Aufgabe 5.1 Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an, w z w z.

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1 Kapitel 5 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 5. Geben Sie zu folgenden komplexen Zahlen die Polarkoordinatendarstellung an z i z + i z 3 + 3i). Zu den komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten r 4 ϕ 4 π r 5 ϕ π bzw. r 6 3 ϕ π sind al- und aginärteil gesucht. Aufgabe 5. Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Mengen der komplexen Zahlen die durch folgende Angaben definiert sind: M {z C z) + z) } M {z C z i z + } M 3 {z C z + i 3} Aufgabe 5.3 Zeigen Sie dass für zwei komplexe Zahlen z w C die in der oberen Halbebene liegen d. h. z) 0 und w) 0 gilt w z w z. Veranschaulichen Sie sich die Aussage in der komplexen Zahlenebene. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Berechnen Sie zu den komplexen Zahlen z iz + 3i und z 3 4i die al- und aginärteile der Ausdrücke z z z z z z 3 z z z z 3 z z. Aufgabe 5.5 Bestimmen Sie in Abhängigkeit von z x + i y C\{ i} den al- und den aginärteil der Zahl i)z + ) + 3i w. z + i Aufgabe 5.6 Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z C die die Gleichung erfüllen. z 3 z i + z 4 + i z 3 + i z + i)z + i

2 Aufgaben zu Kapitel 5 57 Aufgabe 5.7 Bestimmen Sie al- und aginärteil der Lösungen folgender quadratischer Gleichungen a) z 4iz + 4z 8i 0 b) c) z + i))z 3 i z + + i)z 3i Aufgabe 5.8 Finden Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 6 + 3i)z 3 i 0. Aufgabe 5.9 Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen u v C mit der Eigenschaft u + v u + v. Aufgabe 5.0 Zeigen Sie dass eine komplexe Zahl z C genau dann den Betrag z hat wenn die Identität uz + v vz + u für alle Zahlen u v C mit u v gilt. Aufgabe 5. Welche Menge von Punkten in der komplexen Ebene wird durch die Gleichung beschrieben? M {z C z 3 z + 3 } Aufgabe 5. Zeigen Sie dass durch die Abbildung f : C\{ } C mit fz) +z Punkte auf dem Kreis K {z C z } auf einen Kreis fk)mit Mittelpunkt M /3 C abgebildet werden und bestimmen Sie den Radius dieses Kreises. Aufgabe 5.3 Bestimmen Sie die Möbiustransformation f mit den Abbildungseigenschaften fi) 0 f0) f) i + i. Wie lautet die Umkehrfunktion zu f? Auf welche Mengen in der komplexen Zahlenebene werden die reelle Achse d. h. z) 0 und die obere Halbebene d. h. z) > 0 abgebildet? Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Ein Fischauge ist eine spezielle Linse in der Fotografie die die Krümmung des Bildes zum Rand hin verstärkt. Durch eine Transformation der komplexen Ebene lässt sich dieser Effekt nachbilden. Betrachten Sie die Abbildung f : C C mit für ein a>0. fz) z z +a

3 58 Hinweise zu Kapitel 5 Veranschaulichen Sie sich die Abbildung anhand von Polarkoordinaten. Zeigen Sie fc) B {z C z < } und bestimmen Sie die Umkehrabbildung f : B C. Auf welche Teilmenge der komplexen Zahlen wird die reelle Achse abgebildet? Auf welche geometrischen Objekte werden Kreise um den Ursprung abgebildet? Mithilfe eines grafikfähigen chners zeichnen Sie für a die Bilder folgender Teilmengen: M {z C z t + i/t R} M {z C z + tit R} M 3 {z C z /} M 4 {z C z /} Aufgabe 5.5 In den meisten Stromnetzen wird Drehstrom verwendet. Dabei gibt es neben dem Neutralleiter noch drei weitere Leiter deren Spannungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude aber jeweils um die Phase π/3 gegeneinander verschoben sind. Demnach liegen an den unterschiedlichen Leitern die Spannungen u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) u t) U 0 cosωt + 3 π)+ i sinωt + 3 π) ) u 3 t) U 0 cosωt π)+ i sinωt π) ) an. Zeigen Sie dass sich zu allen Zeitpunkten die Summe der Spannungen neutralisiert d. h. für alle t R gilt. u t) + u t) + u 3 t) 0 Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 5. Es gilt z rcos ϕ + i sin ϕ) mit z r. Die Argumente der Zahlen sind in der Gauß schen Zahlenebene ablesbar. Aufgabe 5. Mit dem Betrag ist der euklidische Abstand zwischen komplexen Zahlen angebbar. Aufgabe 5.3 Quadrieren Sie die Aussage und nutzen Sie v vv für v C. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Anwendung der chenregeln zu komplexen Zahlen. Aufgabe 5.5 Versuchen Sie zunächst den Bruch weitestgehend zu vereinfachen bevor Sie den al- und den aginärteil von z einsetzen. Aufgabe 5.6 Beachten Sie die Faktorisierung z + i)z + i z )z i). Aufgabe 5.7 Quadratische Ergänzung und gegebenenfalls ein Koeffizientenvergleich um komplexe Wurzeln zu bestimmen. Aufgabe 5.8 Substituieren Sie u z 3 und verwenden Sie Polarkoordinaten um die Wurzeln z...z 6 zu bestimmen. Aufgabe 5.9 Substituieren Sie z u v.

