Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)

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1 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Version vom 9. Oktober / 70

2 Beispiele für Mengen A = {1, 2, 3} hat die Elemente 1,2 und 3 2 A ( 2 ist ein Element von A ) 4 A ( 4 ist kein Element von A ) B = {0, 2, 4, 6, 8,... } ist die unendlich große Menge aller geraden (nicht-negativen) Zahlen. Es gilt z.b.: 1024 B {n B n ist teilbar durch 5} = {0, 10, 20, 30, 40,... } ( Die Menge aller n in B, welche die Eigenschaft haben, durch 5 teilbar zu sein. ) sin {f Funktion f = f } : Die leere Menge (keine Elemente) 2 2 / 70

3 Teilmengen 3 Definition 1.1 A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Schreibweisen: A B B A A B B A Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn A B und B A gelten. 3 / 70

4 Mengenoperationen Definition 1.2 Für zwei Mengen A und B definieren wir: A B := {x x A und x B} ( A geschnitten B, Schnittmenge, Durchschnitt ) A B := {x x A oder x B} ( Vereinigungsmenge ) A \ B := {x A x / B} ( Differenzmenge ) A B := {(x, y) x A, y B} ( Kartesisches Produkt ) 4 4 / 70

5 Illustration von Mengenoperationen / 70

6 ... Illustration von Mengenoperationen A A B 6 B 6 / 70

7 Operationen auf n Mengen 7 n i=1 A i := A 1 A n = {x x A i für alle i {1,..., n}} n i=1 A i := A 1 A n = {x x A i für wenigstens ein i {1,..., n}} A 1 A n := {(x 1,..., x n ) x i A i für alle i} A n := A } {{ A } n mal 7 / 70

8 Die reellen Zahlen 8 Definition 1.3 Eine reelle Zahl ist eine Zahl, die sich als Dezimalbruch (mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommastellen) darstellen lässt. Definition 1.4 Die Menge aller reellen Zahlen bezeichnen wir mit R. 8 / 70

9 Die ganzen Zahlen Definition 1.5 Eine ganze Zahl ist eine reelle Zahl, die sich ohne Nachkommastelle schreiben lässt. Die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnen wir mit Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }. 9 Definition 1.6 Die Menge der natürlichen Zahlen ist N := {x Z x 0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } (DIN 5473). 9 / 70

10 Ansichtssache 10 Leopold Kronecker ( ) Die natürlichen Zahlen sind vom lieben Gott geschaffen, alles andere in der Mathematik ist nur Menschenwerk. Richard Dedekind ( ) Die natürlichen Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes. 10 / 70

11 Die rationalen Zahlen 11 Definition 1.7 Die Menge der rationalen Zahlen ist Q := {x R Es gibt p, q Z mit q 0 und x = p q }. Eine reelle Zahl ist genau dann (d. h. dann und nur dann ) rational, wenn sie sich als Dezimalbruch mit endlich vielen oder mit irgendwann periodisch werdenden Nachkommastellen schreiben lässt. 11 / 70

12 Rechenoperationen in den Zahlbereichen 12 x + y x y x y x y (y 0) x(x 0) R Q Z N Division durch Null wird niemals erlaubt. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den komplexen Zahlen (später). Bei der Multiplikation lässt man oft den Punkt weg: xy := x y 12 / 70

13 Potenzen Definition 1.8 Für jede Zahl x und n N, n 1 ist 13 x n := x x x }{{} n mal die n-te Potenz von x (x 0 := 1).Für x 0 definieren wir weiter x n := 1 x n. Insbesondere ist x 1 = 1 x (für x 0). 13 / 70

14 Wurzeln Definition 1.9 Für eine nicht negative Zahl x 0 und n {2, 3,... } ist die n-te Wurzel 14 n x = x 1 n die nicht negative Zahl n x 0 mit ( n x) n = x (Abkürzung: x := 2 x). Für x 0 und p Z, q {2, 3,... } definieren wir x p q := (x 1 q ) p. 14 / 70

15 Rechenregeln für Potenzen 15 Für alle α, β Q und x, y R gelten: x α x β = x α+β x α x β = x α β (falls x 0) (xy) α = x α y α (x α ) β = x βα 15 / 70

16 Ungleichheitszeichen Definition 1.10 Für x, y R schreiben wir: 16 x < y, falls x (echt) kleiner als y ist. x > y, falls x (echt) größer als y ist. x y, falls x < y oder x = y ist. x y, falls x > y oder x = y ist. x heißt positiv, falls x > 0 ist. x heißt negativ, falls x < 0 ist. R + = R 0 := {x R x 0} (nicht-negative reelle Zahlen) 16 / 70

17 Implikation und Äquivalenz 17 Definition 1.11 Für zwei Aussagen A und B bedeutet A B: Falls A gilt, dann gilt auch B ( Aus A folgt B, Implikation ) Definition 1.12 Gilt für zwei Aussagen A und B sowohl A B als auch B A, so schreiben wir A B. ( A und B sind äquivalent, A gilt genau dann, wenn B gilt ). 17 / 70

18 Regeln für Rechnen mit Ungleichungen x < y und y < z x < z x y und y < z x < z x < y und y z x < z x y und y z x z x < y und a < b x + a < y + b x y und a < b x + a < y + b x < y und a b x + a < y + b x y und a b x + a y + b 18 / 70

19 ... Regeln für Rechnen mit Ungleichungen 19 x < y x < y x y x < y x < y x y Achtung: und a > 0 ax < ay und a 0 ax ay und a 0 ax ay und a < 0 ax > ay und a 0 ax ay und a 0 ax ay Bei Multiplikation mit negativen Zahlen kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. 19 / 70

20 Weitere Regeln Für alle x R gilt 20 x 2 0, falls x 0 sogar x 2 > 0 Für x, y 0 gelten: x y x < y x y x < y 20 / 70

21 Beschränkte Intervalle Definition 1.13 Für a, b R mit a b definieren wir die folgenden beschränkten Intervalle: 21 [a, b] := {x R a x b} ( kompakt ) [a, b [ := {x R a x < b} ( halb offen ) ] a, b ] := {x R a < x b} ( halb offen ) ] a, b [ := {x R a < x < b} ( offen ) Alternative Schreibweisen: (a, b) = ] a, b [ [a, b) = [a, b [ (a, b ] = ] a, b ] 21 / 70

22 Beispiele für beschränkte Intervalle / 70

23 Unbeschränkte Intervalle Definition 1.14 Für a R definieren wir die folgenden unbeschränkten Intervalle: 23 [a, [ := {x R a x} ( halb offen ) ] a, [ := {x R a < x} ( offen ) ], a ] := {x R x a} ( halb offen ) ], a [ := {x R x < a} ( offen ) Alternative Schreibweisen: (a, ) = ] a, [ [a, ) = [a, [ / 70

24 Beispiele für unbeschränkte Intervalle / 70

25 Bemerkungen 25 Bemerkung Die Symbole und sind keine Zahlen. Man darf nicht mit ihnen rechnen. Bemerkung Entscheidende Eigenschaft eines Intervalls I R: Wenn x, y I, dann gilt für alle z R mit x z y auch z I. 25 / 70

26 Definition des Betrags 26 Definition 1.15 Für x R heißt x := { x, falls x 0 x, falls x < 0 der Betrag (auch Absolutbetrag) von x. 26 / 70

27 Illustration des Betrags / 70

28 Regeln für Beträge 28 x 0 x = Abstand von x zu 0 auf der Zahlengeraden x a = Abstand von x zu a auf der Zahlengeraden x = x x = 0 x = 0 x x x x 2 = x (Wurzeln sind nie negativ) 28 / 70

29 Die Dreiecksungleichung Satz 1.16 Für alle x, y R gilt die Dreiecksungleichung 29 x + y x + y. Sind x 1,..., x n R n reelle Zahlen, so gilt x 1 + x x n x 1 + x x n. Außerdem gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung x y x y. 29 / 70

30 Das Summenzeichen Definition 1.17 Seien m, n N mit m n, und x m,..., x n Zahlen (oder andere mathematische Objekte, die man addieren kann). Wir definieren 30 n x i := x m + x m+1 + x m x n i=m ( i kann auch k, µ,... sein) n Falls m > n setzen wir x i := 0. i=m 30 / 70

31 Rechenregeln für Summen n x i + n y i = n (x i + y i ) i=m i=m i=m ( n ax i = n n ) (ax i ) = a x i = a n x i i=m i=m i=m i=m ( n ) ( ) q x i y j = n q x i y j = n q x i y j i=m n x i = i=m n x i = i=m p j=p x i + n i=m i=p+1 n 1 x i+1 i=m 1 i=m = q j=p j=p i=m n x i y j =: i=m j=p i=m,...,n j=p,...,q x i (für m p n) ( Indexverschiebung ) x i y j 31 / 70 31

32 Die geometrische Summe 32 Satz 1.18 Für a R und n N gilt: n a k = k=0 ( geometrische Summe ) { 1 a n+1 1 a, falls a 1 n + 1, falls a = 1 32 / 70

33 Beispiel Sparplan läuft n Jahre Anfang jeden Jahres: Einzahlung von B e Ende jeden Jahres: Erhöhung des bisher gesparten Betrags um p%, d. h. Multiplikation mit q = ( ) p. Einzahlung B aus Jahr 1 wächst an auf: q n B e Einzahlung B aus Jahr 2 wächst an auf: q n 1 B e. Einzahlung B aus Jahr n wächst an auf: q B e 33 Insgesamt erhält man nach n Jahren: B q 1 qn 1 q e (falls p > 0) 33 / 70

34 Das Produktzeichen 34 Definition 1.19 Seien m, n N, m n. Für n m + 1 Zahlen x m,..., x n definieren wir n x i := x m x m+1 x n i=m und für m > n: n x i := 1 i=m 34 / 70

35 Fakultät Definition 1.20 Für n N bezeichnen wir mit n! ( n Fakultät ) die Anzahl der möglichen Reihenfolgen ( Permutationen ) von n Objekten. 35 Satz 1.21 Für alle n N gilt n! = n i = n (n 1) (n 2) i=1 Insbesondere: 0! = 1 35 / 70

36 Binomialkoeffizienten Definition 1.22 Für n, k N bezeichnen wir mit ( ) n k ( Binomialkoeffizient n über k ) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. 36 Satz 1.23 Für alle n, k N mit k n gilt: ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) = = k k!(n k)! k! 36 / 70

37 Gleichungen für Binomialkoeffizienten Satz 1.24 Für n, k N mit n, k 1 gilt: ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k 37 Satz 1.25 Für n, k N gilt: ( ) n k = ( n ) n k 37 / 70

38 Das Pascalsche Dreieck (Blaise Pascal, ) / 70

39 Der Binomische Satz 39 Satz 1.26 Für n N und a, b R gilt: (a + b) n = ( binomischer Satz ) n k=0 ( ) n a k b n k k 39 / 70

40 Definition Definition 1.27 Die Menge der komplexen Zahlen ist 40 C := {x + y i x, y R}. Dabei ist i ein Symbol mit i 2 = 1. Es gilt R = {x + 0 i x R} C. Die Menge der imaginären Zahlen ist C \ R = {x + yi x, y R, y 0}. 40 / 70

41 Real- und Imaginärteil Definition 1.28 Für z C mit z = x + yi (x, y R) ist 41 Re(z) := x R der Realteil und Im(z) := y R der Imaginärteil von z. Für z, z C gilt: z = z (Re(z) = Re(z ) und Im(z) = Im(z )) 41 / 70

42 Bemerkungen Bemerkung Wichtig: In C gibt es keine Ordnungsrelation <. 42 Bemerkung In C rechnet man wie von R gewohnt (insbesondere sind Addition und Multiplikation kommutativ) und ersetzt wann immer möglich i 2 durch 1. (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 )i (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i 42 / 70

43 Die Gaußsche Zahlenebene / 70

44 Addition in der Gaußschen Zahlenebene / 70

45 Konjugierte und Absolutbetrag Definition 1.29 Für z = x + yi C (x, y R) ist 45 z := x yi die komplex konjugierte Zahl zu z und z := x 2 + y 2 ist der (Absolut)-Betrag von z. z ist die Spiegelung von z an der reellen Achse. z ist der (Euklidische) Abstand von z zu / 70

46 Rechenregeln für komplexe Zahlen Re(z) = Re(z), Im(z) = Im(z) Re(z) = 1 2 (z + z), Im(z) = 1 2i (z z) (z) = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 46 / 70

47 ... Rechenregeln für komplexe Zahlen 47 zz = Re(z) 2 + Im(z) 2 z = zz = z 1 z = z z 2 (falls z 0) ( 1 z ) = 1 z (falls z 0) z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 (falls z 2 0) 47 / 70

48 Die Dreiecksungleichung Satz 1.30 Für alle z 1, z 2 C gilt die Dreiecksungleichung z 1 + z 2 z 1 + z / 70

49 Winkel und Betrag / 70

50 Bogenmaß eines Winkels 50 Definition 1.31 Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des von ihm aus der Einheitskreislinie ausgeschnittenen Segments. Es liegt im Intervall [0, 2π]. 50 / 70

51 Bogenmaß und Gradmaß 51 Bogenmaß Gradmaß 0 0 π 4 45 π 2 90 π 180 3π π / 70

52 Polarkoordinaten komplexer Zahlen Definition 1.32 Sei z C \ {0} eine komplexe Zahl und sei Φ [0, 2π [ der Winkel, den die Verbindungsstrecke von 0 zu 1 gegen den Uhrzeigersinn mit der Verbindungsstrecke von 0 zu z einschließt. Dann sind (r, Φ) R + [0, 2π[ mit r = z, Φ = arg(z) die Polarkoordinaten von z. Das Argument von z ist arg(z) := Φ. 52 z = z ( cos(arg(z)) + i sin(arg(z)) ) 52 / 70

53 Periodizität von sin(t) und cos(t) Graph von sin(t): Graph von cos(t): / 70

54 Berechnung der Polarkoordinaten Sei z = x + yi C (mit x, y R). Dann gilt für die Polarkoordinaten (r, Φ) von z: 54 r = z = x 2 + y 2 [0, [ mit Φ = arg(z) [0, 2π[ tan(φ) = y x und Φ { [0, π] falls y 0 ]π, 2π[ falls y < 0 54 / 70

55 Der Tangens 55 tan(t) = sin(t) cos(t) für t { π 2 + kπ k Z} 55 / 70

56 Graph der Tangensfunktion / 70

57 Die Arcustangensfunktion Für q R ist 57 arctan(q) ] π 2, π 2 [ die Zahl t ] π 2, π 2 [ mit tan(t) = q / 70

58 Arcussinus und -cosinus von q [ 1, 1] 58 arcsin(q) [ π 2, π 2 ] mit sin(arcsin(q)) = q arccos(q) [0, π] mit cos(arccos(q)) = q / 70

59 Formeln für arg(z) 59 x > 0, y 0 : arctan y x [0, π 2 ] x = 0, y > 0 : π 2 x < 0 : arctan y x + π [π 2, 3π 2 ] x = 0, y < 0 : 3π 2 x > 0, y < 0 : arctan y x + 2π [3π 2, 2π[ 59 / 70

60 Multiplikation in Polarkoordinaten 60 Bemerkung Bei der Multiplikation komplexer Zahlen multipliziert man die Beträge und addiert die Argumente (anschließend Subtraktion von 2π, falls Summe größer oder gleich 2π). Geometrische Interpretation der Multiplikation mit z C: Rotation gegen den Uhrzeigersinn um arg(z) und Streckung bzw. Stauchung um den Faktor z 60 / 70

61 Division in Polarkoordinaten Bemerkung Bei der Division komplexer Zahlen teilt man den Betrag des Zählers durch den Betrag des Nenners und subtrahiert das Argument des Nenners vom Argument des Zählers (anschließend Addition von 2π, falls Differenz kleiner als 0). 61 Geometrische Interpretation der Division durch z C \ {0}: Rotation um arg(z) im Uhrzeigersinn und Streckung bzw. Stauchung um Faktor 1 z 61 / 70

62 Beispiel / 70

63 Geometrische Interpretation von z 63 arg( z) = 1 2 arg(z) (halber Winkel) z = z (Wurzel aus Abstand zu 0) 63 / 70

64 Die Euler-Identität Definition 1.33 Für z = x + yi (x, y R) definieren wir 64 e z := e x (cos(y) + sin(y) i) (e x ist dabei die reelle Exponentialfunktion) / 70

65 Geometrische Interpretation 65 e yi = e 0+yi = e 0 (cos(y) + sin(y) i) = cos(y) + sin(y) i ist also die komplexe Zahl, zu der man in der Gaußschen Ebene kommt, wenn man von 1 startend auf der Einheitskreislinie y Einheiten gegen die Uhr (falls y 0) bzw. mit der Uhr (falls y < 0) läuft. 65 / 70

66 Beispiele / 70

67 Rechenregeln Für alle z 1, z 2 C: e z 1 ez 2 = ez 1+z 2 Insbesondere: e x+yi = e x e yi Außerdem: z = z e arg(z)i Für m Z gilt e 2πmi = 1 (e yi ) m = e myi Also für alle n N: ( ) n e 2kπ n i = 1 ( für alle k Z) / 70

68 Die n-ten Einheitswurzeln 68 Definition 1.34 Für n N, n 2 heißen die n komplexen Zahlen e 2kπ n i (k = 0, 1,..., n 1) die n-ten Einheitswurzeln. Bemerkung Die Gleichung z n = 1 hat in C genau die n-ten Einheitswurzeln als Lösungen. 68 / 70

69 Die dritten Einheitswurzeln / 70

70 Die achten Einheitswurzeln / 70