusammenfassung und Ausblick In der Aussagenlogik gelten viele nützliche Äquivalenzen die man für Umformungen ausnutzen kann Die Negationsnormalform vereinfacht Formeln, indem Negationen nach unten verschoben werden Konjunktive und disjunktive Normalform stellen beliebige Formeln als Konjunktion bzw. Disjunktion dar, allerdings zum Teil mit erheblichen (exponentiellen) Kosten Offene Fragen: Geht logisches Schließen auch ohne Wahrheitswertetabellen? Wie (in)effizient ist logisches Schließen? Was hat das mit Sprachen, Berechnung und TMs zu tun? Markus Krötzsch, 11. Januar 2018 Formale Systeme Folie 33 von 33
FORMALE SYSTEME. 10. Januar Aussagenlogik. Logische Schlussfolgerung. Happy 80th Birthday, Don Knuth!
10. Januar 2018 FORMALE SYSTEME 22. Vorlesung: Äquivalenzen und Normalformen Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 11. Januar 2018 Happy 80th Birthday, Don Knuth! If you find
23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Kr otzsch Professur f ur Wissensbasierte Systeme Normalformen
Logik: Glossar FORMALE SYSTEME 23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 15. Januar 2018 Atom kleinste mögliche Formel p P Teilformel Unterausdruck,
FORMALE SYSTEME. 23. Vorlesung: Logisches Schließen. TU Dresden, 16. Januar Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme
FORMALE SYSTEME 23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 16. Januar 2017 Rückblick Markus Krötzsch, 16. Januar 2017 Formale Systeme Folie 2 von 31
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
Jeder Aussage p kann ein Wahrheitswert W(p) {0, 1} zugeordnet werden. Beispiele: W(Es regnet.) =? (je nach Lage der Dinge) W(Die Straße ist naß.) =?
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl.
1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
Logische Äquivalenz. Definition Beispiel 2.23
Logische Äquivalenz Definition 2.22 Zwei aussagenlogische Formeln α, β A heißen logisch äquivalent, falls für jede Belegung I von α und β gilt: Schreibweise: α β. Beispiel 2.23 Aus Folgerung 2.6 ergibt
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f,,,,, aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA Atome (Aussagenvariablen) p, q, r,... P IS zusammengesetzte
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 7.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/42 Zusammenfassung Syntax
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf das Inselreich mit Menschen von Typ W (Wahrheitssager) und Typ L (Lügner). THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen
Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
Logik Vorlesung 5: Grundlagen Resolution
Logik Vorlesung 5: Grundlagen Resolution Andreas Maletti 21. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
Aussagenlogik. (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f. Die Semantik aussagenlogischer Formeln ist durch die Funktion
43 Vergleiche mit MBA! (MAF4) MAF(I, (F G)) = MAF(I, F) MAF(I, G), wobei die zum Symbol gehörende Funktion ist. (MAF3) MAF(I, F) = MAF(I, F) (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f (MAF1) MAF(I, A) = I(A),
Zusammenfassung Syntax: Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln. Zusammenfassung
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Zusammenfassung Syntax Zusammenfassung Syntax: Motivation Definition der Syntax: Alphabet, Junktor
Logik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit
Logik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit Andreas Maletti 14. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade
TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur, Junktoren: t, f,,,,, Prinzip der strukturellen Induktion über Baumstruktur von Formeln, arithmetischen Ausdrücken usw. induktive
Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Dennis Nolte, Harsh Beohar Barbara König Logik 1 Mengen, Relationen und Funktionen Menge: Menge X von Elementen,
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK
THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 31. Mai 2017 Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
Ersetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 2: Logik 1 Prädikatenlogik (Einleitung) 2 Aussagenlogik Motivation Grundlagen Eigenschaften Eigenschaften Normalformen
Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
Aussagenlogik: Syntax von Aussagen
Aussagenlogik: Syntax von Aussagen A ::= X (A A) (A A) ( A) (A A) (A A) 0 1 Prioritätsreihenfolge :,,,,. A B: Konjunktion (Verundung). A B: Disjunktion (Veroderung). A B: Implikation. A B: Äquivalenz.
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Allgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
Grundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 07.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Gestern Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz
TU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =
Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min
Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016.
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
Übung 15. Zeige, dass man jede Formel äquivalent in eine neue Formel umwandeln kann, die nur die Operatoren und! verwendet.