4 Lösungen zu Kapitel 5 59 Aufgabe 5.0 Es sind zwei Richtungen zu zeigen. Nutzen Sie die Gleichung a + b a + b + ab) für komplexe Zahlen ab C. Aufgabe 5. Quadrieren Sie die Gleichung und verwenden Sie w ww um die beschreibende Gleichung auf eine Form zu bringen die grafisch interpretiert werden kann. Aufgabe 5. Betrachten Sie + z + 3. Aufgabe 5.3 Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Schreiben Sie die Abbildung in Polarkoordinaten z rcos ϕ + i sin ϕ). Aufgabe 5.5 Klammern Sie den harmonisch schwingenden Term cosωt) + i sinωt) aus. Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 5. Es gilt z cos π + i sin ) π z cos π 4 + i sin π ) 4 z 3 cos 3 π + i sin 3 π z 4 i z 5 + i) z i). Aufgabe 5. Die ersten beiden Mengen beschreiben Geraden in der komplexen Ebene und die dritte ist eine Kreisscheibe um i)/ mit Radius 3/. Aufgabe 5.3 chenaufgaben Aufgabe 5.4 z + i z + i z z 4 + i z z 3 + i z z z z 3 3i z z

5 60 Lösungen zu Kapitel 5 Aufgabe 5.5 Die Zahl w i. hängt nicht von z ab. Aufgabe 5.6 Mit z ± i sind alle Lösungen der Gleichung gegeben. Aufgabe 5.7 Es ergeben sich die Lösungen a) z z + i b) z + i und z + i. c) z + i) ± + i ) Aufgabe 5.8 In Polarkoordinaten sind die sechs Lösungen gegeben durch z 3 cos π 6 + i sin π ) 6 z 3 cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 z 3 3 cos 3π + i sin 3π ). z 4 6 cos π 4 + i sin π ) 4 z 5 6 cos π ) π + i sin z 6 6 cos 9π ) 9π + i sin Aufgabe 5.9 Die Gleichung gilt für Paare u v C\{0} mit v ± i ) 3 u. Aufgabe 5.0 Aufgabe 5. Die Menge M ist ein Kreis mit Radius 4 um den Mittelpunkt z M 5. Aufgabe 5. Der Radius beträgt r /3. Aufgabe 5.3 Es ist f : C\{ i} C\{} mit fz) z i z + i und die Umkehrtransformation f : C\{} C\{ i} ist durch f z) i z + z gegeben. Die reelle Achse wird auf den Einheitskreis abgebildet und die obere Halbebene in das Innere dieses Kreises.

6 Lösungswege zu Kapitel 5 6 Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 In Polarkoordinaten gilt fz) r cos ϕ + i sin ϕ) r + a und die inverse Transformation ist gegeben durch f w) aw w. Es wird die reelle Achse durch f auf das Intervall ) C abgebildet und Kreise um den Ursprung werden auf Kreise mit entsprechend kleinerem Radius abgebildet. Aufgabe 5.5 Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 5. Die Zahl z liegt auf der negativen imaginären Achse in der Zahlenebene. Somit ist das Argument ϕ 3 π. Mit dem Betrag z folgt die Polarkoordinatendarstellung z cos 3 π + i sin 3 ) π. Die Zahl z + i liegt auf der Winkelhalbierenden in ersten Quadranten der Zahlenebene. Sie hat deswegen das Argument ϕ π/4. Mit erhalten wir die Polarkoordinatendarstellung z + z cos π 4 + i sin π ). 4 Die Zahl z 3 + 3i) liegt im zweiten Quadranten der Gauß schen Ebene und hat den Betrag z Somit ist r 3 und etwa cos ϕ 3 /. Aus der Wertetabelle zu Kosinus und Sinus lässt sich der Winkel ablesen zum Beispiel durch / sinπ/6) cosπ/6 + π/). Wir erhalten ϕ 3 3 π. Also ist z 3 cos 3 π + i sin 3 π. Für z 4 z 5 und z 6 bestimmen wir etwa mit der Wertetabelle zu Kosinus und Sinus den alteil und den aginärteil der Zahlen: z 4 cos π + i sin ) π i z 5 cos 3 4 π + i sin 3 4 π + i) z 6 3 cos 54 π + i sin 54 ) π 3 + i).

