Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK"

Transkript

1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

2 Sudoku Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 2/24

3 Sudoku Vervollständigen Sie das Sudoku so, dass in jeder der neun Spalten in jeder der neun Reihen und in jeder der neun Regionen alle Zahlen von 1 bis 9 vorkommen. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 3/24

4 Sudoku Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 4/24

5 Lösungsweg via Aussagenlogik Wir führen für jede Zellenposition (i, j) des Sudoku und jede Zahl k zwischen 1 und 9 eine Boolesche Variable D k i,j ein, mit der Vorstellung, dass D k i,j den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i, j) die Zahl k steht. Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen. So ist z.b. D9,1 9 wahr, wenn in der rechten unteren Ecke die Zahl 9 steht. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 5/24

6 Sudoku Regeln als AL-Formeln D 1 1,9 D1 2,9 D1 3,9 D1 4,9 D1 5,9 D1 6,9 D1 7,9 D1 8,9 D1 9,9 sagt, dass die Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Zeile vorkommen muß. D 1 1,1 D1 1,2 D1 1,3 D1 1,4 D1 1,5 D1 1,6 D1 1,7 D1 1,8 D1 1,9 sagt, dass die Ziffer 1 mindestens einmal in der ersten Spalte vorkommen muß. D 1 1,1 D1 1,2 D1 1,3 D1 2,1 D1 2,2 D1 2,3 D1 3,1 D1 3,2 D1 3,3 sagt, dass die Ziffer 1 mindestens einmal in der Region links unten vorkommen muss. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 6/24

7 Zusätzliche AL-Formeln Die bisherigen Formeln beschreiben Sudoku noch nicht genau. Man muss noch sagen, dass auf jeder Zelle höchstens eine Zahl stehen kann. (D 1 1,1 D2 1,1 ), (D1 1,1 D3 1,1 ), (D1 1,1 D4 1,1 ), (D1 1,1 D5 1,1 ), (D 1 1,1 D6 1,1 ), (D1 1,1 D7 1,1 ), (D1 1,1 D8 1,1 ), (D1 1,1 D9 1,1 ), (D 2 1,1 D3 1,1 ), (D2 1,1 D4 1,1 ), (D2 1,1 D5 1,1 ), (D2 1,1 D6 1,1 ), (D 2 1,1 D7 1,1 ), (D2 1,1 D8 1,1 ), (D2 1,1 D9 1,1 ), (D3 1,1 D4 1,1 ), usw. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 7/24

8 Zusätzliche AL-Formeln Allgemein: (Di,j s Di,j t ) für alle 1 i, j, s, t 9 mit s < t. Ergibt = 2916 Formeln. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 8/24

9 Das 8-Damen-Problem Man plaziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/2011 9/24

10 Eine Lösung des 8-Damen-Problems Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

11 Wiederholung Syntax und Semantik der Aussagenlogik Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

12 Vokabular der Aussagenlogik Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für beiderseitige Implikation ( genau dann, wenn ) (,) die beiden Klammern Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

13 Vokabular der Aussagenlogik Signatur Eine (aussagenlogische) Signatur ist eine abzählbare Menge Σ von Symbolen, etwa oder Σ = {P 0,..., P n } Σ = {P 0, P 1,...}. Die Elemente von Σ heißen auch atomare Aussagen, Atome oder Aussagevariablen. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

14 Formeln der Aussagenlogik Zur Signatur Σ ist For0 Σ, die Menge der induktiv definiert durch Formeln über Σ 1 For0 Σ 0 For0 Σ Σ For0 Σ wenn A, B For0 Σ dann sind auch A (A B) (A B) (A B) (A B) Elemente von For0 Σ Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

15 Semantik der Aussagenlogik Interpretation Es sei Σ eine aussagenlogische Signatur. Eine Interpretation über Σ ist eine beliebige Abbildung I : Σ {W, F}. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

16 Semantik der Aussagenlogik Auswertung Zu jedem I über Σ wird eine zugehörige Auswertung der Formeln über Σ definiert mit: val I : For0 Σ {W, F} val I (1) = W val I (0) = F val I (P) = I(P) für jedes P Σ val I ( A) = { F falls vali (A) = W W falls val I (A) = F Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

17 Semantik der Aussagenlogik Auswertung (Forts.) val I auf (A B), (A B), (A B), (A B) wird gemäß der folgenden Tabelle berechnet val I val I val I val I val I (A) val I (B) (A B) (A B) (A B) (A B) W W W W W W W F F W F F F W F W W F F F F F W W Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

18 Quiz 1 (A B) ( B A) ja 2 (A B) (A B) ja 3 (A B) (A B) nein 4 (A B) ( A B) nein 5 ( A B) (A B) ja Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

19 Logische Grundbegriffe Definition Ein Modell einer Formel A For0 Σ ist eine Interpretation I über Σ mit val I (A) = W. Zu einer Formelmenge M For0 Σ ist ein Modell von M eine Interpretation I, welche Modell von jedem A M ist. A For0 Σ heißt allgemeingültig gdw val I (A) = W für jede Interpretation I über Σ. A For0 Σ heißt erfüllbar gdw es gibt eine Interpretation I über Σ mit val I (A) = W. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

20 Logische Grundbegriffe (Forts.) Definition Σ sei eine Signatur, M For0 Σ, A, B For0 Σ. M = A lies: aus M folgt A gdw Jedes Modell von M ist auch Modell von A. A, B For0 Σ heißen logisch äquivalent gdw A = Σ B und B = Σ A Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

21 Beispiele allgemeingültiger Formeln A A Selbstimplikation A A Tertium non datur A (B A) Abschwächung 0 A Ex falso quodlibet (A (A B)) B Modus Ponens A A A Idempotenz ( A) A Doppelnegation A (A B) A Absorption (A B) ((A B) (B A)) Äquivalenz/Implikation A (B C) (A B) (A C) Distributivität A (B C) (A B) (A C) Distributivität Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

22 Beispiele allgemeingültiger Formeln (Forts.) (A B) ( B A) Kontraposition (A (B C)) ((A B) (A C)) Verteilen (A B) A B De Morgan (A B) A B De Morgan Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

23 Einfache Sätze Theorem A erfüllbar gdw A nicht allgemeingültig = A gdw A ist allgemeingültig = A gdw A ist unerfüllbar A = B gdw = A B M {A} = B gdw M = A B A, B sind logisch äquivalent gdw A B ist allgemeingültig Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

24 Logische Umformung Theorem Wenn dann A und B logisch äquivalent A Unterformel von C C entsteht aus C dadurch, dass A durch B ersetzt wird C und C logisch äquivalent Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2010/ /24

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Die Folgerungsbeziehung

Die Folgerungsbeziehung Kapitel 2: Aussagenlogik Abschnitt 2.1: Syntax und Semantik Die Folgerungsbeziehung Definition 2.15 Eine Formel ψ AL folgt aus einer Formelmenge Φ AL (wir schreiben: Φ = ψ), wenn für jede Interpretation

Mehr

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Aussagen- und Prädikatenlogik

Aussagen- und Prädikatenlogik Universität Bielefeld Formale Methoden der Linguistik Prof. Dr. Walther Kindt, Mirco Hilbert Fakultät für Linguistik und Literaturwissenschaft Kurz-Zusammenstellung Aussagen- und Prädikatenlogik Mirco

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Teil 7. Grundlagen Logik

Teil 7. Grundlagen Logik Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der

Mehr

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS / KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Mehr

Aussagenlogik 51. Aussagenlogik. Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Bernd Baumgarten

Aussagenlogik 51. Aussagenlogik. Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Bernd Baumgarten Aussagenlogik 51 Aussagenlogik Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Aussagenlogik 52 Modelle und Gegenbeispiele Eine für eine Formel ϕ ausreichende Belegung bel ist Modell von

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.

Mehr

Logische und funktionale Programmierung

Logische und funktionale Programmierung Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

Formale Systeme. P. H. Schmitt

Formale Systeme. P. H. Schmitt Formale Systeme P. H. Schmitt Winter 2007/2008 Version: 5. März 2008 Vorwort Formale Methoden und die zu ihrer Umsetzung notwendigen formalen Systeme spielen in der Informatik von Anfang an eine wichtige

Mehr

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Semantic Web Technologies I!

Semantic Web Technologies I! www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I! Lehrveranstaltung im WS11/12! Dr. Elena Simperl! DP Dr. Sebastian Rudolph! M.Sc. Anees ul Mehdi! www.semantic-web-grundlagen.de Logik Grundlagen!

Mehr

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012 Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

Einführung Grundbegriffe

Einführung Grundbegriffe Einführung Grundbegriffe 1.1 Der Modellbegriff Broy: Informatik 1, Springer 1998 (2) Die Modellbildung der Informatik zielt auf die Darstellung der unter dem Gesichtspunkt einer gegebenen Aufgabenstellung

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Prof. Dr. Bernhard Beckert 08. April 2011 Vorname: Matrikel-Nr.: Platz: Klausur-ID: **Platz** **Id** Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. A1 (17)

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 29/ Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws9

Mehr

Übung 4: Aussagenlogik II

Übung 4: Aussagenlogik II Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F

Mehr

Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln

Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Lösungen zu Übungsblatt 1 Diskrete Mathematik (Informatik) 7./9. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Logik: aussagenlogische Formeln und Wahrheitstafeln Aufgabe

Mehr

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln Vorlesung Letz WS 2002/2003 TU München: Logikbasierte Entscheidungsverfahren Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln INHALTE Die Bernays-Schönfinkel-Klasse bzw. Datenlogik-Formeln

Mehr

2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen

2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen 2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen GM 2-1 Wozu Mengen? In der Mathematik Au dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable

Mehr

Aufgabe - Fortsetzung

Aufgabe - Fortsetzung Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)

Mehr

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik Vorlesung Logik und Diskrete Mathematik (Mathematik für Informatiker I) Wintersemester 2008/09 FU Berlin Institut für Informatik Klaus Kriegel 1 Literatur zur Vorlesung: C. Meinel, M. Mundhenk, Mathematische

Mehr

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h SS 2011 20. April 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April 2011 10:00h 1. Aufgabe: [strukturelle Induktion, Übung] Zeigen Sie mit struktureller Induktion über

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

4 Logik 4.1 Aussagenlogik

4 Logik 4.1 Aussagenlogik 4 Logik 4.1 Aussagenlogik Mod - 4.1 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder alsch angesehen erden können. z. B.: Es regnet.,

Mehr

SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER

SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER FORMALE SPRACHEN Wie jede natürliche Sprache, hat auch auch jede formale Sprache Syntax/Grammatik Semantik GRAMMATIK / SYNTAX Die Grammatik / Syntax einer formalen

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johann-von-Neumann-Haus Fachschaft Menge aller Studenten eines Institutes

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül

Mehr

Aussagenlogik. Beispiel

Aussagenlogik. Beispiel Aussagenlogik 2 Die Aussagenlogik (AL) ist die einfachste Form der Logik. Sie geht schon auf George Boole (1815 1864) zurück und beschreibt einfachste Verknüpfungen zwischen als atomar ( unteilbar ) angesehenen

Mehr

Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS13/14

Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS13/14 www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS13/14 Dr. Andreas Harth Dipl.-Inf. Martin Junghans Logik Grundlagen Einleitung und Ausblick XML und URIs Einführung in

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Einführung: Logisches Schließen im Allgemeinen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Beispiel:

Mehr

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Bernhard Beckert Christoph Gladisch Claudia Obermaier Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 2 Grundlegende

Mehr

Grundlagen der Kognitiven Informatik

Grundlagen der Kognitiven Informatik Grundlagen der Kognitiven Informatik Wissensrepräsentation und Logik Ute Schmid Kognitive Systeme, Angewandte Informatik, Universität Bamberg letzte Änderung: 14. Dezember 2010 U. Schmid (CogSys) KogInf-Logik

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 (2+2+2 Punkte) a) Stellen Sie folgende Formel mit möglichst wenig Aussagevariablen dar und überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand einer

Mehr

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik

Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax

Mehr

Sudoku. Warum 6? Warum 6?

Sudoku. Warum 6? Warum 6? . / Sudoku Füllen Sie die leeren Felder so aus, dass in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem x Kästchen alle Zahlen von bis stehen.. / Warum?. / Warum?. / Geschichte der Logik Syllogismen (I) Beginn

Mehr

Klassische Aussagenlogik

Klassische Aussagenlogik Eine Einführung in die Logik Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Menschen mit Logik. Die alten Griechen und nach ihnen mittelalterliche Gelehrte versuchten, Listen mit Regeln zu entwickeln, welche

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

TU5 Aussagenlogik II

TU5 Aussagenlogik II TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)

Mehr

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 1. Aussagenlogik Alphabet und AS gegeben, wie sind die Aussagenlogischen

Mehr

Formale Systeme. Büchi-Automaten. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Büchi-Automaten. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C 3. Prädikatenlogik 3.1 Motivation In der Aussagenlogik interessiert Struktur der Sätze nur, insofern sie durch "und", "oder", "wenn... dann", "nicht", "genau dann... wenn" entsteht. Für viele logische

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

4. Aussagenlogik 32 #WUUCIGPNQIKM

4. Aussagenlogik 32 #WUUCIGPNQIKM 4. Aussagenlogik Wir haben bisher beschrieben, auf welche Weise die Objekte und Individuen in unserer Welt als einfache Mengen und Mengen von n-tupeln erfasst werden können. Daraufhin haben wir Relationen

Mehr

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft

Formale Systeme. Organisatorisches. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Organisatorisches KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft Personen

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete (und Relationen, Funktionen, Aussagenlogik) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/18 Überblick Alphabete ASCII Unicode

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,

Mehr

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik

Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche

Mehr

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Vincent Blaskowitz Übungsblatt 7 vom 03.06.20 Aufgabe Aufgabenstellung Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: i log 0,008 ii log 2 Lösung

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung)

Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung) Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung) 3.0 VU Formale Modellierung Lara Spendier, Gernot Salzer WS 2011 Aufgabe 1 Gegeben seien die folgenden Aussagen: A: Es ist eiskalt. B: Es schneit. Drücken Sie die

Mehr

Dank. 1 Ableitungsbäume. 2 Umformung von Grammatiken. 3 Normalformen. 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. 5 Pushdown-Automaten (PDAs)

Dank. 1 Ableitungsbäume. 2 Umformung von Grammatiken. 3 Normalformen. 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. 5 Pushdown-Automaten (PDAs) ank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert iese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden:

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: Übungsaufgaben 1. Aufgabe 1 Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: a. x ist eine gerade Zahl. Aussageform b. 10 ist Element der Menge A.

Mehr

Digitalelektronik - Inhalt

Digitalelektronik - Inhalt Digitalelektronik - Inhalt Grundlagen Signale und Werte Rechenregeln, Verknüpfungsregeln Boolesche Algebra, Funktionsdarstellungen Codes Schaltungsentwurf Kombinatorik Sequentielle Schaltungen Entwurfswerkzeuge

Mehr

Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010

Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010 Logik Teil 1: Aussagenlogik Vorlesung im Wintersemester 21 Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren:

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren: 4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie

Mehr

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016 Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.

Mehr

Informationsverarbeitung auf Bitebene

Informationsverarbeitung auf Bitebene Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung

Mehr

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4 R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 Inhaltsverzeichnis 4 Aufgabe 4 3 4.1 Sich mit dem Programmpaket vertraut machen.................... 3 4.1.1 Aufgabenstellung.................................

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

4. Induktives Definieren - Themenübersicht

4. Induktives Definieren - Themenübersicht Induktives Definieren 4. Induktives Definieren - Themenübersicht Induktives Definieren Natürliche Zahlen Operationen auf natürlichen Zahlen Induktive Algorithmen Induktiv definierte Mengen Binärbäume Boolesche

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3.3 Quantoren [ Gamut 70-74 McCawley 23-44 Chierchia 113-117 ]? Sind folgende Sätze jeweils synonym? (1) (a) Hans ist verheiratet oder nicht verheiratet. (b)

Mehr