Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

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7 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 2 Grundlegende Notation von Summen Binomische Formel Doppelsummen Grundbegriffe der Logik Grundlegendes über

8 Summenzeichen Oft sinnvoll: Abkürzen von längeren Summen durch das Summenzeichen (Großes griechisches Sigma) Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen: N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = 6 Sprechweise: Summe von i gleich 1 bis 6 über N i Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.b. q a i = a p + a p a q i=p N i Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.b. 8 i 2 = i=3 24

9 Summenzeichen Rechenregeln für das Summenzeichen n n (a i + b i ) = a i + n n c a i = c a i n b i Damit leicht zu zeigen (Setze µ x = 1 n n (a i µ x ) = 0 ( n n (a i µ x ) 2 = a 2 i Additivität Homogenität n a i ): ) n µ 2 x 25

10 Produktzeichen Analog zum Summenzeichen: Das Produktzeichen n a i = a 1 a 2... a n Zum Beispiel: 2 ( x + ( 1) i ) = (x 1)(x + 1) Spezielle Abkürzung: n i = n = n! n Fakultät 26

11 Binomialkoeffizient Man definiert den Binomialkoeffizienten als: ( ) m = k m i=(m k+1) k j j=1 Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also: ( ) m 0 = 1 Beispiel: ( ) 5 = = 10 Rechenregeln: i = m! k! (m k)! ( ) ( ) m m = k m k und ( ) m + 1 = k + 1 ( ) ( ) m m + k k

12 Binomische Formel Newtons binomische Formel ( ) ( ) m m (a + b) m = a m + a m 1 b ( ) ( ) m m + ab m 1 + b m m 1 m Kurzform: (a + b) m = m k=0 ( ) m a m k b k k Zum Beispiel: (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 28

13 Doppelsummen Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m Zeilen Einzelne Einträge: a ij mit i 1,..., m und j 1,..., n Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen: m m m a i1 + a i a in = ( n m ) a ij j=1 Es gilt: m n n m a ij = j=1 j=1 a ij 29

14 Sätze, Implikation und Äquivalenz Satz: Aussage, die als wahr oder falsch nachgewiesen werden kann Implikation: Wenn Aussage A wahr ist muss Aussage B wahr sein. Andernfalls ist Implikation falsch. Schreibweise: A B Gilt A B sagt man auch: A ist eine hinreichende Bedingung für B B ist eine notwendige Bedingung für A Äquivalenz: Gilt A B und B A gleichzeitig, sind A und B äquivalent: A B 30

15 Gleichungen und Äquivalenz Warum Äquivalenzumformungen bei Gleichungen? Gegeben: Kette von Äquivalenzumformungen f(x) = 0... x = 1 x = 17 Ersetzen von durch? Bedeutung: Lösungsmenge {1, 17} Ersetzen von durch? Bedeutung: Lösungsmenge {1, 17} 31

16 und Elemente Menge: Sammlung von Elementen Aufzählung in geschweiften Klammern. Zum Beispiel Menge E: E = {Fisch, Nudeln, Huhn, Eis} Zwei A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch in B ist und andersherum, also: {a, 1, 4} = {4, 1, a} Darstellung von durch Beschreibung der Elemente, z.b. M = {x R : 0 x < 1} Zugehörigkeit zu einer Menge: x A x ist ein Element der Menge A 32

17 Teilmengen und Verknüpfungen Teilmengen Ist Jedes Element einer Menge A auch Element der Menge B, so heißt A Teilmenge von B A B Damit gilt: verknüpfungen A = B A B und B A Notation Sprechweise Die resultierende Menge besteht aus den Elementen, die A B Vereinigungsmenge von A und B mindestens zu A oder B gehören A B Schnittmenge von A und B sowohl in A als auch in B liegen A\B A ohne B zu A, aber nicht zu B gehören 33