7 6 Lösungswege zu Kapitel 5 Aufgabe 5. Mit z) z) + lässt sich für die Menge M die Darstellung einer Geraden in der Zahlenebene erkennen siehe Abbildung 5.9). M i i Abbildung 5.9 Interpretieren wir die Gleichung geometrisch so besagt diese dass der Abstand des Punkts z zum Punkt z derselbe sein muss wie der Abstand zum Punkt z + i. Alle Punkte die diese Bedingung erfüllen liegen auf der Mittelsenkrechten zwischen den beiden Punkten z und z also einer Geraden siehe Abbildung 5.0). M z z i z + a i + i i Abbildung 5.0 Da die Bedingung besagt dass wir alle Punkte betrachten sollen deren Abstand zum Punkt z M i) durch z i 3 abschätzbar ist ergibt sich eine Kreisscheibe mit dem Radius 3 und den Mittelpunkt Z M siehe Abbildung 5.). i i M 3 z i Abbildung 5.

8 Lösungswege zu Kapitel 5 63 Aufgabe 5.3 Es ist zu beweisen dass w z)w z) w z w z w z)w z) gilt. Für die linke Seite der gesuchten Ungleichung erhalten wir w z ww zw wz + zz w zw) + z und für die rechte Seite gilt w z w wz) + z. Es sind somit nur die gemischten Terme zu vergleichen. Da die aginärteile von w und z nicht negativ sind gilt w)z) w)z) und es folgt bzw. w)z) w)z) w)z) + w)z) wz) wz). Damit ergibt sich die gesuchte Ungleichung w z w zw) + z w wz) + z w z. Die Abbildung 5. verdeutlicht die Aussage z w z w z w w Abbildung 5. chenaufgaben Aufgabe 5.4 Mit der Definition einer komplexen Zahl und der konjugiert komplexen Zahl ist z i) + i und z + i.

9 64 Lösungswege zu Kapitel 5 Weiter erhalten wir z z i) + 3i) z z z 3i + + 3)i 4 + i z + 3i z 3 4i + 3i) + 4i) )i) 0 + i) i 3i) i) z 3 z z i 3i) i) i i 4i i) 3i) 4i + i 4i) i) 6i) 3i. Aufgabe 5.5 Die folgende chnung ergibt dass w i gilt und somit unabhängig von der Wahl von z ist i)z + ) + 3i z + i z + iz i + 3i z + i i)z + + i z + i) i)z + i)i z + i) i)z + i) i. z + i) Aufgabe 5.6 Es gilt z + i)z + i z )z i). Daher folgt indem wir die Gleichung mit diesem Faktor multiplizieren z 3)z ) + z 4 + i)z i) 3 + i) wenn wir voraussetzen dass z und z i ist. Diese Gleichung ist äquivalent zu z 4z Mit quadratischer Ergänzung folgt z )

10 Lösungswege zu Kapitel 5 65 und wir erhalten z ±i bzw. als die beiden einzigen Lösungen der Gleichung. z ± i Aufgabe 5.7 a) Eine quadratische Ergänzung führt auf: Also sind beide Nullstellen durch gegeben. z 4iz + 4z 8i z + 4 4i)z 8i z + i)) i) 8i z + i)) + 8i 8i z + i)) z z + i b) Auch im zweiten Beispiel betrachten wir die quadratische Ergänzung und erhalten z + i)z 3 + i z + i ) 4 + i) 3 + i z + i ) Also ist und wir erhalten die beiden Lösungen z + i ± 3 z + i und z + i. c) Mit quadratischer Ergänzung ist z + + i)z + 3i z + + i)) + i) + 3i z + + i)) + i. Wir benötigen also die Wurzeln w i. Mit w x + iy xy R ergibt sich x y + xyi i Vergleichen wir die al- und die aginärteile separat so liefert der Koeffizientenvergleich die beiden Gleichungen x y und xy. Also ist x /y) und einsetzen führt auf 4y y

