WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Grundlagen Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen 2

3 Prädikatenlogik 3 Die Korrekheit des Arguments Wenn (alle X sind Y) und (Z ist ein X), dann (Z ist ein Y). kann mit der Aussagenlogik nicht nachgewiesen werden. Intuitiver Grund: die Aussagenlogik formalisiert nur die Begriffe und, oder, nicht, wenn dann aber nicht die Begriffe für alle oder ist. Die Korrekheit des Argumentes hängt aber von den Letzten. Vergleiche: Wenn A und B dann C Wenn alle A sind B und C ist A dann C ist B Prädikatenlogik: Aussagenlogik + für alle, es gibt + ist

4 Praktische Anwendungen der Prädikatenlogik Zur formalen Spezifikation komplexer Systeme. Zum automatischen Beweisen von Theoremen. Zur automatischen Verifikation von Programmen. Zur Spezifikation von Abfragen in Datenbanken. Und viele mehr. 4

5 Subjekte und Prädikate In dem Satz Sokrates ist sterblich ist Sokrates das Subjekt (das Individuum, von dem etwas behauptet wird) und sterblich das Prädikat (die Eigenschaft, die von dem Individuum behauptet wird). In der Prädikatenlogik wird ein Prädikat als eine Abbildung P( ) modelliert. P( ) bildet Individuen auf Aussagen ab, z.b. P(x) = x iststerblich (wobei x eine Variable ist, die mit den Individuen instantiert werden kann). Aus logischer Sicht: Sokrates ist sterblich ist eine Abkürzung für das Individuum Sokrates hat die Eigenschaft, sterblich zu sein. 5

6 Mehrstellige Prädikate Der Satz Anna liebt Bernhard kann aus logischer Sicht als Abkürzung für Anna hat die Eigenschaft, Bernhard-zu-lieben betrachten werden. Dann muss jedoch ein Prädikat für jedes Individuum eingeführt werden: Bernhard-zu-lieben, Cesar-zu-lieben, Daniel-zu-lieben, 6

7 Mehrstellige Prädikate Stattdessen wird Anna liebt Bernhard als ein Satz über das Paar (Anna, Bernhard) betrachtet. Das Prädikat ist: das-erste-individuum-liebt-das-zweite-individuum In der Prädikatenlogik wird das durch ein zweistelliges Prädikat P(, ) modelliert. P(, ) bildet Paare von Individuen auf Aussagen ab, z.b. P(x,y) = x liebt y (wobei x, y Variablen sind, die mit den Individuen instantiert werden können). Prädikate höherer Arität sind auch möglich 7

8 Syntax der Prädikatenlogik 8 Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen zusammen: (Individuen)variablen: Konstanten: Unäre Prädikatsymbole: Binäre Prädikatsymbole: Gleichheitssymbol: = x, y, z, a, b, c, P 1, Q 1, R 1, P 2, Q 2, R 2, Logische Operatoren:,,, Quantoren: 8 ( für alle ), 9 ( es gibt ) Hilfssymbole: (, )

9 Syntax der Prädikatenlogik 9 Formationsregeln Regel 0: eine Zeichenkette P n (u 1,, u n ), wobei u 1,, u n Variablen oder Konstanten sind, ist eine Formel. Regel 1: sind u und v Variablen oder Konstanten, dann ist u=v eine Formel. Regel 2: ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. Regel 3: sind F und G Formeln, dann sind (F G), (F G) und (F G) ebenfalls Formeln. Regel 4: ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind 8x F und 9x F ebenfalls Formeln

10 Aufgabe: Formeln oder Nicht-Formeln? P 1 (x) 8x (x Æ P 1 (x)) x = P 1 (x) 9x 8x (P 1 (x) Æ Q 2 (x,b)) (8x P 1 (a) Æ Q 1 (a)) P 1 (x, y) x 8x 9y (x=y Ç : Q 1 (y)) 8x P 1 (x) = Q 1 (x) 9x 9 P 1 8x P 1 (x) ((P 1 (x) Æ Q 2 (a, y)) ) x=y) 10

11 Syntax der Prädikatenlogik 11 Die Stelligkeit der Prädikatsymbolen lassen wir oft weg. Wir nehmen an, dass alle Vorkommisse eines Prädikatsymbols dieselbe Stelligkeit haben. Beispiel: 8x 8y (P(x,y) ) P(y,x)) Achtung: 8x (P(x) Æ : P(x,x)) ist keine Formel! Manchmal lassen wir Klammern weg, oder fügen welche hinzu. Dabei nehmen wir an, dass Quantoren stärker als Konjunktion, Disjunktion und Implikation binden: 8x P(x) Æ Q(y) ist die Formel ((8x P(x)) Æ Q(y)) und nicht 8x (P(x) Æ Q(y))

12 Syntax der Prädikatenlogik Der Gültigkeitsbereich eines Vorkommens einer Variablen x in einer Formel F ist die kleinste Unterformel von F der Gestalt 8x G oder 9x G, welche das Vorkommen enthält. Wenn es diese Unterformel nicht gibt, dann ist der Gültigkeitsbereich die Formel F selbst. Im ersten Fall heisst das Vorkommen gebunden, sonst ist das Vorkommen frei. Eine Formel ohne freie Vorkommnisse von Variablen heisst geschlossen. 12 Beispiele: x P(x) Q(x) Erstes Vorkommen von x ist gebunden, zweites frei. x (P(x) ) y (P(y) Q(x,y) ) ) Die Formel ist geschlossen.

13 Syntax der Prädikatenlogik 13 Später werden wir definieren, wann zwei Formel äquivalent sind. Es wird folgendes gelten: Jede Formel ist äquivalent zu einer bereinigten Formel, in der keine Variable sowohl gebunden wie auch frei vorkommt, und Hinter allen vorkommenden Quantoren verschiedene variablen stehen. Meistens werden Formel in bereignigten Form dargestellt. In diesem Fall kann man von freien und gebundenen Variablen einer Formel sprechen.

14 Aufgabe 8x P(a) 8x9y (P(x,y) Ç Q(x,y)) 8x Q(x,x) ) 9x Q(x,y) 8x P(x) Ç 8x Q(x,x) 8x (P(x) Æ 8y P(x)) P(x) ) 9x Q(x, P(x)) 8x9x P(x,x) Nicht-Formel Formel Gesch. Formel 14

15 Semantik der Prädikatenlogik: Intuition Die Semantik einer Formel ist die Funktion, die jede mögliche Welt, die zur Formel passt, dem Wahrheitswert der Formel (0 oder 1) in dieser Welt zuordnet. Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) passt, und in der F wahr ist (meiner Meinung nach ). Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen. a ist Nicole Kidman P(y, x) bedeutet y ist mindestens so schön wie x Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) passt, und in der F wahr ist (diesmal mit Sicherheit). Die Individuen der Welt sind die natürlichen Zahlen. a ist die 7 P(y, x) bedeutet y ist ein vielfaches von x 15

16 Semantik der Prädikatenlogik: Intuition Eine Welt, die zu F = 8x P(a, x) nicht passt. Die Individuen der Welt sind alle lebenden Schauspielerinnen. P(y, x) bedeutet y ist mindestens so schön wie x und noch eine. a ist die 0 P(y, x) bedeutet y x Die Frage nach dem Wahrheitswert einer Formel in einer Welt, die zur Formel nicht passt, ist sinnlos. Eine passende Welt für 8x P(y, x) muss der freien Variable y ein Individuum zuordnen. (Das Individuum, auf das y zeigt.) 16

17 Formale Semantik der Prädikatenlogik Das Fachwort für Welt ist Struktur. Eine Struktur S besteht aus zwei Teilen: Eine Menge U S, genannt Universum (Wertebereich, Individuenbereich, Grundmenge, Domäne, ) Die Menge aller Individuen der Welt. Eine Interpretation I S. Die Interpretation I S ist eine partielle Funktion, die eine Variable x einem Element x S von U, eine Konstante a einem Element a S von U, und ein k-stelliges Prädikatsymbol P einer Menge P S µ U k zuordnet. 17

18 Formale Semantik der Prädikatenlogik Intuition: x S ist das Individuum, auf dem die Variable x zeigt a S ist das Individuum mit dem Namen a P S ist die Menge der Tupel von Individuen mit der Eigenschaft P Beachte: P S kann extensional beschrieben werden, wir zählen die Tupel von P S auf. Das Universum kann unendlich sein! 18

19 Formale Semantik der Prädikatenlogik Eine Struktur S = (U S, I S ) passt zu einer Formel F falls die Interpretation I S für alle in F vorkommenden Prädikatsymbole, Konstanten, und freien Variablen definiert ist. Beispiel: S passt zur Formel 8x P(x,a,y) wenn a S, y S, und P S definiert sind. Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede Struktur S, die zu F passt, ( jeder Welt ) einem Wahrheitswert [F](S) zuordnet. 19

20 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel 8x (P(x) ) 9y Q(x, y)) Struktur S 1 = (U 1, I 1 ) U 1 = N 0 P 1 = { n 2 N 0 j n ist gerade } Q 1 = { (n, m) 2 N 0 N 0 j n+m = 5 } Struktur S 2 = (U 2, I 2 ) U 2 = { 0, 1, 2 } P 2 = {0} Q 2 = { (n, m) 2 {0, 1, 2} {0, 1,2} j n m } 20

21 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel 8x (P(x) ) 9y Q(x, y)) Struktur S 3 = (U 3, I 3 ) U 3 = die Menge M der Personen in diesem Hörsaal P 3 = die Menge der Männer in diesem Hörsaal Q 3 = { (n, m) 2 M Mj n ist mindestens so schlau wie m} Struktur S 4 = (U 4, I 4 ) U 4 = { a, b } P 4 = { a } Q 4 = { (a, b), (b, a), (b, b) } 21

22 Formale Semantik der Prädikatenlogik Beispiel: einige passende Strukturen für die Formel 8x (P(x) ) 9y Q(x, y)) Struktur S 5 = (U 5, I 5 ) U 5 = ; P 5 = ; Q 5 = ; Struktur S 6 = (U 6, I 6 ) U 6 = die Menge der Fußballer, die am nächsten Sonntag mindestens ein Tor in der 1. Bundesliga schießen werden P 6 = { f 2 U 6 j f spielt für Werder Bremen} Q 6 = { (f 1, f 2 ) 2 U 6 U 6 j f 1 und f 2 schießen am nächsten Sonntag genau soviele Tore} 22

23 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: 23 (1) Semantik der Formeln P(u 1,, u n ): F = P(u 1,, u n ). ½ 1 falls (u1s ; : : : ; u [F](S) = ns ) 2 P S 0 falls (u 1S ; : : : ; u ns ) =2 P S ) (2) Semantik der Booleschen Operatoren: wie für die Aussagenlogik. Z.B. wenn F = (G ) H) für Formeln F und G: [F](S) = ½ 1 falls [G](S) = 0 oder [H](S) = 1 0 falls [G](S) = 1 und [H](S) = 0

24 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (3) Semantik der Quantoren. Sei S x:=d die Struktur, die identisch mit S ist, bis auf die Tatsache, dass in S x:=d die Variable x auf das Individuum d zeigt, i.e., S x:=d (x) = d. (x S kann nicht definiert sein oder auf ein anderes Individuum zeigen.) 24

25 Formale Semantik der Prädikatenlogik Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (3.1) Semantik des Existenzquantors. F = 9x G für eine Formel G. [F](S) = ½ 1 falls es ein d 2 US gibt mit: [G](S x:=d ) = 1 0 falls fäur alle d 2 U S gilt: [G](S x:=d ) = 0 Beispiel: Sei F = 9x P(x), U S ={a,b}, P S = {a} Wir haben [F](S)=1, denn [P(x)](S x:=a )=1 25

26 Formale Semantik der Prädikatenlogik 26 Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: (3.2) Semantik des Allquantors. F = 8x G für eine Formel G. ½ 1 falls fäur alle d 2 US gilt: [G](S [F](S) = x:=d ) = 1 0 falls es ein d 2 U S gibt mit: [G](S x:=d ) = 0 Beispiel: Sei F = 8x P(x), U S ={a,b}, P_S = {a} Wir haben [F](S)=0, denn [P(x)](S x:=a )=0 Achtung: Wenn U S = ;, dann [8x G](S) = 1

27 Geschachtelte Quantoren Formel F: 8x 9y P(x,y) Struktur S: U S = N 0 P S = {(n,m) 2 N 0 N 0 j n < m} Frage: ist F wahr in S? ( P(x,y) bedeutet x < y ) 27

28 Geschachtelte Quantoren Formel F: 8x 9y P(x,y) Struktur S: U S = N 0 P S = {(n,m) 2 N 0 N 0 j n < m} Frage: ist F wahr in S? ( P(x,y) bedeutet x < y ) Ja. Intuitiv bedeutet F in S: für jede Zahl x gibt es eine größere Zahl y. 28

29 Geschachtelte Quantoren Formel F: 8x 9y P(x,y) Struktur S: U S = N 0 P S = {(n,m) 2 N 0 N 0 j n < m} ( P(x,y) bedeutet x < y ) Wir zeigen [8x 9y P(x,y)](S) = 1 nach der Definition: Es reicht zu zeigen: [9y P(x,y)](S x:=d ) = 1 für d=0,1,2, Wir müssen also ein e finden mit [P(x,y)](S x:=d,y:=e ) = 1. D.h., wir müssen ein e finden mit d < e. Wir nehmen z.b. e = d+1. Fertig. 29

30 Geschachtelte Quantoren Formel G: 9y 8x P(x,y) Struktur S: U S = N 0 P S = { (n,m) 2 N 0 N 0 j n < m } Frage: ist G wahr in S? ( P(x,y) bedeutet x < y ) 30

31 Geschachtelte Quantoren Formel G: 9y 8x P(x,y) Struktur S: U S = N 0 I S (P) = { (n,m) 2 N 0 N 0 j n < m } Frage: ist G wahr in S? ( P(x,y) bedeutet x < y ) Nein. Intuitiv sagt G in S: es gibt eine Zahl, die größer ist als alle andere (sogar größer als sich selbst!). 31

32 Aufgabe. 32 Sei die Interpretation von R(x,y) x verlässt sich auf y. Welche Formel gehört zu welchem Satz? 1. x y R(x,y) a. Es gibt einen, der sich auf alle verlässt. 2. y x R(x,y) b. Jeder kann sich auf jemanden verlassen. 3. x y R(x,y) c. Auf jeden verlässt sich irgend jemand. 4. y x R(x,y) d. Es gibt einen, auf den sich alle verlassen. 5. x y R(x,y) e. Jeder verlässt sich auf alle

33 Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, 33t Eine Formel F ist allgemeingültig wenn für jede Struktur S, die zu F passt, gilt: [F](S)=1. Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Struktur S, die zu F passt, gilt: [F](S)=0. Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Struktur S gibt, die zu F passt, und [F](S)=1 erfüllt. Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F G) genau dann, wenn für jede Struktur S, die zu F und zu G passt, gilt: [F](S) = [G](S) F folgt aus G (symbolisch: F ² G) genau dann, wenn F ) G gültig ist.

34 S-Tautologien, S-Widersprüche, 34t Sei S eine Menge von Strukturen. Eine Formel ist S-gültig, wenn für alle Strukturen S 2S gilt: [F](S) = 1. Sei null eine Konstante und sei Nach ein zweistelliges Prädikatensymbol. Sei N die Menge aller Strukturen S = (U S, I S ) mit U S = N 0 null S = 0 Nach S = { (n, n+1) j n 2 N 0 } (I S kann für andere Konstanten und Prädikatensymbolen beliebig definiert sein)

35 Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, : 9x Nach(x,null) ist nicht gültig, aber N-gültig. Das Induktionsprinzip ist die Formel: (P(null) Æ 8y8z (P(y) Æ Nach(y,z) ) P(z)) ) 8x P(x) In allen Strukturen aus N sagt diese Formel: Wenn 0 die Eigenschaft P hat, und für alle Zahlen n gilt: wenn n die Eigenschaft P hat, dann 35t hat auch n+1 die Eigenschaft P, dann haben alle Zahlen die Eigenschaft P (in verschiedenen Strukturen aus N kann P verschiedene Bedeutungen haben!. Das Induktionsprinzip ist nicht gültig, aber N-gültig.

36 Äquivalenzregeln für Quantoren De Morgan s: : 8x F 9x : F : 9x F 8x : F Kommutativität: 8x8y F 8y8x F 9x9y F 9y9x F Distributivität: 8x (F Æ G) 8x F Æ 8x G 9x (F Ç G) 9x F Ç 9x G Falls x in G nicht 9x (F Ç G) 9x F Ç G frei vorkommt: 9x (F Æ G) 9x F Æ G 8x (F Ç G) 8x F Ç G 8x (F Æ G) 8x F Æ G 36t

37 Ein Kalkül für logische Inferenzen Das Kalkül enthält alle Regeln des Kalküls für die Aussagenlogik plus vier Regeln für die Einführung und Beseitigung von Quantoren. Sei F eine Formel und sei a eine Konstante. Mit F[x/a] bezeichnen wir die Formel, die man erhält, in dem alle FREIEN Vorkommnisse von x in F durch a ersetzt werden Beispiele: F 1 = 8y Q(x, y) F 1 [x/a] = 8y Q(a, y) F 2 = P(x) Æ 8x Q(x) F 2 [x/a] = P(a) Æ 8x Q(x) F 3 = 8x P(x) F 3 [x/a] = 8x P(x) 37

38 Ein Kalkül für logische Inferenzen Allquantorbeseitigung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a: A ` 8x F A ` F[x/a] Intuition: wenn 8x F gilt, dann gilt auch F[x/a] für ein beliebiges a. 38

39 Ein Kalkül für logische Inferenzen Allquantoreinführung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a, die weder in A noch in F vorkommt: A ` F[x/a] A ` 8x F Intuition: um 8x F zu zeigen, zeige, dass F[x/a] für ein beliebiges a gilt. 39

40 Ein Kalkül für logische Inferenzen Existenzquantorbeseitigung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a, die weder in A noch in F noch in G vorkommt : A ` 9x F A, F[x/a] ` G A ` G Intuition: wir wissen, dass 9x F aus den Annahmen folgt, und wollen G zeigen. Wir wählen einen frischen Namen a für das x, für das F gilt, und zeigen, dass G aus F[x/a] folgt. 40

41 Ein Kalkül für logische Inferenzen Existenzquantoreinführung. Für jede Sequenz A, Variable x, Formel F und für jede Konstante a: A ` F[x/a] A ` 9x F Intuition: um 9x F zu beweisen, finde einen a, für den F[x/a] gilt. 41

42 Kapitel II Grundlagen; Beweise Ein Kalkül für logische Inferenzen Beispiel: Zeige, dass aus den zwei Annahmen Ein Student in dieser Vorlesung hat das Buch von Steger nicht gelesen Jeder in dieser Vorlesung hat die Prüfung bestanden folgendes folgt: Es gibt jemanden, der die Prüfung bestanden hat und das Buch von Steger nicht gelesen hat. 42

43 Kapitel II Grundlagen; Beweise Inferenzregeln für Quantoren Sei S=(U S, I S ) die Struktur mit U S = alle Menschen, V S = Studenten dieser Vorlesung, B S = Menschen, die das Buch gelesen haben, P S = Menschen, die die Prüfung bestanden haben. In dieser Struktur sind die Annahmen A : (a) x (V(x) B(x)) und (b) x (V(x) P(x)) Die Konklusion ist x (P(x) B(x)) Wir zeigen: A ` x (P(x) B(x)) 43

44 Kapitel II Grundlagen; Beweise Inferenzregeln für Quantoren 44 Schritt Bewiesen durch 1. A, V(a) Æ : B(a) ` V(a) Æ : B(a) An. 2. A, V(a) Æ : B(a) ` V(a) Kon.Bes A, V(a) Æ : B(a) ` 8x (V(x) ) P(x)) An. (b) 4. A, V(a) Æ : B(a) ` V(a) ) P(a) All.Bes A, V(a) Æ : B(a) ` P(a) Imp.Bes 2,4 6. A, V(a) Æ : B(a) ` B(a) Kon.Bes A, V(a) Æ : B(a) ` P(a) B(a) Kon.Ein. 5,6 8. A, V(a) Æ : B(a) ` 9x (P(x) B(x)) Exi.Ein. 9. A ` x (V(x) B(x)) An. (a) 10. A ` x (P(x) B(x)) Exi.Ein. 8,9

45 Formalisierung von Aussagen 45 Aussagen werden durch eine Formel und eine Basisstruktur formalisiert. Die Struktur legt die Bedeutung der Prädikate fest, die man für allgemein bekannt hält. Die Namen der Prädikate werden so gewählt, dass sie ihre Bedeutung in der Basisstruktur suggerieren. Oft wird dann die Basisstruktur nicht explizit angegeben. Wir betrachten folgendes Beispiel: Für jede Zahl gibt es eine größere Primzahl (es gibt unendlich viele Primzalen)

46 Formalisierung von Aussagen Wenn die Prädikate Primzahl und größer bekannt sind, dann wird die Aussage formalisiert durch: Formel: 8x 9y (Primzahl(y) Æ Größer(y, x)) Basisstruktur: U S = N, Primzahl S = { n 2 N 0 n ist Primzahl} Größer s = { (n, m) 2 N 0 N 0 j n > m} Und wenn die Bedeutung von Primzahl nicht allgemein bekannt ist? 46

47 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von teilt bekannt ist, dann kann das Prädikat Primzahl durch eine Formel definiert werden: 8x (Primzahl(x), 8y (Teilt(y, x) ) (y=x Ç y=eins)) Die Basisstruktur fixiert nun die Bedeutung des Prädikaten Teilt, und der Konstante eins. Teilt S = { (n, m) 2 N 0 n teilt m} eins S = 1 47 Und wenn die Bedeutung von Teilt nicht allgemein bekannt ist?

48 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von Produkt bekannt ist, dann wird teilt durch folgende Formel definiert: 8x 8y (Teilt(x,y), 9z Produkt (x,z,y)) Die Basisstruktur fixiert die Bedeutung von Produkt und eins. Produkt S = { (n, m, l) 2 N 0 N 0 N 0 j n m = l } eins S = 1 Und wenn die Bedeutung von Produkt nicht allgemein bekannt ist? 48

49 Formalisierung von Aussagen Wenn die Bedeutung von Summe und Vorgänger bekannt ist, dann kann das Produkt so definiert werden: x y = ½ 0 falls y = 0 x vor(y) + x falls y 6= 0 49 Diese Definition kann mit der folgenden Formeln formalisiert werden: 8x 8y8z ( Produkt (x,y,z), ( (y=null Æ z=null) Ç :(y=null) Æ Vorgänger(y,u) Æ Produkt(x,u,v) Æ Summe(v,x,z) ) )

50 Formalisierung von Aussagen Die Basistruktur fixiert nun die Bedeutung von Summe, Vorgänger, eins und null. Summe S = { (n, m, l) 2 N 0 N 0 N 0 j n+m = l } Vorgänger S = { (n, n-1) j n 1} null S = 0 eins S = 1 aber eins brauchen wir eigentlich nicht mehr: Vorgänger(eins,null) 50 Und wenn die Definition von Summe nicht allgemein bekannt ist?

51 Formalisierung von Aussagen Die Summe kann mit Hilfe von Vorgänger und Nachfolger so definiert werden: x + y = ½ x falls y = 0 nach(x) + vor(y) falls y 6= 0 51 Diese Definition wird durch die folgende Formeln formalisiert: 8x 8y8z ( Summe (x,y,z), ( (y=null Æ z=x) Ç :(y=null) Æ Nachfolger(x,u) Æ Vorgänger(y,v) Æ Summe(u,v,z) ) )

52 Formalisierung von Aussagen Vorgänger kann mit Hilfe von Nachfolger formalisiert werden (oder andersum) 8x 8y (Vorgänger(x,y), Nachfolger(y,x)) Die Basisstruktur fixiert nur die Bedeutung von Nachfolger und null. Nachfolger S = { (n, n+1) j n 2 N 0 } null S = 0 52

53 Zusammenfassung Prädikatenlogik Erweiterung der Aussagenlogik Individuenvariablen und Konstanten Prädikate (mehrstellig) Quantoren Semantik mit Hilfe von Strukturen Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz Formalisierung von Aussagen 53