Höhere Mathematik 3 Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan. Prof. Dr. Johann Hartl

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1 Höhere Mathematik 3 Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan Prof. Dr. Johann Hartl

2 Kapitel 1 Komplexe Zahlen Wozu brauchen wir komplexe Zahlen? 1 Für das Rechnen in der Physik, speziell in der Elektrotechnik. Zur Vereinfachung der Theorie in der Mathematik. Es kann reelle Ergebnisse geben, obwohl die Rechnung komplex läuft. Man kann Fallunterscheidungen vermeiden oder aufschieben, wenn man sich um die Realitätverhältnisse bei den Zwischenergebnissen zunächst nicht kümmert. Beispiel: Jedes Polynom p n vom Grad n p n (x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n hat genau n Nullstellen. Diese können sein: reell oder komplex, 1

3 zum Teil verschieden, zum Teil gleich (= zusammenfallend Beispiel: Jede ebene algebraische Kurve n-ter Ordnung mit einer Gleichung der Gestalt n n j a jk x j y k = 0, j=0 k=0 bei der nicht alle a j,n j verschwinden, schneidet jede in ihr nicht enthaltene Gerade in genau n Punkten. Diese können sein: reell oder komplex, zum Teil verschieden, zum Teil gleich (= zusammenfallend, zum Teil im endlichen gelegene Punkte, zum Teil Fernpunkte. (Mit Fernpunkten befassen wir uns hier nicht. 1.1 Exkurs: Elementare ebene Geometrie Gegeben: xy-koordinatensystem in der reellen Ebene Ein Punkt wird beschrieben durch ein Paar (x, y mit x, y R. Oder durch Polarkoordinaten (r, φ. siehe Tafelskizze! Der Winkel φ ist nicht eindeutig bestimmt, da φ+2π denselben Punkt liefert wie φ. Wir legen im allgemeinen fest: π < φ π 2

4 Dabei ist x = r cos φ, y = r sin φ. Umgekehrt ist r = x 2 + y 2 und φ = arccos x x 2 +y 2 falls y 0 (2π arccos x x 2 +y 2 falls y < 0 Die Formel φ = arctan y x gilt nicht allgemein! Nur für π 2 < φ < π 2. Wir kennen die Addition von Vektoren: ( x y + ( u v = ( x + u y + v, und das Skalarprodukt von Vektoren: ( x y ( u v = x u + y v. Wir führen eine neue Multiplikation ein: r 1 ( cos φ1 sin φ 1 r 2 ( cos φ2 sin φ 2 = r 1 r 2 ( cos(φ1 + φ 2 sin(φ 1 + φ 2 3

5 Das heißt: Das Produkt der Punkte (in Polarkoordinaten (r 1, φ 1 und (r 2, φ 2 geht aus (r 1, φ 1 hervor durch Streckung aus dem Ursprung mit dem Faktor r 2 und anschließende Drehung um den Ursprung durch den Winkel φ 2 und zugleich aus (r 2, φ 2 durch Streckung aus dem Ursprung mit dem Faktor r 1 und anschließende Drehung um den Ursprung durch den Winkel φ 1. Kann man das auch schreiben mit ( ( x2 cos φ2 und = r y 2? 2 sin φ 2 ( x1 y 1 = r 1 ( cos φ1 sin φ 1 Erinnerung: Additionstheoreme für Sinus und Cosinus: cos(x + y = cos x cos y sin x sin y, sin(x + y = cos x sin y + sin x cos y. ( x1 y 1 ( x2 y 2 = r 1 ( cos φ1 sin φ 1 r 1 r 2 ( cos(φ1 + φ 2 sin(φ 1 + φ 2 ( cos φ2 r 2 sin φ 2 = = 4

6 ( cos φ1 cos φ r 1 r 2 sin φ 1 sin φ 2 2 = cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2 ( r1 cos φ 1 r 2 cos φ 2 r 1 sin φ 1 r 2 sin φ 2 = r 1 cos φ 1 r 2 sin φ 2 + r 1 sin φ 1 r 2 cos φ 2 ( x1 x 2 y 1 y 2. x 1 y 2 + y 1 x 2 Kann man auch dividieren? Was ist der Kehrwert bzgl. der Multiplikation * von r ( cos φ sin φ Wegen der geometrischen Deutung: Das geht nur für r 0! 1 r ( cos( φ sin( φ?. Kann man das auch schreiben mit ( ( x cos φ = r y sin φ Ja, als 1 x 2 + y 2 ( x y.? Man kann in R 2 also addieren + und multiplizieren *, subtrahieren und dividieren. 5