11 66 Lösungswege zu Kapitel 5 bzw. mit den Lösungen y 4 + y 4 y + ) 0 y ± ±. Da y R vorausgesetzt ist bleibt nur die positive Lösung. Außerdem wissen wir dass x /y). Also sind mit x ) + und y die beiden Wurzeln w x + iy und w x + iy) gegeben. Für die beiden Lösungen der ursprünglichen quadratischen Gleichung folgt z ± + i) ± + i ). Aufgabe 5.8 Mit der Substitution u z 3 ergibt sich die quadratische Gleichung Mit quadratischer Ergänzung folgt u + 3i)u i 0. u + 3i ) + i + 4 3i) i. Gesucht ist somit w x + iy C mit w x y + xyi i. Aus den beiden Gleichungen x y 0 und xy / folgt x 4 6 mit den reellen Lösungen x ±/. Also sind mit w + i)/ oder w + i)/ die Wurzeln gegeben. Für den gesuchten Wert u erhalten wir die beiden Möglichkeiten u w + 3 i { i + i. In Polarkoordinaten ist und i cos π + i sin π ) + i cos 3π 4 + i sin 3π 4 ). Lösungen der Gleichung z 3 u erhalten wir aus der Polarkoordinatendarstellung von u indem die dritte Wurzel des Betrags gezogen wird und das Argument ϕ durch 3 geteilt wird. Um alle möglichen Argumente

12 Lösungswege zu Kapitel 5 67 im Intervall [0 π] zu bekommen müssen wir noch die weiteren Möglichkeiten ϕ+π)/3 und ϕ+4π)/3 berücksichtigen. Insgesamt erhalten wir z 6 cos π 6 + i sin π ) 6 z 6 cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 z 3 6 cos 3π + i sin 3π ) und z 4 3 cos π 4 + i sin π ) 4 z 5 3 cos π ) π + i sin z 6 3 cos 9π ) 9π + i sin. Aufgabe 5.9 Zunächst beobachten wir dass die Gleichung nur gelten kann wenn u 0 v 0 und u + v 0 gilt. Setzen wir z v/u so folgt aus der gewünschten Identität bzw. die quadratische Gleichung Mit quadratischer Ergänzung u + v u + u + v v z + z z + z + bestimmen wir die beiden Lösungen dieser Gleichung + z + z + z + ) z ± ± i 3. Mit diesem sultat für z erhalten wir zu jedem u C\{0} zwei Zahlen v ± i ) 3 u für die die gewünschte Gleichung erfüllt ist. Aufgabe 5.0 Um die Aussage zu zeigen sind zwei Richtungen zu beweisen: Zum einen dass mit z die zweite Identität für beliebige Zahlen u v folgt und zum anderen genau umgekehrt dass die zweite Identität für Zahlen u v C mit u v auch z impliziert. Wenn wir voraussetzen dass für z C gilt z so ist auch z und zz z. Somit erhalten wir mit den elementaren chenregeln uz + v uz + v z uzz + vz u + vz u + vz u + vz.

13 68 Lösungswege zu Kapitel 5 Um die Aussage vollständig zu belegen müssen wir aber noch zeigen dass u + vz 0 gilt. Dazu berechnen wir den Betrag und schätzen mit u v ab: u + vz u + vz + uvz) u + v + uvz) u + v uvz) u + v u v u v ) > 0. Für diese Richtung des Beweises nehmen wir an dass uz + v vz + u gilt. Damit ist uz + v vz + u. Auflösen der Beträge führt auf uz + v + uzv) vz + u + vzu). Da die gemischten Terme identisch sind gilt u z v z u v. Mit der Voraussetzung u v ist die Differenz u v 0. Kürzen wir diesen Ausdruck so folgt z und die Aussage ist gezeigt. Aufgabe 5. Aus z 3)z 3) z 3 4 z + 3 4z + 3)z + 3) erhalten wir die Gleichung z 3z 3z z + z + z + 36 bzw. z + 5z + 5z Somit gilt für Zahlen z M die Beziehung z Also folgt z K {z C z + 5 4}. Andererseits ergibt sich durch dieselbe chnung dass z K auch z M impliziert. Somit haben wir gezeigt dass M K ist. Die Menge beschreibt den Kreis mit Radius 4 um den Mittelpunkt 5 C.

