WS 2009/10. Diskrete Strukturen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "WS 2009/10. Diskrete Strukturen"

Transkript

1 WS 29/ Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Grundlagen Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

3 Logik ist die Wissenschaft des Schließens. Sie untersucht welche Inferenzen korrekt sind. Unter Inferenz verstehen wir (informell) eine Aussage der Form: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Umgangssprachlich sagen wir auch: Wenn A gilt, dann gilt B Wenn A dann B A impliziert B A ist die Annahme (Prämisse, Antezedens, Hypothese) und B die Konklusion (Konsequenz). 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

4 Eine korrekte Inferenz Wenn alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch B = Sokrates ist sterblich Eine korrekte Inferenz wenn A dann B bedeutet nicht, dass B wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr ist, dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht. Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen und Herr Beckstein bestochen wurde, dann muss er ins Gefängnis ist eine korrekte Inferenz. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

5 Beispiele von inkorrekten Inferenzen: Wenn einige Männer klug sind und alle Fussballer Männer sind, dann sind alle Fussballer klug. Wenn einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion unterliegen und alle menschlichen Unterschiede vererbte Variationen sind, dann unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz der Selektion. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

6 Korrekt oder inkorrekt? Wenn es heute bewölkt ist, und wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern, dann werden wir heute früh nach Hause kommen. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

7 Noch zwei korrekte Inferenzen Wenn dann alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind sind alle Guldräber filzig. Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir nicht wissen, was Guldräber, untreßig, oder filzig bedeutet. Die Inferenz ist eine Instanz von: Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

8 Noch zwei korrekte Inferenzen Wenn Anna ein Enkelkind hat dann ist Anna eine Mutter Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn man Wissen über die Bedeutung von Mutter und Enkelkind hat. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

9 Logische Inferenzen (informell) Eine logische Inferenz ist eine Inferenz mit Variablen (Platzhalter für Aussagen oder Objekte). Achtung: diese Terminologie ist nicht Standard! Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn alle ihre Instanzen korrekt sind. Logiker sagen: die Inferenz ist (allgemein)gültig oder eine Tautologie. Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z) ist gültig. Wenn (alle X sind Y) dann (alle Y sind X) ist nicht gültig. Wenn A und B und (wenn A dann C) dann B und C ist gültig. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

10 Die Logik untersucht die gültigen Inferenzen Wie kann man sie (automatisch) erkennen? Welche sind die nützlichsten? Die Logik stellt die Basis der mathematischen Beweise. Praktische Anwendungen der Logik finden sich in zahlreichen Gebieten der Informatik, z.b. Datenbanken, Programmverifikation, Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche Intelligenz und vielen mehr. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

11 Es gibt zahlreiche Logiken Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in verschiedenen Sprachfragmenten: Aussagenlogik: und, oder, nicht, wenn dann Wenn X und Y dann Y (Platzhalter für Aussagen) Syllogistische Logik: alle, einige, keine Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C (Platzhalter für Objekte) Temporallogik: Aussagenlogik + heute, morgen, irgendwann, nie Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

12 Aussagenlogik (propositional logic) Aussagen werden aus einer vorgegebene Menge von atomaren Aussagen (Platzhalter für Aussagen) mit Hilfe der Operatoren (Konnektoren, Junktoren) und, oder, nicht und wenn dann gebaut. Atomare Aussagen sind wahr oder falsch, nie wahr und falsch, keines von beiden oder etwas dazwischen. Die Grundlagen der Aussagenlogik wurden von George Boole ( The Laws of Thought 854) entwickelt. Man spricht deswegen auch von der Booleschen Logik. 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

13 George Boole (85-864) 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

14 Aussagenlogik formal 4 Die Aussagenlogik (wie jede Logik) bildet eine formale Sprache. Eine formale Sprache wird definiert durch ihre Syntax und ihre Semantik. Die Syntax der Sprache legt durch Regeln fest, welche Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke sind. Die wohlgeformten Ausdrücke einer Logik heißen Formeln. Die Semantik legt die Bedeutung der Ausdrücke fest. Eine formale Semantik ordnet jeden Ausdruck einem mathematischen Objekt zu, welchem als Bedeutung des Ausdrucks interpretiert wird. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

15 Formale Syntax. Eine formale Syntax besteht aus einem Vokabular und einer Menge von Formationsregeln. Das Vokabular legt fest, welche Zeichen in Ausdrücken vorkommen dürfen Die Formationsregeln legen fest, welche Zeichenketten über dem Vokabular zulässig oder wohlgeformt sind und welche nicht. 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

16 Syntax der Aussagenlogik: Vokabular Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen zusammen: Wahrheitskonstanten: Aussagenvariablen: true, false p, q, r, s, t Logische Operatoren:,,, Hilfssymbolen: (, ) 6 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

