und der Kosinussatz cos(γ) = a2 + b 2 c 2 2 a b Sinussatz sin(β) = a b

Transkript

1 Blatt Nr 1906 Mathematik Online - Übungen Blatt 19 Dreieck Geometrie Nummer: Kl: 9X Aufgabe 1911: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 18782, c = 1511 und β = gegeben Berechnen Sie den Winkel α (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion empfohlen) x 1 = Erste Seite a des Dreiecks, x 1 wird so berechnet, dass das Dreieck stumpfwinklig wird: x 1 > x x2 2 x 2 = Zweite Seite c des Dreiecks x 3 = Dritte Seite b des Dreiecks x 4 : Die Variablennamen werden abhängig von x 4 permutiert Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der beiden anderen): x 1 + x 2 < x 3, x 2 + x 3 < x 1 und x 3 + x 1 < x 2 In dieser Aufgabe sind x 1 = 18782, x 2 = 1511, x 3 = 1031, x 4 = 3 sowie x s1 = a, x s2 = c, x s3 = b, x s5 = α, x s6 = γ und x s7 = β Berechnet wurden die Winkel α = 93343, γ = und β = Probe: α + β + γ = 180 immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert Durch Probe (oder durch α < 90 : Nimm die größere Lösung, bei α > 90 die kleinere Sind bei einem Dreieck zwei Seiten Lösungen berechnet (sofern diese existieren) Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung = Gegenkathete (auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt) Hier liegt der Fall sws vor Die Berechnung von α mit Kosinussatz oder setzt die Berechnung der dritten Seite voraus cos(β) = a2 + c 2 b 2 2 a c b = a 2 + c 2 2 a c cos(β) b = cos(33229 )

2 cos(α) = c2 + b 2 a 2 2 c b cos(α) = α cos 1 ( 0057) Anmerkung: Der Winkel α hätte ebenso mit dem berechnet werden können Dies ist aber gar nicht so leicht, wie es scheint: sin(β) = a b sin(33229) = = sin(33229) 0998 α sin 1 (0998) Wie ist das zu erklären? Tatsächlich gibt es zwei (verschiedene) Winkel α 1 und α 2, für die sin(α 1 ) = sin(α 2 ) = 0998 Für die Winkel gilt α 2 = 180 α 1 In unserem Falle ist α 2 = Der Winkel α 2 ist der gesuchte Winkel Deshalb ist es sicherer den Kosinussatz zu verwenden Fehlerinterpretation: richtig DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 7) DF: Lösung geraten (FNr 6) DF: γ berechnet (FNr 3) DF: β berechnet (FNr 4) DF: Seitenlängen addiert (FNr 10) DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 9) DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 8) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 11) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 12) DF: Lösung geraten (FNr 5) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 13) Dreieck Geometrie Nummer: Kl: 9X

3 Aufgabe 1912: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 1071, β = und γ = gegeben Berechnen Sie die Seite c (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion empfohlen) x 1 = Erste Seite a des Dreiecks, x 2 = Zweite Seite b des Dreiecks x 3 = Dritte Seite c des Dreiecks x 4 : Die Variablennamen werden abhängig von x 4 permutiert Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der beiden anderen): x 1 + x 2 < x 3, x 2 + x 3 < x 1 und x 3 + x 1 < x 2 In dieser Aufgabe sind x 1 = 1071, x 2 = 1058, x 3 = 1717, x 4 = 1 sowie x s1 = a, x s2 = b, x s3 = c, x s5 = α, x s6 = β und x s7 = γ Berechnet wurden die Winkel α = 36504, β = und γ = Probe: α + β + γ = 180 immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert Durch Probe (oder durch α < 90 : Nimm die größere Lösung, bei α > 90 die kleinere Sind bei einem Dreieck zwei Seiten Lösungen berechnet (sofern diese existieren) Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung = Gegenkathete (auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt) Hier liegt der Fall wsw (eigentlich sww) vor Damit muss der angewendet werden α = 180 β γ = Mit dem ergibt sich: sin(γ) = c a sin( ) sin(36504 ) = c 1071 c = sin( ) sin(36504 ) Fehlerinterpretation:

