Demo: Mathe-CD KOMPLEXE ZAHLEN

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1 KMPLEXE ZAHLEN Diese Datei gibt einige Seiten Einblick in die Serie Komplexe Zahlen, und, die gegen Zusatbestellung auf der CD u haben ist. Abonnenten erhalten sie automatisch. Datei Nr Januar 00 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt der riginaldateien Datei 500 Warum braucht man neue Zahlen? Definition der imaginären Einheit Definition der komplexen Zahlen 5 Rechnen mit komplexen Zahlen 7 5 Die Gaußsche Zahlenebene Lösungen der Aufgaben - Datei Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene 7 Polarkoordinaten 7 8 Komplexe Einheitsvektoren E( ϕ ) 8. Formel von Moivre für Potenen 8. Multiplikation in Polarkoordinaten 5 8. Division in Polarkoordinaten 8. Potenieren in Polarkoordinaten Lösungen der Aufgaben 5 - Datei Wureln aus komplexen Zahlen 0 Einheitswureln 8 0. Prinipielles 8 0. Lösung der Gleichung n = 9 0. Lösung der Gleichung = 0 0. Lösung der Gleichung = Lösung der Gleichung = - Lösung der Gleichung = i Lösung der Gleichung = - i 0.6 Lösung der Gleichung = Lösung der Gleichung 5 = Lösung der Gleichung 6 = 7 Abgeschlossenheit der n-ten Einheitswureln 8 Lösung der reinen Potengleichung n = a. Theorie. Reinquadratische Gleichungen. Reine Gleichungen. Grades 5. Reine Gleichungen. Grades 8 Lösung anderer Gleichungen 9 Lösungen der Aufgaben 5-5

3 50000 Komplexe Zahlen Demo Rechnen mit komplexen Zahlen. Um es nochmals u sagen: Wir führen die komplexen Zahlen so ein, daß wie verlangen, daß die Gesete der reellen Zahlen gelten sollen. Wir wollen also rechnen, wie wir es aus R gewohnt sind Daraus folgen Ergebnisse für Summen, Differenen Produkte und Quotienten, die wir dann als Definition für die Rechenarten unserer neuen komplexen Zahlen übernehmen: (a) Beispiel für die Addition: ( 9 i) ( 7 i) = ( 9 7) ( ) i= 6 6i DEFINITIN DER ADDITIN: a bi a b i = a a b b i Es werden also die Realteile addiert und ebenso die Imaginärteile. Achtung: Die Addition der konjugiert komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl. AUFGABE : Beispiel: ( 9 i) ( 9 i) = ( 9 9) ( ) i= 8 R Allgemein: ( a bi) ( a bi) = ( a a) ( b b) i= a a) ( 5i) ( 7 i) b) ( 5i) ( 7 i) c) ( i) ( 5i) d) ( 5 i) ( 5 i) e) ( 7 i) ( 7 9i) f) ( i) ( i) g) = i * =? h) = 5 8i, * =? (b) Beispiel für die Subtraktion: ( 9 i) ( 7 i) = ( 9 7) ( ) i= i DEFINITIN DER SUBTRAKTIN: ( ) ( ) a bi a b i = a a b b i Achtung: Die Subtraktion der konjugiert komplexen Zahl ergibt eine imaginäre Zahl. AUFGABE : Beispiel: ( 9 i) ( 9 i) = ( 9 9) ( ) i= i Allgemein: ( a bi) ( a bi) = ( a a) ( b b) i= bi a) ( 5i) ( 7 i) b) ( 5i) ( 7 i) c) ( i) ( 5i) d) ( 5 i) ( 5 i) e) ( 7 i) ( 7 9i) f) ( i) ( i) g) = i, * =? h) = 5 8i, * =?

4 50000 Komplexe Zahlen Demo (c) Beispiel für die Multiplikation: ( 9 i) ( 7 i) = i i 7 i i = 6 6i i 8i = 6 50i 8 = 55 50i DEFINITIN DER MULTIPLIKATIN: ( a bi) ( a b i) = AUFGABE 5: Achtung: = = aa ab i bi a bi b i aa ab a b i bb i = aa bb ab ab i a) ( i)( 7i) b) ( 8i)( 5 i) c) ( i)( i) d) ( i)( 6 i) e) ( 5 i)( 5 i) f) ( 7i)( 8i) Die Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl und war das Quadrat ihres Betrages! Beispiel: * = ( 5 i) ( 5 i) = 5 i = 5 = 69, = 5 i = 5 =, also ist AUFGABE 5: Berechne * für * = = * g) = i h) = 9 5i i) = 5i Allgemein: * = ( a bi) ( a bi) = a ( bi) = a b = a bi!!! Ein Wort u dieser sogenannten. Binomischen Formel: ( a bi) ( a bi) = a ( bi) = a b Sie berechnet das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl. Kehren wir diese Gleichung um, folgt a b = a bi a bi Man vergleiche mit der. Binomischen Formel: a b = ( a b)( a b) Diese. binomische Formel benötigen wir bei der Division komplexer Zahlen.

5 50000 Komplexe Zahlen Demo 5 5 Die Gaußsche Zahlenebene Weil jede komplexe Zahl aus wei Anteilen usammengesett ist, dem Realteil und dem Imaginärteil, kann man jede komplexe Zahl als Punkt in einer Ebene mit einem Koordinatensystem darstellen. Man nennt sie die Gaußsche Zahlenebene oder auch die Ebene der komplexen Zahlen. Als x-koordinate verwendet man den Realteil: x = Re(), als y-koordinate den Imaginärteil: y = Im(): Die Zahl = i wird demnach als Punkt mit den Koordinaten ( ) dargestelt. = 5 i = i = =,5 i = i * = i Konjugiert komplexe Zahlen haben den gleichen Realteil und entgegengesetten Imaginärteil, etwa = i und * = i. Ihre Punkte liegen also ueinander spiegelbildlich beüglich der x-achse! Rein imaginäre Zahlen (ohne Realteil) liegen auf der y-achse, die reellen Zahlen (also ohne einen Imaginärteil) liegen auf der x-achse. Damit taucht bereits ein wesentlicher Unterschied wischen reellen und echt komplexen Zahlen auf. Reelle Zahlen kann man der Größe nach vergleichen. Man kann also sagen, a < b oder a = b oder a > b. Eine dieser dreie Beiehungen muß stimmen!

6 50000 Komplexe Zahlen Demo 6 Beispiel 8. Multiplikation in Polarkoordinaten (im Bogenmaß) Es sei ( ) ( ) ( ) und = E π = cos π i sin π = i = i = E π = cos π i sin π = i = i Wir berechnen das Produkt: Einerseits geht das gan einfach auf die herkömmliche Art: = i i = i i i = = i i 6 = i 8 Andererseits rechnen wir mit der sogenannten Polarform: = E π E π = 8E π π = 8E π = 6 6 = 8 cos π i sin π = 8 0 i = 8i= i 8 Wir haben hier die Gleichung (6) von Seite verwendet ( ϕ) ( ϕ ) = ( ϕ ϕ ) E E E Das nächste Beispiel rechnet im Gradmaß, was oftmals wegen der Gewöhnung an diese Winkelmessung einfacher erscheint. Beispiel (im Gradmaß) 0 Es sei = E 5 = cos 5 i sin5 = i = i und 0 = E 05 = cos05 i sin05 0,59 i 0,966 = 0,776 i,90 Dann folgt über die Polarform-Multiplikation: Ο ( 05 ) = E 5 E 05 = 6 E 5 = 6E50 = = 6 cos50 i sin50 = 6 cos0 i sin0 = = 6 i = i Nun eige ich einen tollen Trick: In der Koordinatendarstellung war wegen des Winkels 05 (von dem wir keine genauen Sinus- und Kosinuswerte kennen), nur eine Näherungsdarstellung möglich. Da wir aber das Produktergebnis kennen, können wir über die Auflösung der Gleichung = i die Zahl als Divisionsergebnis im Gegensat u oben genau berechnen:

7 50000 Komplexe Zahlen Demo 7 = i = i i Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner: ( i ) = = i i i 6 i i 6 i 6 i 6 = = 6 i 6 = 6 i 6 (wenn man will) 0 Erinnern wir uns: Es war = E 05 = cos05 i sin05 Aus dem Vergleich beider Terme können wir noch etwas anderes herleiten: und analog dau: cos05 = 6 cos05 = 6 = 6 sin05 = 6 sin05 = 6 = 6 Graphische Darstellung dieser Multiplikation: = ϕ =ϕ ϕ ϕ ϕ

8 50000 Komplexe Zahlen Demo Lösung der Gleichung 5 = Wir übernehmen aus der Seite diese Lösungsformel (für Bogenmaß): n ϕ 0 = 0; ϕ = π; ϕ = π; ϕ = π;...; ϕ n = π n n n n und seten n = 5 ein, dann folgen diese Näherungslösungen: ϕ = 0 = E( 0) = 0 0 ϕ = π 7 = E π = cos π i sin π 0,09 i 0, ϕ = π = E π = cos π i sin π 0,809 i 0, ϕ = π 6 = E π = cos π i sin π 0,809 i 0, ϕ = π 88 = E π = cos π i sin π 0,09 i 0, = E π 5 6 = E π 5 r = = E π 5 = E( 0) = 0 8 = E π 5 In dieser Abbildung wurden die 5 Punkte verbunden, es entstand ein regelmäßiges Fünfeck mit dem Innenwinkel 7 und den Eckenwinkeln 08.

9 50000 Komplexe Zahlen Demo 9. Reinquadratische Gleichungen Beispiel : = i Nun ist a = i. Umrechnung in Polarkoordinaten: a = = = 6 = y tanα= = = α= arctan = 60 π x Berechnung der beiden Lösungen durch die Formel π kπ k k = E k 6 d.h. hier E = ( π π) Für k = 0: n k = α kπ a E : n 6k = E π 6 0 = E π = cos i sin i i 6 π π 6 6 = = = E π = cos π i sin π = i i = 0 Für k = : Lösungsmenge: L = { i; i} Beispiel : a = 5 i 5. Umrechnung in Polarkoordinaten: = 5 i 5 a = 5 5 = 5 5 = 5 = 5 = 0 y 5 ϕ= arctan = arctan = arctan = 0, ergibt x 5 ϕ k 60 0 k 60 K = a E = 0 E = 0 E 5 k 80 Nun geht es etwas kompliiert weiter: 0 k = 0 = 0 E π = 0 cos5 i sin5 Näherungslösung: = 0 0,966 i 0,56 5,9 i,8 0 k = = 0 E π = 0 cos5 i sin5 = 5,9 i,8 Mit Hilfe trigonometrischer Umformungen kann man diese Lösung sogar exakt angeben. Das wird auf der nächsten Seite geeigt:

10 50000 Komplexe Zahlen Demo 0 Laut Formelsammlung ist sin( α β ) = sinα cosβ cosα sinβ. Also folgt: d.h. sin5 = ( 6 ). Ferner folgt aus d.h. cos5 = ( 6 ) sin5 = sin 60 5 = sin60 cos5 sin5 cos60 = cos α β = cosα cosβ sinα sinβ cos5 = cos 60 5 = cos60 cos5 sin5 sin60 = = 0 E 5 = 0 cos5 i sin5 = 0 6 i 6 0 ( ) = 0 6 i 6 = 0 E 95 = 0 cos5 i sin5 = 0 6 i 6 ( ) = 0 6 i 6 Aufgabe 0 Bestimme die komplexen Lösungen der folgenden reinquadratischen Gleichungen: a) c) e) g) = 5 i 0 b) = i d) = i f) = i h) = 60 i 80 = i = i = i

11 50000 Komplexe Zahlen Demo a) ( i) i= 0 Lösung u Nummer 5 Substitution: u = ergibt die quadratische Gleichung u i u i= 0 mit u, ( i) ± ( i) i ( i) ± i i ( i) ± i = = = Nebenrechnung: i = und das Argument von i ist ϕ= 90 Also folgt: ( ) i = E 90 = E 5 = i = i i± ( i) i u, = = { Lösung der Gleichung = i : Wegen i = und ϕ= 90 folgt ϕ k k 60 K = i E = E k = 0 = E 5 = i 0 k = = E 5 = i Lösung der Gleichung = - :, =± i { i; } i ; i L = ±