Inhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
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- Willi Reuter
- vor 6 Jahren
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1 Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion im Komplexen Komplexe Funktionen Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 1
2 Axiomatische Definition (Wdh.) Die axiomatische Definition nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit i: Im 2-D reellen Vektorraum der geordneten reellen Zahlenpaare z = (a,b) wird neben der Addition (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) (das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch (a, b) * (c, d) = (a * c - b * d, a * d + b * c) definiert. Nach dieser Festlegung schreibt man, und wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen. Zwei komplexe Zahlen sind also dann gleich wenn ihre Real- (so wird die vordere Stelle genannt) und Imaginärteile übereinstimmen Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 2
3 a + bi Notation Addition, Subtraktion: Analog zur Addition: (a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i funktioniert auch die Subtraktion: (a + b i ) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i. Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil": (a + b i ) (c + d i ) = (ac - bd) + (ad + bc) i Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 3
4 Rechenbeispiele bi b 1 +b 2 b 2 b 1 a 1 a 2 a 1 +a 2 Anschaulich: Addition (Multiplikation mit reeller Zahl: Streckung) a Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 4
5 Konjugation, Multiplikation Betrag: z = ( z z * ) 0.5 zz * Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 5
6 Polardarstellung Polar und Exponentialform: Jede komplexe Zahl z=a+bi kann in der Form z r(cos i sin ) geschrieben werden! e i ( i ) n! n Also: re i r (cos i sin ) (Beweis über Reihenentwicklungen) Polarform, Trigonometrische Form! Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 6
7 Polardarstellung, komplex konjugiert bi y x a -y Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 7
8 Polardarstellung, Multiplikation Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 8
9 Pragmatische Rechenregeln Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt. Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert. Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert. Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert. Beim Radizieren (Wurzel ziehen) komplexer Zahlen werden ihre Beträge radiziert und ihre Argumente (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer n-ten Wurzel entstehen n Lösungen, die im Winkel von 2 π/n um den Ursprung der Gaußschen Ebene verteilt sind. Komplexe Wurzeln! Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 9
10 Produkt und Exponenten in der komplexen Ebene bi Potenz am Beispiel: bi 3 0.5i r 1 r a r r 1 a Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 10
11 Eulersche Formel / Identität Exkurs: Herleitung Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 11
12 Euler Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 12
13 Feynman Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 13
14 Polynome im Komplexen Fundamentalsatz der Algebra: Beispiel: Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 14
15 Anmerkung und Beweis Beweis: Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten. Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper macht - und dieser ist ein Konstrukt der Analysis. Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden. Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 15
16 Gauß Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 16
17 Komplexe Funktionen Die allgemeine Funktion geht vom Körper der komplexen Zahlen in den Körper der komplexen Zahlen, also von nach D.h. es wird eine Zahlenebene auf eine andere abgebildet, im Gegensatz zu Abbildungen in bei denen ein Zahlenstrahl auf einen anderen abgebildet wird. Beispiel in : x->x-3 Beispiel in : z->z-3-i Urbildmenge Urbildmenge Bildmenge Um eine Abbildung in zu erfassen, bieted es sich an zunächst die Reelle Achse im Komplexen auf die komplexe Ebene abzubilden, dies ist dann eien Abbildung von nach Bildmenge Es gibt auch Abbildungen die die komplexe Ebene auf einen Teilraum der komplexen Ebene, z. B. die reelle Achse also z.b. -> : z->zz* Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 17
18 Komplexe Funktionen e iz Die Funktion e iz bildet vom Komplexen ins Komplexe ab. Ein Verständniss für ihre Abbildung läßt sich dadurch leicht erreichen, wenn man von der komplexen Zahlenebene a+bi abbildet, indem man Teilmengen abbildet. Diese Teilmengen können am einfachsten Geraden sein, die parallel zur reellen Achse laufen: f ( z) e iz e i ( a bi ) e b Reelle Achse: b=0 => Abbildung auf Einheitskreis nach Definition, siehe oben e Parallele Achse zur Reellen im komplex positiven: z.b. b=0.5 => Abbildung auf um ia Parallele Achse zur Reellen im komplex negativen: z.b. b=-0.5 => Abbildung auf um e i cos i sin e b geschrumpftem Einheitskreis b e gestreckten Einheitskreis Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 18
19 Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 19 Beispiel eines komplexen Polynoms Einfaches komplexes Polynom: abi b a bi a z z f ) ( 1 ) ( i Gerade Paralel zur Achse wird: ai a i a a Achtung, komplexe Singularitäten -> Regelungstechnik
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