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 28) Übung 5 Zeige, dass man jede Formel äquivalent in eine neue Formel umwandeln kann, die nur die Operatoren und! verwendet. Zum Beweis muss man nur prüfen, dass
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker Wintersemester 2007/08 Thomas Schwentick Teil A: Aussagenlogik 2. Grundlagen Version von: 2. November 2007(16:19) Inhalt 2.1 Beispiele 2.2 Syntax 2.3 Semantik 2.4 Modellierung mit
Definition (Modus Ponens) Wenn A, dann B. A gilt Also, gilt B
Zusammenfassung der letzten LVA Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Fakt Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten Aussagen Einführung
3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln
Übung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
b= NaN
42 Beispiel: IEEE single precision: 0 10000000 00000000000000000000000 b= + 2 128 127 1.0 2 = 2 0 10000001 10100000000000000000000 b= + 2 129 127 1.101 2 = 6.5 1 10000001 10100000000000000000000 b= 2 129
Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik
Logik Vorlesung 9: Normalformen
Logik Vorlesung 9: Normalformen Andreas Maletti 19. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
Theoretische Informatik: Logik
Theoretische Informatik: Logik Vorlesung mit Übungen im WS 2006/2007 Vorlesung: Montag Montag 9-10 Uhr, Raum 1603 WAneu 14-16 Uhr, Raum 1603 WAneu Beginn: Montag, den 23.10.2006, 9 15 Uhr. Übungen in 3
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37 Modellierungsaufgabe Es gibt drei Tauben und zwei Löcher. Jede Taube soll in
Logik für Informatiker Logic for computer scientists
Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 23 Die Logik der Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 23 Aussagenlogische
Normalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
Normalformen. Aussagenlogik. Aussagenlogik
Literale Normalformen Definition Ein Literal ist eine Aussagenvariable oder die Negation einer Aussagenvariablen. Literale Normalformen Prolog-Programm p03.pl (Anfang) :- op(550,fx,p). %Aussagenvariable
Klauselmengen. Definition Sei
Klauselmengen Definition 2.38 Sei α = (p 11... p 1k1 )... (p n1... p nkn ) eine in aussagenlogische Formel in KNF. Dann heißen die Mengen {p i1,..., p iki }, 1 i n, der jeweils disjunktiv verknüpften Literale
Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
Formale Techniken der Software-Entwicklung
Formale Techniken der Software-Entwicklung Matthias Hölzl, Christian Kroiß 15. April 2014 Sequenzenkalkül Kann man mit den Schlussregeln falsche Aussagen ableiten? Gibt es wahre Aussagen, die man nicht
Grundlagen der Programmierung
GdP4 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 4 vom 04.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel Grundlagen der Programmierung 1. Einführung Grundlegende Eigenschaften von Algorithmen und Programmen
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
FORMALE SYSTEME. Besprechung Lehrevaluation. Kommentare: Verständlichkeit und Motivation. Kommentare: Allgemeines
FORMALE SYSTEME 21. Vorlesung: Aussagenlogik Besprechung Lehrevaluation Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 8. Januar 2017 Markus Krötzsch, 8. Januar 2017 Formale Systeme
FORMALE SYSTEME. 21. Vorlesung: Aussagenlogik. TU Dresden, 9. Januar Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme
FORMALE SYSTEME 21. Vorlesung: Aussagenlogik Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 9. Januar 2017 Besprechung Lehrevaluation Markus Krötzsch, 9. Januar 2017 Formale Systeme Folie
Logik. Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering. TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15
Logik Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 1 / 125 Übersicht Modallogik 5. Grundlagen 6. Erfüllbarkeit
FORMALE SYSTEME. 21. Vorlesung: Aussagenlogik. TU Dresden, 8. Januar Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme
FORMALE SYSTEME 21. Vorlesung: Aussagenlogik Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 8. Januar 2017 Besprechung Lehrevaluation Markus Krötzsch, 8. Januar 2017 Formale Systeme
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
Erfüllbarkeitstests. Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl.
Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln
Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik Syntax & Semantik. Motivation. Motivation
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Mit der Aussagenlogik lassen sich einfache Verknüpfungen zwischen (atomaren) Gebilden ausdrücken
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz
Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz Andreas Maletti 12. Dezember 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
FORMALE SYSTEME. Besprechung Lehrevaluation. Kommentare: Beispiele und Praxisbezug. Kommentare: Allgemeines
FORMALE SYSTEME 21. Vorlesung: Aussagenlogik Besprechung Lehrevaluation Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 9. Januar 2017 Markus Krötzsch, 9. Januar 2017 Formale Systeme Folie
Deduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
Kapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:
Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,
5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation
Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung
Deduktion in der Aussagenlogik. Semantische Folgerungsbeziehung. Zusammenhang zwischen semantischer und syntaktischer Folgerung
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
Logik (Prof. Dr. Wagner FB AI)
Logik (Prof. Dr. Wagner FB AI) LERNZIELE: Über die Kenntnis und das Verständnis der gegebenen Definitionen hinaus verfolgt dieser Teil der Lehrveranstaltung die folgenden Lernziele: Bei gegebenen sprachlichen
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
Logic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
Logik für Informatiker Logic for computer scientists
Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 24 Die Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 24 Die Negation Wahrheitstafel
f ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Bemerkungen: Wir erinnern uns an folgende Definitionen: Eine Funktion f : U V heißt injektiv, wenn gilt: ( x, y U)[x y f(x) f(y)] Eine Funktion f : U V heißt surjektiv, wenn gilt: ( y V x U)[y = f(x)]
Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:
Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
Überblick. Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz. Aussagenlogik (1) Wissenrepräsentations- und inferenzsysteme (2)
Überblick Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz Aussagenlogik (1) Dr. David Sabel WS 2012/13 Grober Inhalt des Kapitels Aussagenlogik allgemein Darstellung von Wissen in der Aussagenlogik
1 Aussagenlogik AL: Verknüpfung von Aussagen
1 Aussagenlogik AL: Verknüpfung von Aussagen Syntax atomare Formeln A,B,C sind AL-Formeln F und G AL-Formeln (F G),(F G) und F AL-Formeln müssen in endlich vielen Schritten gebildet werden können echtes
Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen