11 Komplexe Zahlen. Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra

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1 11 Komplexe Zahlen Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra

2 Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit Komponenten x und y auffassen.

3 Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit Komponenten x und y auffassen. Für (x, y), (x, y ) Ê 2 definieren wir die Summe durch (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ). Dies ist die übliche Vektoraddition.

4 Addition ebener Vektoren y (x,y) (x,y)+(x,y ) (x,y ) x Wir verschieben (x, y ) so, dass sein Fußpunkt auf dem Endpunkt von (x, y) steht, der Endpunkt des so verschobenen Vektors zeigt dann auf den Endpunkt der Summe

5 Skalarmultiplikation y α(x,y) (x,y) x Für α Ê und (x, y) Ê ist die Skalarmultiplikation definiert durch α (x, y) = (αx, αy).

6 Skalarmultiplikation y α(x,y) (x,y) x Für α Ê und (x, y) Ê ist die Skalarmultiplikation definiert durch α (x, y) = (αx, αy). Für α 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder Verkürzung um das α-fache. Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich die Orientierung um.

7 Ê 2 als Vektorraum Mit den so definierten Operationen ist der Ê 2 ein Vektorraum über Ê der Dimension 2.

8 Ê 2 als Vektorraum Mit den so definierten Operationen ist der Ê 2 ein Vektorraum über Ê der Dimension 2. Die natürliche Basis wird von den kanonischen Einheitsvektoren gebildet. e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1),

9 Die Multiplikation zweier ebener Vektoren ist definiert durch (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + yx ).

10 Die Multiplikation zweier ebener Vektoren ist definiert durch (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + yx ). Diese etwas geheimnisvolle Definition ist einem einzigen Ziel geschuldet: Im Wesentlichen gibt es nur diese eine Möglichkeit, aus den Vektoren einen Körper zu machen und sie funktioniert nur im ebenen Fall.

11 Die Multiplikation (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + yx ). Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das neutrale Element.

12 Die Multiplikation (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + yx ). Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das neutrale Element. Die Inverse von (x, y) (0, 0) ist ( (x, y) 1 = x x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2

13 Beweis Denn es gilt ( (x, y) (x, y) 1 = (x, y) ( = x x 2 + y 2, x 2 x 2 + y 2 = (1, 0). y ) x 2 + y 2 y2 xy x 2 + y 2, x 2 + y 2 + xy ) x 2 + y 2

14 Der Köprer der komplexen Zahlen Der Ê 2 zusammen mit den Operationen Addition und Multplikation ist ein Körper, den wir den Körper der komplexen Zahlen nennen und mit bezeichnen.

15 Der Köprer der komplexen Zahlen Der Ê 2 zusammen mit den Operationen Addition und Multplikation ist ein Körper, den wir den Körper der komplexen Zahlen nennen und mit bezeichnen. Wir können die Elemente von der Form (x, 0) mit der reellen Zahl x identifizieren, denn es gilt (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0) (y, 0) = (xy 0 0, x 0 + y 0) = (xy, 0).

16 Die imaginäre Einheit Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1.

17 Die imaginäre Einheit Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung x 2 = 1.

18 Die imaginäre Einheit Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung x 2 = 1. Aber Nachteil: kann nicht angeordnet werden, weil im angeordneten Körper stets a 2 0 gilt.

19 Bitte keine Geheimnisse! Der Name imaginäre Einheit ist historisch bedingt. In unserer Vorstellung soll immer der Ê 2 sein, der durch eine glückliche Fügung zu einem Körper gemacht werden kann.

20 Bitte keine Geheimnisse! Der Name imaginäre Einheit ist historisch bedingt. In unserer Vorstellung soll immer der Ê 2 sein, der durch eine glückliche Fügung zu einem Körper gemacht werden kann. Durch die imaginäre Einheit haben wir eine einfache Schreibweise für die Basisvektoren gefunden: 1 = (1, 0) (=Identifikation mit den reellen Zahlen), i = (0, 1) (=Definition).

21 Schreibweise mit imaginärer Einheit Statt z = (x, y) schreiben wir z = x + iy und können unter Beachtung von i 2 = 1 normal rechnen (z = x + iy ) z + z = (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ), z z = (x + iy) (x + iy ) = xx yy + i(xy + yx ).

22 Komplexe Konjugation Für z = x + iy definieren wir die komplexe Konjugation z von z durch z = x iy Die komplexe Konjugation bedeutet geometrisch die Spiegelung des Vektors (x, y) an der x-achse.

23 Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag z = x 2 + y 2. Nach dem Satz des Pythagoras ist z die Länge des Vektors (x, y). Entsprechend gibt z z den Abstand zwischen den Punkten z und z an.

24 Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag z = x 2 + y 2. Nach dem Satz des Pythagoras ist z die Länge des Vektors (x, y). Entsprechend gibt z z den Abstand zwischen den Punkten z und z an. In z = x + iy heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von z. Schreibweise: x = Re z, y = Im z.

25 Rechenregeln für komplexe Zahlen I (a) z 2 = z z. Mit z = x + iy ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2.

26 Rechenregeln für komplexe Zahlen I (a) z 2 = z z. Mit z = x + iy ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. (b) z 1 = z z 2 für z 0. Wir machen den Nenner reell: z 1 = 1 x + iy = x iy (x + iy)(x iy) = z z 2.

27 Rechenregeln für komplexe Zahlen I (a) z 2 = z z. Mit z = x + iy ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. (b) z 1 = z z 2 für z 0. Wir machen den Nenner reell: z 1 = 1 x + iy = x iy (x + iy)(x iy) = z z 2. Man nennt die Abbildung z z/ z 2 auch Spiegelung am Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das Innere abgebildet wird und umgekehrt.

28 Rechenregeln für komplexe Zahlen I (a) z 2 = z z. Mit z = x + iy ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. (b) z 1 = z z 2 für z 0. Wir machen den Nenner reell: z 1 = 1 x + iy = x iy (x + iy)(x iy) = z z 2. Man nennt die Abbildung z z/ z 2 auch Spiegelung am Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das Innere abgebildet wird und umgekehrt. z 1 ist daher die Komposition der Spiegelung am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse.

29 Rechenregeln für komplexe Zahlen II (c) (z ± z ) = (z ± z ), zz = zz, ( z ) z = z für z 0. z Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation separat ausführen. Beweisbeispiel: zz = (x iy)(x iy ) = xx yy i(xy + yx ) = zz.

30 Rechenregeln für komplexe Zahlen II (c) (z ± z ) = (z ± z ), zz = zz, ( z ) z = z für z 0. z Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation separat ausführen. Beweisbeispiel: zz = (x iy)(x iy ) = xx yy i(xy + yx ) = zz. (d) z = z, zz = z z, z z = z z. Dies folgt auch aus der anschaulichen Vorstellung von z als Streckenlänge.

31 Rechenregeln für komplexe Zahlen III (e) Rez = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i Rechnet man im Kopf nach.

32 Rechenregeln für komplexe Zahlen III (e) Rez = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i Rechnet man im Kopf nach. (f) Rez z, Im z z. Auch klar wegen x, y (x 2 + y 2 ) 1/2.

33 Die Dreiecksungleichung (g) z + z z + z. Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z als Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ist dann die dritte Seite.

34 Die Dreiecksungleichung (g) z + z z + z. Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z als Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ist dann die dritte Seite. Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite immer der Summe der Längen der anderen Seiten ist.

35 Die Dreiecksungleichung (g) z + z z + z. Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z als Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ist dann die dritte Seite. Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite immer der Summe der Längen der anderen Seiten ist. Beweis: z + z 2 = (z + z )(z + z ) = z 2 + zz + zz + z 2 = z 2 + 2Rezz + z 2 z z z + z 2 = ( z + z ) 2

36 Die umgekehrte Dreiecksungleichung (h) z z z z. Hier können wir z z als dritte Seite des Dreiecks auffassen. Daher: Die Differenz zweier Seiten ist der dritten Seite.

37 Die umgekehrte Dreiecksungleichung (h) z z z z. Hier können wir z z als dritte Seite des Dreiecks auffassen. Daher: Die Differenz zweier Seiten ist der dritten Seite. Beweis: Wir wenden die Dreiecksungleichung an z = z z + z z z + z z z z z Den Absolutbetrag auf der linken Seite bekommt man, indem man die Rollen von z und z vertauscht.

38 Aufgabe Man zeige { z : } z 1 z + 1 < 1 = { z : Rez > 0 }.

39 Aufgabe Man zeige { z : } z 1 z + 1 < 1 = { z : Rez > 0 }. Lösung: z 1 2 (z 1)(z 1) = z (z + 1)(z + 1 = z 2 z z + 1 z 2 + z + z + 1 = z 2 2Re z + 1 z 2 + 2Re z + 1. Dies ist genau dann < 1, wenn Rez > 0.

40 Sinus und Cosinus a g ϕ h sinφ = Gegenkathete Hypotenuse = g h, cos φ = Ankathete Hypotenuse = a h.

41 Parametrisierung des Einheitskreises Befindet sich der Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis, so ist die Hypotenusenlänge 1 und wir haben x = cosφ, y = sinφ.. y ϕ x (x,y)

42 Polardarstellung Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 0 lässt sich eindeutig in der Form schreiben. z = r(cos φ + i sinφ) mit 0 φ < 2π, r = z > 0,

43 Polardarstellung Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 0 lässt sich eindeutig in der Form schreiben. z = r(cos φ + i sinφ) mit 0 φ < 2π, r = z > 0, r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und φ = arg z heißt Argument von z.

44 Polardarstellung Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 0 lässt sich eindeutig in der Form schreiben. z = r(cos φ + i sinφ) mit 0 φ < 2π, r = z > 0, r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und φ = arg z heißt Argument von z. φ ist der im Gegenuhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt (x, y).

45 Multiplikation in Polardarstellung Für das Produkt der beiden Zahlen z = r(cosφ + i sinφ), z = s(cosψ + i sinψ)

46 Multiplikation in Polardarstellung Für das Produkt der beiden Zahlen z = r(cosφ + i sinφ), z = s(cosψ + i sinψ) ergibt sich wegen der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus z z = rs(cos φ cosψ sinφsinψ + i(sin φ cos ψ + cosφsin ψ)) = rs ( cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) ). zz z ϕ+ψ 0 ψ ϕ z Re z

47 Multiplikation in Polardarstellung Der Ortsvektor zz besitzt demnach die Länge zz und zeigt in Richtung φ + ψ. Beim Produkt zweier komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

48 Beispiel Für z = 1 + i gilt z = 2 und damit 1 + i = ( 2 cos π 4 + i sin π 4 ), ( (1 + i) 2 = 2 cos π 2 + i sin π ) = 2(0 + i 1) = 2i. 2

49 Lösung der Gleichung z n = a Für n Æ und a Ê mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der Gleichung z n = a bestimmen.

50 Lösung der Gleichung z n = a Für n Æ und a Ê mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der Gleichung z n = a bestimmen. Ist z = r(cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten: r n = a, weil die Beträge multipliziert werden, nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das Ergebnis in Richtung 1 zeigen muß.

51 Lösung der Gleichung z n = a Für n Æ und a Ê mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der Gleichung z n = a bestimmen. Ist z = r(cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten: r n = a, weil die Beträge multipliziert werden, nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das Ergebnis in Richtung 1 zeigen muß. Daher gibt es genau n Lösungen z k = n a ( cos 2kπ n 2kπ) + i sin, k = 0, 1,...,n 1. n

52 Kreise und Kreisscheiben K r (a) = { z : z a = r }, a, r Ê ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r. z a gibt ja den Abstand zwischen z und a an.

53 Kreise und Kreisscheiben K r (a) = { z : z a = r }, a, r Ê ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r. z a gibt ja den Abstand zwischen z und a an. Die Parameterdarstellung ist K r (a) = { z = a + r(cos φ + i sinφ) : 0 φ < 2π }.

54 Kreise und Kreisscheiben K r (a) = { z : z a = r }, a, r Ê ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r. z a gibt ja den Abstand zwischen z und a an. Die Parameterdarstellung ist K r (a) = { z = a + r(cos φ + i sinφ) : 0 φ < 2π }. Klar, { z a < r} ist die zugehörige offene Kreisscheibe und { z a r} die zugehörige abgeschlossene Kreisscheibe.

55 Die Mandelbrot-Menge Für c betrachte die Iteration z n+1 = z 2 n + c für n 0, z 0 = 0.

56 Die Mandelbrot-Menge Für c betrachte die Iteration z n+1 = z 2 n + c für n 0, z 0 = 0. Die Mandelbrotmenge ist definiert durch M = { c : Die Folge (z n ) ist beschränkt }. Dabei heißt eine Folge beschränkt, wenn es ein K Ê gibt mit z n K für alle n Æ. Anschaulich kann man dann alle Folgenglieder in einem Kreis vom Radius K einsperren.

57 Die Mandelbrot-Menge

58 Die Mandelbrot-Menge Die Mandelbrot-Menge wird numerisch bestimmt, indem man einige hundert Iterationen von z n+1 = z 2 n + c durchführt. Aber wie entscheidet man, ob die Folge beschränkt bleibt?

59 Die Mandelbrot-Menge Die Mandelbrot-Menge wird numerisch bestimmt, indem man einige hundert Iterationen von z n+1 = z 2 n + c durchführt. Aber wie entscheidet man, ob die Folge beschränkt bleibt? Dazu braucht man Theorie!

60 Aussagen zur Mandelbrotmenge (a) Für die Punkte c mit c > 2 gilt z n, insbesondere liegen diese c außerhalb von M.

61 Aussagen zur Mandelbrotmenge (a) Für die Punkte c mit c > 2 gilt z n, insbesondere liegen diese c außerhalb von M. (b) Gilt für ein Folgenglied z n > 2, so ist z n, insbesondere gehört das zugehörige c nicht zu M.

62 Beweis von (b) Wegen (a) können wir c 2 annehmen. Sei z n > 2, also z n = 2 + ε mit ε > 0. Durch vollständige Induktion über k zeigen wir z n+k k ε, k 0.

63 Beweis von (b) Wegen (a) können wir c 2 annehmen. Sei z n > 2, also z n = 2 + ε mit ε > 0. Durch vollständige Induktion über k zeigen wir z n+k k ε, k 0. Für k = 0 ist das richtig. Unter der Voraussetzung, dass diese Abschätzung für k richtig ist, folgt aus z n+k+1 = z 2 n+k + c z n+k+1 z n+k 2 c IV (2 + 4 k ε) 2 c k ε c k+1 ε.

64 Numerik der Mandelbrotmenge Wir führen K Iterationen mit Parameter c durch. Wenn für ein k erstmals z k > R 2 erreicht wird, färben wir den Bildpunkt zu c in Abhängigkeit von k ein. Ansonsten färben wir den Punkt schwarz.

65 Numerik der Mandelbrotmenge Wir führen K Iterationen mit Parameter c durch. Wenn für ein k erstmals z k > R 2 erreicht wird, färben wir den Bildpunkt zu c in Abhängigkeit von k ein. Ansonsten färben wir den Punkt schwarz. Wir können entscheiden, ob c / M, aber nicht c M.

66 Der Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom Grad n 1 ist von der Form p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k, a n 0.

67 Der Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom Grad n 1 ist von der Form p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k, a n 0. Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom Grad n 1 hat genau n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt.

68 Der Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom Grad n 1 ist von der Form p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k, a n 0. Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom Grad n 1 hat genau n Nullstellen, wenn man mehrfache Nullstellen auch mehrfach zählt. Obwohl ein Satz der Algebra gibt es nur analytische Beweise.

69 Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld x 2 - y2 f(x,y) = ( ) 2xy

70 Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld x 2 - y2 f(x,y) = ( ) 2xy Eine Abbildung f : Ê 2 Ê 2 wird graphisch dargestellt, indem man im Punkt (x, y) den Vektor (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) einzeichnet.

71 Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld f(z) = z 2

72 Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld f(z) = z 2 Wie viele Umdrehungen macht z 2, wenn wir entlang eines Kreises um den Nullpunkt laufen?

73 Umdrehungen von z n z n = r n (cos nφ + i sin nφ) Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen.

74 Umdrehungen von z n z n = r n (cos nφ + i sin nφ) Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen. Satz 2 Sei p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k, a n 0, und K r (z 0 ) der Kreis um z 0 mit Radius r. Sei p 0 auf K r (z 0 ).

75 Umdrehungen von z n z n = r n (cos nφ + i sin nφ) Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen. Satz 2 Sei p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k, a n 0, und K r (z 0 ) der Kreis um z 0 mit Radius r. Sei p 0 auf K r (z 0 ). Dann gibt die Umdrehungszahl von p entlang K r (z 0 ) die Zahl der innerhalb von K r (z 0 ) gelegenen Nullstellen von p an.

76 Beweis des Fundamentalsatzes Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang K r (0) gerade n.

77 Beweis des Fundamentalsatzes Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang K r (0) gerade n. Wir teilen p(z) durch r n a n und erhalten p(z) r n a n = zn r n + q(z).

78 Beweis des Fundamentalsatzes Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang K r (0) gerade n. Wir teilen p(z) durch r n a n und erhalten p(z) r n a n = zn r n + q(z). Für z K r (0) gilt z = r und damit q(z) a n 1 r n a 1 r + a 0 r n. a n

79 Beweis des Fundamentalsatzes Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang K r (0) gerade n. Wir teilen p(z) durch r n a n und erhalten p(z) r n a n = zn r n + q(z). Für z K r (0) gilt z = r und damit q(z) a n 1 r n a 1 r + a 0 r n. a n Durch Wahl eines genügend großen r können wir q(z) 1/2 erreichen. Damit wird durch q(z) die Drehung des Einheitsvektors z n /r n nur gestört, die Umdrehungszahl n bleibt erhalten.

80 Beweis des Fundamentalsatzes p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig, wenn wir z ein wenig ändern.

81 Beweis des Fundamentalsatzes p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig, wenn wir z ein wenig ändern. Ist p(z 0 ) 0, so p(z) p(z 0 ) für z K r (z 0 ) für kleines r. Daher ist die Umdrehungszahl auf K r (z 0 ) gerade 0.

82 Beweis des Fundamentalsatzes p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig, wenn wir z ein wenig ändern. Ist p(z 0 ) 0, so p(z) p(z 0 ) für z K r (z 0 ) für kleines r. Daher ist die Umdrehungszahl auf K r (z 0 ) gerade 0. Wir überführen K r (0) in stetiger Weise zu K r (z 0 ). Die Umdrehungszahl entlang dieser Kreise kann sich nur ändern, wenn irgendwann auf dem Rand eines dieser Kreise eine Nullstelle steht.

83 Beweis des Fundamentalsatzes p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig, wenn wir z ein wenig ändern. Ist p(z 0 ) 0, so p(z) p(z 0 ) für z K r (z 0 ) für kleines r. Daher ist die Umdrehungszahl auf K r (z 0 ) gerade 0. Wir überführen K r (0) in stetiger Weise zu K r (z 0 ). Die Umdrehungszahl entlang dieser Kreise kann sich nur ändern, wenn irgendwann auf dem Rand eines dieser Kreise eine Nullstelle steht. Wir haben Satz 2 nicht vollständig bewiesen, aber gezeigt, daß p mindestens eine Nullstelle z 1 besitzt. Wir schreiben p(z) = q(z)(z z 1 ) und verfahren mit q(z) genauso. Damit ist der Fundamentalsatz vollständig bewiesen.