Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

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1 Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln (p, q, r,...): Aussagenvariablen IS zusammengesetzte Formeln (ϕ, ψ, η,...): Verknüpfung von Formeln durch Junktoren Semantik Bedeutung der Syntaxelemente eines Junktors: Wahrheitswertfunktion einer Aussagenvariablen: Wahrheitswert aller Aussagenvariablen einer Menge P: Interpretation (Belegung) W : P {0, 1} einer Formel aus AL(P): Interpretation (Fortsetzung einer Belegung) W : AL(P) {0, 1}

2 Menge aller Variablen einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ AL(P) ist die Menge var(ϕ) aller in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann var(ϕ) = {p} IS: nullstellige Junktoren: für ϕ = t oder ϕ = f gilt var(ϕ) = einstellige Junktoren: für ϕ = ϕ 1 gilt var(ϕ) = var(ϕ 1 ) zweistellige Junktoren: für ϕ = ϕ 1 ϕ 2 mit {,,, } gilt var(ϕ) = var(ϕ 1 ) var(ϕ 2 ) Beispiel: Für ϕ = p ((q t) (r q)) gilt var(ϕ) = {p, q, r}

3 Größe einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ AL(P) ist ihre Größe size(ϕ) definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann size(ϕ) = 1 IS: nullstellige Junktoren: size(t) = size(f) = 0 einstellige Junktoren: size( ϕ) = size(ϕ) zweistellige Junktoren: size(ϕ ψ) = size(ϕ) + size(ψ) für {,,, } Beispiel: ϕ = p ((q t) (r q)) gilt size(ϕ) = 4 size(ϕ) ist die Anzahl aller mit Variablen makierten Blätter im Formelbaum von ϕ Allgemein gilt size(ϕ) var(ϕ)

4 Menge aller Teilformeln einer Formel Definition (induktiv): Für eine aussagenlogische Formel ϕ AL(P) ist die Menge TF(ϕ) aller in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen definiert durch: IA: falls ϕ = p (Atom), dann TF(ϕ) = {p} IS: nullstellige Junktoren: für ϕ = t oder ϕ = f gilt TF(ϕ) = ϕ einstellige Junktoren: für ϕ = ϕ 1 gilt TF(ϕ) = {ϕ} TF(ϕ 1 ) zweistellige Junktoren: für ϕ = ϕ 1 ϕ 2 mit {,,, } gilt TF(ϕ) = {ϕ} TF(ϕ 1 ) TF(ϕ 2 ) Bestimmung von Variablenmenge, Größe, Menge der Teilformeln einer aussagenlogischen Formel nach Schema Induktion über Struktur der Formel

5 Wahrheitswerttabellen Untersuchung der Werte einer Formel ϕ AL(P) in allen möglichen Interpretationen W W(P) Darstellung in einer Tabelle mit Zeilen Interpretationen W : var(ϕ) : {0, 1} Spalten Teilformeln von ϕ W (p 1 ) W (p n ) W (ψ) für Teilformeln ψ von ϕ W (ϕ) Beispiel (Tafel): ϕ = p ((q t) (r q)) Wertetabelle einer n-stelligen Booleschen Funktion f ϕ : {0, 1} n {0, 1}. Die Semantik jeder aussagenlogischen Formel mit n Aussagenvariablen ist eine n-stellige Boolesche Funktion.

6 Modelle Definition 2.3 Jede aussagenlogische Interpretation W mit W (ϕ) = 1 heißt Modell (oder erfüllende Belegung der Aussagenvariablen) für ϕ. Menge aller Modelle von ϕ AL(P): Mod(ϕ) = {W : P {0, 1} W (ϕ) = 1} Beispiel: Mod(p p) = W({p}), Mod(p p) = Fakt 2.4 Für alle Formeln ϕ, ψ AL(P) gilt Mod( ϕ) = W(P) \ Mod(ϕ) (1) Mod(ϕ ψ) = Mod(ϕ) Mod(ψ) (2) Mod(ϕ ψ) = Mod(ϕ) Mod(ψ) (3) Zusammenhang: logische Junktoren Mengenoperationen

7 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Definition 2.5 Eine Formel ϕ AL(P) heißt erfüllbar, wenn sie ein Modell hat (Mod(ϕ) ) Beispiel: p p unerfüllbar (Widerspruch), wenn sie kein Modell hat (Mod(ϕ) =, für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 0), Beispiel: p p allgemeingültig (Tautologie), wenn jede Belegung ein Modell für ϕ AL(P) ist (Mod(ϕ) = W(P), für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 1). Beispiel: p p Fakt 2.6 Eine Formel ϕ AL(P) ist genau dann allgemeingültig, wenn die Formel ϕ unerfüllbar ist.

8 Semantische Äquivalenz Definition 2.7 Zwei Formeln ϕ und ψ mit Mod(ϕ) = Mod(ψ) heißen (semantisch) äquivalent (ϕ ψ). Nachweis z.b. durch Wahrheitswerttabellen Beispiele: ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) (ψ ϕ) Äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitswertfunktion (Semantik). Achtung: Das Symbol ist kein Junktor (Syntax), sondern ein Symbol für eine Relation zwischen Formeln (Semantik).

9 Wichtige Äquivalenzen ϕ ϕ ϕ, ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ϕ, ϕ ψ ψ ϕ (Kommutativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η ϕ (ψ η) (ϕ ψ) η (Assoziativität von und ) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) ϕ (ψ η) (ϕ ψ) (ϕ η) (Distributivgesetze) ϕ ϕ (Doppelnegation) (ϕ ψ) ϕ ψ, (ϕ ψ) ϕ ψ (DeMorgansche Regeln) ϕ ψ ( ϕ ψ), (Dualität von und ) ϕ ψ ( ϕ ψ) ϕ ψ ψ ϕ (Kontraposition) ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ)

10 Umformen von Formeln Satz 2.8 (Ersetzbarkeitstheorem) Für drei Formeln ϕ, ψ, η AL(P), wobei ψ η und ψ eine Teilformel von ϕ ist, gilt: ϕ ϕ, wobei ϕ entsteht, wenn in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η ersetzt wird. Formeln können also durch Ersetzung äquivalenter Teilformeln in semantisch äquivalente Formeln umgeformt werden. (Änderung der Syntax bei unveränderter Semantik)