Wiederholung Signatur, Terme

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1 Was bisher geschah (algebraische) Strukturen zur zusammenhängenden Modellierung von Mengen von Individuen (evtl. verschiedener Typen) Funktionen auf Individuen dieser Mengen Relationen zwischen Individuen dieser Mengen klare Unterscheidung zwischen Syntax: Symbole zur formalen (maschinell zu verarbeitenden) Darstellung von Sorten (Typen, Mengen), Individuen, Funktionen und Relationen Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) Terme über der Signatur Σ F : Term(Σ F,X) Spezialfall Grundterme (ohne Variablen) Semantik: Σ-Strukturen definieren Bedeutung der Symbole aus Σ Σ-Struktur A = (A, A ) mit A Trägermenge (Universum) für jedes (f, n) Σ F eine Funktion f A : A n A für jedes (R, n) Σ R eine Relation R A A n

2 Wiederholung Signatur, Terme Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Mengen Σ F = {(f, n) n N} von Funktionssymbolen (mit Stelligkeit) Σ R = {(R, n) n N} von Relationssymbolen (mit Stelligkeit) Definition (induktiv) Die Menge Term(Σ F, X) aller Terme über der (funktionalen) Signatur Σ F mit Variablen aus der Menge X ist definiert durch: IA: Jede Variable x X ist ein Term. (X Term(Σ F, X)) IS: Sind (f, n) Σ F (f ist n-stelliges Funktionssymbol) und t 1,..., t n Terme aus Term(Σ F, X), dann ist f (t 1,..., t n ) ein Term aus Term(Σ F, X).

3 Mehr Beispiele für Σ F = {(+, 2), (, 2), (, 2), (/ 2)} {(q, 0) q Q} ist Term(Σ F, ) die Menge aller arithmetischen Ausdrücke (Terme) mit rationalen Zahlen (z.b. 3/5+1/4), Term(Σ F, {a, b, c}) die Menge aller arithmetischen Ausdrücke (Terme) mit rationalen Zahlen und Variablen aus der Menge {a, b, c} (z.b. (3 a) + ((2 b)/c)), Σ F = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)} apfel Term(ΣF, ), Grundterm kirsche (x, pflaume(y, banane)) Term(ΣF, {x, y, z}) kein Grundterm banane(apfel(pflaume, kirsche(pflaume))) Term(Σ F,X) pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) Term(ΣF, ) 229

4 Größe von Termen Für jeden Term t Term(Σ F, X) ist seine Größe size(t) (induktiv) definiert durch: IA: falls t = x X, dann size(t) = 1 IS: falls t = f (t 1,..., t n ), dann size(t) = 1 + n size(t i ) i=1 Beispiele für Σ F = {(f, 1), (g, 2), (h, 2), (c, 0)} und X = {x, y, z}: size(x) = 1 (IA) size(c) = = 1 (IS) size(f (x)) = 1 + size(x) = 2 size(h(f (x), c)) = 1 + size(f (x)) + size(c) = = 4 230

5 Menge aller Variablen in einem Term Für jeden Term t Term(Σ F, X) ist die Menge var(t) aller in t vorkommenden Variablen (induktiv) definiert durch: IA: falls t = x X (Variable), dann var(t) = {x} IS: falls t = f (t 1,..., t n ) mit (f, n) Σ F, dann var(t) = var(t 1 ) var(t n ) Beispiel: Für t = f (g(x, a), g(f (a, y), x)) gilt var(t) = {x, y} 231

6 Wert von Grundtermen in Strukturen gegeben: funktionale Signatur Σ F = {(f, n) n N} Σ-Struktur A = (A, A ) Definition (induktiv) Der Wert des Σ F -Grundtermes t = f (t 1,..., t n ) Term(Σ F, ) in der Σ F -Struktur A = (A, A ) ist t A = f A ( t 1 A,..., t n A ) Fehlt hier der Induktionsanfang? nein, ist als Spezialfall enthalten: Für Terme t = c mit (c, 0) Σ F (Konstante) gilt t A = c A (Bedeutung der Konstante c in A, gegeben in Definition von A) 232

7 Beispiel Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Σ F = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)} Σ R = {(rettich, 1), (tomate, 2)} s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) Σ-Struktur A = (A, A ) mit A = N apfel A = 5 banane A = 3 für alle (x, y) A 2 : kirsche A (x, y) = x + y für alle (x, y) A 2 : pflaume A (x, y) = x y rettich A = {0,..., 10} tomate A = {(2n, n) n N} s A = apfel A = 5 t A =

8 Weiteres Beispiel s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) Σ-Struktur B = (B, B ) mit B = {0, 1} apfel B = 0 banane B = 1 für alle (x, y) B 2 : kirsche B (x, y) = min(x, y) für alle (x, y) B 2 : pflaume B (x, y) = max(x, y) rettich B = {0} tomate B = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} s B = apfel B = 0, t B =

9 Weiteres Beispiel s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) Σ-Struktur C = (C, C ) mit C = Menge aller Studenten hier apfel C = Student hinten rechts banane C = Student daneben für alle (x, y) C 2 : kirsche C (x, y) = x für alle (x, y) C 2 : pflaume C (x, y) = y rettich C = {x C x ist blond} tomate C = {(x, y) C 2 x hilft y} s C = apfel C = Student hinten rechts t C =

10 Noch ein Beispiel s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) Σ-Struktur D = (D, D ) mit D = 2 N apfel D = banane D = N für alle M, N D: kirsche D (M, N) = M N für alle M, N D: pflaume D (M, N) = M N rettich D = {M N M N} tomate D = {(M, N) D 2 M N} s D = apfel D =, t D =

11 Äquivalenz von Grundtermen in einer Struktur Σ F -Grundterme s, t Term(Σ F, ) mit s A = t A heißen äquivalent in A (s A t). In den Beispielen oben gilt s A t s B t s C t s D t schon bekannter Spezialfall: semantische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln (ohne Aussagenvariablen) 237

12 Interpretation von Termen mit Variablen gegeben: Signatur Σ = (Σ F, Σ R ), Variablenmenge X Σ-Struktur A = (A, A ) t Term(Σ F, X) Welchen Wert (Individuum) in A haben Variablen x X? Belegung β : X A der Individuenvariablen (ordnet jeder Variablen einen Wert aus dem Träger von A zu) Eine Interpretation für einen Term t Term(Σ F, X) ist ein Paar (A, β) aus einer Σ-Struktur A = (A, A ) und einer Belegung β : X A. 238

13 Beispiele Term s = f (g(x, a), g(f (a, y), x)) über der Signatur Σ =... Interpretation (A, α) mit Σ-Struktur A = (N, A ), wobei a A = 1 f A (x, y) = x + y g A (x, y) = x y und Variablenbelegung α : {x, y} N, wobei α(x) = 2 und α(y) = 1 Interpretation (B, β) mit Σ-Struktur B = (2 {a,b,c}, B ): a B = {b, c} f B (x, y) = x \ y g B (x, y) = x y und Variablenbelegung β : {x, y} 2 {a,b,c}, wobei β(x) = und β(y) = {b} 239

14 Werte von Termen mit Variablen Der Wert des Termes t Term(Σ F, X) in der Σ F -Interpretation (A, β), bestehend aus der Σ F -Struktur A = (A, A ) und der Belegung β : X A ist (induktiv) definiert durch IA für t = x X gilt t (A,β) = β(x) IS für t = f (t 1,..., t n ) gilt t (A,β) = f A ( t1 (A,β),..., t n (A,β) ) Der Wert eines Termes in einer Interpretation ((A, A ), α) ist ein Element aus A. (Man bemerke die Analogie zur Berechnung des Wahrheitswertes einer aussagenlogischen Formel mit Aussagenvariablen.) Der Wert von Grundtermen aus Term(Σ F, ) in einer Interpretation (A, α) hängt nicht von der Belegung α ab. 240

15 Beispiele Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Σ F = {(a, 0), (b, 0), (f, 1), (g, 2), (h, 2)} und Σ R = Variablenmenge X = {x, y} Σ-Struktur S = (S, S ) mit S = N a S = 5 b S = 3 f S (a) = 1 + a g S (a, b) = a + b h S (a, b) = a b Variablenbelegungen β : {x, y} N mit β(x) = 0, β(y) = 1 γ : {x, y} N mit γ(x) = 2, γ(y) = 0 Terme s = g(h(f (a), x), h(x, y)) und t = h(f (x), g(y, a)) s (S,β) =..., t (S,β) =..., s (S,γ) =..., t (S,γ) =... (Tafel) 241

16 Atome (elementare Aussagen) Atome in Aussagenlogik : Aussagenvariable, bekommt festen Wahrheitswert durch Belegung (der Aussagenvariablen) Prädikatenlogik : (parametrisierte) Aussage über Eigenschaften von oder Beziehungen zwischen Individuen Wahrheitswert abhängig von beteiligten Individuen z.b. nebeneinander(x, y), gerade(n), x < 3, x < y, sindgeschwister(x, Mutter(y)) 242

17 Atome Syntax Atom elementare Formel, repräsentiert Eigenschaft von oder Beziehung zwischen Individuen Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Menge Σ F von Funktionssymbolen mit Stelligkeit (f, n) Menge Σ R von Relationssymbolen mit Stelligkeit (R, n) Definition Menge aller Σ-Atome mit Variablen aus der Menge X: Atom(Σ,X) = {R(t 1,..., t n ) (R, n) Σ R und t 1,..., t n Term(Σ F,X)} Atome ohne Individuenvariablen heißen Grundatome. Menge aller Grundatome: Atom(Σ, ) 243

18 Atome Beispiele Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Σ F = {(1, 0), (2, 0), (, 1), (+, 2)} Σ R = {(=, 2), (, 2)} Variablenmenge X = {x, y, z} x = 2 Atom(Σ,X) x + 2 Atom(Σ,X) (aber x + 2 Term(Σ F,X)) Atom(Σ, ) Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Σ F = {(a, 0), (b, 0), (k, 2), (d, 2)} Σ R = {(P, 1), (Q, 2)} Variablenmenge X = {x, y} y Atom(Σ, X) P(x) Atom(Σ, X) P(a) Atom(Σ, ) P(Q(P(a), k(x, y))) Atom(Σ,X) Q(k(a, d(y, a)), x) Atom(Σ,X) 244

19 Atome Semantik Signatur Σ = (Σ F, Σ R ), Variablenmenge X Σ-Interpretation (A, α) mit Σ-Struktur A = (A, A ) Belegung der Individuenvariablen α : X A Wert des Atomes a = P(t 1,..., t n ) Atom(Σ,X) in der Interpretation (A, α): a (A,α) = P(t 1,..., t n ) (A,α) ( ) = P A t1 (A,α),..., t n (A,α) = { 1 falls ( t1 (A,α),..., t n (A,α) ) P A 0 sonst (Spezialfall Atom a mit (a, 0) Σ R : a (A,α) = a A ) Der Wert eines Atomes in einer Interpretation (A, α) ist ein Wahrheitswert. Der Wert von Grundatomen aus Atom(Σ, ) in einer Interpretation (A, α) hängt nicht von der Belegung α ab. 245

20 Semantik von Atomen Beispiele Signatur Σ = (Σ F, Σ R ) mit Σ F = {(a, 0), (f, 1)} und Σ R = {(P, 1), (R, 2)}, Variablenmenge X = {x, y} Σ-Struktur S = (S, S ) mit S = {0, 1, 2} a S = 1 d S : f S (d) = 2 d P S = {0, 2} R S = {(1, 0), (1, 2), (2, 2)} Belegung β : {x, y} {0, 1, 2}: β(x) = 0, β(y) = 1 Wert der folgenden Atome aus Atom(Σ, X) in der Interpretation (S, β) (Tafel): P(f (x)) (S,β) = P S ( f (x) (S,β) ) = P S (2) = 1 {0, 1} (WW) P(x) (S,β) =..., P(a) (S,β) =..., P(f (a)) (S,β) =..., P(f (f (x))) (S,β) =..., R(x, a) (S,β) =..., R(f (y), x) (S,β) =