7 ( 0 Was ist das Quadrat von? 1 ( Nach der obigen Formel: = ( ( 1 0 Wir kürzen ab: 1 := und i :=. 0 1 Damit gilt ( x y Wir schreiben: = x + iy und i 2 = 1. ( 1 0? C := {z = x + iy : x R, y R} und nennen C die Menge der komplexen Zahlen. Oft schreibt man z = x + iy und w = u + iv für komplexe Zahlen oder Variable und w = f(z bei einer komplexen Funktion f einer komplexen Veränderlichen. Als Zeichen für die Multiplikation verwenden wir wieder oder einfaches Nebeneinanderschreiben. Mitteilung (ohne Beweis: Für die Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division gelten die üblichen Rechenregeln. Assoziativgesetze für Addition und Multiplikation x, y, z C : (x + y + z = x + (y + z, (xyz = x(yz Kommutativgesetze für Addition und Multiplikation x, y C : x + y = y + x, xy = yx 6

8 z C : z + 0 = z 1 = z z = a + ib C : w =: z C : z + w = 0 z = a + i( b =: a ib (Dabei sind a, b R. z = a + ib C \ {0} : w := 1 z C : z w = 1 1 z = 1 (a ib a 2 + b2 (Dabei sind a, b R, a 2 + b 2 o. Distributivgesetze für Addition und Multiplikation: x, y, z C : x(y + z = xy + xz x, y, z C : (x + yz = xz + yz Man sagt: C ist mit + und ein Körper. (Das Wort Körper ist dabei ein Fachwort aus der Algebra. In der Geometrie hat dasselbe Wort mehrere andere Bedeutungen, in der Umgangssprache ebenfalls. Nebenbei: Auch über C gilt: xy = 0 x = 0 y = Bezeichnungen und einfache Rechenregeln bei komplexen Zahlen z C z = x + iy mit x, y R 7

9 x... Realteil von z y... Imaginärteil von z Über C hat die Gleichung z = 0 die beiden Lösungen z 1 = i, z 2 = i. z = z 2 ( 1 = z 2 i 2 = (z + i(z i Die Gleichung z = 0 hat nur die beiden Lösungen z 1 = i, z 2 = i. Ist z = x + iy C, so heiß z := x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. z = x + iy C : z z = x 2 + y 2 R und z z 0. z z = 0 z = 0. Geometrische Deutung von z := z z = x 2 + y 2 z ist der Abstand des Punktes z vom Nullpunkt O des kartesischen xy-koordinatensystems. Mitteilung ohne Beweis: Wichtige Rechenregeln: z, w C : z + w = z + w, z w = z w 8 (nach Pythagoras

10 Division von komplexen Zahlen: z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 Ausführlicher aufgeschrieben: (Der Nenner wird reell gemacht! x + iy xu + yv + i(yu xv = u + iv u 2 + v 2 Eine Gleichung zwischen komplexen Zahlen liefert im allgemeinen zwei Gleichungen zwischen reellen Zahlen: Realteil 1 = Realteil 2 ; Imaginärteil 1 = Imaginärteil Beispiele komplexer Funktionen einer komplexen Variablen Beispiel 1: Sei a C, mit p, q R. a = p + iq z w = f(z = z + a w = f(z = z + a = x + iy + p + iq = x + p + i(y + q Translation oder Parallelverschiebung, kurz Schiebung mit dem Schiebvektor ( p. q Beispiel 2: Sei a C, a 0, 9

11 a = p + iq = r 1 (cos ψ + i sin ψ mit p, q, r 1, ψ R und (p, q (0, 0 bzw. r 1 > 0. z w = f(z = a z = ax by + i(ay + bx = rr 1 (cos(φ + ψ + i sin(φ + ψ. Dabei haben wir verwendet die Darstellung in Polarkoordinaten: z = x + iy = r(cos φ + i sin φ. Drehstreckung, zusammengesetzt aus einer Drehung mit dem Koordinatenursprung O als Drehzentrum und mit dem Drehwinkel ψ und einer Streckung mit dem Koordinatenursprung O als Streckungszentrum und mit dem Streckungsfaktor r 1. Beispiel 3: z = x + iy = r (cos φ + i sin φ z 2 z 2 = x 2 y 2 + i2xy = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ Der rechte obere Quadrant (x 0 und y 0 wird auf die obere Halbebene (y 0 abgebildet. Die obere Halbebene wird auf die ganze Ebene abgebildet. Die positive x-achse wird als Bild doppelt überdeckt. Beispiel 4: Seien a C, a 0 und b C. z w = f(z = a z + b 10