4 1 668 DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 7) DF: b berechnet (FNr 3) DF: Seitenlängen addiert (FNr 12) DF: α berechnet (FNr 5) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 15) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 13) DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 11) DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 9) 1717 richtig DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 14) DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 10) DF: a berechnet (FNr 2) Dreieck Geometrie Nummer: Kl: 9X Aufgabe 1913: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind b = 22914, c = 1757 und γ = gegeben Berechnen Sie den Winkel β (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion empfohlen) x 1 = Erste Seite b des Dreiecks, x 1 wird so berechnet, dass das Dreieck stumpfwinklig wird: x 1 > x x2 2 x 2 = Zweite Seite a des Dreiecks x 3 = Dritte Seite c des Dreiecks x 4 : Die Variablennamen werden abhängig von x 4 permutiert In dieser Aufgabe sind x 1 = 22914, x 2 = 1151, x 3 = 1757, x 4 = 2 sowie x s1 = b, x s2 = a, x s3 = c, x s5 = β, x s6 = α und x s7 = γ Berechnet wurden die Winkel β = 10197, α = und γ = Probe: α + β + γ = 180 immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert Durch Probe (oder durch α < 90 : Nimm die größere Lösung, bei α > 90 die kleinere Sind bei einem Dreieck zwei Seiten Lösungen berechnet (sofern diese existieren) Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung = Gegenkathete (auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt) Hier liegt der Fall ssw vor, wobei der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben ist

5 Es muss also mit mehreren Lösungen gerechnet werden Die Anwendung des es kann diese Problematik verschleiern cos(γ) = b2 + a 2 c 2 2 b a a 2 2 b a cos(γ) + b 2 c 2 = 0 a 2 2 a cos(48599 ) = 0 a a = 0 a 1,2 = ± = ± Es gibt also zwei Lösungen (die wir mit dem Kosinussatz berechnen) = oder 1151 cos(β 1 ) = a2 1 + c2 b 2 2 a 1 c cos(β 1 ) = β 1 cos 1 (0207) 7803 cos(β 2 ) = a2 2 + c2 b 2 2 a 2 c cos(β 2 ) = β 2 cos 1 ( 0206) β 1 und β 2 sind Nebenwinkel, das heißt: β 1 + β 2 = 180 Was wäre passiert, wenn wir den angewendet hätten? sin(β) sin(γ) = b c sin(β) sin(48599 ) = sin(β) = sin(48599 ) = 0978 β = sin 1 (0978) 7803 Wie ist das zu erklären? Tatsächlich gibt es zwei (verschiedene) Winkel β 1 und β 2, für die sin(β 1 ) = sin(β 2 ) = 0978 Für die Winkel gilt β 2 = 180 β 1 In unserem Falle ist β 2 = Der Winkel β 2 ist der gesuchte Winkel Deshalb ist es sicherer den Kosinussatz zu verwenden oder oder oder oder oder oder oder 10197

6 Fehlerinterpretation: DF: zweite Lösung vergessen (FNr 2) DF: α berechnet (FNr 8) oder DF: β und α berechnet (FNr 5) oder DF: α und γ berechnet (FNr 6) DF: a berechnet (FNr 12) oder DF: γ und Nebenwinkel berechnet (FNr 11) oder DF: β und γ berechnet (FNr 4) oder DF: α und Nebenwinkel berechnet (FNr 10) DF: γ berechnet (FNr 9) oder DF: a berechnet (FNr 13) DF: zweite Lösung vergessen (FNr 3) 7803 oder richtig Dreieck Geometrie Nummer: Kl: 9X Aufgabe 1914: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind b = 1258, a = 1634 und c = 1064 gegeben Berechnen Sie den Winkel β (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion empfohlen) x 1 = Erste Seite b des Dreiecks x 2 = Zweite Seite a des Dreiecks x 3 = Dritte Seite c des Dreiecks x 4 : Die Variablennamen werden abhängig von x 4 permutiert Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der beiden anderen): x 1 + x 2 < x 3, x 2 + x 3 < x 1 und x 3 + x 1 < x 2 In dieser Aufgabe sind x 1 = 1258, x 2 = 1634, x 3 = 1064, x 4 = 2 sowie x s1 = b, x s2 = a, x s3 = c, x s5 = β, x s6 = α und x s7 = γ Berechnet wurden die Winkel β = 50334, α = und γ = Probe: α + β + γ = 180 immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert Durch Probe (oder durch α < 90 : Nimm die größere Lösung, bei α > 90 die kleinere Sind bei einem Dreieck zwei Seiten Lösungen berechnet (sofern diese existieren) Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung = Gegenkathete

7 (auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt) Hier liegt der Fall sss vor Die Berechnung ist hier nur mit Hilfe eines (nichtlinearen) Gleichungssystems möglich cos(β) = a2 + c 2 b 2 2 a c cos(β) = β cos 1 (0638) Fehlerinterpretation: DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 8) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 12) richtig DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 7) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 13) 6 90 DF: Lösung geraten (FNr 5) DF: γ berechnet (FNr 4) DF: α berechnet (FNr 3) DF: Seitenlängen addiert bzw subtrahiert (FNr 11) DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 9) DF: Lösung geraten (FNr 6) DF: Seitenlängen addiert (FNr 10) Allgemeine Hinweise: Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W Schmid (sltsoftware@yahoode) Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: