WS 2013/14. Diskrete Strukturen

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1 WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Prädikatenlogik 2 Die Korrekheit des Arguments Wenn (alle X sind Y) und (Z ist ein X), dann (Z ist ein Y). kann mit der Aussagenlogik nicht nachgewiesen werden. Intuitiver Grund: die Aussagenlogik formalisiert nur die Begriffe und, oder, nicht, wenn dann aber nicht die Begriffe für alle oder ist. Die Korrekheit des Argumentes hängt aber von den Letzten. Vergleiche: Wenn A und B dann C Wenn alle A sind B und C ist A dann C ist B Prädikatenlogik: Aussagenlogik + für alle, es gibt + ist

3 Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme. Zum automatischen Beweisen von Theoremen. Zur automatischen Verifikation von Programmen. Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken. Und viele mehr. 3

4 Subjekte und Prädikate 4 In dem Satz Sokrates ist sterblich ist Sokrates das Subjekt (das Individuum, von dem etwas behauptet wird) und sterblich das Prädikat (die Eigenschaft, die von dem Individuum behauptet wird). In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Abbildung P( ) von Individuen auf Aussagen, z.b. P(x) = x ist-sterblich (wobei x eine Variable ist, die mit Individuen instantiert wird). Aus logischer Sicht ist Sokrates ist sterblich eine Abkürzung für das Individuum Sokrates hat die Eigenschaft, sterblich zu sein.

5 Mehrstellige Prädikate Der Satz Anna liebt Bernhard kann aus logischer Sicht als Abkürzung für Anna hat die Eigenschaft, Bernhard-zu-lieben betrachten werden. Dann muss jedoch ein Prädikat für jedes Individuum eingeführt werden: Bernhard-zu-lieben, Cesarzu-lieben, Daniel-zu-lieben, Stattdessen wird Anna liebt Bernhard als ein Satz über das Paar (Anna, Bernhard) betrachtet. Das Prädikat ist: das-erste-individuum-liebt-das-zweite-individuum 5

6 Mehrstellige Prädikate In der Prädikatenlogik wird das durch ein zweistelliges Prädikat P(, ) modelliert. P(, ) bildet Paare von Individuen auf Aussagen ab, z.b. P(x, y) = x liebt y (wobei x, y Variablen sind, die mit den Individuen instantiert werden können). Prädikate höherer Arität sind auch möglich 6

7 Funktionen In dem Satz Die Mutter von Sokrates ist sterblich ist Mutter von eine Funktion, die jeden Mensch auf seiner Mutter abbildet. In der Prädikatenlogik wird eine Funktion als eine Abbildung f( ) von Individuen auf Individuen, z.b. 7 m(x) = Mutter-von-x (wobei x eine Variable ist, die mit den Individuen instantiert werden kann). Funktionen können höhere Arität haben: z.b. im Satz Die Summe der Zahlen 3 und 5 ist 8 ist Summe eine Funktion der Arität 2.

8 Syntax der Prädikatenlogik Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen 8 zusammen: (Individuen)variablen: x, y, z, Konstanten: a, b, c, Unäre Prädikatsymbole: P, Q, R, Binäre Prädikatsymbole: P, Q, R, usw. Unäre Funktionssymbole: f, g, h, Binäre symbole: f, g, h, usw. Gleichheitssymbol: = Logische Operatoren:,,, Quantoren: ( für alle ), ( es gibt ) Hilfssymbole: (, )

9 Syntax der Prädikatenlogik Formationsregeln Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term. Regel 1: sind t,, t Terme, dann ist f (t,, t ) ebenfalls ein Term. Regel 2: sind t,, t Terme, dann ist P (t,, t ) eine Formel. Regel 3: sind t und u Terme, dann ist t = u eine Formel. Regel 4: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 5: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G) und (F G) ebenfalls Formeln. Regel 6: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind x F und x F ebenfalls Formeln 9

10 Syntax der Prädikatenlogik Formationsregeln Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term. Regel 1: sind t,, t Terme, dann ist f (t,, t ) ebenfalls ein Term. Regel 2: sind t,, t Terme, dann ist P (t,, t ) eine Formel. Regel 3: sind t und u Terme, dann ist t = u eine Formel. Regel 4: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 5: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G) und (F G) ebenfalls Formeln. Regel 6: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind x F und x F ebenfalls Formeln 10

11 Syntax der Prädikatenlogik Formationsregeln Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term. Regel 1: sind t,, t Terme, dann ist f (t,, t ) ebenfalls ein Term. Regel 2: sind t,, t Terme, dann ist P (t,, t ) eine Formel. Regel 3: sind t und u Terme, dann ist t = u eine Formel. Regel 4: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 5: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G) und (F G) ebenfalls Formeln. Regel 6: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind x F und x F ebenfalls Formeln 11

12 Syntax der Prädikatenlogik Formationsregeln Regel 0: jede Variable und jede Konstante ist ein Term. Regel 1: sind t,, t Terme, dann ist f (t,, t ) ebenfalls ein Term. Regel 2: sind t,, t Terme, dann ist P (t,, t ) eine Formel. Regel 3: sind t und u Terme, dann ist t = u eine Formel. 12

13 Syntax der Prädikatenlogik Formationsregeln Regel 4: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 5: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G) und (F G) ebenfalls Formeln. Regel 6: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind x F und x F ebenfalls Formeln 13

14 Aufgabe: Formeln oder Nicht-Formeln? P (x) x (f(x) P (x)) x = P (x) x x (P x Q (x, b)) ( x P a Q 1 (x)) P (x, y) x x y (x = y Q 1 (y)) x P x = Q (f g x ) x f(x) P x P 1 (x) P x Q a, y f(x) = y 14

15 Syntax der Prädikatenlogik Die Stelligkeit der Prädikat- und Funktionssymbolen lassen wir oft weg. Wir nehmen an, dass alle Vorkommisse eines Symbols dieselbe Stelligkeit haben. Beispiel: x y (P x, y P(y, x)) Achtung: x (P x P(x, x)) ist keine Formel! Manchmal lassen wir Klammern weg, oder fügen welche hinzu. Dabei nehmen wir an, dass Quantoren stärker als Konjunktion, Disjunktion und Implikation binden: x P x Q(y) ist die Formel x P x Q(y) und nicht x (P x Q(y)) 15

16 Syntax der Prädikatenlogik Der Gültigkeitsbereich eines Vorkommens einer Variablen x in einer Formel F ist die kleinste Unterformel von F der Gestalt x G oder x G, welche das Vorkommen enthält. Wenn es diese Unterformel nicht gibt, dann ist der Gültigkeitsbereich die Formel F selbst. Im ersten Fall heisst das Vorkommen gebunden, sonst ist das Vorkommen frei. Eine Formel ohne freie Vorkommnisse von Variablen heisst geschlossen. 16

17 Syntax der Prädikatenlogik Beispiele: x P x Q(x) Erstes Vorkommen von x ist gebunden, zweites frei. x (P x y (P y Q(x, y))) Die Formel ist geschlossen. 17

18 Syntax der Prädikatenlogik Später werden wir definieren, wann zwei Formel äquivalent sind. Es wird folgendes gelten: Jede Formel ist äquivalent zu einer bereinigten Formel, in der keine Variable sowohl gebunden wie auch frei vorkommt, und hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene variablen stehen. Meistens werden Formel in bereignigten Form dargestellt. In diesem Fall kann man von freien und gebundenen Variablen einer Formel sprechen. 18

19 Aufgabe Kapitel II Grundlagen; Logik Nicht- Formel Formel Bereig. Formel 19 x P(a) x y (P(x, y) Q(x, y)) x Q x, x x Q(x, y) x P(x) x Q(x, x) x (P x y P(x)) P x x Q(x, P(x)) x x P(x, f(x))

20 Semantik der Prädikatenlogik: Intuition Die Semantik einer Formel ist die Funktion, die jede mögliche Welt, die zur Formel passt, dem Wahrheitswert der Formel (0 oder 1) in dieser Welt zuordnet. Eine Welt, die zu F = x P(a, x) passt, und in der F wahr ist (meiner Meinung nach ). 20 Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen. a ist Emma Stone P(y, x) bedeutet y ist mindestens so attraktiv wie x

21 Semantik der Prädikatenlogik: Intuition Eine Welt, die zu F = x P(a, x) passt, und in der F falsch ist (diesmal mit Sicherheit). Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen. a ist die 7 P(y, x) bedeutet y ist ein vielfaches von x 21

22 Semantik der Prädikatenlogik: Intuition Eine Welt, die zu F = x P(a, x) nicht passt. Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen. P(y, x) bedeutet y ist mindestens so attraktiv wie x und noch eine. Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen. a ist die 0 Die Frage nach dem Wahrheitswert einer Formel in einer Welt, die zur Formel nicht passt, ist sinnlos. Eine passende Welt für x P(y, x) muss der freien Variable y ein Individuum zuordnen. (Das Individuum, auf das y zeigt.) 22

23 Formale Semantik der Prädikatenlogik Das Fachwort für Welt ist Struktur. Eine Struktur S besteht aus zwei Teilen: Eine nichtleere Menge U, genannt Universum (Wertebereich, Individuenbereich, Grundmenge, Domäne, ) Die Menge aller Individuen der Welt. Eine Interpretation I. 23

24 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Interpretation I ist eine partielle Funktion, die eine Variable x einem Element x von U, eine Konstante a einem Element a von U, ein k-stelliges Prädikatsymbol P einer Menge P U, und ein k-stelliges Funktionsymbol f eine Funktion f : U U zuordnet. 24

25 Formale Semantik der Prädikatenlogik Intuition: x S ist das Individuum, auf dem die Variable x zeigt a S ist das Individuum mit dem Namen a P S ist die Menge der Tupel von Individuen mit der Eigenschaft P f S ist die Funktion mit dem Namen f Beachte: P S kann extensional beschrieben werden, wir zählen die Tupel von P S auf. Ähnlich für f. Das Universum kann jedoch unendlich sein! 25

26 Formale Semantik der Prädikatenlogik Eine Struktur S = (U, I ) passt zu einer Formel F falls die Interpretation I für alle in F vorkommenden Prädikatsymbole, Konstanten, und freien Variablen definiert ist. Beispiel: S passt zu x P(x, a, y) wenn a, y, und P definiert sind. Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede Struktur S, die zu F passt, ( jeder Welt ) einem Wahrheitswert [F](S) zuordnet. 26

27 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel x (P x y Q(x, y)) Struktur S = (U, I ) U 1 = N P = { n N n ist gerade } Q = { n, m N N n + m = 5 } Struktur S = (U, I ) U = { 0, 1, 2 } P 2 = { 0 } Q = n, m 0, 1, 2 0, 1, 2 n m 27

28 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel x (P x y Q(x, y)) Struktur S = (U, I ) U = die Menge M der Personen in diesem Hörsaal P = die Menge der Männer in diesem Hörsaal Q 3 = { n, m M M n ist mindestens so schlau wie m} Struktur S = (U, I ) U = { a, b } P = { a } Q = { (a, b), (b, a), (b, b) } 28

29 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel x (P x y Q(x, y)) Struktur S = (U, I ) U 5 = N P 5 = Q 5 = Struktur S 6 = (U, I ) U =die Menge der Fußballer, die am nächsten Sonntag mindestens ein Tor in der 1. Bundesliga schießen werden 29 P 6 = { f U 6 f spielt für Borussia Dortmund } Q = { f, f U U f 1 und f 2 schießen am nächsten Sonntag genau soviele Tore}

30 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (1) Semantik der Formeln P(u,, u ): Sei F = P(u 1,, u n ). F S = 1 falls u,, u P 0 falls u,, u P (2) Semantik der Formeln t = u 30 t = u S = 1 falls t = u 0 falls t u

31 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (3) Semantik der Booleschen Operatoren: wie für die Aussagenlogik. Z.B. sei F = (G H) für Formeln F und G: 1 falls G S = 0 oder H S = 1 F S = 0 falls G S = 1 und H S = 0 31

32 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (4) Semantik der Quantoren. Sei S die Struktur, die identisch mit S ist, bis auf die Tatsache, dass in S die Variable x auf das Individuum d zeigt, i.e., S = d. (x kann nicht definiert sein oder auf ein anderes Individuum zeigen.) 32

33 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (4.1) Semantik des Existenzquantors. F = x G für eine Formel G. F S = 1 falls es ein d U gibt mit: G S = 1 0 falls für alle d U gilt: G S = 0 Sei F = x P(x), U = {a, b}, P = {a} 33 Wir haben [F](S) = 1, denn [P(x)](S ) = 1

34 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (4.2) Semantik des Allquantors. 34 F = x G für eine Formel G. F S = 1 falls für alle d U gilt: G S = 1 0 falls es ein d U gibt mit: G S = 0 Sei F = x P(x), US = {a, b}, P = {a} Wir haben [F](S) = 0, denn [P(x)](S ) = 0

35 Geschachtelte Quantoren Formel F: x y P(x, y) Struktur S: U S = N P S = { n, m N N n < m} Frage: ist F wahr in S? ( P(x, y) bedeutet x < y ) 35

36 Geschachtelte Quantoren Formel F: x y P(x, y) Struktur S: U S = N P S = { n, m N N n < m} Frage: ist F wahr in S? ( P(x, y) bedeutet x < y ) Ja. Intuitiv bedeutet F in S: für jede Zahl x gibt es eine größere Zahl y. 36

37 Geschachtelte Quantoren 37 Formel F: x y P(x, y) Struktur S: U S = N P S = { n, m N N n < m} ( P(x, y) bedeutet x < y ) Frage: ist F wahr in S? Wir zeigen [ x y P(x, y)](s) = 1 nach der Definition: Es reicht zu zeigen: [ y P(x, y)](s ) = 1 für d = 0,1,2, Wir müssen also ein e finden mit [P(x, y)](s, ) = 1. D.h., wir müssen ein e finden mit d < e. Wir nehmen z.b. e = d + 1. Fertig.

38 Geschachtelte Quantoren Formel G: y x P(x, y) Struktur S: U S = N P S = { n, m N N n < m} Frage: ist G wahr in S? ( P(x, y) bedeutet x < y ) 38

39 Geschachtelte Quantoren 39 Formel G: y x P(x, y) Struktur S: U S = N P S = { n, m N N n < m} Frage: ist G wahr in S? ( P(x, y) bedeutet x < y ) Nein. Intuitiv sagt G in S: es gibt eine Zahl, die größer ist als alle andere (sogar größer als sich selbst!).

40 Aufgabe. Kapitel II Grundlagen; Logik Sei die Interpretation von R(x, y) x verlässt sich auf y. Welche Formel gehört zu welchem Satz? 1. x y R(x, y) a. Es gibt einen, der sich auf alle verlässt. 2. y x R(x, y) b. Jeder kann sich auf jemanden verlassen. 3. x y R(x, y) c. Auf jeden verlässt sich irgend jemand. 4. y x R(x, y) d. Es gibt einen, auf den sich alle verlassen. 5. x y R(x, y) e. Jeder verlässt sich auf alle 40

41 Prädikatenlogik in der Mathematik 41 Mathematiker mischen oft Notationen aus der Logik, der Arithmetik und de Mengenlehre. Z.B. schreiben sie x R: x R: x y = 1 x R ist ein enstelliges Prädikat. Wir schreiben z.b. Reel(x) x y ist ein zweistelliges Funktionsymbol. Wir schreiben z.b. prod(x, y) x R: F ist eine Abkürzung für x(reel x F) x R: F ist eine Abkürzung für x(reel x F)

42 Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Eine Formel F ist allgemeingültig wenn für jede Struktur S, die zu F passt, gilt: [F](S) = 1. Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Struktur S, die zu F passt, gilt: [F](S) = 0. Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Struktur S gibt, die zu F passt, und [F](S) = 1 erfüllt. Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F G) genau dann, wenn für jede Struktur S, die zu F und zu G passt, gilt: [F](S) = [G](S) F folgt aus G (symbolisch: F G) genau dann, wenn F G gültig ist. 42t

43 S-Tautologien, S-Widersprüche, 43 Sei S eine Menge von Strukturen. Eine Formel ist S-gültig, wenn für alle Strukturen S S gilt : [F](S) = 1. Sei null eine Konstante und sei nach ein einstelliges Funktionssymbol. Sei N die Menge aller Strukturen S = (U, I ) mit U = N null = 0 nach n = n + 1 (I S kann für andere Konstanten und Prädikatensymbolen beliebig definiert sein)

44 Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, x x = nach(null) ist nicht gültig, aber N-gültig. Das Induktionsprinzip ist die Formel: (P null y P y P(nach y x P(x) In allen Strukturen aus N sagt diese Formel: Wenn 0 die Eigenschaft P hat, und für alle Zahlen n gilt: wenn n die Eigenschaft P hat, dann hat auch n + 1 die Eigenschaft P, dann haben alle Zahlen die Eigenschaft P Das Induktionsprinzip ist nicht gültig, aber N-gültig. 44

45 Äquivalenzregeln für Quantoren 45 De Morgan s: x F x F x F x F Kommutativität: x y F y x F x y F y x F Distributivität: x F G x F x G x F G x F x G Falls x in G nicht x F G x F G frei vorkommt: x F G x F G x F G x F G x F G x F G

46 Ein Kalkül für logische Inferenzen Das Kalkül enthält alle Regeln des Kalküls für die Aussagenlogik plus vier Regeln für die Einführung und Beseitigung von Quantoren. Sei F eine Formel und a eine Konstante. Mit F[x/a] bezeichnen wir die Formel, die man erhält, in dem alle FREIEN Vorkommnisse von x in F durch a ersetzt werden Beispiele: F = y Q x, y 45 F 1 [x/a] = y Q(a, y) F 2 = P x x Q(x) F 2 [x/a] = P a x Q(x) F 3 = x P x F 3 [x/a] = x P(x)

47 Ein Kalkül für logische Inferenzen 47 Allquantoreinführung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a, die weder in A noch in F vorkommt: A F[x/a] A x F Intuition: um x F zu zeigen, zeige, dass F[x/a] für ein beliebiges a gilt.

48 Ein Kalkül für logische Inferenzen Allquantorbeseitigung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a: A x F A F[x/a] Intuition: wenn x F gilt, dann gilt auch F[x/a] für ein beliebiges a. 48

49 Ein Kalkül für logische Inferenzen Existenzquantorbeseitigung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a, die weder in A noch in F noch in G vorkommt : A x F A, F[x/a] G A G 49 Intuition: Wir wählen einen frischen Namen a für das x, für das F gilt, und zeigen, dass G aus F[x/a] folgt.

50 Ein Kalkül für logische Inferenzen Existenzquantoreinführung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a: A F[x/a] A x F 50 Intuition: um x F zu beweisen, finde einen a, für den F[x/a] gilt.

51 Kapitel II Grundlagen; Beweise Ein Kalkül für logische Inferenzen Beispiel: Zeige, dass aus den zwei Annahmen Jemand in dieser Vorlesung weiss nicht, wer Harry Potter ist Alle in dieser Vorlesung haben die Prüfung bestanden folgendes folgt: Es gibt jemanden, der die Prüfung bestanden hat und nicht weiss, wer Harry Potter ist. 51

52 Kapitel II Grundlagen; Beweise Inferenzregeln für Quantoren Sei S = (U, I ) die Struktur mit U = alle Menschen, V = Studenten dieser Vorlesung, H = Menschen, die Harry Potter kennen, P = Menschen, die die Prüfung bestanden haben. In dieser Struktur sind die Annahmen A: (a) x (V x B(x)) und (b) x (V x P(x)) Die Konklusion ist x (P x B(x)) Wir zeigen: A x (P x B(x)) 52

53 Kapitel II Grundlagen; Beweise Inferenzregeln für Quantoren 53 Schritt Bewiesen durch 1. A, V(a) Æ : H(a) ` V(a) Æ : H(a) An. 2. A, V(a) Æ : H(a) ` V(a) Kon.Bes A, V(a) Æ : H(a) ` x (V(x) \ P(x)) An. (b) 4. A, V(a) Æ : H(a) ` V(a) P(a) All.Bes A, V(a) Æ : H(a) ` P(a) Imp.Bes 2,4 6. A, V(a) Æ : H(a) ` H(a) Kon.Bes A, V(a) Æ : H(a) ` P(a) H(a) Kon.Ein. 5,6 8. A, V(a) Æ : H(a) ` x (P(x) H(x)) Exi.Ein. 9. A ` x (V(x) H(x)) An. (a) 10. A ` x (P(x) H(x)) Exi.Ein. 8,9

54 Formalisierung von Aussagen Aussagen werden durch eine Formel und eine Basisstruktur formalisiert. Die Struktur legt die Bedeutung der Prädikate fest, die man für allgemein bekannt hält. Die Namen der Prädikate werden so gewählt, dass sie ihre Bedeutung in der Basisstruktur suggerieren. Oft wird dann die Basisstruktur nicht explizit angegeben. Wir betrachten folgendes Beispiel: Für jede Zahl gibt es eine größere Primzahl (es gibt unendlich viele Primzalen) 54

55 Formalisierung von Aussagen Wenn die Prädikate Primzahl und größer bekannt sind, dann wird die Aussage formalisiert durch: Formel: x y (Prim y Gr(y, x)) Basisstruktur: U = N, Prim = { n N n ist Primzahl} Gr = { n, m N N n > m} Und wenn die Bedeutung von Primzahl nicht allgemein bekannt ist? 55

56 Formalisierung von Aussagen Wenn die Prädikate Primzahl und größer bekannt sind, dann wird die Aussage formalisiert durch: Formel: x y (Prim y Gr(y, x)) Basisstruktur: U = N, Prim = { n N n ist Primzahl} Gr = { n, m N N n > m} Und wenn die Bedeutung von Primzahl nicht allgemein bekannt ist? 56

57 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von teilt bekannt ist, dann kann das Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden: x (Prim x y (Teilt y, x (y = x y = eins)) Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten Teilt, und der Konstante eins. Teilt = { n, m N n teilt m} eins = 1 Und wenn die Bedeutung von Teilt nicht allgemein bekannt ist? 57

58 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von teilt bekannt ist, dann kann das Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden: x (Prim x y (Teilt y, x (y = x y = eins)) Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten Teilt, und der Konstante eins. Teilt = { n, m N n teilt m} eins = 1 Und wenn die Bedeutung von Teilt nicht allgemein bekannt ist? 58

59 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von Produkt bekannt ist, dann wird teilt durch folgende Formel definiert: x y (Teilt x, y z y = prod (x, z)) Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von prod und eins. 59 prod n, m = n m eins S = 1 Und wenn die Bedeutung von Produkt nicht allgemein bekannt ist?

60 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von Produkt bekannt ist, dann wird teilt durch folgende Formel definiert: x y (Teilt x, y z y = prod (x, z)) Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von prod und eins. 60 prod n, m = n m eins S = 1 Und wenn die Bedeutung von Produkt nicht allgemein bekannt ist?

61 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von Summe und Nachfolger bekannt ist, dann kann das Produkt so definiert werden: x 1 = x x nach(u) = x u + x Diese Definition kann mit der folgenden Formeln formalisiert werden: x y z u ( z = prod x, y ( y = eins z = x 61 y = nach u sum prod x, u, x ))

62 Formalisierung von Aussagen 62 Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von sum, nach, und eins. sum n, m = n + m nach n = n + 1 eins = 1 Und wenn die Definition von Summe nicht allgemein bekannt ist?

63 Formalisierung von Aussagen 63 Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von sum, nach, und eins. sum n, m = n + m nach n = n + 1 eins = 1 Und wenn die Definition von Summe nicht allgemein bekannt ist?

64 Formalisierung von Aussagen Die Summe kann mit Hilfe von Vorgänger und Nachfolger so definiert werden: x + 1 = nach x x + nach u = nach x + u Diese Definition wird durch die folgende Formeln formalisiert: x y z ( z = sum x, y (y = eins z = nach x ) (y = nach u z = sum nach x, u )) 64

65 Zusammenfassung Prädikatenlogik Erweiterung der Aussagenlogik Individuenvariablen und Konstanten Prädikate (mehrstellig) Quantoren Semantik mit Hilfe von Strukturen Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz Äquivalenzregeln Formalisierung von Aussagen 65