12 Das liefert eine Drehstreckung (zusammengesetzt aus einer Drehung mit dem Koordinatenursprung O als Drehzentrum und einer Streckung mit dem Koordinatenursprung O als Streckungszentrum, gefolgt von einer Translation, also eine allgemeine (gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung in der Ebene. 1.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Hinweise auf Unterschiede zum reellen Fall ohne präzise Formulierungen und ohne Beweise: f : D R R ist stetig in x 0 D, wenn der Grenzwert von f gegen x 0 in (höchstens zwei Richtungen (von links und von rechts den Wert f(x 0 ergibt. f : D C R ist stetig in z 0 D, wenn der Grenzwert von f gegen z 0 in allen (überabzählbar unendlich vielen Richtungen den Wert f(z 0 ergibt. Im Komplexen ist Stetigkeit mehr als im Reellen! Wann ist f : D C C stetig in z 0 D? Wir schreiben f(z = f 1 (z + if 2 (z mit f i : D R für i = 1, 2. (Bezeichnungen: f 1 Realteil von f, f 2 Imaginärteil von f. Dann legen wir fest: f ist stetig in z 0 D : f 1 und f 2 sind stetig in z 0 D. 11

13 f : D C C ist differenzierbar in z 0 D, wenn f(z f(z 0 lim z z 0 z z 0 = lim h 0 f(z 0 + h f(z 0 h existiert (unabhängig davon, wie z auf z 0 oder wie h auf 0 zuläuft!. Im Komplexen ist Differenzierbarkeit mehr als im Reellen! In der Funktionentheorie zeigt man: Eine differenzierbare komplexe Funktion einer komplexen Variablen ist sogar unendlich oft stetig differenzierbar! Die dadurch vermittelte Abbildung von Ebenenstücken auf Ebenenstücke ist winkeltreu oder konform! Ist (falls f (z 0 auf dem betrachteten Ebenenstück u + iv = w = f(z = f(x + iy mit reellen u, v, x, y eine komplex differenzierbare Funktion, so gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Im Reellen gilt: u x = v y, u y = v x. 12

14 e x = k=0 x k k! cos x = k=0 ( 1 k x2k (2k! sin x = k=0 ( 1 k x 2k+1 (2k + 1! (Das kann man beweisen. Im Komplexen definiert man die e-funktion, die sin-funktion und die cos-funktion auf diese Weise durch Potenzreihen. Damit kann man zeigen: x R : e ix = cos x + i sin x Eulersche Formel Daraus folgt zum Beispiel auch: (cos x + i sin x n = (e ix n = e inx = cos(nx + i sin(nx Moivresche Formel 13

15 1.5 Geschichtliches über die komplexen Zahlen Erstmals verwendet bei der Auflösung von Gleichungen 3. Grades im 16. Jahrhundert, führten die komplexen Zahlen oft auf sinnvolle Ergebnisse, waren aber unheimlich. Man gewöhnte sich daran. Der Fundamentalsatz der Algebra lautet: Jedes Polynom hat mindestens eine Nullstelle oder in einer anderen Formulierung: Jedes Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen (in algebraischer Zählung. Dieser Satz wurde bald ausgesprochen, aber erst kurz vor 1800 bewiesen. Leonhard Euler ging im 18. Jahrhundert geläufig mit komplexen Zahlen um. Um 1800 geometrische Deutung durch Carl Friedrich Gauß ( u.a. Daher die Bezeichnung: Gaußsche Zahlenebene 14

16 Das lieferte einen relativen Widerspruchsfreiheitsbeweis. W. R. Hamilton ( : algebraische Definition als Zahlenpaare mit Addition und Multiplikation Es gibt auch hyperkomplexe Zahlensysteme,z.B. verschiedene Arten von Quaternionen x + iy + jz + kw, und Oktaven. 15