Logik und modelltheoretische Semantik. Prädikatenlogik (PL)

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Jutta Waldfogel
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1 Logik und modelltheoretische Semantik Prädikatenlogik (PL) Robert Zangenfeind Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung, LMU München Zangenfeind: Prädikatenlogik 1 / 14

2 Einführendes baut auf Aussagenlogik auf wesentlich detaillierter als AL innere Struktur von Sätzen erkennbar enthält Ausdrücke, die Namen und Prädikaten der natürlichen Sprache entsprechen ebenfalls nur Aussagesätze Zangenfeind: Prädikatenlogik 3 / 14

3 Syntax der PL (1) Namen: Paris, Bodensee, Quentin Tarantino,... : entsprechen in PL Individuenkonstanten (a, b, c, etc.) Prädikate:... läuft,... ist groß,... ist ein Bruder von...,... befindet sich zwischen... und... : entsprechen in PL Prädikatbuchstaben (F 1, G 1, H 2, F 3, etc.) Satzoperatoren (wie in AL):,,,, quantifizierende Ausdrücke: Alloperator ( alle... ) Existenzoperator ( es gibt mindestens ein... ) Hilfszeichen: ( ) Namen und Prädikate: deskriptive Ausdrücke Satzoperatoren und quantifizierende Ausdrücke: logische Ausdrücke Zangenfeind: Prädikatenlogik 4 / 14

4 Syntax der PL (2) (i) Atomare Sätze: Prädikatbuchstabe + Individuenkonstante(n) z.b.: F 1 a, G 1 b, H 2 ab, F 3 aeh (ii) Komplexe Sätze: atomare Sätze + Satzoperator(en) z.b.: F 1 a, (G 1 b H 2 ab) (iii) Quantifizierende Sätze: dazu ist Satzfunktion nötig: Ausdruck, bei dem statt Individuenkonstanten (a, b, c,...) mindestens eine Individuenvariable (x, y, z,...) steht, z.b. F 1 x, F 2 xb aus einer Satzfunktion wird ein Satz, wenn (i) Variable wiederum durch Konstante ersetzt wird oder (ii) ein Quantor mit Variable vor die Satzfunktion geschrieben wird Bsp. quantifizierender Satz: xf 1 x Zangenfeind: Prädikatenlogik 5 / 14

5 Bereich eines Quantors Bereich eines Quantors ist die Satzfunktion, die unmittelbar auf den Quantor folgt, z.b.: x yf 2 xy -> Bereich des Quantors x ist yf 2 xy Bereich des Quantors y ist F 2 xy Das Vorkommnis einer Variable x in einer Satzfunktion heißt gebunden, wenn dieses Vorkommnis in einem Quantor oder im Bereich eines Quantors mit derselben Variablen liegt sonst heißt es frei Zangenfeind: Prädikatenlogik 6 / 14

6 Semantik der PL (1) Interpretation I legt (i) die Bedeutung der deskriptiven Ausdrücke von PL fest und gibt (ii) durch Angabe einer nicht leeren Menge D den Bereich an, auf den sich die Quantoren beziehen. 1. Bereich einer Interpretation kann z.b. die Menge aller Menschen sein oder die Menge der Städte Berlin und München, also z.b.: D = Menge aller Menschen 2. Bedeutung der Individuenkonstanten wird dadurch bestimmt, dass I jeder Individuenkonstanten von PL einen Gegenstand aus D zuordnet; I kann z.b. der Indididuenkonstanten a Sokrates zuordnen, also: a: Sokrates Zangenfeind: Prädikatenlogik 7 / 14

7 Semantik der PL (2) 3. Bedeutung der Prädikatbuchstaben wird dadurch festgelegt, dass I jedem Prädikatbuchstaben ein Prädikat zuordnet, d.h. (i) Eigenschaft der Gegenstände von D oder (ii) Beziehung zwischen den Gegenständen von D; z.b.: F 1 :... ist ein Philosoph F 2 :... ist berühmter als... Der Satz F 1 a ist bezüglich seiner Interpretation I wahr, wenn der durch a bezeichnete Gegenstand die Eigenschaft F 1 hat Zangenfeind: Prädikatenlogik 8 / 14

8 Wichtige prädikatenlogische Gesetze xf 1 x = x F 1 x bzw. xf 1 x = x F 1 x xf 1 x = x F 1 x bzw. xf 1 x = x F 1 x -> Existenzoperator kann durch den Alloperator definiert werden Zangenfeind: Prädikatenlogik 9 / 14

9 Übersetzungen sollen möglichst strukturreich sein Satz A (PL) soll in seiner Struktur dem natürlichsprachigen Satz A möglichst ähnlich sein Beispiele für atomare Sätze: (1) Der Eiffelturm ist eine Metallkonstruktion. D = Menge aller Bauwerke a: Eiffelturm F 1 :... ist eine Metallkonstruktion F 1 a (2) Hans und Karl sind Brüder. Umformung: (2 ) Hans ist ein Bruder von Karl. D = Menge aller Menschen a: Hans b: Karl F 2 :... ist ein Bruder von... F 2 ab Zangenfeind: Prädikatenlogik 11 / 14

10 Beispiele für komplexe Sätze: (3) Hans schläft, während Karla Natascha besucht. D = Menge aller Menschen a: Hans b: Karla c: Natascha F 1 :... schläft F 2 :... besucht... F 1 a F 2 bc (4) Karla ist zuhause oder bei Hans D = Menge aller Menschen a: Karla b: Hans F 1 :... ist zuhause F 2 :... ist bei... (F 1 a F 2 ab) Zangenfeind: Prädikatenlogik 12 / 14

11 Beispiele für quantifizierende Sätze (5) Alle Lebewesen sind sterblich. D = Menge aller Lebewesen F 1 :... ist sterblich. xf 1 x Was bedeuten die folgenden beiden Sätze der PL: (6) xf 1 x (7) x F 1 x D = Menge aller Kinder F 1 :... ist ein Philosoph -> (6) Nicht alle Kinder sind Philosophen. -> (7) Kein Kind ist ein Philosoph. Zangenfeind: Prädikatenlogik 13 / 14

12 (8) Einige gerade Zahlen sind größer als 17. Achtung! nicht übersetzbar mit: D = Menge der geraden Zahlen a: 17 F 2 :... ist größer als... xf 2 xa -> keine statthafte Übersetzung, weil alle Individuenkonstanten einem Gegenstand zugeordnet werden müssen, der zum Bereich D gehört! (a gehört aber nicht zu D) stattdessen mit Umformung: (8 ) Einige Zahlen, die gerade sind, sind größer als 17. D = Menge der natürlichen Zahlen a: 17 F 2 :... ist größer als... F 1 :... ist eine gerade Zahl x(f 1 x F 2 xa) Zangenfeind: Prädikatenlogik 14 / 14

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