17 Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln 7 Regel : true und false sind Formeln. Regel : eine Aussagenvariable ist eine Formel. Regel 2: ist F eine Formel, dann ist auch G eine Formel. Regel 3: sind F und G Formeln, dann sind a. (F G) b. (F G) c. (F G) ebenfalls Formeln. Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

18 Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln Es lassen sich also durch Anwendung von logischen Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln bilden. Ein Operator kombiniert einen oder mehrere Operanden zu einem komplexeren Ausdruck. Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument (z.b. : F), dyadische/binäre Operatoren haben zwei Argumente (z.b. F Ç G). 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

19 Formeln sind: ((p q) r) ((p (false q)) r) (( p q) (q p)) Keine Formeln sind: (q r] p (p q) ) ( q (q p)) 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

20 Ableitungsbeispiel ()p Regel (2)q Regel (3) q Regel 2, (2) (4)(p q) Regel 3a, (), (2) (5) (p q) Regel 2, (4) (6)(q q) Regel 3b, (2), (3) (7)( (p q) (q q)) Regel 3c, (5), (6) 2 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

21 Syntaxbaum für den Ausdruck ( (p q) (q q)) q 2 p Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/ q q

22 Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken bindet stärker als bindet stärker als bindet stärker als Beispiele: p q steht für ( p q), nicht für (p q) p q r steht für ((p q) r), nicht für (p q r )) p q r s steht für ((p q) (r s)) In den Folien: Weder p q r s noch ((p q) (r s)), sondern (p q) (r s) 22 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

23 Semantik der Aussagenlogik. 23 Was ist die Bedeutung einer Formel? Die Formel F = p q kann in vier Welten ausgewertet werden Welt : p und q sind beide wahr. F ist falsch. Welt 2: p ist wahr, q ist falsch. F ist falsch. Welt 3: p ist falsch, q ist wahr. F ist wahr Welt 4: p ist falsch, q ist falsch. F ist falsch. Die Bedeutung einer Formel ist die Funktion, die jede mögliche Welt dem Wahrheitswert der Formel in dieser Welt zuordnet: (die Formel ist wahr), oder (die Formel ist falsch). Man nennt {, } die Booleschen Werte. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

24 Formale Semantik der Aussagenlogik. 24 Eine Belegung ( eine Welt ) ist eine Funktion von einer Menge von Aussagevariablen in die Menge {,} der Wahrheitswerte. Eine Belegung : V! {,} passt zu einer Formel F, wenn alle Variablen, die in F vorkommen, zu V gehören. Beispiel: die Funktionen p, q p, q, r sind passende Belegungen der Formel p q. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

25 Formale Semantik der Aussagenlogik. Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F], die jede Belegung, die zu F passt, ( jede Welt ) einem Wahrheitswert [F]( ) zuordnet. Die Funktion [F] ist folgendermaßen definiert in Abhängigkeit von F: () Semantik der Formeln true und false: F = true. Für alle Belegungen gilt: [true]( )= F = false. Für alle Belegungen gilt: [false]( )= 25 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

26 Formale Semantik der Aussagenlogik. (2) Semantik der Negation (NICHT) und der Konjunktion (UND): F = : G für eine Formel G. Für jede Belegung, die zu F passt: ½ falls [G]( ) = [F]( ) = falls [G]( ) = F = (G Æ H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt: ½ falls [G]( ) = und [H]( ) = [F]( ) = falls [G]( ) = oder [H]( ) = 26 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

27 Formale Semantik der Aussagenlogik. Die Semantik kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle visualisiert werden Die Tabelle gibt den Wahrheitswert der Formel für jede Kombination von Wahrheitswerten der Operanden an. G G G H G H 27 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

28 Formale Semantik der Aussagenlogik. (3) Semantik der Disjunktion (ODER): F = (G Ç H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( ) = ½ falls [G]( ) = oder [H]( ) = falls [G]( ) = und [H]( ) = 28 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

29 Formale Semantik der Aussagenlogik. Wahrheitstabelle: G H G V H 29 In der Logik ist G oder H wahr, wenn G wahr ist, oder H wahr ist, oder beide wahr sind. Der ODER-Operator wird auch als Nichtausschließendes- Oder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass G und H wahr sind. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

30 Formale Semantik der Aussagenlogik. (4) Semantik der Implikation (WENN DANN): F = (G ) H) für Formeln G und H. Für jede Belegung, die zu F passt : [F]( ) = ½ falls [G]( ) = oder [H]( ) = falls [G]( ) = und [H]( ) = 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

31 Formale Semantik der Aussagenlogik. Wahrheitstabelle: F G F G Semantik in Worten: F G ist falsch genau dann wenn F wahr ist und G falsch ist. Andernfalls ist F G wahr. In der Implikation F G ist F die Hypothese und G die Konklusion. 3 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

32 Formale Semantik der Aussagenlogik. 32 Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem Gebrauch von wenn dann in der Alltagssprache. p ) q sagt nicht, dass p eine Ursache für q ist Pinguine schwimmen ) Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt. p ) q sagt nichts darüber, ob p wahr oder falsch ist Frau Merkel wurde bestochen ) Frau Merkel gehört hinter Gitter ist wahr in unserer Welt. Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt p ) q wahr, unabhängig davon, was q sagt!! Pinguine fliegen ) Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

33 Formale Semantik der Aussagenlogik. p ) q sagt nichts darüber, ob : p ) : q wahr ist In der Alltagssprache: aus Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon folgt implizit Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst Du kein Bonbon In der Logik: Die Formel Du bist brav ) Du bekommst ein Bonbon sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist. Vielleicht bekommst Du auch ein Bonbon! 33 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

34 Weitere Operatoren: Ausschließendes-Oder Der binäre Operator (XOR) entspricht dem sprachlichen Konstrukt entweder oder er schließt die Möglichkeit aus, dass beide Operanden wahr sind. Wahrheitstabelle: G H G H 34 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

35 Weitere Operatoren: Bikonditional Der binäre Operator, entspricht dem sprachlichen Konstrukt genau dann, wenn. Wahrheitstabelle: G H G, H 35 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

36 Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in unserer Welt? 36 Diese Vorlesung wird niemals enden ) die Sonne wird morgen aufgehen Dienstag ist ein Tag der Woche ) Bush ist ein Pinguin. +=6 ) Merkel ist Kanzlerin Der Mond ist aus grünem Käse ) Frankreich hat einen König Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

37 Wahrheitstabellen 37 Sei F eine Formel, und sei V F die Menge der Variablen, die in F vorkommen. Eine Belegung, die zu F passt, ist minimal für F wenn V F = V Sei eine Belegung, die zu F passt, und sei F die Projektion von auf V F. Dann ist F ist eine minimale Belegung und es gilt: [F]( )=[F]( F). Das heisst: die Funktion [F] wird von den minimalen Belegungen V F! {,} eindeutig bestimmt. Die Wahrheitstabelle von F enthält als Zeilen die minimalen Belegungen von F und die entsprechenden Werte von [F]. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

38 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/ Kapitel II Grundlagen; Logik Wahrheitstabellen. Beispiel: Sei F = ((p Ç : q)) r), : r 38 p q r F

39 Wahrheitstabellen. Wieviele zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Formel F, in der n Variablen vorkommen? 39 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

40 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 4 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

41 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 4 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

42 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 42 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

43 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 43 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

44 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 44 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

45 Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel. p q r ((p Ç : q) ) r), : r 45 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

46 (Allgemein)gültigkeit, Tautologie. 46 Eine Formel F ist (allgemein)gültig wenn für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Intuitiv: eine Formel ist gültig wenn sie überall ( in allen Welten ) wahr ist. Achtung! Eine Formel ist gültig ist nicht dasselbe wie Eine Formel ist wahr. Wir sagen auch: F ist eine Tautologie. Eine Formel F ist gültig genau dann, wenn für jede minimale Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Tautologietest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschließlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

47 Allgemeingültigkeit, Tautologie. Beispiele von Tautologien: p Ç : p (p Æ q) ) p p ) (p Ç q) p ) (q ) p) (p ) (q ) r)) ) ((p ) q) ) (p ) r)) 47 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

48 Widerspruch. Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Intuitiv: eine Formel ist ein Widerspruch wenn sie überall ( in allen Welten ) falsch ist. Eine Formel F ist ein Widerspruch genau dann, wenn für jede minimale Belegung, die zu F passt, gilt: [F]( )=. Widerspruchstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ausschliesschlich Nullen enthält. 48 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

49 Erfüllbarkeit. 49 Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Belegung gibt, die zu F passt, und [F]( )= erfüllt. Intuitiv: eine Formel ist erfüllbar wenn sie in mindestens einer Welt wahr ist. Erfüllbarkeitstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F mindestens eine enthält. Das Erfüllbarkeitsproblem (satisfiability problem, SAT) ist eines der am meisten untersuchten Problemen der ganzen Informatik: Gegeben: eine aussagenlogische Formel F Entscheiden: ob F erfüllbar ist. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

50 Aufgabe. p p Ç q p Ç : p p Æ : p p ) : p p ) q p ) (q ) p) p )(p) q) p, : p Gültig Erfüllbar Widerspruch 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

51 Aufgabe: Stimmt es oder nicht? J/N Gegenbeispiel Wenn F gültig, dann F erfüllbar Wenn F erfüllbar, dann : F unerfüllbar Wenn F gültig, dann : F unerfüllbar Wenn F unerfüllbar, dann : F gültig 5 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

52 Logische Äquivalenz 52 Zwei Formeln F und G sind logisch äquivalent (symbolisch: F G) genau dann, wenn für jede Belegung, die zu F und zu G passt, gilt: [F]( ) = [G]( ) Intuitiv: wenn F und G äquivalent sind, dann sind sie zwei verschiedene Schreibweisen der selben Aussage. Sei V die Menge der Variablen, die in F oder G vorkommen. F und G sind äquivalent genau dann, wenn für jede Belegung : V! {,} gilt: [F]( ) = [G]( ). Aquivalenztest: Konstruiere die Wahrheitstabelle von F,G und prüfe, ob die Spalte für F,G ausschliesschlich Einsen enthält. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

53 Aufgabe: stimmt es oder nicht? F G F G p Æ (p Ç q) p : (p Ç q) : p Ç : q p Æ (q Ç r) (p Æ q) Ç r p Æ (q Ç r) (p Æ q) Ç (p Æ r) 53 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

54 Logischen Inferenzen: Formalisierung. Eine logische Inferenz ist eine Formel der Gestalt F ) G. Dabei ist F die Annahme und G die Konklusion. Eine logische Inferenz ist korrekt wenn sie gültig ist. Notation: F ² G (in Worten: G folgt aus F) bezeichnet, dass F ) G gültig ist. Achtung! G folgt aus F ist nicht dasselbe wie F impliziert G Fast immer ist die Annahme F eine Konjunktion F Æ Æ F n. Man spricht dann von den Annahmen F,, F n Statt F Æ Æ F n ² F schreibt man platzsparend F,, F n ² F. Folgerungstest: berechne die Wahrheitstabelle und prüfe, ob die Spalte für F ) G ausschließlich Einsen enthält. 54 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

55 Aufgabe: stimmt es oder nicht? A F A ² F p p Ç q p p Æ q p, q p Ç q p, q p Æ q p Æ q p p Ç q p p, p ) q q 55 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

56 Beziehungen F ist gültig (eine Tautologie), genau dann, wenn : F ist ein Widerspruch. F true true ² F F ist ein Widerspruch, genau dann, wenn : F ist gültig. F false F ² false F ist erfüllbar genau dann, wenn : F ist nicht gültig F G gilt, genau dann, wenn F, G ist eine Tautologie 56 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

57 Aufgabe: Wahr oder falsch? Eine Formel F ist eine Tautologie, genau dann, wenn : F ein Widerspruch ist. Eine Formel F ist keine Tautologie, genau dann, wenn : F erfüllbar ist. Wenn F ein Widerspruch ist, dann ist F ) G eine Tautologie. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F false. F ist ein Widerspruch genau dann, wenn F ) false 57 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

58 Kapitel II - Grundlagen Eigenschaften der Äquivalenz Die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Damit ist eine Äquivalenzelation (wie zu erwarten war). Diese Transitivität erlaubt es, die Äquivalenz zweier Formel F und G nachzuweisen, in dem man eine Kette von Äquivalenzen F F F 2 F n G angibt. Das ist eine alternative Methode zur Wahrheitstabelle. 58 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

59 Kapitel II - Grundlagen Eigenschaften der Äquivalenz Die Relation ist eine Kongruenz. Das heißt: wenn in einer Formel F eine Teilformel durch eine äquivalente Formel ersetzt wird, dann ist die resultierende Formel äquivalent zu F. Die Kongruenz-Eigenschaft erlaubt es, eine Äquivalenz F i F i+ zu finden, in dem man einen kleinen Teil von F i durch eine äquivalente Formel ersetzt. 59 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

60 Kapitel II - Grundlagen Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Syntax:,,2, sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische Ausdrücke sind, dann sind (A+B) und (A B) auch arithmetische Ausdrücke Semantik eines Ausdrucks: eine natürliche Zahl Relation = : zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn ihre Semantik dieselbe Zahl ist = (5 4) = Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

61 Kapitel II - Grundlagen Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken: Die Relation = ist eine Äquivalenzrelation und eine Kongruenz. Beweis, dass (9 + 7) (3 + (4 2)) = 76: (9 +7) (3 + (4 2)) = (9 + 7) (3 + 8) = 6 (3 + 8) = 6 = 76 6 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

62 Äquivalenzregeln 62 Um Äquivalenzketten zu konstruieren können wir Äquivalenzregeln verwenden: Äquivalenzschemen, die instanziert werden können, um äquivalente Formeln zu gewinnen. Regeln enthalten Formelvariablen (Platzhalter für Formeln). Beispiel: Die Regel (F Ç G) Æ H (F Æ H)Ç (G Æ H) sagt Für alle Formeln F, G, H gilt: die Formel (FÇ G)Æ H und die Formel (FÆ H)Ç (GÆ H) sind äquivalent Vergleiche mit der arith. Regel: (x + y) z = (x z) + (y z) Eine Regel kann mit verschiedenen Formeln instanziert werden: (p Ç q) Æ r (p Æ r) Ç (q Æ r) ((p) q) Ç q) Æ : p ((p) q) Æ : p) Ç (q Æ : p) Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

63 Äquivalenzregeln Wie zeigt man, dass eine Regel korrekt ist? Jede Instanz kann mit einer Wahrheitstabelle geprüft werden, aber es gibt unendlich viele Instanzen! Die folgende Eigenschaft (ohne Beweis) gibt die Lösung: Eine Regel ist korrekt genau dann, wenn sie korrekt ist für die Instanz, in der die Formelvariablen F, G, H, jeweils durch die Variablen p,q,r, ersetzt werden. D.h.: Um die Korrektheit einer Regel nachzuweisen reicht es zu zeigen, dass sie für diese eine Instanz gilt. Das kann mit einer Wahrheitstabelle gemacht werden. 63 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

64 Äquivalenzregeln für,, Identität: F true F F false F Dominanz: F true true F false false Idempotenz: F F F F F F Doppelte Negation: F F Kommutativität: F G G F F G G F Assoziativität: (F G) H F (G H) (F G) H F (G H) Distributivität: F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) De Morgan s: (F G) F G (F G) F G Triviale Tautologie/Kontradiktion: F F true F F false Augustus De Morgan (86-87) 64 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

65 Äquivalenzregeln für andere Operatoren Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken. 65 Exklusives-Oder: F G (F G) (F G) F G (F G) (G F) Implikation: F G F G F G F G Bikonditional: F G (F G) (G F) F G (F G) Beachte: die Konnektoren,,, sind nicht unabhängig! Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

66 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Zeige (p ( p q)) p q (p ( p q)) p ( p q) p ( p q) p (p q) ( p p) ( p q) false ( p q) ( p q) false p q 66 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

67 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Zeige, dass p q q p. p q p q q p q q p p 67 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

68 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln Beobachtung: Eine Formel F ist eine Tautologie gdw. F true Zeige, dass ((p q) ( p r) (s s)) (q r) eine Tautologie ist. ((p q) ( p r) (s s)) (q r) ((p q) ( p r) true) (q r) ((p q) ( p r)) (q r) ((p q) ( p r)) (q r) ( (p q) ( p r)) (q r) 68 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

69 Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln 69 ( (p q) ( p r)) (q r) ( p q) (p r) q r ( p q) q (p r) r (( p q) ( q q)) ((p r) ( r r)) (( p q) true) ((p r) true) p q p r (Beachte: Klammern weggelassen) p p q r true q r true Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

70 Beweis von nicht-äquivalenzen Um zu zeigen, dass F und G nicht äquivalent sind reicht es, eine Belegung anzugeben, die zu F und G passt, und F wahr macht und G falsch (oder umgekehrt). Eine solche Belegung kann systematisch mit einer Wahrheitstabelle gesucht werden, aber nicht mit Äquivalenzregeln. In der Praxis oft besser: Finde mit Hilfe von Regeln einfachere Formeln F und G mit F F und G G. Finde eine Belegung, die zeigt, dass F und G nicht äquivalent sind. 7 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

71 Beweis von nicht-äquivalenzen Zeige: ((p q) r) und (p (q r)) sind nichtäquivalent.. ((p q) r) ( ( p q) r) ((p q) r) 2. (p (q r)) ( p q r) 3. ((p q) r) und ( p q r) sind nicht äquivalent: ((p q) r) falsch für p, q, r ( p q r) wahr für p, q, r 7 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

72 Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln Vorteile der Wahrheitstabellen: Automatische und einfache Methode. Terminiert garantiert mit der richtigen Antwort Nachteile der Wahrheitstabellen: Die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen. Die Methode ist daher völlig ungeignet für großes n. Die Wahrheitstabelle jeder Formel mit n Variablen enthält 2 n Zeilen, egal wie dumm die Formel ist (p Ç : p ) Æ (p 2 Ç : p 2 )Æ Æ (p n Ç : p n ) 72 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

73 Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln Vorteile der Äquivalenzregeln: Ab vier/fünf Variablen die bessere Methode für Menschen. Richtige Sequenz von Regelanwendungen kann schnell zum Ziel führen. Nachteile der Äquivalenzregeln: Die richtige Regel muss erraten werden. Terminierung ist nicht garantiert Kann nur zeigen, das F G gilt, aber nicht, dass es nicht gilt. 73 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

74 Ein Kalkül für logische Inferenzen. Wir beschreiben eine Menge von Inferenzregeln (ein Kalkül), Mit den Inferenzregeln können Ausdrücke A ` F mechanisch erzeugt werden, wobei A eine Konjunktion von Annahmen und F eine Formel ist. Es wird gelten: wenn A ` F, dann A ² F. Das Kalkül bietet damit eine alternative zum Folgerungstest. Die Regeln sind ähnlich zu den Formationsregeln: Basisregeln: A ` F für die Konjunktion A und die Formel F Induktive Regeln: wenn A ` F,, A n ` F n, dann B ` F 74 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

75 Ein Kalkül für logische Inferenzen Grafische Darstellung der Basisregeln: A ` F Grafische Darstellung der induktiven Regeln A ` F A n` F n B ` F Intuition: um B ² F zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass A ² F und A 2 ² F 2 und und A n ² F n gelten. 75 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

76 Ein Kalkül für logische Inferenzen Annahmeregel. Für jede A, für jede Annahme F in A : A ` F Ausgeschlossener Dritte. Für jede A, für jede F: A ` F Ç : F 76 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

77 Ein Kalkül für logische Inferenzen Regel für true. Für jede A : A ` true Regel für false. Für jede A, für jede Formel F : A ` F A ` : F A ` false 77 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

78 Ein Kalkül für logische Inferenzen Konjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G : A ` F A ` G A ` F Æ G Konjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G : A ` F Æ G A ` F A ` F Æ G A ` G 78 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

79 Ein Kalkül für logische Inferenzen Disjunktionseinführung. Für alle A, für alle F, G : A ` F A ` F Ç G A ` F A ` G Ç F Disjunktionsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G, H : A ` F Ç G A, F ` H A, G ` H A ` H 79 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

80 Ein Kalkül für logische Inferenzen Negationseinführung. Für alle A, für alle F : A, F ` false A ` : F Negationssbeseitigung. Für alle A, für alle F : A, : F ` false A ` F 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

81 Ein Kalkül für logische Inferenzen Implikationseinführung. Für alle A, für alle F, G: A, F ` G A ` F ) G Implikationsbeseitigung. Für alle A, für alle F, G: A ` F ) G A ` F A ` G 8 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

82 Ein Kalkül für logische Inferenzen Theorem: Die Regelmenge hat die folgenden zwei Eigenschaften: Wenn F ` G, dann F ² G. (Korrektheit, soundness) Aus der Regelmenge werden nur gültige Inferenzen hergeleitet. Wenn F ² G, dann F ` G. (Vollständigkeit, completeness) Jede gültige Inferenz kann mit der Regelmenge hergeleitet werden. 82 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

83 Beispiel eines formalen Beweises. Wir betrachten nochmal die Inferenz Wenn es heute bewölkt ist, und wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern, dann werden wir heute früh nach Hause kommen. Wir formalisieren sie in der Aussagenlogik und zeigen ihre Korrekheit mit Hilfe der Inferenzregeln. 83 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

84 Beispiel eines formalen Beweises Wir führen Variablen für die Aussagen ein sonnig = es ist sonnig schwimmen = wir werden schwimmen rudern = wir werden rudern früh = wir werden früh nach Hause kommen. Annahmenmenge A: (a) sonnig (b) schwim sonnig (c) schwim rudern 84 (d) rudern früh Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

85 Beispiel eines formalen Beweises Eine Herleitung von A ` F ist eine endliche Sequenz A ` F, A 2 ` F 2,, A n` F n mit: A n = A und F n = F Für alle i, i n, der Ausdruck A i ` F i kann aus einer Teilmenge der Ausdrücke A ` F,, A i- ` F i- durch Anwendung einer Regel gewonnen werden. Ein formaler Beweis der Aussage F folgt aus den Annahmen A,, A n ist eine Herleitung von A, A 2,, A n ` F 85 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

86 Beispiel eines formalen Beweises Schritt Bewiesen durch. A, schwim ` schwim An. 2. A, schwim ` schwim ) sonnig An. (b) 3. A, schwim ` : sonnig An. (a) 4. A, schwim ` sonnig Imp.Bes.,2 5. A, schwim ` false false.ein. 3,4 6. A ` schwim ) false Imp.Ein A ` : schwim Neg.Ein A ` : schwim ) rudern An. (c) 9. A ` rudern Imp.Bes. 7,8. A ` rudern ) früh An. (d). A ` früh Imp.Bes. 9, 86 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

87 Wieviele verschiedene Operatoren gibt es? Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren) kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden. Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit n Variablen 2 n Einträge (/) hat, gibt es genau 2 2n verschiedene Wahrheitstabellen für Formeln mit n Variablen. Es gibt also 2 2n Operatoren der Arität n (insbesondere 4 unäre und 6 binäre Operatoren). 87 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

88 Vollständige Mengen von Operatoren. 88 Einige Operatoren können durch andere ausgedrückt werden. Z.B. aus p ) q : p Ç q folgt F ) G : F Ç G für beliebige Formeln F und G. Formal: Ein Operator OP der Stelligkeit k kann durch die Operatoren OP_,, OP_n ausgedrückt werden wenn es eine Formel F über OP_,, OP_n gibt mit OP(p,, p k ) F Eine Menge M von Operatoren ist vollständig wenn jeder Operator (egal welcher Arität) durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann. Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

89 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Menge {:, Ç, Æ} ist vollständig. Beispiel. Wir betrachten den 3-stelligen Operator ITE mit folgender Wahrheitstabelle: p q r ITE(p,q,r) Es gilt: ITE(p,q,r) (: p Æ : q Æ r) Ç (: p Æ q Æ r) Ç ( p Æ q Æ : r) Ç ( p Æ q Æ r) 89 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

90 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Mengen {:, Ç} und {:, Æ} sind vollständig. Beweisidee. Beobachtung: Sei V eine vollständige Menge und sei M eine Menge von Operatoren. Wenn jeder Operator aus V durch die Operatoren von M ausgedrückt werden kann, dann ist M auch vollständig. Fall {:, Ç}. Es reicht zu zeigen, dass Æ durch : und Ç ausgedrückt werden kann. Das wird mit der De Morgan sche Regel erreicht: p Æ q : (: p Ç : q). Fall {:, Æ}. Symmetrisch. 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

91 Vollständige Mengen von Operatoren. Wir betrachten die Operatoren nand: (F nand G) ( (F G)) F G F nand G nor: (F nor G) ( (F Ç G)) F G F nor G 9 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

92 Vollständige Mengen von Operatoren. Theorem: Die Mengen {nand} und {nor} sind vollständig. Beweisskizze für die Menge {nand}: ( F) (F nand F) (F G) (F nand G) nand (F nand G) (F G) (F nand F) nand (G nand G) 92 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

93 Zusammenfassung Boolesche Operatoren 93 Formaler Name Umg.spr. Stelligkeit Symbol Negation NICHT Mon. Konjunktion UND Dyad. Disjunktion ODER Dyad. Exclusives-Oder XOR Dyad. Implikation IMPLIZIERT Dyad. Bikonditional IFF (GDW) Dyad. NAND NAND Dyad. NAND NOR NOR Dyad. NOR Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

94 Zusammenfassung Aussagenlogik Syntax und Semantik. Operatoren und Wahrheitstabellen. Logische Begriffe. Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Folgerung Äquivalenzregeln, Folgerungsregeln. Formale Beweise Vollständige Operatorenmengen. 94 Vorlesung Diskrete Strukturen WS 9/

WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik 1)

WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik 1) WS 25/6 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Aussagenlogik ) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_5

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht

Mehr

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Grundbegriffe der Aussagenlogik 1 Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen

Mehr

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Karl Heinz Wagner. Hier Titel eingeben 1

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Karl Heinz Wagner. Hier Titel eingeben 1 Grundbegriffe der Aussagenlogik 1 Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen

Mehr

Semantic Web Technologies I!

Semantic Web Technologies I! www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I! Lehrveranstaltung im WS11/12! Dr. Elena Simperl! DP Dr. Sebastian Rudolph! M.Sc. Anees ul Mehdi! www.semantic-web-grundlagen.de Logik Grundlagen!

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik

TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 5.12.2016 1 / 32 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds

Mehr

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??

Aufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/?? Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Übung 4: Aussagenlogik II

Übung 4: Aussagenlogik II Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Grundlagen der Informationverarbeitung

Grundlagen der Informationverarbeitung Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,

Mehr

Informatik A ( Frank Hoffmann)

Informatik A ( Frank Hoffmann) Teillösungen zum 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Informatik A ( Frank Hoffmann) 1. Improvisieren Stellen Sie die Zahl 6 dar durch einen Ausdruck, der genau dreimal die Ziffer i enthält und ansonsten neben

Mehr

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

Teil 7. Grundlagen Logik

Teil 7. Grundlagen Logik Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also

Mehr

Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungs-sätze bringen das Zutreffen einer Aussage (oder Proposition) zum Ausdruck.

Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungs-sätze bringen das Zutreffen einer Aussage (oder Proposition) zum Ausdruck. 2 Aussagenlogik (AL) 2. Wahrheitsfunktionale Konnektoren Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungs-sätze bringen das Zutreffen einer Aussage (oder Proposition) zum Ausdruck.

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

b. Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns (1. System von Regeln von Aristoteles ( v. Chr.); sprachliche Argumente

b. Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns (1. System von Regeln von Aristoteles ( v. Chr.); sprachliche Argumente II. Zur Logik 1. Bemerkungen zur Logik a. Logisches Gebäude der Mathematik: wenige Axiome (sich nicht widersprechende Aussagen) bilden die Grundlage; darauf aufbauend Lehrsätze unter Berücksichtigung der

Mehr

Grundlagen der Logik

Grundlagen der Logik Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl

Mehr

Logik. c Javier Esparza und Michael Luttenberger 2018/02/06

Logik. c Javier Esparza und Michael Luttenberger 2018/02/06 Logik c Javier Esparza und Michael Luttenberger Chair for Foundations of Software Reliability and Theoretical Computer Science Technische Universität München 2018/02/06 Logik und Inferenzen 2 Logik ist

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik Syntax & Semantik. Motivation. Motivation

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik Syntax & Semantik. Motivation. Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 14 Aussagenlogik & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Mit der Aussagenlogik lassen sich einfache Verknüpfungen zwischen (atomaren) Gebilden ausdrücken

Mehr

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14 Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine

Mehr

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich 9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Reinhard Riedl (riedl@ifi.unizh.ch) Nadine Korolnik (korolnik@ifi.unizh.ch)

Mehr

2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik

2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik 2.3 Deduktiver Aufbau der Aussagenlogik Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit einem axiomatischen Aufbau der Aussagenlogik mittels eines Deduktiven Systems oder eines Kalküls. Eine syntaktisch korrekte

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik

Mehr

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade

TU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Mehr

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.

Mehr

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,

Mehr

Logik für Informatiker Logic for computer scientists

Logik für Informatiker Logic for computer scientists Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 24 Die Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 24 Die Negation Wahrheitstafel

Mehr

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Kapitel 1. Aussagenlogik

Kapitel 1. Aussagenlogik Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax

Mehr

1 Einführung Aussagenlogik

1 Einführung Aussagenlogik 1 Einführung Aussagenlogik Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist. Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage? 3+4=7 2*3=9 Angela Merkel ist Kanzlerin Stillgestanden!

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2. Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.

Mehr

Informationsverarbeitung auf Bitebene

Informationsverarbeitung auf Bitebene Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

Formale Logik - SoSe 2012

Formale Logik - SoSe 2012 2.44 % Formale Logik - SoSe 2012 Versuch einer Zusammenfassung Malvin Gattinger http://xkcd.com/435/ 4.88 % Gliederung Einleitung Was ist Logik? Begriffsklärungen Sätze und Wahrheit Argumente und Gültigkeit

Mehr

Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =

Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 = Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min

Mehr

Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. 2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet.

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Aussagen (und damit indirekt auch Aussagesätze) können wahr oder falsch sein. Wahr und falsch sind Wahrheitswerte von Aussagen.

Aussagen (und damit indirekt auch Aussagesätze) können wahr oder falsch sein. Wahr und falsch sind Wahrheitswerte von Aussagen. 2 Aussagenlogik (AL) 2 Aussagenlogik (AL) 2. Wahrheitsfunktionale Konnektoren [ Gamut 28-35, Partee -6 ] Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungssätze bringen das Zutreffen

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Deduktion in der Aussagenlogik

Deduktion in der Aussagenlogik Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus

Mehr

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.

Mehr

Semantic Web Technologies I

Semantic Web Technologies I www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS08/09 PD Dr. Pascal Hitzler M.Sc. Markus Krötzsch Dr. Sebastian Rudolph Logik Grundlagen Einleitung und Ausblick XML und

Mehr

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10 Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 13 Aussagenlogik Syntax & Semantik

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 13 Aussagenlogik Syntax & Semantik Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 13 Aussagenlogik & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 23. Mai 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/42 Literaturhinweis Literaturhinweis

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Einheit 1 Mathematische Methodik 1. Problemlösen 2. Beweistechniken 3. Wichtige Grundbegriffe Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Welche Begriffe sind zum Verständnis

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit

Mehr

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html

Mehr

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de

Beschreibungslogiken. Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Beschreibungslogiken Daniel Schradick 1schradi@informatik.uni-hamburg.de Was sind Beschreibungslogiken? Definition: Formalisms that represent knowledge of some problem domain (the world ) by first defining

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

Dallmann, H. & Elster, K.H. (1991). Einführung in die höhere Mathematik, Band I. Jena: Fischer. (Kapitel 1, pp )

Dallmann, H. & Elster, K.H. (1991). Einführung in die höhere Mathematik, Band I. Jena: Fischer. (Kapitel 1, pp ) Logik Literatur: Dallmann, H. & Elster, K.H. (1991). Einführung in die höhere Mathematik, Band I. Jena: Fischer. (Kapitel 1, pp. 17-30) Quine, W.V.O. (1964 / 1995). Grundzüge der Logik. Frankfurt a.m.:

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

Klassische Aussagenlogik

Klassische Aussagenlogik Eine Einführung in die Logik Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Menschen mit Logik. Die alten Griechen und nach ihnen mittelalterliche Gelehrte versuchten, Listen mit Regeln zu entwickeln, welche

Mehr

THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK

THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK Rückblick: Logelei Wir kehren zurück auf das Inselreich mit Menschen von Typ W (Wahrheitssager) und Typ L (Lügner). THEORETISCHE INFORMATIK UND LOGIK 14. Vorlesung: Modelltheorie und logisches Schließen

Mehr

Vorkurs Mathematik 2016

Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok Skript VK1 vom 8.9.2016 VK1: Logik Die Kunst des Schlussfolgerns Denition 1: Eine Aussage ist ein sprachliches

Mehr

Modallogik (aussagenlogisch)

Modallogik (aussagenlogisch) Kapitel 2 Modallogik (aussagenlogisch) In diesem Abschnitt wird eine Erweiterung der Aussagenlogik um sogenannte Modalitäten behandelt. Damit erlangt man eine größere Aussagekraft der Sprache, allerdings

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln

Mehr