14 Lösungswege zu Kapitel 5 69 Aufgabe 5. Unter der Annahme dass z ist folgt + z z z 4 + z)4 + z) 3 + 3z)3 + 3z) 6 + 4z + 4z + z 9 + 9z + 9z + 9 z 0 + 4z + 4z z + 9z 4 9. Also liegen die Bildpunkt fz)für z K auf dem Kreis mit Radius /3 um den Punkt M /3 C. Aufgabe 5.3 Wir setzen die gegebenen Stellen in die invariante Beziehung zur Möbiustransformation und erhalten etwa i z )0 i) f z) +i ) 0) 0 )z i) i +i )f z) 0) bzw. i iz ) f z) +i ) z i) fz) + i +i ). Wir müssen diese Gleichung nach fz)auflösen. Aus fz) + i ) iz ) fz) i + i z i + i folgt weiter fz) z i i ) z ) + i i z i) + i bzw. fz) i)z + + i) i)z i). }{{} i)z+i) Wir erhalten die Transformation fz) z i z + i. Ein Ausdruck für die Umkehrabbildung ergibt sich direkt aus der im Text angegebenen Beziehung. Es folgt für f die Umkehrung f z) dz b cz + a iz + i z + i z + z. Insgesamt erhalten wir das Bild von f : C\{ i} C\{} und die Umkehrabbildung f : C\{} C\{ i}. Betrachten wir den Betrag fz) für z x R so ergibt sich x i x x + i + x +. Das heißt Zahlen auf der reellen Achse werden durch f auf den Einheitskreis abgebildet.

15 70 Lösungswege zu Kapitel 5 Aus y ) y y + y + y + y + ) für y 0 folgt mit z x + iy die Abschätzung siehe Abbildung 5.3). z i x + y ) x + y + ) z + i i z i z z + i i Abbildung 5.3 Also folgt fz) z i z + i für z) 0. Somit wird die obere Halbebene in das Innere des Einheitskreises abgebildet. f i Abbildung 5.4 Anwendungsprobleme Aufgabe 5.4 Wählen wir die Polarkoordinatendarstellung z rcos ϕ + i sin ϕ) so folgt fz) r cos ϕ + i sin ϕ). r + a Also bleibt das Argument ϕ einer Zahl bei der Transformation erhalten aber der Betrag z r transformiert sich zu fz) z / z +a). Mit der Abschätzung fz) z / z +a) < für jedes z C folgt Setzen wir s fz) < so folgt aus fc) B {z C z < }. s r r + a

16 Lösungswege zu Kapitel 5 7 die Umkehrung r as s. Da das Argument nicht transformiert wird ergibt sich somit die inverse Transformation die Umkehrabbildung f w) as aw cos ϕ + i sin ϕ) s w für w scos ϕ + i sin ϕ) B. Für Zahlen z x R auf der reellen Achse ist auch das Bild auf der reellen Achse und für den Betrag gilt fz) < also ist das Bild Teilmenge des Intervalls ) C. Aus der Polarkoordinatendarstellung ist ersichtlich dass ein Kreis um den Ursprung mit Radius R auf einen Kreis um den Ursprung mir Radius R/R + ) abgebildet wird. Somit bleibt das Bild ein Kreis um den Ursprung mit verkleinertem Radius. Die Originalmengen sind in Abbildung 5.5 und die Bildmengen in Abbildung 5.6 gezeigt. Abbildung 5.5 Urbilder der betrachteten Teilmengen. Abbildung 5.6 Transformation der Teilmengen. Aufgabe 5.5 Da sich die Argumente bei der Multiplikation addieren erhalten wir für die Spannungen u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) u t) U 0 cosωt) + i sinωt)) cos 3 π + i sin 3 ) π u 3 t) U 0 cosωt) + i sinωt)) cos 43 π + i sin 43 ) π.

17 7 Lösungswege zu Kapitel 5 Damit folgt u t) + u t) + u 3 t) U 0 cosωt) + i sinωt)) + cos 3 π + i sin 3 ) π + cos 43 π + i sin 43 )) π Stellen wir die komplexen Zahlen in kartesischen Koordinaten da so ergibt sich cos 3 π + i sin 3 π ) und cos 43 π + i sin 43 π ) Wir erhalten die Summe und die Aussage ist bewiesen. u t) + u t) + u 3 t) + i 3 i 3. U 0 cosωt) + i sinωt)) + ) 3 + i + )) 3 i 0